第1章 质点运动学和牛顿运动定律习题解答

=
F ，垂直方向方向的加速度 m
分量为重力加速度 g，总加速度大小为
a=
a
2 x
+
a
2 y
=
g 2 + ⎜⎛ F ⎟⎞2 ⎝m⎠
9、在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是
A、钢球运动越来越慢，最后静止不动。
B、钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度。
C、钢球运动越来越快，一直无限制地增加。
5、一根轻弹簧的两端分别固连着质量相等的两个物体 A 和 B，用轻线将它们悬挂起来，在
将线烧断的瞬间，物体 A 的加速度大小是
m/s2 ，物体 B 的加速度大小是
m/s2 。
FT −kx
−kx
A
A
B
A
B
mgr
mgr
mgr
mgr
x
B
kx
kx
烧断前
烧断后
解：设物体的质量为 m。静止时，两物体的牛顿第二定律方程为
的大小和方向可不断变化，抛体运动中的加速度为恒定的重力加速度，但其速度的大小和方
向是不断变化的。
2、某质点的运动方程为 x = 2t − 3t3 +12(m) ，则该质点作
A、匀加速直线运动，加速度沿 Ox 轴正向。 B、匀加速直线运动，加速度沿 Ox 轴负向。 C、变加速直线运动，加速度沿 Ox 轴正向。 D、变加速直线运动，加速度沿 Ox 轴负向。
分离变量 两边积分 得 或
ωdω = g cosϕdϕ l
∫ ∫ ωωdω =
⎜⎛ ⎝
π 2
−θ
⎟⎞ ⎠
g
cosϕdϕ
0
0
l
1 ω2 = g sin⎜⎛ π −θ ⎟⎞ = g cosθ
2
l ⎝2 ⎠ l
ω2 = 2g cosθ l
解得
an = lω2 = 2g cosθ
本题如结合机械能守恒方法求解，过程将简单得多。 三、计算题
1、一质点运动的加速度为
ar
=
r 2ti
+
3t
2
r j
，其初始速度与初始位移均为零，则该质点的运动
( ) 方程为 rr
=
t3
r i
+
t4
r j
，2s
时该质点的速度为
34
ϖr 2
=
r 4i
+
8
r j
m/s 。
∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 解：
ϖr dϖr =
0
t 0
ardt
=
⎜⎝⎛
t 0
2tdt
⎟⎠⎞ir
+
解： ϖ= A + Bt ， a τ
=
dϖ dt
=
B
（1 分）， t = 0 时， ϖ0 = A （1 分）
ϖt2 − ϖ02 = 2aτ s = 2aτ ⋅ 2πR = 4πRB ， ϖt2 = ϖ02 + 2aτ s = A2 + 4πRB （1 分）
an
=
ϖ t2 R
=
A2 R
+ 4πB
（1 分）
1、一质点在 xy 平面内运动，运动方程为 x = 3t ， y = 2t2 + 3 ，式中 t 以 s 计，x，y 以 m 计。
解：重力的切向分力提供切向加速度
mg sinθ = maτ ， aτ = g sinθ
重力的法向分力与绳子张力共同提供法向加速度，但 FT1 是变力，无法直接由牛顿第二定律
的法向分量式求得。由角量与线量的关系有
aτ
= lα
=l
dω dt
=l
Βιβλιοθήκη Baidudω dϕ
⋅
dϕ dt
= lω
dω dϕ
=
g sinθ
=
g cosϕ
gl sinθ
cosθ
ϖ sinθ gl
g
cosθ
8、一细线一端系着质量为 m 的小球，另一端固定于 O 点，小球可在竖直平面中摆动，将小
球拉至水平位置后自由释放，当球摆到与铅直线成θ 角的位置时，小球的切向加速度大小
为
；法向加速度大小为
。
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
O ϕr
θ FT θ mgr
答：选
D。由运动方程 x = 2t − 3t3 +12(m) ， a =
d2 dt
x
2
＝
−
18t
，由于运动方程只含
x，故作直
线运动，由于加速度是 t 的函数，故为变加速运动，负号表示加速度沿 Ox 轴负向。
3、质点沿半径为 R 的圆周作匀速率圆周运动，每 T 秒转一周，在 2T 时间间隔中，其平均
速度大小与平均速率分别为
周运动，但圆周运动的速度方向一直在变化，故选 D。 5、关于惯性有下面四种表述，正确的为： A、物体静止或作匀速运动时才具有惯性。 B、物体受力作变速运动时才具有惯性。 C、物体受力作变速运动时才没有惯性。 D、物体在任何情况下均有惯性。 答：选 D。惯性是物体的固有属性，在任何情况下均有惯性。 6、下列表述中正确的是
加速度大小为
，B 获得的加速度大小为
。
r 2FT ar A
mgr
r FT
arB
mgr
x
解：滑轮及绳子质量不计时，滑轮两侧绳子的张力相等。由图可知，B 物体的位移是 A 物 体位移的两倍，故 2aA = aB 。定滑轮两侧绳子的张力是动滑轮两侧绳子张力的 2 倍。两物体 的隔离体图及它们的受力、运动分析如图，在如图的坐标系中，两物体的牛顿第二定律方程 为
⎜⎝⎛
t 0
3t
2dt
⎟⎠⎞
r j
， ϖr =
t 2ir
+
t
3
r j
， ϖr 2
=
r 4i
+
8
r j
m/s
∫ ∫ ∫ ∫ rr drr = 0
t 0
ϖrdt
=
⎜⎝⎛
t 0
τ2dt
⎟⎠⎞ir
+
⎜⎝⎛
t 0
τ3
dt
⎟⎠⎞
r j
，
rr
=
t3 3
r i
+
t4 4
r j
2、一质点一初速 ϖ0 和抛射角θ0 作斜抛运动，则到达最高处的速度大小为 ϖ= ϖx = ϖ0 cosθ0 ，
切 向 加 速 度 大 小 为 aτ = 0 ， 法 向 加 速 度 大 小 为 an = g = 9.8m/s2 ， 合 加 速 度 大 小 为
a = aτ2 + an2 = an = g = 9.8m/s2 。 解：抛体运动可看成水平方向的匀速直线运动与垂直方向的匀变速运动的合成。到达最高点 时只有水平速度分量，其值为 ϖ= ϖx = ϖ0 cosθ0 ，最高点处切向为水平方向，质点在该方向
7、质量分别是 m 和 m0 的滑块 A 和 B，叠放在光滑水平桌面上，如图 1-13 所示。A 和 B 间
的静摩擦因数为
μs
，动摩擦因数为
μ
，系统原处于静止。今有一水平力
r F
作用于
A
上，要
使 A、B 不发生相对滑动，则应有
A、 F ≤ μsmg
B、
F
≤
μs
⎜⎜⎝⎛1
+
m m0
⎟⎟⎠⎞mg
C、 F ≤ μs (m + m0 )g
D、钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。
答：选 D。钢球运动时受重力、浮力及粘滞力作用，重力方向向下，其余两力方向向上。重
力及浮力均为恒力，粘滞力随速率的增加而增大。起先合力方向向下，钢球不断加速使粘滞
力也越来越大，加速度的数值越来越小，但速度是增加的，当合力为零时加速度为零，速度
处于稳定值。
二、填空题
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
A、质点运动的方向和它所受的合外力方向相同。 B、质点的速率为零，它所受的合外力一定为零。 C、质点作匀速率圆周运动，它所受的合外力必定与运动方向垂直。 D、摩擦力总是阻碍物体间的相对运动，它的方向总是与物体的运动方向相反。 答；选 C。运动方向即速度方向，合外力方向即加速度方向，两者一般不在相同方向上。速 度、速率、加速度、力等都是瞬时量，在某一瞬时，速度或速率为零，但还可以存在加速度， 也即存在合外力，如质点作直线运动，受与运动方向相反的合外力作用而减速运动直至速率 为零的瞬间，合外力还是存在的。匀速率圆周运动必定存在法向加速度，它由法向力提供， 即与运动方向垂直。摩擦力并不一定总是与物体的运动方向相反，例如在皮带运输机上，物 体受皮带的摩擦力作用运动，此时摩擦力方向与物体运动方向在相同方向上。
不受力作用，故 aτ = 0 ，法向加速度即为重力加速度 an = g = 9.8m/s2 ，合加速度大小
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
a = aτ2 + an2 = an = g = 9.8m/s2 。
3、（2001 年上半年试题）（本题 4 分）一质点作半径为 R 的圆周运动，在 t = 0 时刻经 P 点。 此后它的速率按 ϖ= A + Bt 变化（A、B 为正的已知常量）。求质点沿圆周运动一周再经过 P 点时的切向加速度和法向加速度的大小。
D、
F
≤
μ ⎜⎜⎝⎛1 +
m m0
⎟⎟⎠⎞mg
答：本题需要用隔离物体法解得结果。由于要使 A、B 不发生相对滑动，两者的摩擦力为静
摩擦力，D 可先行排除。 无滑动时两者具有相同的加速度 ar 。按隔离物体法的步骤，画如下的隔离体图及受力、运动
分析并取如图的坐标系，列出两物体的牛顿第二定律分量方程。
r
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
习题
一、选择题
1、对质点的运动，有以下几种表述，正确的是
[
]
A、在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同。
B、在某一过程中平均速率不为零，则平均速度也不可能为零。
C、在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小。
D、若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化。
答：选 D。在直线运动中，质点的加速度和速度的方向可相同，也可反向，同向时加速运动，
反向时作减速运动；平均速率是路程对所用时间的比值，只要质点运动总不为零，平均速度
是位移对时间的比，当起质点由起点再运动到起点时，其位移为零，平均速度也为零；加速
度减小只意味着速度的增量减小，而不是速度减小；质点加速度的大小和方向不变，其速度
Om x
mgr
R
解：由牛顿第二定律，摆锤在图中坐标系中沿 x、y 方向的分量方程为
FT
sin θ
= m ϖ2 R
= m ϖ2 l sinθ
， FT
cosθ
− mg
=0
tanθ = ϖ2 ， ϖ= gl tanθ sinθ = sinθ gl ， T = 2πR = 2πl sinθ = 2π l cosθ
FBN
r
FAN
y
r
A
Fr
r
B
Fs
A
F
B
Frs′
r PA
FrA′N
r
O
x
ar
PB
A 物体：
F − Fs = ma ， FAN − PA = 0
B 物体：
Fs′ = m0a ， FBN − FA′N − PB = 0
摩擦力：
Fs = μs FAN
牛顿第三定律： Fs = Fs′ ， FAN = FA′N
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
联立各式解得，
Fmax
=
μs ⎜⎜⎝⎛1+
m m0
⎟⎟⎠⎞mg
，选
B。
8、一质量为
m
的石块被大风刮得从崖顶落下，若大风对石块始终作用一个稳定水平力
r F
，
则石块下落过程中的加速度大小应为
A、 g 2 + ⎜⎛ F ⎟⎞2 ⎝m⎠
B、 F m
C、 g
D、0
答：选
A。由牛顿第二定律，水平力产生的水平加速度为 ax
A： mg + kx − FT = 0
B： mg − kx = 0
解得
kx = mg
线烧断的瞬间，弹簧长度未变，两物体的牛顿第二定律方程为
A： mg + kx = maA
B： mg − kx = maB
第 1 章 质点运动学和牛顿运动定律
解得
aA = 2g
aB = 0
6、A、B 两物体质量均为 m，用质量不计的定滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则 A 获得的
，在
1s
末总加速度大小为
a = aτ2 + an2 = 3 2m/s2 。
解： an
=
ϖ2 R
=
aτ
= 3 ， ϖ= 3m/s ， ϖ= ϖ0
+ aτ t
= aτ t
，t
=
ϖ aτ
= 1s
s
=
s0
+
ϖ0t
+
1 2
aτ t 2
=
1 2
aτ t 2
= 1.5m
，
Δθ
=
s R
=
1.5 3
=
0.5rad
a = aτ2 + an2 = 3 2m/s2
4、一质点从静止出发沿半径为 3m 的圆周运动，切向加速度大小为 3m/s2 并保持不变，则经
过 t = ϖ = 1s 后它的总加速度恰好与半径成 45° 角。在此时间内质点经过的路程为 aτ
s
=
s0
+
ϖ0t
+
1 2
aτ t 2
=
1 2
aτ t 2
= 1.5m
，角位移为
Δθ
=
s R
=
1.5 3
=
0.5rad
mg − 2FT = −maA ， mg − FT = maB
式中各量正负号的确定是依据它们与取定的坐标轴的同向、反向而定的。此外还有两者的约 束关系
2aA = aB
联立各式，解得
aA
=
1 5
g
，
aB
=
2 5
g
。
7、一个圆锥摆摆线长度为 l，摆线与竖直方向的夹角θ 。则摆锤转动的周期为 。
y l rθ FT
A、 2πR ， 2πR TT
B、0， 2πR T
C、0，0
D、 2πR ，0 T
答：选 B。2T 时间间隔中，质点绕圆周移动 2 周，位移为零，平均速度值为零；匀速率圆
周运动的速率是常量，数值就是 2πR 。 T
4、质点作圆周运动时，下列表述中正确的是 A、速度方向一定指向切向，加速度方向一定指向圆心。 B、法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零。 C、必有加速度，但法向加速度可以为零。 D、法向加速度一定不为零。 答：选 D。一般情况的圆周运动为变速率圆周运动，有法向、切向两个加速度分量。其中法 向加速度改变运动速度的方向，切向加速度改变运动的速率。没有切向加速度时为匀速率圆