二次根式的加减
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
人教版二次根式的加减课件
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
（4）（24+ 0.5）-（ 1- 6） 8
3
6+
2 4
应用拓展
例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，
求（ 2 x 3
9x +y2
x y3 ）-（x2
1 x -5x
y x ）的值．
分析
本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方 式，
得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x= 1 ，y=3．
3 a 5 a
8 a
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例题讲解
例2 计算：
（1）2
12 6
1+3 3
48 （2）（ 1220 ）43;3 3
48
.
2236
3+34 3
3
43-23+123
14 3
例题讲解
例2 计算：
（1）2
12 6
大家来 分享!
课后作业 教材习题16.3第2、3题.
再见！
2
其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最 简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
巩固提高
练习2
如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是
12.56和25.12. 求圆环的宽度d（π 取3.14，结果
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
二次根式的加减说课稿
二次根式的加减说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次根式的加减
2
（3）10 2 + (3 8 − 7 2) =9_______；
4 3−6 2
（4）5 12 − 3 8 + 2 27 = __________.
随堂训练
8.若最简根式
2+1
3 − 2 与 3 可以合并，求 的值.
2 + 1 = 2,
解：积为（2+3） 2=5 2（2 ）.
2 2+3 2= （2+3） 2
也可由分配律得出：
2 2+3 2= （2+3） 2= 5 2.
新课导入
议一议
问题2：如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正
方形的边长比小正方形的边长大多少？
此问题需要计算 18 − 8，但由于 18， 8不是最简二次根式，先把它们
上面提到的3 2与2 2， 18与 8都是同类二次根式.
同类二次根式可以像同类项那样进行合并.
知识讲解
思考： 观察新课导入两个问题的计算过程，你能总结出二次根式
加减计算的过程吗？
二次根式的加减
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根
式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.
1
1
＝ 48 − 4
−3
+ 4 0.5
8
3
＝2 11 − 3 11 − 11 2
2
3
2
＝4 3 − 4 ×
−3×
+4×
4
3
2
＝ − 11 − 11 2.
＝4 3 − 2 − 3 + 2 2
＝3 3 + 2.
随堂训练
二次根式的加减与乘除
二次根式的加减与乘除二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将讨论二次根式的加减与乘除运算，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、二次根式的加法与减法在处理二次根式的加法与减法时，我们需要注意两个基本原则。
首先，二次根式只能与同类相加或相减，即根号下的数必须相同。
其次，根号内的数可以合并，并按照一定的规律进行计算。
举个例子，我们来计算下面两个二次根式的和：√5 + √20首先，我们可以将根号下的数进行合并。
√5 与√20 的根号下的数都不能再进行简化，所以我们只需计算它们前面的系数部分。
即：√5 + √20 = √5 + 2√5考虑到根号下的数相同，我们可以将系数相加，得到：√5 + √20 = 1√5 + 2√5 = 3√5同样的原理，我们可以计算二次根式的减法。
例如：√18 - √8合并根号下的数，我们得到：√18 - √8 = 3√2 - 2√2再将系数相减，得到：√18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2二、二次根式的乘法二次根式的乘法同样有一定的规律可循。
当我们需要计算两个二次根式相乘时，我们可以先合并根号下的数，然后在进行系数的相乘。
举个例子，我们来计算下面两个二次根式的乘积：√3 × √12首先，我们将根号下的数进行合并：√3 × √12 = √(3 × 12) = √36接下来，我们计算根号下的数，得到√36 = 6。
因此，结果为：√3 × √12 = 6同样的方法，我们来计算另一个例子：2√7 × 3√5合并根号下的数，得到：2√7 × 3√5 = 6√(7 × 5)再计算根号下的数，得到√(7 × 5) = √35最终结果为：2√7 × 3√5 = 6√35三、二次根式的除法二次根式的除法相对来说稍微复杂一些。
在进行除法运算时，需要注意不能将根号内的数进行化简，需要保持根号下的数不变。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种形式，它包括了平方根和其他次方根。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行各种运算。
本文将介绍二次根式的基本运算方法和相关概念。
一、二次根式的定义二次根式可以表示为√a的形式，其中a为非负实数。
根号下的数称为被开方数，它代表了一个数的平方根。
二次根式也可以写为指数形式，如a的1/2次方或a的1/3次方。
二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减法对于同类项的二次根式，可以对它们的被开方数进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√(2 + 3)，即√5。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算需要注意求根的法则。
例如，√2 × √3可以化简为√(2 × 3)，即√6。
3. 二次根式的除法同理，对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数的根号下的数相除，并合并同类项。
例如，√6 ÷ √2 可以化简为√(6 ÷ 2)，即√3。
三、二次根式的化简有时候，我们需要将二次根式进行进一步的化简。
以下是几种常见的化简方式：1. 化简平方根如果一个二次根式的被开方数可以被完全平方数整除，那么我们可以化简为一个整数。
例如，√4可以化简为2。
2. 合并同类项对于具有相同根号下数的二次根式，我们可以合并它们，得到一个更简洁的表达式。
例如，√2 + √2可以合并为2√2。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们通常需要对分母进行有理化。
有理化的目的是将分母化为有理数，方便进行运算。
例如，将1/√3有理化分母，可以得到√3/3。
四、二次根式的应用二次根式在代数中有着广泛的应用。
它常出现在几何学、物理学等领域的计算中。
在几何学中，二次根式可以表示线段长度、面积以及体积等。
例如，计算某个多边形的面积时，可能需要计算边长的二次根式。
在物理学中，二次根式可以表示物理量的大小。
例如，物体的质量、速度等都可以用二次根式来表示。
总结：二次根式是代数中常见的一种形式，它包括平方根和其他次方根。
二次根式加减ppt课件
答案及解析
计算
化简
$sqrt{27} + sqrt{3} = 3sqrt{3} + sqrt{3} = 4sqrt{3}$
$2sqrt{3} - sqrt{2} = sqrt{3} - sqrt{2}$
比较大小
$sqrt{25} = 5$，因为 $5 > 3$，所以 $sqrt{25} > 3$
判断正误
01
02
03
识别同类二次根式
首先需要识别出表达式中 的同类二次根式，即具有 相同被开方数的二次根式 。
合并同类二次根式
将同类二次根式进行合并 ，即将它们的系数相加减 ，根号下的被开方数保持 不变。
举例说明
将表达式中的 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{2}$ 合并为 $2sqrt{2}$。
$sqrt{8} + sqrt{18} = 2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$，不等于 $2sqrt{2}$，所以判 断为错。
THANKS
感谢观看
sqrt{2}}{sqrt{2} times sqrt{2}} = frac{sqrt{6}}{2}$。
二次根式的化简技巧
利用平方差公式
对于形如 $sqrt{a^2 - b^2}$ 的表达式，可以利 用平方差公式进行化简。
利用完全平方公式
对于形如 $sqrt{a + b}$ 或 $sqrt{a - b}$ 的表达 式，可以利用完全平方公式进行化简。
二次根式的加减法规则
总结词
掌握二次根式的加减法规则是进行运 算的关键。
详细描述
二次根式的加减法需先将各项化为最 简二次根式，然后合并同类二次根式 。
二次根式的加减说课稿5篇
二次根式的加减说课稿5篇二次根式的加减说课稿5篇教学教案是教师教学的重要工具，它能够帮助教师有条不紊地组织和实施教学活动，提高教学效果。
下面是小编为大家整理的二次根式的加减说课稿，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
二次根式的加减说课稿精选篇1一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．2．能判断二次根式中的同类二次根式．3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．（二）能力训练点通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．（三）德育渗透点从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．（四）美育渗透点通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．二、学法引导1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点二次根式的加减法运算．2．教学难点二次根式的化简．3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．四、课时安排2课时五、教具学具准备投影片六、师生互动活动设计1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．七、教学步骤（一）明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．二次根式的加减说课稿精选篇2教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
(完整版)二次根式的加减法
二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。
二次根式的运算规则
二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。
二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。
首先，我们来讨论二次根式的加减运算。
对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。
但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。
例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。
接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。
对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。
例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。
例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。
除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。
对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。
有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。
例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。
此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。
对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。
例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。
在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。
例如，√4 = 2，√9 = 3等。
最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。
对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。
例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。
21.3 二次根式的加减
考点名称：同类二次根式∙化成最简二次根式后的被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。
一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
∙同类二次根式与同类项的异同：同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处，因此我们把二者的区别和联系列出，学习时注意辨析、对比来应用。
相同点1. 两者都是两个代数式间的一种关系。
同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2. 两者都能合并，而且合并法则相同。
我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。
不同点1. 判断准则不同。
判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”，与系数无关。
2. 合并形式不同。
考点名称：二次根式的定义∙二次根式:我们把形如叫做二次根式。
二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。
∙二次根式性质：（1）a≥0 ；≥0 （双重非负性)；（2）；（3）0(a=0);（4）；（5）。
∙二次根式判定：①二次根式必须有二次根号，如，等；②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;④二次根式是一个非负数;⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。
二次根式的加减法
、
2 2 3 2
（化成最简二次根式） （分配律）
(2 3) 2
5 2
由 2 1.5 可知 5 2 7.5 ，即两个正方形的边长的和小 于木板的长，因此可以用这块按要求截出两个正方形木板。
分析上面 ( 8 18) 的过程，可以看到，把 18 和 8 化成最
简二次根式3 2 和 2 2 后，由于被开方数相同（都是2），可 以利用分配律将 3 2 和2 2 进行合并。 总结此题我们得出如下结论：
补充：同类二次根式的概念
定义：如果几个二次根式，化成最简二次根式以后，它们 的被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。 注意：判断几个根式是否为同类二次根式，必须化为
最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。
动动手，练一练：
下列各组里的根式是不是同类二次根式？
(1) 63 , 28 （是 ） (2) 3 2 , 2 3 （否） (3) 2 , 3 2 （否） (4) 4 x3 , 2 2 x （否）
二次根式的加减法
请思考下面的问题：
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采 用如下图的方式，在这块木板上截出两个面积 分别是8 dm 2和18 dm 2 的正方形木板？
分析：因为大、小正方形木板的边长分别为 18 dm和 8 dm， 显然木板够宽。下面考虑木板是否够长。
由于两个正方形的边长的和为( 8 18) dm。这实际上是 求 18 、 8 这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：
9 5
1
2 3 22 7
2
2
35 8
75 18
2 3 2 2 7
1 3 2 2 7
二次根式的加减
1.在确定同类二次根式时一定要先化 成最简，再找两个相同。 2.整式中的运算公式，和运算顺序在 根式中同样适用。
课后作业
1.整理课堂笔记 2.完成智慧学习配套练习册跟踪题目
15计算： (1) 75 2 8 200 (2)2 20 3 45 80 (3)2 48 ( 27 243) (4)(5 75 4 12) (5 108 3 27 )
2.细心算一算
(1)( 8 2 0.25 ) ( 1 1 50 2 72 )
8
3
(2)( 80 1 4 ) ( 3 1 4 45 )
5
55
(3)2a 3ab 2 ( b 27 a 3 2ab 3 a )
6
4
3.计算:
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2
一化 二找
三合并
快速回顾
(1).平方差公式：（a b）(a-b)=a2 b2
(2)完全平方公式 : (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
注意
在确定是否是同类二次根式时一定 要先化成最简，再找两个相同（被 开方数和根指数）。
归纳
整式中的运算公式（平方差公式，完全平方公式，几种 幂运算），运算律（交换律结合律）和运算顺序（先算 乘除再算加减，有括号的要先算括号里面的，同一级运 算按照从左往右的顺序依次计算）同样适用。
(2). 8 3 6
(3).(4 2 3 6) 2 2
整式运算的运算律在 二次根式的运算中仍然适应.第16Biblioteka 二次根式的加减八年级数学
1.掌握二次根式的加减法法则 2.了解同类二次根式的概念 3. 会利用二次根式的加减法法则进行
同类二次根式的合并.（难点）
二次根式的加减法思想总结
二次根式的加减法思想总结二次根式的加减法是二次根式的运算中的一种常见方式，通过对二次根式的加减运算，可以将多个二次根式合并为一个二次根式，从而简化运算过程和结果。
在二次根式的加减法中，我们需要注意分子、分母的处理、相似根式的合并、分式运算等方面的问题。
下面我将对二次根式的加减法思想进行详细总结。
1. 二次根式的加法思想在进行二次根式的加法运算时，我们首先需要将相似的根式合并在一起。
相似根式是指拥有相同根指数和相同根式的二次根式。
对于相似根式的加法运算，我们只需要将它们的系数相加即可。
例如：√3 + 2√3 = 3√3如果根指数不同，我们需要将它们化为相同的根指数后再进行相加。
例如：√2 + 3√8 = √2 + 3 × 2√2 = √2 + 6√2 = 7√2当分子、分母都是二次根式时，我们需要先将它们的分子、分母化简为相同根指数。
例如：(2√3 + 3√2) / √6 = (2√3 × √2 + 3√2 × √3) / √6 = (2√6 + 3√6) /√6 = 5√6 / √6 = 52. 二次根式的减法思想在进行二次根式的减法运算时，我们首先需要将相似的根式合并在一起。
对于相似根式的减法运算，我们只需要将它们的系数相减即可。
例如：3√5 - 2√5 = √5如果根指数不同，我们需要将它们化为相同的根指数后再进行相减。
例如：√6 - 3√2 = √6 - 3 × √2 = √6 - 3√2 = √6 - 3√2当分子、分母都是二次根式时，我们需要先将它们的分子、分母化简为相同根指数。
例如：(2√3 - 3√2) / √6 = (2√3 × √2 - 3√2 × √3) / √6 = (2√6 - 3√6) / √6= -√6 / √6 = -13. 对于较复杂的二次根式加减法运算，我们可以先整理根式，然后再进行合并运算。
例如：2√3 + √5 - √3 + 3√3 = (2√3 - √3 + 3√3) + √5 = 4√3 + √5当然，在运算中我们还需要注意一些特殊情况。
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第三讲：二次根式的加减
二、二次根式的加减
1、同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式就叫做同类二次根式。
例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根式．
2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算：
（1）483
2315311312--+
（2）)5.0420010
1(08.027252+-+
（3）a a a a a a a 1082
363273223-+-
(4)
2
+
+
-
+
a
b
b
a
b
a
a
b
三、二次根式的混合运算：
注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立；
2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算：
（1）
2
2)3
2
2
3(
)3
2
2
3(-
-
+
（2）
)7
5
3
)(
7
5
3
(-
+
+
-
（3
）
2
1
2
(π)
--++-+
（4）
⋅
÷
-
4
8
)
8
3
2
(3
x
x
x
x
（5）
101
10010
3
10
3）
（
）
（-
+．
《二次根式》全章复习与巩固
一、化简
1、无条件的（所有字母取正数）
①
2、有附加条件的
a＜
①0)
②
5(03)x x --＜＜
3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围）
①
2+
②
-
4、
需要分类讨论的 ①
-
二、因式分解（实数范围内）
①
4 a++
②
2
x x
+--
③
2
215 x+-
三、解方程（组）
①
3x -=
②-= +=
四、填空
1
、①
20
-÷+=
②
1
(2-⎤
--÷=
⎦
2
、比大小：-
-
3、∆ABC的三边长为a、b、c，
则
-=
4
、①
2x
=-
成立的条件是
②=成立的条件是
五、计算技巧：
1
、
=
2
、-=
3
、+=
4、化简
b ab b a ab a -++
6
、化简ab b a b --÷-
6、已知a+b=-3,ab=1,求a b b a 的值.
7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边
长，你能将其结果写成没有分母或分
母不带根号的形式吗？
D
C
B A。