函数含参数单调性问题

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函数含参数单调性问题

知识点:已知函数在区间上单调或不单调,求解参变量的范围

思路提示:

(1) 已知区间函数单调递增或单调递减,转化为导函数恒大于等于或小于等于零,先观

察导函数图像特点,如一次函数最值落在端点,开口向上抛物线最大值落在端点,开口向下抛物线最小值落在端点。

(2) 已知区间函数不单调,转化为导函数存在零点,且零点两侧异号。通常利用分离变

量法求解参数变量范围

类型一:已知单调区间求参数

例1:设.13)1(2

3)(23+++-=ax x a x x f (I )若函数)(x f 在区间(1,4)内单调递减,求a 的取值范围;

(II )若函数a x x f =在)(处取得极小值是1,求a 的值,并说明在区间(1,4)内函数)(x f 的单调性.

变式:1.若函数y =3

1x 3-21ax 2+(a -1)x +1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a 的取值范围.

2.设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R.

(1)若)0,()(-∞在x f 上为增函数,求a 的取值范围.

3.已知函数32()3

m f x x x x =+-,()m R ∈,且函数()f x 在(2,)+∞上存在单调递增区间,求m 的取值范围;

4.知函数.,33)(2

3R m x x mx x f ∈-+=

(1)若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的

切线方程;

(2)设0

5:(安徽16)设21)(ax

e x

f x

+=,其中a 为正实数. (1)当3

4=a 时,求()f x 的极值点; (2)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围.

6:已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-,22()1g x k x kx =++,()k R ∈设函数

()()()p x f x g x =+,若()p x 在区间(0,3)上不单调,求k 的取值范围;

类型二:讨论参数,求出单调性求最值

例:(江西19)设函数()f x x x ax 3211=-++232

. (1)若()f x 在(,2+∞3)上存在单调递增区间,求a 的取值范围;

(2)当0<a <2时,()f x 在[1,4]上的最小值为16-

3,求()f x 在该区间上的最大值.

变式:设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。

(1)讨论()f x 的单调性。

(2)若()f x 在(]01,上的最大值为

12

,求a 的值。

变式2.323()12

f x ax x =-+,其中a 0>。 (Ⅰ)若1a =,求曲线()y f x =在点(2,f (2))处的切线方程; (Ⅱ)若当x ∈11,22⎡⎤-

⎢⎥⎣

⎦时,f (x)0>,求a 的取值范围。

变式3:设函数f (x)ln x ax =+,(a R ∈)。

(1)当a 1=时,判断()f x 的单调性。(2)讨论()f x 在(]01,上的最大值。

类型三:利用函数单调性证明问题

变式 :(广州二模20)已知函数22f

(x)ln x a x ax =-+(a R ∈) (1)当a 1=时,证明函数f (x)只有一个零点;

(2)若f (x)在(1,)+∞上式减函数,求a 的取值范围。

变式(广州调研21)

已知函数()a ax x x x f -+-=233

1 (a ∈R ). (1) 当3-=a 时,求函数()x f 的极值;

(2)若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点,求a 的取值范围.

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