第二章鸽巢原理

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第二章鸽巢原理习题课

综合（i）和（ii），即知题设结论成立.
2.4 利用分割区间来构造“鸽巢“
例一个孩子每天至少看一个小时电视，共看7周，每周看电视从不超过11小时，证明：在此期间存在连续若干天这个孩子恰好看电视 20个小时。（设这个孩子每看电视时间为整数个小时）证明设这个孩子7周内每天看电视的时间分别为a1,a2,…,a49小时，现在构造出数列{an}的前n项和的数列 s1=a1， s2=a1+a2，……， s49=a1+a2+…+a49 ，则有：1≤ s1<s2<s3<…<s49≤11×7=77,而序列s1+20，s2+20，…, s49+20也是一个严格的递增序列，且有 21 ≤s1+20< s2+20<…< s49+20≤77+20=97 ，考虑数列
2.1 利用整数分组构造“鸽巢”
例1 试证明从{1，2，„，kn}中选n+1个数，总存在2个数，它们之间最多相差k-1。证明：把{1，2，…，kn}分为n部分{1，2，3，…,k}, {k+1,k+2,…,2k},…,{(n-1)k+1,(n-1)k+2,…,kn},即做n个鸽巢，从中任选n+1个数，由鸽巢原理，必有2个数选在同一个鸽巢中，所以它们的差最大为k-1。
推论3：设m1,m2,…mn均为正整数,且满
少有一个数不小于r。
2 鸽巢的构造及其应用
虽然鸽巢原理十分简单明了，但不是所有的问题都一眼就可以看出什么是鸽子，什么是鸽巢。在应用它的时候却涉及很多技巧，这是利用鸽巢原理解题的魅力所在。常用的构造鸽巢的方法有：利用整数分组、余数分类，划分集合，分割区间、分割图形，利用染色等。下面给出几类常用的构造鸽巢的方法。

组合数学第二章鸽巢原理

令m,n互素, 0 a m-1, 0 b n-1, 则方程组 x a mod m x b mod n
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.

鸽巢原理

分析：把红色，黑色，黄色，蓝色视为4个鸽巢,摸出的球数视为分放的物体，由鸽巢原理（二）可知， k=3-1=2,n=4,m=1 (kn+m)=2×4+1=9(个) 答：至少要摸出9个
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色，至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道，分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理（一）可知，

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密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题，逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本原理之一，对于理解更高级的数学概念和证明具有重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领域中，鸽巢原理为解决复杂问题提供了有效的思路和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以培养逻辑思维和抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念

第二章鸽笼原理

§是正整数，i=1,2,…,n, 且 q≥q1+q2 + … +qn-n+1。如把q个物体放n个盒子中，则必存在i 使得第 i 个盒子中至少有qi个物体。推论1 推论把n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子至少有r物体。
例１ 367人中至少有２人的生日相同。相当于把367个球放入365个盒子中。有鸽笼原理可知例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。例３把5个顶点入到边长的为2的正方形中，则至 2 少存在两个顶点它们间的距离小于或等于。把2×2的正方形分割成四个1×1的小正方形，把5 个顶点放入这四个小正方形中，则至少有两个顶点在同一个小正方形中。它们之间的距离必小于或等于小正方形的对角线的长度
第二章鸽巢原理
§2.1 鸽笼原理的简单形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理，也叫抽屉原理, 即有n个鸽子，飞进个鸽笼时，个鸽子，飞进m(n>m)个鸽笼时，至少有一个个鸽笼时笼内有两只或两只以上的鸽子。笼内有两只或两只以上的鸽子。定理 2.1.1 如果把n+1件物体放入n个盒子中去，则至少有一个盒子放有两个或更多的物体。
例5 一棋手为参加比赛要进行77天的训练，如他每天至少下一盘棋，且每周至多下12盘棋，则必存在相连续的若干天，在这段时间中他恰好下21盘棋。设ai表示他前i天下棋的总数，则 1≤a1 <a2 <… <a77 ≤11×12 把他们分别加上21得： 22≤a1+21 <a2 +21<… <a77+21 ≤11×12+21=153 a1，a2，…,a77,a1+21,…,a77+21,共有154个数且这些数介于1—153 之间,有鸽笼原理可知，至少存在两个相等的数。有以上的分析可知，这两个数分别位于a1—a77(ai)和a1+21— a77+21(aj)之间。则aj=ai+21。即aj-ai=21.则有i+1—j天的时间共下了 21盘棋

3.2 鸽巢原理

广义鸽如果N个物体放入k个盒子，那么至少有一个盒子巢原理包含了至少 ��/�� 个物体。
例.在100个人中至少有 ��/�� =9个人生在同一个月。
3.2.2
广义鸽巢原理
例.如果有5个可能的成绩A、B、C、D、F，那么在一个班里至少要多少个学生才能保证至少6个学生得到
有150个正整数都小于149，根据鸽巢原理至少有2个整数相等。
由于所有的�� 不相等，所有的�� +24 也不相等，所以对某个i>j, 有�� =�� +24,∴在第j+1到第i小时之间恰有24场比赛。
服务器
�� … ��
10条线
�� 每台连接到所有10个服务器
�� 每台连接到所有10个服务器如果�� —�� 中有1台不在组里，那么必定有 �� — �� 中的1台在组里，所以�� — �� 的每台都连接到10台服务器，才可满足题意。证明至少60条连线：假设连线少于60，则某服务器至多连接

计算机组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理 PPT实用课件

定理2.1.1 若把n+1个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子中有2个或更多的物体
2021年5月27日
第二章鸽巢原理和Ramsey定理
证明如果每个盒子中至多有一个物体，那么n个盒子中至多有 n个物体，而我们共有n+1个物体，矛盾。故定理成立。
2021年5月27日
第二章鸽巢原理和Ramsey定理
• 本例实际上是知道n个盒子，而找 n+1个物体的问题。
2021年5月27日
第二章鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3对任意给定的52个整数，证明：其中必存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
2021年5月27日
第二章鸽巢原理和Ramsey定理
分析：
1、已知52个整数，
根据定理2.1.1，这52个整数，必有两个整数除以100的余数落入上面51组中的同一组中，
若是{0}或{50}则说明它们的和及差都能被100 整除；
若是剩下的49组的话，因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被100整除，余数不同则它们的和能被100整除。
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备一场锦标赛，她决定每天至少下一盘棋，为了不能太累一周中下棋的次数不能多于12盘。证明她一定在此期间的连续若干天中恰好下棋21盘。
这说明从第i+1天到第j天这连续j-i天中， 4、解题途径：构造下棋盘数的部分
她刚好下了21盘棋。物品总数为(q1+q2+…+qn – n+1)相矛盾。
第二章鸽巢原理和R章鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格，每个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选择，证明：无论怎样涂色，其中必有一个由单元格构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

第二章、鸽巢原理和Ramsey定理

组合数学讲义(内部资料，严禁商用) 第二章鸽巢原理和Ramsey 定理 2008-2009学年第二学期第二章鸽巢原理和Ramsey 定理一、鸽巢原理鸽巢原理是组合数学中的一个重要而又基本的原理，它可以用来解决很多日常生活和科学技术上的趣题，并且常能得到一些令人惊异的结果。

这个原理有各种称呼，最常用的名称是鸽巢原理、Dirichlet 抽屉原理和鞋盒原理。

1、问题的引入1) 366个人中必然有至少两个人生日相同。

2) 抽屉里散放着10双手套，从中任意抽取11只，其中至少有两只是成双的。

3) 某次会议有n 位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。

4) 任给5个不同的整数，其中至少有3个数的和被3除尽。

这些例子的道理都很简单，以第一个例子为例，一年365天，366个人至少有一天是某两个人的生日。

最后一例子也有类似的道理，5个数中至少有3个同为奇数或同为偶数，无论哪种情况，它们的和都能被3除尽。

2、鸽巢原理的简单形式定理1、如果把1+n 只鸽子放入n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。

证明：反证法。

假设每个鸽巢里至多包含一只鸽子，则n 个鸽巢里鸽子的总数小于等于n ，这与已知矛盾。

注：此原理不能用来寻找究竟是那个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。

即此原理只能用来断定这种鸽巢的存在，并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找出现这种现象的场合，除非检查所有的可能情况。

此原理的应用：例1、已知每个人的头发根数都小于20万，对20万人以上的城市就可以断定，至少有两个人头发根数相等。

例2、在边长为1的正三角形中任意放5个点，证明至少有两个点之间的距离不大于21。

证明：构造鸽巢原理如图1,将5个点放在4个边长为21的小正三角形内，根据鸽巢原理，组合数学讲义(涉外学院数学本科用) 2008-2009学年第二学期制作人陈勇必有一个小三角形内至少有两个点，这两个点的距离就小于或等于21。

组合数学第二章鸽巢原理

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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
命题2.3.1:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。命题2.3.2:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色边着色，都至少存在两个同色三角形。
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
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例6：（中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， a,b是满足的整数。证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设都是正整数，如果把个物品放入n个盒子，那么或者第1个盒子中至少有q1个物品，或者第2个盒子中至少有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中，则至少有一个盒子中有r个物品。
第二章鸽巢原理
一、鸽巢原理的简单形式二、鸽巢原理的加强形式三、Ramsey问题与Ramsey数四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1:如果把n +1个物品放入n个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。例1. 13个人中必有两人的属相相同。例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过
注:
定理2.4.5:
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第二章鸽巢原理

第二章鸽巢原理我们在本章考虑一个重要而又初等的组合学原理，它能够用来解决各种有趣的问题，常常得出一些令人惊奇的结论。

这个原理有许多的名字，但最普通的名字叫鸽巢原理，也叫做鞋盒原理。

有关于鸽巢的原理阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不足够多的鸽子巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。

更精确的叙述在下面给出。

2.1 鸽巢原理的简单形式鸽巢原理的简单的形式可以描述如下：定理2.1.1 如果n+1个物体被放进n 个盒子，那么至少有一个盒子包合两个或更多的物体。

证明：如果这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n 。

既然我们有n ＋1个物体，于是某个盒子就必然包含至少两个物体。

注意，无论是鸽巢原理，还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助。

它们只是简单地断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子里面放有多于一个的物体：鸽巢原理只是保证这样的盒子存在。

因此，无论何时鸽巢原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有可能性之外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示。

我们可以把将物体放入盒子改为用n 种颜色中的一种颜色对每一个物体涂色：此时，鸽巢原理断言，如果n ＋1个物体用n 种颜色涂色，那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。

下面是两个简单的应用。

应用1 在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

应用2 设有n 对已婚夫妇。

为保证能够有一对夫妇被选出，至少要从这2n 个人中选出多少人?为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n 个盒子，其中一个盒子对应一对夫妇。

如果我们选择n ＋1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去，那么就有同一个盒子含有两个人；也就是说，我们已经选择了一对已婚夫妇。

选择n 个人使他们当中一对夫妻也不没有的两种方法是选择所有的丈夫或选择所有的妻子。

因此，n ＋1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。

鸽巢原理

摘要鸽巢原理是组合数学中最基本的计数原理之一，也是证明存在性问题的一种重要方法．本文首先介绍了鸽巢原理的不同表述形式及其推论，然后从整除关系的证明、几何图形的分割以及解决实际问题等几个角度介绍了鸽巢原理的应用，并对例题中鸽巢的构造技巧做了分析．关键词：鸽巢原理；简单形式；一般形式；加强形式AbstractThe pigeonhole principle is one of the basic counting principle in combinatorics, but also it is an important method to prove the problem of the existence. This paper first introduces the different expressions of the pigeonhole principle and its deduction, then the applications of the pigeonhole principle are introduced from several angles of proof of aliquot relationship, division of the geometrical figure and solving practical problems, the structured skills of the pigeonhole principle in examples are analysed.Key words: pigeonhole principle; simple form; general form; strengthend form目录摘要 (I)Abstract (II)第1章鸽巢原理 (1)第1节鸽巢原理的基本形式 (1)第2节鸽巢原理的相关推论 (4)第2章鸽巢原理的应用 (6)第1节鸽巢原理应用于数的整除关系 (6)第2节鸽巢原理应用于几何图形 (7)第3节鸽巢原理应用于实际生活 (9)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第1章鸽巢原理鸽巢原理是组合数学中的一个基本原理．应用鸽巢原理可以解决涉及存在性的许多组合问题．本章将介绍鸽巢原理的表现形式及其相关推论，并以例题的形式作简单的说明．第1节鸽巢原理的基本形式鸽巢原理又称鸽笼原理、抽屉原理．从其产生到现在，已产生有多种不同的表达形式．1.1鸽巢原理的简单形式定理1 如果把1+n 个物体放入到n 个盒子中去，则至少有一个盒子放有两个或更多的物体．证明（反证法）假设n 个盒子中的每个盒子里至多放入了一个物体，则放入n 个盒子中的物体总数至多为n 个．这与题设“共有1+n 个物体”相矛盾，所以知道假设是错误的，从而证明了至少有一个盒子中放有两个或更多的物体．定理1仅能被用于证明一个排列或某种现象的存在性，不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示．例1 在一次舞会上，来了n 位舞伴，彼此认识的握手问候．证明：在无论什么情况下，这n 位舞伴中至少有两个人握手的次数一样多．解由已知条件可知，这n 位舞伴中，每个人握手的次数最少有0次，最多有1-n 次．比如，如果有一位舞伴握手的次数是0次，那么其他舞伴握手次数最多不能多于2-n 次，即握手次数为0，1，2，，2-n ；如果有一位舞伴握手的次数是1-n 次，那么其他舞伴握手次数最少不能少于1次，即握手的次数为1，2，，1-n ．总之，这n 位舞伴握手次数有1-n 种情况．把这1-n 种情况看成1-n 个抽屉，并把舞会上的n 位舞伴按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，则根据抽屉原理可知，至少有两个人属于同一抽屉，即可得这两个人握手的次数一样多．例2 设1a ，2a ，3a ，4a 为任意四个整数，1b ，2b ，3b ，4b 为1a ，2a ，3a ，4a 的任一排列，则11a b -，22a b -，33a b -，44a b -中必有两个数之差是3的倍数．证明既然1b ，2b ，3b ，4b 是1a ，2a ，3a ，4a 的一个排列，显然11a b -，22a b -，33a b -，44a b -为四个整数．这四个整数被3除的余数只能是0，1，2中的一个，于是按余数的情形构造3个抽屉，把这四个数11a b -，22a b -，33a b -，44a b -视为四个物体，放入这3个抽屉中去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里面放了两个或两个以上的物体，不妨设这两个数为i i a b -与j j a b -，显然有)3(mod j j i i a b a b -≡-，根据同余与整除的关系，有)]()[(|3j j i i a b a b ---，从而11a b -，22a b -，33a b -，44a b -中必有两个数之差是3的倍数．注：以2为标准，可以把全体整数分成奇数与偶数两类，这实际上是把整数用2除，余数为1的那些数构成了模2的一个剩余类1K ，即为奇数集；把整数用2除，余数为0的那些数构成了模2的一个剩余类0K ，即为偶数集，这两个集合的交集为空集，而其并集为整数集．这种做法可以推广，即可以把整数集按照被模m (1)m >除的余数分成m 个两两互不相交的集合0K ，1K ，，1-m K ，例2就是把整数集按照用3除而分为0K 、1K 和2K 三个抽屉，然后把11a b -，22a b -，33a b -，44a b -这四个物体放到三个抽屉里面去，由于物体数目多于抽屉个数，所以就有一个抽屉至少被放入了两个物体．1.2鸽巢原理的一般形式在定理1中，如果将1+n 改写成12221+-+++=+n n （式中含n 个2），于是定理1就可以叙述为：如果把12221+-+++=+n n 个物体放入n 个盒子中去，则至少存在一个i ),,2,1(n i =，使得第i 个盒子中至少放有两个物体．设想，如果将1222+-+++n 中的第i 个2改为正整数i q ),,2,1(n i =，就得到鸽巢原理的一般形式．定理2 设i q 是正整数),,2,1(n i =，121+-+++≥n q q q q n ，如果把q 个物体放入n 个盒子中去，则必存在一个i ，使得第i 个盒子中至少有i q 个物体．证明（反证法）假设结论不成立，即对每个i ，第i 个盒子中至多放有1-i q 个物体，从而这n 个盒子放入的物体的总数最多为q n q q ni i n i i <-=-∑∑==11)1(，这与“把q 个物体放入n 个盒子中”矛盾，所以假设是错的，即：必存在一个i ，使得第i 个盒子中至少有i q 个物体．例3 一个箱子里装有三种不同颜色（红球、蓝球和黑球）的球，为了保证箱子内至少装有8个红球，或者至少装有6个蓝球，或者至少装有9个黑球，则放入箱子中的球数最少是多少？解由鸽笼原理的一般形式可知，无论怎样装入，2113968=+-++个球将保证箱子内的球满足所要求的性质，但7个红球，5个蓝球和8个黑球，即总数为20个球不能满足所要求的性质，因此，放入箱子中的球数最少是21．例4 设A 是6个正整数的集合，可以证明存在非空的子集A B ⊆，使得B 的元素之和能被6整除，设},,,{621a a a A =．证明取A 的6个子集为}{11a A =，},{212a a A =，，6126{,,,}A a a a = ．令)6(mod 11r a ≡，)6(mod 221r a a ≡+，，)6(mod 6621r a a a ≡+++ ，60<≤i r ，6,,2,1 =i ，若存在0=h r ，则)6(mod 021≡+++h a a a ，否则，1r ，2r ，，6r 为小于6的正整数，根据鸽巢原理，将余数1，2，3，4，5看作5个鸽巢，六个余数看作6只鸽子，必存在i r 和j r 相等，不妨设j i <，1212(mod6)j i a a a a a a +++≡+++ ，故)6(mod 021≡+++++j i i a a a ，即)(|621j i i a a a +++++ ，从而说明了12{,,,}i i j a a a ++ 就是满足题目要求的集合B ．注：由以上对定理2的证明及例题可知，定理2在解决实际问题的证明中有着独特的作用．1.3鸽巢原理的加强形式定理3 设A 是有限集，1q ，2q ，，n q 都是正整数，如果1||21+-+++≥n q q q A n ，A A i ⊆),,2,1(n i =，且A A ni i == 1，则必有正整数k )1(n k ≤≤，使得k k q A ≥||．证明（反证法）假设有正整数k )1(n k ≤≤，使得1||-≤i k q A ),,2,1(n i =，此时∑∑====-≤≤=ni i n i n i i n i i q A A A 1111)1(|||||| n q q q n -+++= 21，这与1||21+-+++≥n q q q A n 矛盾，所以假设不成立，因此，必有正整数k )1(n k ≤≤，使得k k q A ≥||．例5 随意地给正八边形的8个顶点编上号码1，2，，8，求证：必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于14．证明以1A ，2A ，，8A 表示正八边形的8个顶点，以i q )8,,2,1( =i 表示顶点i A 及与i A 相邻的两个顶点的号码之和，则18)114(1083)821(821+⨯->=⨯+++=+++ q q q ．由定理3，必有正整数k )81(≤≤k ，使得14≥k q ，这表示必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于14．第2节鸽巢原理的相关推论在上一节中我们介绍了鸽巢原理的基本形式及其简单证明，但是对于一些更加复杂的、有关存在性的组合问题，鸽巢原理的基本形式显得无能为力，为此，本节将对鸽巢原理进行更进一步的深入研究，以得到某些推论．在定理2中，若令r q q q n ==== 21，则可以得到下面的结论．推论 1 如果把1)1(+-r n 个物体放入n 个盒子中，则至少存在一个盒子放有不少于r 个物体．例1 分别将两个大小不一的圆盘分成100个相等的扇形，在大圆盘上任意选取50个扇形染成红色，将其余50个大扇形染成蓝色，并将小圆盘上的100个小扇形中的每一个任意地染成红色或蓝色，然后将小圆盘放在大圆盘上面，使得两个圆盘的中心重合．这样，转动小圆盘能使其每一扇形都能叠放于大圆盘的某一扇形内．证明：当适当转动小圆盘时，可使叠放的扇形对中，同色者至少有50对．证明小圆盘的每个扇形都叠放于大圆盘的一个扇形中，有100种可能的位置，所以将这100种可能位置看作100个不同的盒子．在这100种可能位置中，将同色的扇形对看作放入盒子中的物体，小圆盘上的每一扇形都有50次配成同色的扇形对．因此这样的扇形对一共有50100⨯个．而1)150(10050100+-⨯>⨯，由推论1知，至少有一种小圆盘与大圆盘的叠放方式，可使叠放的扇形中至少有50个同色的扇形对．例2 在某中学A 班有50名学生，其中年龄最小的是15岁，最大的是16岁．证明这个班中至少有三个学生是同年同月生的．证明 1)125(24950+-⨯=>，由于年龄最小的是15岁，最大的是16岁，故将15岁、16岁看作2个“盒子”，将50名学生放入这2个“盒子”中，由鸽巢原理推论1知：至少有一个“盒子”中放有25名学生，即至少有25名学生同岁，也是就是说这25名学生同年生．再将十二个月分为12个“盒子”，将这25名同年生的学生放入这12个“盒子”中，因为1)13(1225+-≥，故由推论1知，至少有一个“盒子”中放有3名学生，即在此25个同年出生的学生中至少有3个人是同月生的，故这个班中至少有三个人是同年同月生的．推论 2 对于任意n 个正整数1m ，2m ，，n m ，如果这n 个正整数满足不等式1)(121->+++r m m m nn ，则1m ，2m ，，n m 中至少有一个不小于r ．证明（反证法）假设对所有的1m ，2m ，，n m ，都有1m ，2m ，，n m 小于r ，即1-≤r m i ),,2,1(n i =，于是)1(21-=-≤+++r n n nr m m m n ，所以1)(121-≤+++r m m m nn ，这与1)(121->+++r m m m nn 矛盾，因此，假设不成立，原命题成立，所以1m ，2m ，，n m 中至少有一个不小于r 的结论成立．推论3 m 只鸽子，n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里有不少于1]1[+-nm 只鸽子．注：这里的符号“][”为取整符号，即][x 表示不超过x 的最大整数.至此，本章总结了鸽巢原理的表现形式及其部分推论．虽然原理的表述比较简单，但是应用原理证明问题的时候，构造鸽巢的方法是比较不容易得到的.第2章鸽巢原理的应用运用鸽巢原理的关键是“制造抽屉”及“元素”．通常，可采用把n 个“鸽子”进行合理分类的方法来制造抽屉．本章将主要研究鸽巢原理在代数学、几何学以及日常生活中的应用．第1节鸽巢原理应用于数的整除关系鸽巢原理与数的整除有着密切的关系，在解决有关数的整除问题时，往往将余数作为“抽屉”，将整数看作放入抽屉中的“物体”，最后再利用鸽巢原理解决整数的相关问题．例1 设1a ，2a ，，2012a 是2012个任意正整数的序列，则至少存在整数k 和l ，20121≤<≤l k ，使得和l k k a a a +++++ 21是2012的倍数．证明构造一个序列：11a s =，212a a s +=，3213a a a s ++=，，2012212012a a a s +++= ，由于每一个i a 均为正整数，所以，201221s s s <<< ．有两种可能：（1）存在某一个n s 是2012的倍数，则定理已得证．（2）假设在上面的序列中没有任何一个元素是2012的倍数，用模2012的剩余类0K ，1K ，，2011K 做成2012个鸽巢．由假设，1s ，2s ，，2012s 均不属于0K 中，从而1s ，2s ，，2012s 这2012个数应属于0K ，1K ，，2011K 这2011个鸽巢，于是根据鸽巢原理，有一个i K 至少被放入了两个数，不妨设为k s ，l s ．k k a a a s +++= 21，l l a a a s +++= 21，这样 2012|()k l s s -，即)(|201221l k k a a a +++++ ，也就是和l k k a a a +++++ 21是2012的倍数．例 2 设1a ，2a ，，1997a 是正整数1，2，，1997的一个排列．求证：乘积)1997()2)(1(199721---a a a 是一个偶数．证明因为1997是奇数，故排列1，2，，1997中共有999个奇数，1a ，2a ，，1997a 中也共有999个奇数，因此，在1，2，，1997，1a ，2a ，，1997a 中共有19989992=⨯个奇数，把1998个奇数看作“物体”放入1997个盒子中，必有两个奇数在同一盒子中，其对应的差为偶数，设这两个奇数为i a 和i ),,2,1(n i =，则可得i a i -为偶数，进而可得出乘积)1997()2)(1(199721---a a a 是一个偶数，故本题结论成立．例3 证明：在任意27个整数中，必存在两个数，其和或差能被50整除．证明设27个整数为1a ，2a ，，27a ，它们被50除的余数分别为1r ，2r ，，27r ，而任意一整数被50除的可能余数为0，1，2，，49，共50个，它可分为26个类：}0{，}49,1{，}48,2{，，}26,24{，}25{．将26个类看为鸽巢，27个余数看为鸽子，则27个鸽子放入26个鸽巢中，由鸽巢原理知，至少有两个鸽子属于同一类，例如i r ，j r ，于是j i r r =或50=+j i r r ，这就是说j i a a -可被50整除，或j i a a +可被50整除．例4 任意给定1008个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是2013的倍数．解以整数除以2013的余数0，1，2，，2012为标准，制造2013个抽屉，标以]0[，]1[，]2[，，[2012]．再作调整，[2011]，[2012]这两个抽屉分别与]2[，]1[合并，，则可得到1007个抽屉，任意给定1008个不同的自然数放入这1007个抽屉，则至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是2013的倍数．由此可见，鸽巢原理在整除关系的应用中具有重要的作用．为解决数的整除关系问题提供了很好的方法．第2节鸽巢原理应用于几何图形在上节中主要介绍了鸽巢原理在整除中的应用，然而鸽巢原理的应用并不仅仅局限于此．在某些与几何图形相关命题的证明中，也可以根据题目的特点构造抽屉，应用鸽巢原理解题．例1 在边长为a 的正三角形内任意放置17个点，则其中至少有两个点的距离不大于4a ．证明将边长为a 的正三角形分成边长为4a 的16个小正三角形，如图2-1所示，将17个点放入16个小正三图2-1角形中，由鸽巢原理知，至少有一个三角形中放有2个或两个以上的点，而这两点的距离不大于4a ．例2 证明：把5个点放到边长为2的正方形内部，则至少存在两个点，它们之间的距离小于2．证明如图2-2把边长为2的正方形分成四个相等的小正方形，则每个小正方形的对角线长为2．如果把每个小正方形当作一个盒子，由鸽巢原理知，把5个点放入4个盒子中，必有一个盒子中放入了至少两个点，则有一个小正方形中有两个点．而小正方形的对角线长为2，也就是说，小正方形中任意两点的最大距离为2，但是，由于5个点放在正方形的内部，因此它们之间的距离小于2． 2-2例3 如图2-3所示，每个方格着红色、蓝色或黑色，证明至少存在两列有相同的着色．图2-3证明用三种颜色按列着色，根据乘法规则，每列着色的方式只可能有27333=⨯⨯种（视为27个鸽巢），而图中有28列方格（视为28个鸽子）．根据鸽巢原理，至少有两列着色方式相同．例4 在直径为5的圆内任意给定10个点，证明存在两个点，它们之间的距离小于2．证明根据题意，我们最先考虑到把圆等分成9个扇形而构造出9个抽屉，但是虽然必有两个点在某一扇形内，但不能确定它们之间的距离小于2．于是我们考虑先用一个与已知圆同心，半径为1的不包含边界的小圆作为一个抽屉，然后再把圆环部分等分成八个部分（如图2-4所示）这样就构成9个抽屉．根据抽屉原理可知，一个抽屉（包括边界）中，若这两图2-4个点在小圆（不包含边界）中，显然它们之间的距离小于2．若这两个点在圆环部分的八个等分中的某一图形里，不妨设在图形ABCD ．由于292.152222<<⋅-=-=R CD ，293.12215.2215.24cos 22222<<⨯⨯⨯-+=-+=πRr r R AC ，由此可知，这时两点之间的距离也小于2，从而命题得证．显然，适当的将图形进行分割，可以将几何中的一些问题用组合数学的思想解决，可见鸽巢原理能用于某些几何问题的证明．第3节鸽巢原理应用于实际生活例1 某单位举行踩气球比赛，共有21人参加，共有181个气球，其中最少一人能踩5个气球，最多一人能踩10个气球，则至少有5人踩气球的数量相同．分析按踩气球的多少，从5到10个气球可以构造6个抽屉，这个问题就转化为至少有5人踩气球的数量在同一个抽屉里．证明（反证法）按踩气球的多少，从5到10个气球可以构造6个抽屉，假设无5人或5人以上踩气球的数量在同一个抽屉里，那只有5人以下踩气球的数量在同一个抽屉里，而参加踩气球的人数为21人，所以，每个抽屉最多有4人，故踩气球总数量最多有4(5610)180181+++=< ，得出矛盾，因此，至少有5人踩气球的数量相同．例2 某校有55个同学参加英语比赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？解因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有9124=+⨯（人），因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人．所以女生有9人，男生有46955=-（人）．例 3 11名学生到老师家借书，老师的书房中有A 、B 、C 、D 四类书，每名学生最多可借两本不同的书，最少借一本．试证明必有两个学生所借的书的类型相同．证明若学生只借一本书，则不同的类型有A 、B 、C 、D 四种，若学生借两本不同类型的书，则不同类型有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 六种．共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”．如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同．例4 某一制造铁盘的工厂，由于设备和技术的原因只能将生产盘子的重量控制在50克到1.50克之间．现需要制成重量相差不超过005.0克的两铁盘来配制一架天平，问该工厂至少要生产多少铁盘才能保证得到一对符合要求的铁盘．解将铁盘按重量分类，所有50克到005.50克的分为一类，005.50克到01.50克的分为一类，01.50克到015.50克的又分为一类，，最后，095.50克到1.50克为一类，共计20类视为20个鸽笼，由鸽笼原理知，若该工厂生产21个铁盘，那么就有两个铁盘属于同一类，它们之间的重量不超过005.0克．故该工厂至少要生产21个铁盘才能得到一对符合要求的铁盘．例5 证明：在任意的一群人中，一定有这样的两个人，他们在这群人中有相同个数的熟人（某人与自己不能算是熟人）．证明（归纳法）设任意一群人的个数为n ，且2≥n ．（因为1=n 时，不成其为一个人群）当2=n 时，这两个人或者相互是熟人或者相互是生人．当这两人是熟人时，则他们的熟人都是1个人．当这两个人互不相识时，则他们的熟人都是0．故当2=n 时，结论成立．当3≥n 时，假设i x ),,2,1(n i =表示第i 个人的熟人数目．下面分三种情况讨论．（1）假设这群人中每人都是熟人，即0≠i x 且11-≤≤n x i ．视1x ，2x ，，n x 为n 个物体，1，2，，1-n 为1-n 个盒子．这样一来，问题就成为把n 个物体放入1-n 个盒子的问题了．由鸽巢原理知至少有两个物体放在同一个盒子中，不妨设k x 与l x 在同一盒子中（l k ≠），即l k x x =．这表明第k 个人与第l 个人有相同数目的熟人．在这种情况下，结论成立．（2）假设这群人中只有1个人没有熟人，不妨设这个人就是第n 个人，即0=n x 且21-≤≤n x i )1,,2,1(-=n i ．同样，视1x ，2x ，，1-n x 为1-n 个物体，视1，2，，2-n 为2-n 个盒子，则由鸽巢原理知至少有一个盒子里放了两个物体．不妨设k x 与l x )1,1,(-≤-≤≠n l n k l k 在同一个盒子里，即l k x x =．故第k 个人与第l 个人的熟人数目相同．故在此情况下，结论成立．（3）假设在这群人中至少有两个人都没有熟人，也就是说这两个人的熟人数目为0．故在此情况下，结论依然成立．综上所述，结论成立．从上面的例题中可以充分的说明鸽巢原理为我们的生活带来了很大的方便．总结本文对鸽巢原理、鸽巢原理的基本形式、鸽巢原理的相关推论以及鸽巢原理的应用方面进行了分析、总结与证明，在应用方面，利用鸽巢原理及其相关的推论证明了其在生活中的一些应用，通过本文的论述，充分体现了鸽巢原理在整数、几何图形及实际生活等方面的应用性，同时也充分体现了鸽巢原理在数学中所具有的重要地位，当然在对鸽巢原理应用的方面上，本文并不是对所有的应用都进行了讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行研究讨论．参考文献[1] 卢开澄，卢华明，组合数学(第3版) [M]，北京：清华大学出版社，(2002)：259-274[2] 石力叶，于娜，抽屉原理及其应用[J]，今日科苑，2009(17)：1[3] 孙世新，组合数学(第3版) [M]，西安：电子科技大学出版社，(2003)：25-34[4] 肖美英，抽屉原理及其应用[J]，晋中师范高等专科学校学报，2002(03)：1-2[5] 孙世新，卢光辉，戴波，组合数学习题解答[M]，西安：电子科技大学出版社，(2006)：22-23[6] 杨骅飞，王朝瑞，组合数学及其应用[M]，北京：北京理工大学出版社，(1992)：5-13[7] 曹汝成，组合数学[M]，广州：华南理工大学出版社，(1999)：170-176[8] 赵晶，抽屉原理及其应用[J]，科协论坛(下半月)，2008(03)：1-2[9]孙世新，张先迪，组合原理及其应用[M]，北京：国防工业出版社，(2006)：35-58[10] 潘可为，抽屉原理及其应用[J]，湖州师专学报，1993(05)：2-5致谢……………………………………………………。

鸽巢原理公式

鸽巢原理公式鸽巢原理，又称为抽屉原理，是离散数学中的一个重要概念。

它指出，如果有n+1个物品放入n个容器中，那么至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物品。

这个原理虽然看似简单，却有着广泛的应用，尤其在计算机科学、密码学、概率论等领域中有着重要的意义。

鸽巢原理的数学表达形式为，如果有n个鸽子要放到m个巢里，且n>m，那么至少有一个巢里会有两只或两只以上的鸽子。

这个原理的应用非常广泛，下面我们来看一些具体的例子。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有10个抽屉，11个苹果要放入这些抽屉中，根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会有两个或两个以上的苹果。

这是因为11个苹果要放入10个抽屉中，必然会有一个抽屉中放不下，而另外一个抽屉中则会有两个苹果。

再来看一个与密码学相关的例子。

在密码学中，鸽巢原理被用来解释为什么哈希算法会出现碰撞。

哈希算法是一种将任意长度的输入消息转换为固定长度输出的算法。

由于输入的长度是任意的，而输出的长度是固定的，所以必然会出现多个输入对应到同一个输出的情况，这就是哈希碰撞。

而鸽巢原理可以很好地解释这个现象，即无论输入的消息有多长，都会映射到有限的输出空间中，因此必然会出现多个输入对应到同一个输出的情况。

此外，鸽巢原理还在概率论中有着重要的应用。

例如，在生日悖论中，如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率超过一半。

这个悖论就是利用了鸽巢原理，将365个可能的生日看作是“鸽子”，而将23个人看作是“巢”，通过计算可以得出至少有两个人生日相同的概率。

总的来说，鸽巢原理是一个简单而重要的数学概念，它在离散数学、计算机科学、密码学、概率论等领域中有着广泛的应用。

通过理解和运用鸽巢原理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高自己的数学建模和问题解决能力。

希望大家能够在学习和工作中灵活运用鸽巢原理，发现更多有趣的应用和问题。

组合数学第二章鸽巢原理课件

组合数学
利用鸽巢原理解决组合数学中的计数问题，如排列、组合等。
概率论
在概率论中，利用鸽巢原理研究随机事件的独立性和概率计算。
离散数学
离散数学中的图论、离散概率等分支也广泛应用鸽巢原理。
鸽巢原理在其他领域的应用
计算机科学
在计算机科学中，鸽巢原理被广泛应用于算法设计和数据结构分析。
信息理论
在过去的几十年里，鸽巢原理在数学、计算机科学和其他领域得到了广泛的应用和发展。它已经成为组合数学和离散概率论的一个重要组成部分。
鸽巢原理的应用场景
计算机科学
在算法设计和数据结构中，鸽巢原理可以用于解决各种问题，如数组和列表的操作、图的
着色等。
离散概率论
在离散概率论中，鸽巢原理可以用于研究随机事件的独立性和相互排斥性，以及概率分布的性质。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明否定形式的命题。在证明鸽巢原理时，可以先假设存在不符合鸽巢原理的情况，然后推导出矛盾，从而证明原命题。这种方法的关键在于找到合适的反证假设，并从中推导出矛盾。
构造证明法
总结词
通过构造具体的实例或反例来证明命题。
详细描述
构造证明法是一种直观、具体的证明方法。在证明鸽巢原理时，可以通过构造具体的实例或反例来证明命题。例如，可以构造一个具体的鸽巢和物品的例子，通过实例来证明鸽巢原理的正确性。这种方法可以直观地展示命题的正确性，但需要注意构造的实例或反例是否具有一般性。
直接证明法
总结词
通过直接逻辑推理，从已知条件出发，逐步推导结论。
详细描述
直接证明法是数学中最常用的证明方法之一。它基于已知条件和数学公理、定理等，通过逻辑推理逐步推导出结论。在证明鸽巢原理时，可以从已知条件出发，按照逻辑顺序推导出结论，无需引入其他假设或反证。

第二章鸽巢原理

定理211如果n1件物体被放入n个盒子则至少有一个盒子含有两件或更多物体简单应用在13个人中必有两个人是同一个月份出生设有n对夫妇为保证能够有一对夫妇被选出至少要从这2n个人中选出多n1简单形式之二三如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子为空那么每个盒子恰好包含一个物体如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子中放入多于一个的物体那么每个盒子恰好包含一个物体令x和y为两个有限集合并有函数f
第二章鸽巢原理
推广
如果q1, q2, ……, qn都等于同一个整数r，则
如果n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，那么至少有一个盒子含有r个或更多的物体
第二章鸽巢原理
平均原理之一、二
如果n个非负整数m1, m2, ……, mn的平均数大于r-1,那么至少有一个整数大于或等于r
如果n个非负整数m1, m2, ……, mn的平均数小于r+1,那么至少有一个整数小于r+1
第二章鸽巢原理
存在性证明
令m和n为两个互素的正整数，并令a和b 为两整数，且0 ≤ a ≤ m-1，0 ≤ b ≤ n-1，于是存在一个正整数x，使得x除以m的余数为a，并且x除以n的余数为b，即x可以写成x=pm+a同时又可以写成x=qn+b的形式，这里p和q是两个整数
第二章鸽巢原理
问题
第二章鸽巢原理
鸽巢原理的抽象描述
令X和Y为两个有限集合，并有函数f: XY 如果|X||Y|，则f就不是一对一的；
如果|X|＝|Y|，且f是映上的，则f就是一对一的；
如果|X|＝|Y|，且f是一对一的，则f就是映上的
第二章鸽巢原理
复杂应用
给定m个整数a1, a2, ……am，则存在整数k和l，满足0≤k<l≤m，使得 ak+1+……+al能够被m整除

第2章鸽巢原理

2
1
2
n1
a k a k ... a k
1 2
它们构成一长为 n 1的递减子序列。否则，若有某个 j , (1 j n ) 使得 a k a k ，那么以 a k 为首项的最长递增子序列加上 a k ，就得到一个以 a k 为首项的递增子序列，由 m k 定义知，
j Байду номын сангаас1 j1 j
鸽巢原理
定理1 若有n+1只鸽子飞回n个鸽巢,则至少有两只鸽子飞入了同一个鸽巢. 这个原理的证明非常容易, 只要使用反证法马上就可以得到结论. 这个原理也可以表述为: 如果把n+1件东西放入n个盒子中, 则至少有一个盒子里面有不少于两件的东西.
鸽巢原理不能用来寻找究竟是哪个盒子含有两件或更多件东西. 该原理只能证明某种安排或某种现象存在,而并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找这种现象出现的场合. 从鸽巢原理出发, 对于许多实际问题, 我们可以导出非常有趣的结果. 利用鸽巢原理解决实际问题的关键是要看出这是一个鸽巢问题, 建立“鸽巢”，寻找“鸽子”.
n1
这与 m k m k 矛盾。因此，a k a k ... a k 成立。这是一个长度为n+1的递减子序列，故结论成立。
j j1
mk mk
j
j
j1
1
1 2 n1
j
例12、将1, 2, …, 10随机地摆成一圆，则必有某相邻三数之和至少是17。证明：设 m i ( i 1, 2 , ..., 1 0表示该圆上相邻三个数之和（i居中）。 ) 这样的和共有10个。而1,2,…,10中的每一个都出现在这十个和的三个之中，故
1928年, 年仅24岁的英国杰出数学家 Ramsey发表了著名论文《论形式逻辑中的一个问题》, 他在这篇论文中, 提出并证明了关于集合论的一个重大研究成果, 现称为Ramsey定理. 尽管两年后他不幸去世, 但是他开拓的这一新领域至今仍十分活跃, 而且近年来在科技领域获得了成功的应用. 本讲主要介绍鸽巢原理、Ramsey数及性质、 Ramsey定理及应用.

鸽巢原理

第一节鸽巢原理关于鸽巢原理的阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不够多的鸽巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。

一、鸽巢原理的简单形式1、定理1：如果要把n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。

证明：用反证法进行证明。

如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n，这与有n+1个物体矛盾。

所以某个盒子至少有两个物体。

2、定理1的说明：无论是鸽巢原理还是它的证明，都不能具体找出含有两个或更多物体的盒子。

它只是证明这样的盒子存在，即如果人们检査每一个盒子.那么他们会发现有的盒子里面放有多个物体。

另外，当只有n个（或更少）物体时，是无法保证鸽巢原理的结论的。

这是因为可以在n个盒子的每一个里面放进一个物体。

所以鸽巢原理成立的条件是至少为n+1个物体。

3、鸽巢原理的两个简单应用应用1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。

应用2：设有n对己婚大妇。

至少要从这2n个人中选出多少人才能保证能够选出一对夫妇？为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n个房间，其中一个房间对应一对夫妇。

如果选择n十1个人并把他们中的每一个人放到他们夫妻所对应的那个房间中去，那么就有一个房间含有两个人；也就是说，已经选择了一对已婚夫妇。

选择n个人使他们当中一对夫妻也没有的两种方法是选择所有的丈夫和选择所有的妻子，因此，n+1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。

4、从应用2得出的两个推论推论1：如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好有一个物体。

说明：以应用2为例，选择n个人，如果其中有一对夫妻，那么必然有一个房间是空的，为了保证没有空房间，则必须从每对夫妻中选一个人，即恰好从每对夫妻中选一个人。

推论2:如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里恰好有一个物体。

说明：以应用2为例，选择n个人，每个房间只能是夫妻中的一个人，2n个人，恰好每个从每对夫妻当中选择一个人。

组合数学—第二章鸽巢原理和Ramsey定理(2)

定理推广（2）将T 划分成E1, E2, … , Ek
设r,k≥1, qi≥r, i=1, 2, … , k, 是给定正整数，则存在一个最小的正整数R(q1, q2, … , qk; r)，使得当 n≥R(q1,q2,…,qk;r) 时, 当n元集S 的所有r 元子集划分成k 个子集族T1, T2, … , Tk，那么存在S 的q1 元子集A1, 其所有的r元子集属于T1, 或者存在S 的 q2元子集A2，A2的所有r 元子集属于T2, … ,或者存在S 的qk 元子集Ak, 其所有的r元子集属于Tk .
2013年7月9日第二章鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒子。则至少有一个盒子里含有r个或者更多的物品。推论2.2.2 若设有n个正整数m1 , m2 , … , mn 满足下面的不等式 (m1 + … +mn)/n > r－1, 则 m1,…, mn中至少有一个数≥ r 推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体
8 28 56 84 101 216 127 495 216 1031 282 1870
9 36 69 115 121 316 169 780 232 1713 317 3583 565 6588
10 40 43 92 149 141 442 178 1171 2826
6090
580 12677 798 23556
2013年7月9日
第二章鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若将 m个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒 m 子中有大于等于 n 个物体

鸽巢原理-精品文档

忽略个体差异
鸽巢原理忽略了个体之间的差异，认为每个个体都是相同的，但在实际问题中，个体的差异往往会影响结果。
简化问题
鸽巢原理将问题简化为只有两种可能的情况，要么完全满足条件，要么完全不满足条件，但实际问题的复杂性可能更高。
未来研究方向展望
01
02
03
考虑资源限制
未来的研究可以探索如何在资源有限的情况下应用鸽巢原理，提高其实际应用的可行性。
密ห้องสมุดไป่ตู้破解
鸽巢原理可以用于密码破解，通过穷举所有可能的密码组合，以找到正确的密码。
密码保护
鸽巢原理也可用于密码保护，通过将密码分散到多个“鸽巢 ”中，增加密码破解的难度。
在计算机科学中的应用
数据存储
鸽巢原理在数据存储中有所应用，例如在分布式系统中平衡数据存储的负载。
算法设计
鸽巢原理可以用于算法设计，例如在排序算法中平衡时间复杂度和空间复杂度。
鸽巢原理的数学表达
如果n+1个鸽子被放到n个笼子里，那么至少有一个笼子包含两个或更多鸽子。
鸽巢原理的数学表述
数学表述
设m为鸽子数量，n为鸽子笼数量，且m>n，则至少有一个笼子包含两个或更多鸽子。
特殊情况
当m=n时，可能有多个笼子都包含一个鸽子，但所有鸽子都不在同一个笼子里。
鸽巢原理的应用范围
鸽巢原理的离散化推广
总结词
该版本将鸽巢原理推广到离散数学中的其它概念，如集合的划分、覆盖等。
详细描述
在离散数学中，鸽巢原理可以推广到集合划分和覆盖等问题。例如，如果将一个集合分成 $n$ 个子集，每个子集都至少包含一个元素，那么一定存在一个子集，它包含的元素个数不小于 $2$。

组合数学第四版（RichardA.Brualdi著）机械工业出版社课后答案1

第2章鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4，证明对于每一个1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完局棋（情形21是在应用4中处理的情况）。

能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？=k k =k 证明：设表示在前天下棋的总数i a i 若正好有=,则命题得证。

若不然,如下：i a k ∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘∴有，且771≤≤i 13217721≤<<<≤a a a{}21,,2,1 ∈∀k 有k k a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721观察以下154个整数：k a k a k a a a a +++77217721,,,,,,,每一个数是1到之间的整数，其中k +132153132≤+k由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数∵都不相等，7721,,,a a a k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使=i a k a j +即这位国际象棋大师在第，1+j 2+j ，…，天总共下了盘棋。

i k 综上所述，对于每一个1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完局棋。

=k k □当=22时，132+=154，那么以下154个整数k k 22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。

ⅰ）若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22∵，2222>+i a 771≤≤i∴等于22的数必然是某个，i a 771≤≤i则在前天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。

i ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数∵都不相等，7721,,,a a a k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使=i a k a j +即这位国际象棋大师在第，1+j 2+j ，…，天总共下了盘棋。

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