第2章 习题解答

第2章 时域离散信号和系统的频域分析
若 a n 为正项级数，且
n

比值判定法确定Z变换的收敛域
a n 1 an
lim
n
q
则 (i) 当 q < 1 时级数收敛 (ii) 当 q > 1 时级数发散 (iii) 当 q = 1 时级数可能收敛也可能发散
Z变换存在的条件是级数 x ( n ) z
) sin
j
1 2j
(e
j
e
j
j
)
j
F T ( h o ( n )) jH I ( e 1 2 e
j *( 1)
)
j *1
1 2
(e
e
)
n


h o ( n )e
j n
0
1 2
e
所以
1 2 ho ( n ) 0 1 2
n


x ( n n 0 )e
j n
k n n0
则
n k n0
所以 D T F T x ( n n 0 )

n


x ( n n 0 )e
j n 0
j n
k


x ( k )e X (e
j k
e
j n 0
2 (9 1 1 9 6 4 2 5 4 9 ) 3 1 6
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
6． 试求如下序列的傅里叶变换：
(1) x1 ( n ) ( n 3) (2) x2 (n ) 1 2
n
( n 1) ( n )

( 2 ( n 1) ( n ) 2 ( n 1))e n
1 2 e
j
1
1
j n
1
1 2
e
j
1 co s
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
（3） x 3 ( n ) a u ( n ) 0 a 1
n
F T [ x 3 ( n )]
0
j
)e
j n
d ]


0
0
e
d
1
2 jn
e
j n

0
sin ( 0 n )
n
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出
X(ejω)，完成下列运算： （1） X ( e j 0 ) ； （2）

π π
X (e
3
e
j n

n 3 j 4 j


j


3
e
j n
n0

3
e
j n

n0

3
e
j n
n 1
1 e
j 3
1 e 1 e
j 3 j
1 e e
e
1 e
j 4 j
1 e
j 3

1 e 1 e
j 3 j
e
j 4
j 2
j n

j
n


( u ( n 3) u ( n 4 ))e
j
j n
n 3

3
e
j n
e
j 3
e
1 e
e
j 2
e
j 3
1 2 co s 2 co s 2 2 co s 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
j
1 即 h(n) 1 0
F T ( h ( n )) H (e
)
n


h (n )e
j n
1 e
j
2e
1 j 2
co s

2
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
14． 求出以下序列的Z变换及收敛域: (1) (3) (5) 2－nu(n) 2－nu(－n) δ(n－1) (2) (4) (6) －2－nu(－n－1) δ(n) 2－n［u(n)－u(n－10)］
1 e
j7 j
1 e e e
7 j 2 1 j 2
j
1 e
7 j 2 1 j 2
e

(e (e
7 j 2 1 j 2
e e
) )
e
j 3
sin ( ) 2 1 sin ( ) 2
7
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。 解：
x ( n ) IF T [ X ( e 1 2 1 2 [
0 j
)]
j n
1 2



X (e
j
)e
j
j n
d d
X (e
j n
j
)e
d 1

0
0
X (e
0
)e
j n


X (e
11．若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部
为 H I (e j ) sin ，求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：因为序列h(n)的共轭反对称部分ho(n)对应着H(ejω)的虚部
及j，所以可以通过H(ejω)的虚部求解ho(n)。
H I (e
j
j
)
| d
2
因为 F T n x ( n ) j 根据帕斯维尔定理
j 2
d X (e d
j
)
所以
d X (e d
j
)
F T jn x ( n )



d X (e d
)
d 2
2
n


2
jn x ( n )
2
n 3

7
nx(n)
j j


n x ( n )e
j n
jD T F T [ n x ( n )]
所以 D T F T [ n x ( n )]
dX (e
)
jd
j
d X (e d
)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2． 已知
X (e
j
1 ) 0
| | 0
0 | |
j
)d ；
（3） X ( e j ) ； （4）确定并画出傅里叶变换实部 R e[ X ( e j )] 的时间序列 x a ( n ) （5） | X (e j ) | 2 d ；
π π
（6） |
π
π
d X (e d
j
)
| d 。
2
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
n 1 n0 n 1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
对于实因果序列，可以根据ho(n)及h(0)恢复h(n)，即
h ( n ) h o ( n ) u ( n ) h (0) ( n )
2 u (n) 1 0 n 0 n 0 n 0
所以
0 n0 h ( n ) h o ( n ) h (0 ) ( n ) n 0 2 ho ( n ) n 0 n 0 n 1 其它n
jw n

x ( 3 ) ( 1) x ( 2 ) 1 x ( 1) ( 1) x (0 ) 1 x (1) ( 1) x ( 2 ) 1 x ( 3 ) ( 1 ) x ( 4 ) 1 x ( 5 ) ( 1 ) x ( 6 ) 1 x (7 ) ( 1 ) 2


x ( n )e
j( )n
]

X (e

)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1. 解： （3） 设 所以
D TFT x( n)
n


x ( n )e
j n
k n
则
n k
D TFT x( n)
n


x ( n )e
n n
收敛，即级数绝对可和
n


x (n) z
n

， 而
n

1 2

x1 ( n )e
j n

n


( n 3)e
j n
e
j 3
（2） x 2 ( n )
F T [ x 2 ( n )]

( n 1) ( n )

1 2
( n 1)
n

x 2 ( n )e
j n
1 2
( n 1)
(3) x 3 ( n ) a u ( n ) 0 a 1 ( 4 ) x 4 ( n ) u ( n 3) u ( n 4 )
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
6. 解：（1）x1 ( n ) ( n 3)
F T [ x1 ( n )]
j
j n
k

ห้องสมุดไป่ตู้

x ( k )e
j( )k
X (e
)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1. 解： （6） 因为
X (e
j
)
n


x ( n )e

j n
则
d X (e d j
j
)
d
n

x ( n )e d
j n
n
*
[ x ( n ) x ( n )]
用图形表示如下：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 解：（5） | X (e j ) | 2 d
π
π
根据帕斯维尔定理
e
k j


x ( k )e
j k
e
j n 0
)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1. 解： （2） D TFT x (n)

n


x ( n )e

j n
n


[ x ( n )e
j
j n
] [

n
j
1
π π
X (e
j
)e
j n
d
j 0

π π
X (e
j
)d

π π
X (e
j
)e
d 2 x (0 ) 4
（3） X ( e
j
)
可知 ，所以：
X (e )
n


x ( n )e
jw n


n 3

7
x (n )e
题5图
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 解：（1） X ( e j 0 )
可知 0 ，所以： X ( e j 0 )
j （2） π X (e )d π
n


x ( n )e
jw n

0
n 3

7
x(n) 6
因为 x ( n ) 所以
2π
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
习题与上机题
1．设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，
试求下面序列的傅里叶变换： (1) (2) (3) (6) x(n–n0) x*(n) x(–n) nx(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
1. 解： （1） D T F T x ( n n 0 ) 设
n


x 3 ( n )e

j n
n


a u ( n )e
n
j n

a
n0
n
e
j n

1 1 ae
j
（4） x 4 ( n ) u ( n 3) u ( n 4 )
F T [ x 4 ( n )]
n


x 4 ( n )e e
（4） x 4 ( n ) u ( n 3) u ( n 4 )
F T [ x 4 ( n )]
n

1

x 4 ( n )e e
j n
j n

n


( u ( n 3) u ( n 4 ))e
j n
n 3


2
x(n)

1 2
2
n



X (e
j
) d
2
2
所以

π


X (e
j
) d 2
2
n


x(n)
2
n 3

7
x(n)
2 (1 1 4 1 1 4 1 1) 2 8
（6） π
|
d X (e d
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
5. 解：
（4）确定并画出傅里叶变换实部 R e[ X ( e j )]的时间序列 x a ( n )
因为序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部Re[X(ejω)]
所以：
xa ( n ) xe (n ) 1 2 { 0 . 5 , 0 , 0 . 5 , 1 , 0 , 0 , 1 , 2 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 .5 , 0 , 0 .5 } 1 2 [ x ( n ) x ( n )]