DSP第三章4习题.ppt

k
0
)
n
n0
N 1
e
n0
j
(
2 N
k
0
)
n
RN
(k)
1 2
a
1
1
e j0
j( 2 k
eN
N 0
)
1 e j0N
1
e
j
(
2 N
k
0
)
RN
(k
)
j0N j0N
j0N
1 2
a
e
e 2 (e 2 e 2 )
(e e ) j
1 2
(
2 N
k
0
)
j
1 2
(
2 N
k
0
)
j
1 2
N
RN (k)
N 1
a
W n kn N
RN
(k
)
n0
x(n) anRN (n)
Y (k) DFT[ y(n)] DFT{Im[ f (n)]}
1 j
Fop (k )
1 2j
F (k)
F *((N
k ))N
RN
(k)
1 2j
1aN
1
aWNk
j
1 bN 1 bWNk
1
1 aN aWNN
解：
讨论：
例6. 试求以下有限长序列的 N点 DFT（闭合形式）：
(3) x(n) anRN (n)
N 1
解：X (k ) x(n)WNnk RN (k )
n0
N 1 ane
j 2 N
nk
RN
(k)
n0
N 1
j 2 k n
ae N RN (k )
n0
1 aN
j 2 k
RN (k )
解：由 X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk ,0 k N 1 n0
得 Y (k) DFT[ y(n)] rN1 y(n)WrnNk n0
N 1
N 1
x(ir r)WriNrk x(i)WNik
i0
i0
0 k rN 1
N 1
Q X (k) x(n)WNnk n0
anRN (n)
对X (z)在单位圆上N点等间隔抽样，得周期序列：
X%(k ) X (z) zWNk
x(n)WNnk
n
X%(k )的IDFS：
x%N (n) x(n rN )
r
N点 X (k) X%(k)RN (k)
x '(n) IDFT[X (k)]
N越大，
x`(n)越逼 近x(n)
证明：如何修改x(n),以获得一个新序列x1(n),使 x1(n)的DFT对应所希望的X(Z)取样。
解： 对于右图，
例3、令X(K)为N点序列x(n)的N点DFT 1)证明:若x(n)=-x(N-1-n),则X(0)=0 2)当N为偶数时，若x(n)=x(N-1-n),则X(N/2)=0
证：1)
j
1 bN 1 bWNk
1
1 aN aWNN
k
来自百度文库
j
1
1 bN bWNN
k
*
RN (k )
1 2
1 aN
1
aWNk
j
1 bN 1 bWNk
1aN 1 a WNk
*
j 1 bN 1 b WNk
*
RN
(k
)
1 aN 1 aWNk
RN (k)
1
1
aWNk aWNk
试确定：（1）最小记录长度；
（2）所允许处理的信号的最高频率；
（3）在一个记录中的最少点数。
解: （1）因为T0
1 F0
，而F0
10Hz
，所以
T0
1 10
s
即最小记录长度为0.1s。
（2）因为
fs
1 T
1 103 0.1
10kHz
，而
fs
2 fh
1 fh 2 fs 5kHz
即允许处理的信号的最高频率为 5kHz 。
N 1
Y (k) x(i)WNik i0
0 k N 1 0 k rN 1
故 Y (k) X ((k))N RrN (k)
离散时域每两点间插
入 r -1个零值点，相 当于频域以N为周期 延拓r次，即Y(k)周期 为rN。
例10.设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施， 要求频率分辨力 1，0H如z 果采用的抽样时间间 隔为0.1ms，
RN
(k )
直接计算较难
两边取DFT X (K ) X (K )WNK N N (K )
X (K)
N[ (K ) 1]
1 WNK
N
X (K ) 1WNK
例7. 如图画出了几个周期序列 x%(n) ，这些序列可
以表示成傅里叶级数
x%(n)
1
N 1
X%(k )e j (2 / N )nk
例 14：长度为N的一个有限长序列x(n)的N点DFT为 X(k)。 另一个长度为2N的序列y(n) 定义为
当K=0时 a)N为偶数
b)N为奇数
2） 而
N为偶数，X(N/2)成立
例4. 已知序列 x n anu n,0 a 1,现对于x(n)
的 z 变换在单位圆上 N 等分抽样，抽样值为
X k X z z
WN
k
e
j
2 N
k
试求有限长序列的N点 IDFT X k
解：由x(n) anu(n), 0 a 1
解：由 X
(k)
DFT[x(n)]
N 1
x(n)e
j 2 N
nk
,0
k
N
1
n0
得
rN 1
Y (k ) DFT[ y(n)] y(n)WrnNk
N 1
x(n)WrnNk
n0
n0
N 1
x(n)e
j 2 rN
nk
N
1
x(n)e
j 2 N
nk r
n0
n0
X
k r
k lr, l 0,1,..., N 1
（2）要使 X%(k) 为虚数，根据DFT的性质:
x%e (n) 0 x%(n) x%o (n)
Re[X%(k)] 0 j Im[X%(k)]
x%(n)为共轭反对称序列，即满足实部奇对称，虚 部偶对称（以 n 0 为轴）。
又由图知，x%(n)为实序列，虚部为零，故 x%(n)应 满足奇对称： x%(n) x%(n)
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
0 k N 1
Y (k)
X
k r
k lr, l 0,1,..., N 1
相当于频域插值
在一个周期内，Y (k)的抽 样点数是X (k)的r倍( Y (k) 的周期为Nr)，相当于在 X (k)的每两个值之间插 入r-1个其他值（不一定 为零），而当k为r的整数 l倍时，Y (k)与X (k / r)相 等。
1 F k
1 aN 1 aWNk
j
1 bN 1 bWNk
2 F k 1 jN
其中 a,b 为实数。试用 F k 求 X k DFT xn, Y k DFT y n, xn, yn
1
F k
1 aN 1 aWNk
j
1 bN 1 bWNk
解：由DFT的线性性 F(k) DFT[ f (n)] DFT[x(n) jy(n)]
得X (z)
n0
x(n)zn
1 1 az1
1 X (k ) X ( z) zWNk 1 az1 zWNk
1
1 aWNk
1 1 aN
1
a
W N Nk N
1 aWNk
1
1 aN
N 1
a
W n nk N
n0
1 1 aN
N 1 n0
aWNk
n
IDFT [ X (k )]
1 1 aN
例9. 已知 x(n)是N点的有限长序列，X (k) DFT[x(n)]，
现将 x(n)的每两点之间补进 r 1个零值点，得到
一个rN点的有限长序列 y(n)
y(n)
x(n r), 0,
n ir,i 0,1,..., N 1 其他n
试求rN点 DFT[ y(n)]与 X (k)的关系。
N 1
N k 0
（1）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 X%(k) 成为实数？
（2）哪些序列能够通过选择时间原点使所有的 X%(k)（除 X%(0) 外）成为虚数？
（3）哪些序列能做到 X%(k) 0，k 2,4,6,...
解: （1）要使 X%(k) 为实数，根据DFT的性质:
x%(n) x%e (n) x%o (n) 0
例1、如果
为周期为N的周期序列，那么它
也是周期为2N的序列，
令： 为
周期为N的DFS
为
周期为2N的DFS
由
确定
P119-5
解：
令：
K为偶数
K=0,1,2,3……2N-1
0
K为奇数
例2、有限长序列的DFT为序列在单位园上ZT的取样， 若有一个10点序列x(n)的DFT，我们希望找出半径为 1/2的围线上X(Z)等间隔取样，即：
综上所得，第一个和第三个序列满足 X%(k) 0 k 2,4,...
例8.已知 x(n) 是N点有限长序列，X (k) DFT x(n)。
现将长度变成rN点的有限长序列 y(n)
y(n)
x(n),
0,
0 n N 1 N n rN 1
试求rN点 DFT y(n) 与 X (k) 的关系。
k
j
1
1 bN bWNN
k
*
RN (k )
1 2j
1 aN
1 aWNk
j
1 bN 1 bWNk
1aN 1 a WNk
*
j 1 bN 1 b WNk
*
RN
(k
)
1 bN 1 bWNk RN (k )
1
bWNk
1 bWNk
N
RN (k)
N 1
bnWNkn RN (k )
n0
y(n)
bnRN (n)
2 F k 1 jN
X (k) DFT[x(n)] DFT{Re[ f (n)]}
Fep (k)
1 2
F (k)
F *((N
k ))N
RN
(k)
1 2
1
jN
1
jN
*
RN
(k
)
1 1
2
jN
1
jN RN (k)
RN (k )
x(n) (n)
Y (k) DFT[ y(n)] DFT{Im[ f (n)]}
Re[ X%(k )] j Im[X%(k)] 0
x%(n)为共轭对称序列，即满足实部偶对称，虚部 奇对称（以 n 0 为轴）。
又由图知，x%(n)为实序列，虚部为零，故 x%(n)应 满足偶对称： x%(n) x%(n)
即 x%(n) 是以 n 0 为对称轴的偶对称
故第二个序列满足这个条件
(
2 N
k
0
)
j0N j0N
j0N
e
j
1 2
(
2 N
e
k 0
)
2
(e
(e
j1( 2
2 N
2 k
0 )
e
2 j
e
1 2
)
( 2 N
k
0
)
)
RN
(k
)
1 2
a
sin(0N )
2
sin(
N
k
1 2
0
)
e
j
N
k
j
N210
sin(0N )
2
sin(
N
k
1 2
0
)
e
j k N
j N210
x%N (n)RN (n)
anrN u(n rN )RN (n) anrN RN (n)
r
r0
an
r0
aN
r
RN (n)
1 1 aN
an RN (n)
例5、令：
表示
的傅氏变换
y(n)表示长度为10的一个有限长序列，Y(K)=DFT[y(n)]
相当于
的单位园上10个等间隔采样，求y(n)
（3） N T0 0.1 103 1000 T 0.1
又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的 最少点数为 N 210 1024
例11. 复数有限长序列 f n是由两个实有限长序列xn 和 yn0 n N 1 组成的，f n xn jyn
且已知F k DFT f n 有以下两种表达式：
序列2:
X%2 (k)
2 j nk
e4
n0
j 3 k
1e 4
j k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%1(k) 0
序列3: x%3(n) x%1(n) x%1(n 4)
根据序列移位性质可知
X%3
(k
)
X%1(k
)
e
j k
X%1(k
)
(1
e
j
k
)
1
(1)k
j k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%3(k) 0
1 ae N
(4) x(n) a cos(0n)RN (n)
N 1
解：X (k ) x(n)WNnk RN (k )
n0
N 1
j 2 nk
a cos(0n)e N RN (k)
n0
1 2
a
N
1
(e
n0
j0n
e
j0n )e
j 2 N
nk
RN
(k)
1 2
a e N 1
j
(
2 N
即 x%(n)是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
N1
X%(k) x%(n)WNnk
7
j 2 nk
x%(n)e 8
n0
n0
序列1:
X%1(k)
3 j 2 nk
e8
n0
1
e j k
j k
1e 4
1
(1)k
j k
1e 4
当 k 2,4,6,... 时，X%1(k) 0
DFT[x(n)] jDFT[ y(n)] X (k) jY (k)
由共轭对称性得
X (k) DFT[x(n)] DFT{Re[ f (n)]}
Fep (k)
1 2
F (k)
F *((N
k ))N
RN
(k)
X
(k
)
1 2
F
(k)
F
* (( N
k
)) N
RN
(k)
1 1aN
2
1
aWNk
1 j
Fop (k )
1 2
F (k)
F *((N
k ))N
RN (k )
1 2j
1
jN
1
jN
*
RN
(k
)
1 1
2j
jN
1
jN RN (k)
NRN (k )
y(n) N (n)
例12：书P122-13 解：
而
K=0,1,2,….15
C图
例13：书P122-15
n=0,1,,,,,6不同 n=7-19相同