分式方程中考复习
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。
考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
第06讲分式方程(讲义)(原卷版)-2024年中考数学一轮复习讲义
第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。
中考数学复习《分式方程》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《分式方程》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列关于x 的方程，是分式方程的是( )A.3＋x 2－3=2＋x 5B.2x －17=x 2C.x π＋1=2－x 3D.12＋x =1－2x2.分式方程2x －2＋3x 2－x＝1的解为( ) A.x ＝1 B.x ＝2 C.x ＝13D.x ＝0 3.若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的解，则a 的值是( ) A.5 B.－5 C.3 D.－34.分式方程x ＋1x ＋1x －2＝1的解是( ) A.x ＝1 B.x ＝－1 C.x ＝3 D.x ＝－35.分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( ) A.x ＝1 B.x ＝2 C.x ＝－1D.无解6.解分式方程1x －5﹣2＝35－x，去分母得( ) A.1﹣2(x ﹣5)＝﹣3 B.1﹣2(x ﹣5)＝3C.1﹣2x ﹣10＝﹣3D.1﹣2x ＋10＝37.如果分式方程113122=x++-x a+无解，那么a 的值为( )A.2B.﹣2C.2或﹣2D.﹣2或48.解分式方程2x ＋1＋3x －1=6x 2－1分以下几步，其中错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x －1)(x ＋1)B.方程两边都乘以(x －1)(x ＋1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)=6C.解这个整式方程，得x=1D.原方程的解为x=19.某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )A.30x ﹣361.5x ＝10B.30x ﹣301.5x＝10 C.361.5x ﹣30x ＝10 D.30x ＋361.5x＝10 10.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务. 设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是( ) A.60x －60（1＋25%）x ＝30 B.60（1＋25%）x －60x＝30 C.60×（1＋25%）x －60x ＝30 D.60x －60×（1＋25%）x＝30 二、填空题11.下列方程：①x －12＝16；②x ﹣2x ＝3；③x （x －1）x ＝1；④4－x π＝π3；⑤3x ＋x －25＝10；⑥1x ＋2y＝7，其中是整式方程的有 ，是分式方程的有 . 12.若关于x 的方程211=--ax a x 的解是x=2，则a= . 13.方程2x ＋13－x ＝32的解是 . 14.关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解满足x ＞0，则a 的取值范围是________. 15.A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程____________________.16.对于实数a ，b ，定义一种新运算⊗为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算.例如：1⊗3＝11－32＝﹣18，则方程x ⊗(﹣2)＝2x －4﹣1的解是__________. 三、解答题17.解分式方程：xx－1﹣2x＝1；18.解分式方程：2x－3＝3x；19.解分式方程：1－xx－2＝x2x－4﹣1；20.解分式方程：xx－1－1＝3(x－1)(x＋2)21.对于分式方程x－3x－2＋1＝32－x，小明的解法如下：解：方程两边同乘(x﹣2) 得x﹣3＋1＝﹣3①解得x＝﹣1②检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0③所以x＝﹣1是原分式方程的解.小明的解法有错误吗？若有错误，错在第几步？请你帮他写出正确的解题过程.22.当x为何值时，分式的值比分式的值小2？23.某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．24.随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：(1)普通列车的行驶路程为多少千米？(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度.25.某中学在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元(1)求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？(2)这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，预算金额不超过3000元.去到商场时恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果该学校此次需购买20个乙种足球，请问该学校购买这批足球所用金额是否会超过预算？答案1.D2.A3.A4.A5.D6.A7.D8.D9.A10.C11.答案为：①④⑤，②③⑥.12.答案为：54 .13.答案为：x＝1.14.答案为：a<－1 且a≠－2.15.答案为：200x﹣200x＋15＝12.16.答案为：x＝517.解：去分母得x2﹣2x＋2＝x2﹣x解得x＝2检验：当x＝2时，x(x﹣1)≠0故x＝2是原方程的解；18.解：(1)方程两边乘x(x﹣3)，得2x＝3(x﹣3).解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x﹣3)≠0.所以，原方程的解为x＝9；19.解：去分母，得2(1﹣x)＝x﹣(2x﹣4)，解得x＝﹣2 检验：当x＝﹣2时，2(x﹣2)≠0故x＝﹣2是原方程的根；20.解：方程两边同乘(x－1) (x＋2)得x(x＋2)－(x－1) (x＋2)＝3化简，得 x＋2＝3解得x＝1检验：x＝1时(x－1) (x＋2)＝0，x＝1不是分式方程的解所以原分式方程无解.21.解：有错误，错在第①步，正确解法为：方程两边同乘(x﹣2)得x﹣3＋x﹣2＝﹣3解得x＝1经检验x＝1是分式方程的解所以原分式方程的解是x＝1.22.解：由题意，得﹣=2，解得，x=4经检验，当x=4时，x﹣3=1≠0，即x=4是原方程的解.故当x=4时，分式的值比分式的值小2.23.解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得．解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．24.解：(1)普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520(千米)；(2)设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5千米/时则题意得：＝﹣3，解得：x＝120经检验x＝120是原方程的解则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时.25.解：(1)设购买一个甲种足球需要x元=×2，解得，x=50经检验，x=50是原分式方程的解∴x+20=70即购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；(2)设这所学校再次购买了y个乙种足球70(1﹣10%)y+50(1+10%)(50﹣y)≤3000解得，y≤31.25∴最多可购买31个足球所以该学校购买这批足球所用金额不会超过预算.。
中考分式及分式方程专题复习
中考分式及分式方程专题复习1.分式及分式方程1.1 分式分式可以表示为 A/B 的形式，其中 A 和 B 都是整式。
如果 B 中含有字母，则这个式子就叫做分式。
可以表示为 A/B = MA/MB （其中 M 是不等于零的整式），也可以表示为 A/B = a/(a-b) 或 a/(a+b)。
1.2 分式的基本性质分式有加减乘除四种运算法则。
加减法中，分子相同的分式可以直接相加或相减；乘法中，分子和分母分别相乘；除法中，将除数取倒数，再和被除数相乘。
1.3 约分和通分根据分式的基本性质，可以将分式的分子和分母中的公因式约分，也可以将异分母的分式化成与原分式相等的同分母分式。
2.分式方程2.1 分式方程的概念分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程。
2.2 解分式方程的基本思想方法解分式方程的基本思想方法是将分式方程转化为整式方程，然后采用换元法进行求解。
在解方程的过程中，可能会产生增根，因此解得的结果必须进行检验。
2.3 列分式方程解应用题的步骤和注意事项列分式方程解应用题的一般步骤为：设未知数、列代数式、列方程、解方程并检验、写出答案。
在检验时，需要考虑题目中的实际情况，不符合条件的答案应该舍去。
3.选择题1.答案为 -1/(x+1) 的分式，x 的值为（B）0.2.化简 -1/(12x+1) 可得（B）-2/(2x-1)。
3.计算错误的是（D）b-a/(2a+b) = (2a+b)/(7a-b)。
4.设 m>n>0，m+n=4mn，则(m-n)/(m+n) = (A)2/3.5.把分式方程 x/(x-2) + 1/(2x) = 1/x 两边同乘以 2x(x-2)。
分式与分式方程(3大考点)(解析版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题07分式与分式方程（3大考点）（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解分式方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02分式方程的解-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11三、考点03分式方程的应用-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16考点01解分式方程一、考点01解分式方程1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程322x x-=--的解是（）A ．73x =-B ．=1x -C ．53x =D ．3x =1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程153x x =+的解是（）A ．3B ．2C ．32D ．344．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程311x x x+=--去分母，两边同乘(1)x -后的式子为（）A ．133(1)x x +=-B ．13(1)3x x +-=-C ．133x x -+=-D ．13(1)3x x+-=【答案】B【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘(1)x -化简分式方程即可．【详解】解：分式方程的两侧同乘(1)x -得：13(1)3x x +-=-．故选：B ．5．（2023·海南·中考真题）分式方程115x =-的解是（）A ．6x =B ．6x =-C ．5x =D ．5x =-【答案】A【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到x 的值，再检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：15x =-，解得：6x =，检验，当6x =时，510x -=≠，∴原分式方程的解是6x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程231x x =+的解为（）A ．1x =B ．=1x -C ．2x =D ．2x =-7．（2023·湖南·中考真题）将关于x 的分式方程21x x =-去分母可得（）A ．332x x -=B ．312x x -=C ．31x x -=D ．33x x-=8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．9．（2023·上海·中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=10．（2024·浙江·中考真题）若11x =-，则x =【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：21x =-，移项合并得：3x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故答案为：311．（2024·北京·中考真题）方程11023x x+=的解为.12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程301x x +-=的解为．13．（2023·江苏·中考真题）方程1121x -=+的解是．故答案为：2x =-【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．14．（2023·北京·中考真题）方程31512x x=+的解为．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程123x x +=的解为x =．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x +=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是．18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程144x x x-+=的解是．19．（2024·福建·中考真题）解方程：122x x +=+-．20．（2024·陕西·中考真题）解方程：2111x x +=--．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：x x=．2522．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：1-=．11x x23．（2023·山西·中考真题）解方程：1122x x +=．24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：311x x x+=．二、考点02分式方程的解26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（）A ．3m >-B ．3m >-且2m ≠-C ．3m <D ．3m <且2m ≠-27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程01m x x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A ．1m <且0m ≠B ．1m <C ．1m >D ．1m <且1m ≠-【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x 的分式方程233x x -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-29．（2023·山东淄博·中考真题）已知1x =是方程322x x -=--的解，那么实数m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．430．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程122x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-31．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1332．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程311x mx x x =-的解为正整数，则整数m 的值为．33．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．34．（2024·四川达州·中考真题）若关于x 的方程122x x --=无解，则k 的值为．35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程322x x ++=有增根，则m =．三、考点03分式方程的应用36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A ．200B ．300C ．400D ．50037．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A．60，30B．90，120C．60，90D．90，6038．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）A．120120301.2x x-=B．120120301.2x x-=C．120120301.260x x-=D．120120301.260x x-=39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A．240240102x x-=+B．240240102x x-=-C．240240102x x-=D．240240102x x-=40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为．41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为km/h．42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．答：D型车的平均速度为100km/h．45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？46．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：0.50.5ddw=+前后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．【答案】乙每小时加工8个这种零件．50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x=+，解得5x=，经检验5x=是原方程的解．乙：5201751.630x x=⨯-，解得65x=，经检验65x=是原方程的解．则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？。
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。
中考数学考点07分式方程及其应用总复习(原卷版)
分式方程及其应用【命题趋势】在中考中.解分式方程常以选择题、填空题和计算题考查；分式方程的实际应用再选择题考查列方程.解答题多与不等式、函数的实际应用结合考查。
【中考考查重点】一、能解可化一元一次方程的分式方程二、能根据具体问题的实际意义.检验方程的解是合理考点一：解分式方程1．（2021•广州）方程＝的解为（）A．x＝﹣6B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝6 2．（2021•贵池区模拟）分式方程+2＝的解是（）A．1B．0C．﹣1D．无解3．（2021•饶平县校级模拟）在下列方程中.（）是分式方程．A ．＝1B ．C ．D ．4．（2020•郴州）解方程：＝+1．考点二：分式方程的实际应用行程问题时间速度路程= 工程问题 工作完成时间工作效率工作总量= （当题干中没有给出具体工作总量时.默认工作总量为1）购买问题总量单价总价= 航行问题顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度【提分要点】双检验：1.检验是否为分式方程的解； 2.检验是否符号实际问题5．（2021•黔西南州）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为xkm/h.依题意.下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．＝36．（2021•黔东南州模拟）2020年在抗击“新型冠状病毒”期间.甲、乙两人准备帮助某抗疫指挥中心整理一批新到的物资.甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后.乙需再单独整理30分钟才能完工．设乙单独整理这批物资需要x分钟完工.则根据题意列得方程（）A．B．C．D．7．（2021•市中区三模）开学在即.由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同.且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍.则第二次购买口罩的单价是元．8．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场.就用4000元购进一批衬衫.面市后果然供不应求.该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫.所购数量是第一批购进数量的2倍.但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．1．（2021秋•遵化市期中）下列哪个是分式方程（）A．﹣﹣3x＝6B．﹣1＝0C．﹣3x＝5D．2x2+3x＝﹣2 2．（2021秋•江油市期末）一艘轮船在两个码头之间航行.顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h.则轮船在静水中航行的速度是（）A．25km/h B．24km/h C．23km/h D．22km/h3．（2021•张湾区模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书.现用A、B两种不同的包装箱进行包装.单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本.则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．4．（2021•安阳二模）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车.达到世界先进水平.安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米.乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟.已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时.设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时.根据题意可列方程（）A．﹣＝2.6B．﹣＝2C．﹣＝D．﹣＝25．（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．1．（2021•阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3.则m的值为（）A．3B．﹣3C．﹣1D．1 2．（2021•百色）方程＝的解是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝33．（2021•巴中）关于x的分式方程﹣3＝0有解.则实数m应满足的条件是（）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2 4．（2021•兴安盟）若关于x的分式方程+＝2无解.则a的值为（）A．﹣1B．0C．3D．0或3 5．（2021•鄂尔多斯）2020年疫情防控期间.鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要.花1万元购买了一批口罩.随着2021年疫情的缓解.以及各种抗疫物资充足的供应.每包口罩下降10元.电信公司又花6000元购买了一批口罩.购买的数量比2020年购买的数量还多100包.设2020年每包口罩为x元.可列方程为（）A．B．C．D．6．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十.粝米三十…”（粟指带壳的谷子.粝米指糙米）.其意为：“50单位的粟.可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升）.若按照此“粟米之法”.则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升7．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中.需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响.实际施工时每天的工效比原计划增加25%.结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道.根据题意.所列方程正确的是（）A．﹣＝30B．﹣＝30C．﹣＝30D．﹣＝308．（2021•大庆）解方程：+＝4．1．（2014•日照校级模拟）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程＝0的根为2；③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•安徽模拟）若x＝6是分式方程的根.则a的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4 3．（2021•郯城县模拟）分式方程＝0的解是（）A．1B．﹣1C．±1D．无解4．（2021•西湖区校级三模）某生产厂家更新技术后.平均每天比更新技术前多生产3万件产品.现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产产品x万件.则可以列方程为（）A．B．C．D．5．中国高铁目前是世界高铁的领跑者.无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约700km.乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用3.6h.已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．设特快列车的平均行驶速度为xkm/h.则下面所列方程中正确（）A．﹣＝3.6B．﹣＝3.6C．﹣＝3.6D．＝3.6﹣6．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌.现有A、B两个商家.A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A商家购买餐桌的张数.则A商家每张餐桌的售价为（）A．197元B．198元C．199元D．200元7．（2021•碑林区校级模拟）解方程：＝1﹣．。
分式方程中考复习学案
分式方程是数学中的一个重要概念，它是由有理函数与一个未知数构成的等式。
在解分式方程时，我们需要遵循特定的步骤和方法，以确保得出正确的答案。
本学案将帮助学生复习分式方程的重要概念、解题方法和相关例题。
第一部分：基础知识回顾1. 什么是分式？怎样表示一个分式？分式是两个整数的比值，由分子和分母组成，分子在上，分母在下，用横线分开。
2. 什么是分式方程？分式方程是一个包含分式的方程，其中未知数出现在分式中。
3. 分式方程的解法步骤是什么？步骤一：清理分母，将分式方程化为无分母的方程。
步骤二：整理方程，将未知数合并在一边，常数合并在另一边。
步骤三：消去未知数的系数，得出方程的解。
第二部分：解分式方程的方法1. 方法一：通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
首先，找到方程中所有分母的最小公倍数，然后用最小公倍数去分别乘以分式方程的两边，从而消去分母。
2. 方法二：消元法消元法是解决分式方程的另一种方法。
首先，将方程中的分式转化为等值的整式，然后利用解线性方程组的方法求解。
3. 方法三：取倒数法取倒数法也是解决分式方程的一种常用方法。
首先，将方程两边取倒数，然后将倒数化为整式方程，最后利用解线性方程的方法求解。
第三部分：例题分析1. 例题一：求解方程(3/x) + (4/x^2) = 7/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数x^2，得到方程6(3x + 4) = 7x^2。
整理后得到7x^2 - 18x - 24 = 0，通过解二次方程得到x = 6和x = -24/7。
2. 例题二：求解方程(2/(x-1)) - (3/(x+2)) = 5/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数(x-1)(x+2)，得到方程12(x+2) - 10(x-1) = 5(x-1)(x+2)。
整理后得到5x^2 - 9x - 34 = 0，通过解二次方程得到x ≈ 4.326和x ≈ -1.526。
第四部分：总结与反思分式方程在数学中扮演着重要的角色，掌握解分式方程的方法对提高数学能力至关重要。
中考数学考点复习第三节分式方程的解法及应用课件
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慢车所用的时间为 x h，快车所用的时间为 1.2x h，根据慢车
先出发 0.5 h，可列方程为 1x20－11.220x＝0.5 ，解方程即可．
解：设慢车的速度为 x km/h，则快车的速度为 1.2x km/h， 根据题意得12x0－11.220x＝0.5， 解得 x＝40， 经检验，x＝40 是原分式方程的解，且符合实际． 答：慢车的速度是 40 km/h.
方程 的解 无解 解为增根(既是去分母后整式方程的根，又是使分式方程分母为0的根)
去分母后整式方程无解 法
分式
工程问题:工作时间= 工作量 ;特别地,有时工作总量可以看做整体“1”
工作效率
方程 的实 际应
常见 销售问题:数量 = 类型 行程问题:时间 =
总价 单价 路程 速度
用 双重检验:一验是否为分式方程的增根,增根应舍去;二验是否满足实际问题
x ．
＋ ＋k1－x－k 1＝1
的解为负数，则
k
的取值范围
7．若关于
x
的方程 x
a－x1＝x－2 1＋1
无解，则
a
的值是(
D
)
A．1
B．3
C．－1 或 2
D．1 或 2
8．(2021
金牛区二诊)关于
x
的分式方程
k－1 － x2－1 x
－1 1＝x＋k 1有增根，则
k＝ 3或13 ．
9．(2021 郫都区一诊)若关于 x 的方程 xx＋－m4 ＋43－mx＝3 的解为正数，则
3．分式方程有解或已知解的正负性： (1)解分式方程，用含某个字母的代数式表示出 x； (2)使分式方程分母或最简公分母≠0； (3)当分式方程的解为正数时：x＞0；当分式方程的解为负数时：x＜0； 当分式方程的解为非负数时：x≥0；当分式方程的解为非正数时：x≤0.
初三中考数学复习-分式与分式方程
典例 3
把分式
x
，
x y
y x y
，
2 x2 y2
的分母化为 x2-y2 后，各分式的分子之和是
A．x2＋y2＋2 C．x2＋2xy−y2＋2
B．x2＋y2-x＋y＋2 D．x2−2xy＋y2＋2
3．下列分式中，是最简分式的是
xy A． x2
x y C． x2 y2
B． 2 2x 2y
D． 2x x2
典例 5 某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10 个．设 原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为
7
A．
20x 10 x4
15
C． 20x 10 15 x
B．
20x 10 x4
15
D． 20x 10 15 x
典例 6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用 700 元购进甲、乙两种商品 260 个，其中甲种商品比乙种商
品少用 100 元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高 20%，那么乙种商品单价是
A． 2 元
B． 2.5 元
C． 3 元
D． 5 元
5．某单位向一所希望小学赠送 1080 本课外书，现用 A，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用 B 型包
装箱比单独使用 A 型包装箱可少用 6 个；已知每个 B 型包装箱比每个 A 型包装箱可多装 15 本课外书．若
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： a c ad bc ad bc ． b d bd bd bd
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
中考复习_分式方程
分式方程一、选择题1.（2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为A 、0和3B 、1C 、1和－2D 、3 【答案】A 。
【考点】分式方程的增根，解分式和一元一次方程。
【分析】根据分式方程有增根，得出x －1＝0，x ＋2＝0，∴x ＝1，x ＝－2。
()()1112x mx x x -=--+两边同时乘以（x －1）（x ＋2），原方程可化为x （x ＋2）－（x－1）（x ＋2）=m ，整理得，m =x ＋2，当x =1时，m =1＋2=3；当x =－2时，m =－2＋2=0。
故选A 。
2.（2011广西北海3分）分式方程 1 x ＝ 5 x ＋4 的解是A ．1B ． 23 C ．－1 D ．无解【答案】A 。
【考点】解分式方程。
【分析】首先去掉分母，然后解一元一次方程，最后检验即可求解：去分母得x ＋4＝5x ，即x ＝1，检验适合，所以x ＝1是原方程的根。
故选A 。
3.（2011江苏宿迁3分）方程11112+=-+x x x 的解是 A ．－1 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 。
【考点】解分式方程。
【分析】利用分式方程的解法，首先去掉分母，然后解一元一次方程：21121111x x x x x -⇒--++＝＝2x ⇒＝，最后检验即可。
故选B 。
4.（2011山东东营3分）分式方程312422x x x -=--的解为A ．52x =B ．53x =C ．5x =D ．无解【答案】B 。
【考点】解分式方程。
【分析】解出所给方程组与四个答案比较即可：()2313222422x x x x x x --=−−−−−−−→-=---去分母方程两边同乘以2133553533x x x x x --−−−−−−→-=-−−−−−−→=−−−−→=移项，合并同类项把的系数化为检验方程两边同加-方程两边同除以代入原方程。
中考数学总复习《分式方程的概念及解法》专项测试卷带答案
中考数学总复习《分式方程的概念及解法》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A 层·基础过关1.(2024·济南模拟)解分式方程1-12-x =2xx -2,去分母后得到的方程正确的是( )A .1-(2-x )=-2xB .(2-x )+1=2xC .(x -2)-1=2xD .(x -2)+1=2x 2.(2024·德州德城区模拟)分式方程x x -1=32x -2-2的解是( )A .x =-16B .x =14C .x =76D .x =543.(2024·济宁二模)若关于x 的分式方程2+1-mx -2=x2-x有增根,则m 的值是( )A .1B .2C .3D .44.(2024·宜宾中考)分式方程x+1x -1-3=0的解为 .5.(2024·成都中考)分式方程1x -2=3x的解是 .6.(2024·东营二模)若关于x 的分式方程1-x x -2=m2-x-2无解,则m 的值是 .7.(2024·包头中考)解方程:x -2x -4-2=xx -4.8.(2024·福建中考)解方程:3x+2+1=xx -2.9.(2024·滨州二模)对于非零实数a ,b ,规定a ⊕b =1a -1b.若(2x -1)⊕2=1,试求x 的值.B 层·能力提升10.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围( )A .m >-3B .m >-3且m ≠-2C .m <3D .m <3且m ≠-211.(2024·牡丹江中考)若分式方程x x -1=3-mx 1-x的解为正整数,则整数m 的值为 .12.(2024·重庆中考)若关于x 的一元一次不等式组{2x+13≤34x -2<3x +a 的解集为x ≤4,且关于y 的分式方程a -8y+2-yy+2=1的解均为负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和是 .13.(2024·青岛三模)解方程:x -2x+2-1=16x 2-4.C 层·素养挑战14.(2024·青岛二模)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列:图中黑色圆点的个数依次为a 1,a 2,a 3,a 4,…以此类推.请回答下列问题:(1)a 3的值为 ,a 10的值为 ;(2)a n 的值为n (n+1)2;(3)若1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n =n 2 024(n 为正整数),则n 的值为 .参考答案A 层·基础过关1.(2024·济南模拟)解分式方程1-12-x =2xx -2,去分母后得到的方程正确的是(D)A .1-(2-x )=-2xB .(2-x )+1=2xC .(x -2)-1=2xD .(x -2)+1=2x 2.(2024·德州德城区模拟)分式方程x x -1=32x -2-2的解是(C)A .x =-16B .x =14C .x =76D .x =543.(2024·济宁二模)若关于x 的分式方程2+1-mx -2=x2-x有增根,则m 的值是(C)A .1B .2C .3D .44.(2024·宜宾中考)分式方程x+1x -1-3=0的解为 x =2 .5.(2024·成都中考)分式方程1x -2=3x的解是 x =3 .6.(2024·东营二模)若关于x 的分式方程1-x x -2=m2-x-2无解,则m 的值是 1 .7.(2024·包头中考)解方程:x -2x -4-2=xx -4.【解析】x -2x -4-2=xx -4x -2-2(x -4)=x 解得:x =3检验:当x =3时,x -4≠0 ∴x =3是原方程的根. 8.(2024·福建中考)解方程:3x+2+1=xx -2.【解析】原方程两边都乘(x +2)(x -2),去分母得:3(x -2)+(x +2)(x -2)=x (x +2) 整理得:3x -10=2x解得:x =10检验:当x =10时,(x +2)(x -2)≠0 故原方程的解为x =10.9.(2024·滨州二模)对于非零实数a ,b ,规定a ⊕b =1a -1b .若(2x -1)⊕2=1,试求x 的值.【解析】由题意得:12x -1-12=1去分母得:2-(2x -1)=2(2x -1) 解得:x =56.经检验,x =56是原方程的根∴x =56.B 层·能力提升10.(2024·遂宁中考)分式方程2x -1=1-mx -1的解为正数,则m 的取值范围(B)A .m >-3B .m >-3且m ≠-2C .m <3D .m <3且m ≠-211.(2024·牡丹江中考)若分式方程x x -1=3-mx 1-x的解为正整数,则整数m 的值为 -1 .12.(2024·重庆中考)若关于x 的一元一次不等式组{2x+13≤34x -2<3x +a 的解集为x ≤4,且关于y 的分式方程a -8y+2-yy+2=1的解均为负整数,则所有满足条件的整数a 的值之和是 12 .13.(2024·青岛三模)解方程:x -2x+2-1=16x 2-4.【解析】(x -2)2-(x 2-4)=16 x 2-4x +4-x 2+4=16 -4x +8=16 -4x =8x =-2检验,当x =-2时,x +2=0,故x =-2不是原方程的解 ∴该分式方程无解.C 层·素养挑战14.(2024·青岛二模)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列:图中黑色圆点的个数依次为a 1,a 2,a 3,a 4,…以此类推.请回答下列问题:(1)a 3的值为6,a 10的值为55;【解析】(1)由题意知,a 1=1,a 2=1+2=3,a 3=1+2+3=6 a 4=1+2+3+4=10,…∴a 10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 (2)a n 的值为n (n+1)2;【解析】(2)由题意知,a n =1+2+3+…+n ∵a n =n +(n -1)+(n -2)+…+1 ∴2a n =n (n +1),即a n =n (n+1)2;(3)若1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n =n2 024(n 为正整数),则n 的值为4 047.【解析】(3)由题意知,a n =n (n+1)2∴1a n =2n (n+1)=2(1n -1n+1)∴1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n=2(1-12)+2(12-13)+…+2(1n -1n+1)=n2 024∴2(1-1n+1)=n2 024解得n=4 047,经检验n=4 047是原分式方程的解,且符合要求.。
中考数学复习《分式方程》测试题(含答案)
中考数学复习《分式方程》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共20分)1．解分式方程2x －1＋x ＋21－x ＝3时，去分母后变形为(D) A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1)C ．2－(x ＋2)＝3(1－x )D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)2．[2015·天津]分式方程2x －3＝3x 的解为(D) A ．x ＝0 B ．x ＝5C ．x ＝3D ．x ＝9【解析】 去分母得2x ＝3x －9，解得x ＝9，经检验x ＝9是分式方程的解．3．[2015·常德]分式方程2x －2＋3x2－x ＝1的解为(A)A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝13D ．x ＝0【解析】 去分母得2－3x ＝x －2，解得x ＝1，经检验x ＝1是分式方程的解．4．[2015·遵义]若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是(A)A ．5B ．－5C ．3D ．－3【解析】 ∵x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，∴a －23－13－2＝0，∴a －23＝1，∴a －2＝3，∴a ＝5.5．[2014·福州]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是(A)A.600x ＋50＝450x B.600x －50＝450x C.600x ＝450x ＋50 D.600x ＝450x －50 【解析】 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器所需时间＝原计划生产450台所需时间．二、填空题(每题4分，共20分)6．[2015·淮安]方程1x －3＝0的解是__x ＝13__.7．[2015·巴中]分式方程3x ＋2＝2x的解x ＝__4__． 8．[2015·江西样卷]小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x 袋牛奶，则根据题意列得方程为__10x ＝12x ＋2＋0.5__. 9．[2015·河南模拟]若关于未知数x 的分式方程a x －2＋3＝x ＋12－x有增根，则a 的值为__－3__.【解析】 分式方程去分母，得a ＋3x －6＝－x －1，解得x ＝－a ＋54，∵分式方程有增根，∴x ＝2，∴－a ＋54＝2，解得a ＝－3.10．[2015·黄冈中学自主招生]若关于x 的方程ax ＋1x －1－1＝0的解为正数，则a 的取值范围是__a ＜1且a ≠－1__.【解析】 解方程得x ＝21－a ，即21－a＞0，解得a <1， 当x －1＝0时，x ＝1，代入得a ＝－1，此为增根，∴a ≠－1，∴a ＜1且a ≠－1.三、解答题(共26分)11．(10分)(1)[2014·黔西南]解方程：1x －2＝4x 2－4； (2)[2014·滨州]解方程：2－2x ＋13＝1＋x 2.解：(1)x ＋2＝4，x ＝2，把x ＝2代入x 2－4，x 2－4＝0，所以方程无解；(2)去分母，得12－2(2x ＋1)＝3(1＋x )，去括号，得12－4x －2＝3＋3x ，移项、合并同类项，得－7x ＝－7，系数化为1，得x ＝1.12．(8分)[2015·济南]济南与北京两地相距480 km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4 h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．解：设普通快车的速度为x km/h ，由题意得480x －4803x ＝4，解得x ＝80，经检验，x ＝80是原分式方程的解，3x ＝3×80＝240.答：高铁列车的平均行驶速度是240 km/h.13．(8分)[2015·扬州]扬州建城2 500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1 200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？解：设原计划每天种树x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)x ，由题意得1 200x － 1 200（1＋20%）x＝2， 解得x ＝100，经检验，x ＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树100棵．14．(10分)[2015·连云港]在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了4 800元．(1)求每张门票的原定票价；(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．解：(1)设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为(x －80)元，根据题意，得6 000x ＝4 800x －80，解得x ＝400.经检验，x ＝400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；(2)设平均每次降价的百分率为y ，根据题意，得400(1－y )2＝324，解得：y 1＝0.1，y 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每次降价10%.15．(12分)[2015·泰安]某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7 800元，乙种款型共用了6 400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．(1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？(2)商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？解：(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，依题意有7 8001.5x ＋30＝6 400x ，解得x ＝40，经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，1．5x ＝60.答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件；(2)6 40040＝160，160－30＝130(元)，130×60%×60＋160×60%×(40÷2)＋160×[(1＋60%)×0.5－1]×(40÷2) ＝4 680＋1 920－640＝5 960(元)．答：售完这批T 恤衫商店共获利5 960元．16．(12分)[2015·宁波]宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6 600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？【解析】 (1)首先设B 花木数量为x 棵，则A 花木数量是(2x －600)棵，由题意得等量关系：种植A ，B 两种花木共6 600棵，根据等量关系列出方程；(2)首先设安排a 人种植A 花木，由题意得等量关系：a 人种植A 花木所用时间＝(26－a )人种植B 花木所用时间，根据等量关系列出方程．解：(1)设B 花木数量为x 棵，则A 花木数量是(2x －600)棵，由题意得 x ＋2x －600＝6 600，解得x ＝2 400，2x －600＝4 200，答：B 花木数量为2 400棵，则A 花木数量是4 200棵；(2)设安排a 人种植A 花木，由题意得4 20060a ＝ 2 40040（26－a ），解得a ＝14，经检验，a ＝14是原分式方程的解，26－a＝26－14＝12，答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．。
中考数学专题复习5.分式方程
5.分式方程一、选择1、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是……………【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．52、用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 3、分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2 D ．-3 4、分式方程3221+=x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x 5、关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是 A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－26、 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+xx （C ） 18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x7、解方程x x -=-22482的结果是（ ） A ．2-=xB ．2=xC ．4=xD ．无解8、分式方程211x x =+的解是（ ） A ．1B ．1-C ．13D ．13-9、分式方程2131=-x 的解是（ ） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 31=x 10、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．511、方程121x x=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312、解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（ ） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解13、方程121x x=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．314、解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（ ） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解二、填空15、请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。
人教版2023中考数学专题复习：分式方程精讲精练
分式方程精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．4.分式方程的应用(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．针对训练一、单选题1．下列方程中是分式方程的是（ ）A ．212x x -=B ．223x x =-C ．122x =-D ．312x π+=2．分式方程61222x x x -=---的解是（ ） A ．3x =- B ．2x =- C ．0x = D ．3x =3．关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2 4．若关于x 的方程221m x x =+无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．4 D ．0或45．已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥- B ．4m ≥-且3m ≠- C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠- 6．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件才能按时交货，则x 应满足的方程为（ ）A ．72072054848x =-+B ．72072054848x -=+C ．72072054848x -=-D ．72072054848x -=- 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为( )A ．900900231x x =⨯+-B ．900900231x x =⨯-+C ．900900213x x =⨯-+D ．900900213x x =⨯+- 8．某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x =-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量D ．篮球的数量 9．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+ 10．若关于x 的不等式组52111322x a x x +≤⎧⎪⎨⎛⎫-<+ ⎪⎪⎝⎭⎩有且仅有四个整数解，关于y 的分式方程26121ay y y -=+--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．2B ．5C ．10D ．12二、填空题11．解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 12．分式方程522x x=+的解为_______． 13．若关于x 的分式方程25k x x =+的解为10x =-，则k =_______． 14．代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 15．设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39n m n m =-☆，若关于x 的方程()(12)1a x x x =+☆☆无解，则a 的值是______．16．若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是____________． 17．对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____． 18．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______． 19．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________km /h ．20．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A ，B 两个商家供货，A 商家每张课桌的售价比B 商家优惠20元，若该校花费1500元在A 商家购买课桌的数量与花费2500元在B 商家购买课桌的数量一样多，设A 商家每张课桌的售价为x 元，则可列方程为________．三、解答题21．解下列方程：(1)2131x x=+-(2)11222xx x-=---(3)2134412142xx x x+=--+-22．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？23．我县教育局新建了一栋办公楼，需要内装修，甲工程队单独施工需要80天完工，由甲乙两工程队同时施工，那么16天完成了总工程的13 25．(1)如果乙工程队单独施工，则需要多少天完成？(2)如果甲工程队单独施工一天的工钱是5000元，乙工程队单独施工一天的工钱是8100元，为了节约工钱，应选用哪个工程队单独施工比较划算？24．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？25．小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示爸爸去过西安、成都、重庆．已知西安到成都的路程为770公里，比西安到重庆的路程少230公里，小明爸爸驾车从西安到重庆的平均车速和西安到成都的平均车速比为8:7，从西安到重庆的时间比从西安到成都的时间多1.5 小时．(1)求小明爸爸从西安到重庆的平均车速；(2)从西安到成都时，若小明的爸爸比之前到达的时间至少要提前1小时，则平均车速应满足什么条件？26．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）。
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例2 解方程
解： 整理，得
方程两边都乘以
1 x x 2
1 x x 2
1
1 2 2 x x 2
2
调整：2-x=-（x-2)
x 2
x 2 ，得
-2不能漏乘
1 x 1 2 ( x 2)
解这个方程，得 x 2 检验： 当x=2时， x 2 0 ∴x=2是原方程的增根, ∴原方程无解. 应舍去
解分式方程容易犯的错误有：
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 要 注意添括号． (3)忘记验根，增根不舍掉。
中考实战
1.(2014.安徽)方程 6 =3的解是x=______
1 1 3
2.（2015.山西）解方程 2 x 1 2 4 x 2 3.（2015.荷泽）解方程
中考总复习
第9课时 分式方程
知识梳理：
1、分式方程的定义
分母 里含有未知数的方程叫做分式方程 ____
（一）理解分式方程的概念
【例1】指出下列关于x的方程中，分式方程有（B ）
①
1 2x 1 3x
2
2
=5
②
x
2
2
x 3
x a
=5
③ 2 x 5x 0 ④
5 2 x 2 5x
+3=0 ⑤
1
的解是正数，则
a 1 的取值 a 范围为———— ；
（2015年荆州）若关于
x
的方程
m 1 x 1
2
的解是非负
m 1且 m 1 数，则 m 的取值范围为________________
5、分式方程的应用
检验
6
例8
所以能在开会前赶到学校。
练习1：
练习2：
方法总结：1.化为整式 方程. 2.把整式方程分两 种情况讨论，整式方程 无解和整式方程的解为 增根.
中考实战
（2015年东营）若分式方程
x-a x1 a
1 无解，则a的值为_________
4.根的情况
例5
已知关于 x 的分式方程
m x 1
① 方程有解
m x 1
3 x -1
② x≧0
1、分式方程
1 x 2
m x 1
有增根，则
增根为（ C ）
A、 2 B、-1 C、2或-1 D、无法确定
m x x 1 1
2、若分式方程 m的值为 -1
有增根，则
。
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？
“增根”是你可以求出来的，但代入后方 程的分母为0无意义，原方程无解。 “无解”包括增根和这个整式方程没有解的情况
2 x
2
4
x x 2
1
3.关于增根问题：
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方 使分母值为零的根. 程的过程中出现的不适合于原方程的
产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, 而不是分式方程的根.
1 • 【例3】1、分式方程 x5 5 x 根，则增根是 5 。
3 1 x
1
1的解是非负数，求
m 的取值范围
解：整理，得： 去分母，得：
m 3 x 1
x m 2
即x 0
且x 1
方程的解是非负数
x 0
m2 0
且 x -1 0
且m -2 1
m 2且 m 3
中考实战
2x a
（2015年枣庄）若方程
x 1
x b
1
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、分式方程的解法
（ 1 ）．解分式方程的基本思路：将分式方 整式 程化为______________ 方程． （2）．解分式方程的一般步骤是： 最简公分母 ，约去分 ①在方程的两边都乘 ____________ 母，化成____________ ； 整式方程 整式方程 ②解这个____________ ； 最简公分母 ，看 ③验根，把解得的根代入 ____________ 结果是不是零，使____________ 最简公分母 为零的根是原 增根 方程的____________ ，必须舍去．
例4：k为何值时，分式方程 x
x 1
k x 1
x x 1
0无解？
解：
方程两边都乘以(x-1)(x+1),得 x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 整理，得 （k+2）x=-k (1)当x=1时是增根，原方程无解，此时k=-1 （2）当x=-1时也是增根，此时k值不存在 （3 ） 当k+2=0时，k=-2, 方程无解，原方程也无解 ∴当k=-1或k=-2时，原方程无解
2m
4
有增
mx 2x
（练习）已知分式方程 求m的值。
1 x2
3
的増根，求 m 的 有增根， Nhomakorabea解：方程两边同乘以（x-2）得 1+3（x-2）=x-m 因为原方程有增根，所以 x=2 把x=2代入得 1+0=2-m 解得 m=1
方法总结： 1.化为整式方程； 2.根据分母为0确定增根； 3.把增根 代入整式方程求出 字母的值。