定积分单元测试题
定积分练习题精品文档10页
第九章 定 积 分练 习 题 §1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）⎰∑=+=112233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x（3）⎰bax dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e x x ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx （7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x 12)(ln 1 2．利用定积分求极限：（1）);21(1334lim n nn +++∞→Λ （2）;)(1)2(1)1(1222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n Λ （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→Λ（4）)1sin 2sin (sin 1lim n n n n nn -+++∞→Λππ 3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i iχωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有()Λ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
(完整版)定积分练习题
一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
定积分练习题+答案
x
arctan(cos x) 2
04
27
8.
1 x5e x2 dx =
1
答案: 0 .
由于被积函数是奇函数.
9.设 f ( x) 是连续奇函数,且
1 f ( x)dx 1,则
0
f ( x)dx =
0
1
答案: 1
1
0
因为 f ( x) 是连续奇函数, 则 f ( x)dx f ( x)dx 0
ln(1 t)dt
9. lim 0
=(
x0 1 cos x
(A) 1
(B) 2
).
(C ) 4
(D) 8
答案: C.
sin2 x
因为 lim 0 ln(1 t)dt lim ln(1 sin2x) 2cos 2x
x 0 1 cos x
x 0
sin x
lim 2cos 2x lim ln(1 sin2x) sin2x
x 0
x 0 sin2x
sin x
2 lim sin2x 2sin x cos x 4
x 0 sin2x
sin x
18
10.设 F( x)
x 0
1 1 t2
dt
1 x 0
1 1 t2
dt
,则Biblioteka ().( A ) F(x) 0
( B ) F(x)
2
( C ) F( x) arctan x ( D ) F( x) 2arctan x
0
0
(C ) 0
( D ) 以上都不正确
二、填空题
1. lim 1 xndx = n 0
b
a
2. f ( x)dx f ( x)dx =
(完整版)定积分习题及答案
第五章 定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。
定积分单元测试题
一、、填空题（1）定积分的值只与_______及_______有关，而与积分变量的符号无关． （2）设()()()1132001,______1f x x f x dx f x dx x=+=+⎰⎰则． （3）⎰+badx x g x f x f )()()(1=，则⎰+badxx g x f x g )()()(= ；（4）(121sin ________x x dx -=⎰（5）设()()()()2_______xx e f x f dt -'=⎰连续，F x =t ,则F x（6）设()()220_______xd f x tf x t dt dx -=⎰连续，则． （7）设()()1ln 1,______1x t f x dt f x f t x ⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭⎰则。
二、选择题（1） 设[]上连续在区间b a x f ,)(，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值为（ ）A ．大于零B ．小于零 Ｃ．等于零 Ｄ．以上都不对（2）dx x xx ⎰-+ππ1cos 23=（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．１（3）定积分dx x f ba⎰)(是（ ）A ．的一个原函数)(x fB ．确定的函数 Ｃ．的全体原函数)(x fD ．任意常数()()()()()()000______xxf x x x x f x x x f t t t dt φφφ=→→⎰⎰0（4）设、在点的某邻域内连续且时，是的高阶无穷小，则时，sintdt 是的无穷小。
A. B. C.D 低阶高阶同阶非等价 .等价三、用定积分的定义计算（1）∑=∞→+ni n n in111lim；（2）)0( 21lim 1>++++∞→p nn p p p p n 四、利用定积分求下图阴影部分面积，并求其绕X 、Y 轴旋转所形成的旋转体体积。
yx)(ayy2xxx22=y2-2+ π（b ）(c) 五、计算1、设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=., x e,, x xx f x 011011，求⎰-2)1(dx x f . 2、求极限⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x xx x dxe dx e 0220 22lim 3、求⎰1)(dx x f ，设()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--⋅≤≤=.1 ,11,0 , x t t x t t x x x f 4、 ⎰--1145xxdx ； 5、⎰--223cos cos ππdx x x ；6、 ⎰exdx x 1ln ； 7、⎰π2)sin (dx x x ；8、⎰exdx 0ln ； 9、 ⎰-1131dx x 10、计算⎰∞+∞-++ 222x x dx六、证明；若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰⎰-+-=1])([)()(dx x a b a f a b dx x f ba七、设)(x f 为连续正值函数，证明当0≥x 时，函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00 )()()( φ单调增加. 八设函数)(x f 连续，=)(x ϕ,)(1dt xt f ⎰且A xx f x =→)(lim（A 为常数），求)(x ϕ'并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.答案：一、1、被积函数 积分区间2、/3π 3、b-a-1 4、/2π 5、()()22x xxf x e f e --+6、()2xf x 7、21ln 2x 二、1、C 2、C 3、B 4、B 三、（1）∑=∞→+ni n n in111limnn i ni n 11lim1⋅+=∑=∞→⎰+=11dx x)1()1(121⎰++=x d x 1023)1(32⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x )122(32-=（2） 21lim1+∞→+++p pp p n n n 1lim 1n n i ni pn ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∞→⎰=10 dx x p1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+p x p 11+=p 四、a 、311dx x ⎰332211112x y V dxV xdx xxππ==⎰⎰ b、1202)x dx ⎰())1324201222x y V x x dxV xx dx ππ=--=-⎰⎰c、222cos cos xdx xdx ππππ--⎰⎰222022cos2cos 2(cos )xy V xdxV x xdx x x dx ππππππππ-==+-⎰⎰⎰五、1、令t x =-1，则⎰-2)1(dx x f ⎰-=11)(dt t f ⎰-=1)(dt t f ⎰+1)(dt t f⎰-+=01 11dt e t⎰++1 0 11dt t ()⎰-+=1 1dt e ee ttt()[]10 1ln t ++⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=01 111ttt de e e 2ln +2ln 1ln 01+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-t t e e ()1ln +=e 2、0 3、t/2 4、 61；5、 34；6、 )1(412+e ；7、 463ππ-；8、 0；9、 发散.10、π； 六、令()x a b a x =+- 七、()0x φ'≥八、分析 当0≠x 时，将,)(1dt xt f ⎰通过变量代换，把被积函数中的x 转化到积分限上,再求)(x ϕ'.当0=x 时，由)(x ϕ的定义知=)0(ϕ()0)0(10 f dt f =⎰.根据A xx f x =→)(lim0知0)0(=f .由导数定义求出)0(ϕ'.再根据函数连续性的定义判断)(x ϕ'在0=x 处的连续性.解 令u xt =，则=)(x ϕ)()(11 0 xt d xt f x ⎰du u f x x⎰= 0)(1 )0(≠x)(x ϕ'=)(1x f x du u f xx ⎰- 0 2)(1 )0(≠x由A x x f x =→)(lim0及)(x f 的连续性知:)0(f )(lim 0x f x →=0)(lim 0=⋅=→x xx f x ，从而0)0(=ϕ.由导数定义得)0(ϕ'xx x )0()(limϕϕ-=→2)(limx du u f xx ⎰→=x x f x 2)(lim→= 2A= 故 )(x ϕ'⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=⎰.0 ,2,0 ,)(1)( 0 2x A x du u f x x x f x又 )(lim 0x x ϕ'→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰→du u f xx x f xx 020)(1)(lim 22A A A =-=)0(ϕ'=所以)(x ϕ'在0=x 处连续.。
(完整版)定积分的简单应用测试题
一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛ab g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3533．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D.526．比较积分值dx x e ⎰102和dx ex⎰1的大小( )A ．dx x e ⎰102大于dx ex⎰1B ．dx x e⎰102小于dx ex⎰1C ．dx x e⎰102等于dx ex⎰1D ．dx x e ⎰102和dx ex⎰1不能比较7．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7128．求⎰-11xdx 的解( ) A ．0 B ．1 C ．-1D ．2 9．求dx x ⎰212的解() A.12 B ．31 C ．32D ．3710．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________．12．求函数y=f(x)=x 2+1在区间［0,1］上的平均值y -________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．14．求经过点(0，1)，并且在每一点P （x,y ）处的切线的斜率为2x 的曲线方程＿＿三、计算题 15.dxdy +x 32y=x 626x 2的通解16.dx e x x⎰+104)(5 17.⎰+102)1(x x dx18.dt te t⎰-20 三、解答题 19.求方程xxy x ysin 1/=+的通解 20．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． 21．验证：函数x x y 21+=是方程x y dx dy -=1和y(2)=23的解 22.计算曲线f(x)=4-x 2与直线g(x)=-x+2所围成图形的面积 一、 选择题（每题3分，共30分） 1、()dx x ⎰+201的定积分是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 2、已知圆r y x 222=+，则圆的面积是（ ）A 、πrB 、πr 2C 、2πrD 、2πr 2 3、底面积为S,高为h 的棱锥的体积是（ ）A 、shB 、sh 21 C 、sh 31 D 、sh 41 4、曲线()x x 24-=⎰与直线g ()2+-=x x 所围图形的面积是（ ）A 、29 B 、 27 C 、 23D 、 255、微分方程xy dxdy2=的通解是（ ）A 、 exc B 、 e x c 2C 、e xD 、x e 26、dx x⎰+∞131的极限值是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、反常积分⎰-axa dx22的值是（ ）A 、-1B 、πC 、21π D 、π23 8、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，)(x F 是)(x f 在区间[b a ,]上的任意一个原函数，那么（ ）A 、⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B 、⎰=ba a F dx x f )()( C 、⎰=ba b F dx x f )()( D 、⎰+=ba a Fb F dx x f )()()( 9、求微分方程x x y dxdy 2263=+的通解是（ ）A 、e x c 2B 、x e 2C 、e x c 31-+D 、e x c 32-+10、如果函数)(x f 在区间[b a ,]上连续，则)(x f 在区间[b a ,]上的积分是（ ）A 、⎰b a dx x f )(B 、⎰b a dy x f )(C 、⎰b a dy y f )(D 、⎰ba dx y f )( 二、填空题。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分习题二
定积分习题二填空题1、______________ln 1312值的符号是积分⎰xdx x 。
2、________________)sin (sin 254值的符号是定积分⎰π-dx x x 。
3、________________ln ln 2121 221的大小关系是与积分⎰⎰==dx I xdx I x 。
4、_________________ln ln 4 3224 31的大小关系是和积分dx x I xdx I ⎰⎰==。
5、[][][]()f x a b c d a b ⊂设在，上是非负连续函数，若区间，，1212()()________b dacI f x dx I f x dx I I ==⎰⎰，，则，的大小关系是。
6、[] ()()0()()___abf x a b f x a b f x dx ><⎰设在，上连续，且，，则值的符号是。
7、[]12()()()bb aaf x a b I f x dx I f x dx ==⎰⎰设在，上连续，定积分与值的大小关系____________是。
8、[][]()()()____.xaf x a b f t dt f x a b ⎰若为，上的连续函数，则为在，上的一个9、[]()()()___.baF x f x a b f x dx =⎰设是连续函数在区间，上任一个原函数，则10、[]()()__________aaf x a a f x dx --=⎰设为，上连续的奇函数，则。
11、[]_______________)()(=-⎰-aadx x f a a x f 上连续的偶函数，则，为设。
12、[]()()(0)f x T f x a a T a +≠设为以为周期的连续周期函数，则在，上的定积分与[]______________0)(是上的定积分的大小关系，在T x f 。
13、120________I I ==⎰⎰定积分和的大小关系是。
定积分习题——精选推荐
定积分习题第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：?-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）?∑=+=112233)1(41:;ni n n i dx x 提⽰（2）?10;dx e x（3）?ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=?提⽰取§2 ⽜顿⼀菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）?+10)32(dx x ；（2）?+-102211dx x x ；（3）?2ln e e x x dx ；（4）?--1;)1(dx xx （7）?+40;1x dx（8）?eedx x x 12)(ln 1 2．利⽤定积分求极限：（1）);21(1334lim n nn +++∞→Λ（2）;)(1)2(1)1(1222lim ++++++∞→n n n n n n Λ（3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→Λ（4）)1sin 2sin (sin 1lim n n n n nn -+++∞→Λππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-?§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若⼲个分点后所得的分割，则∑∑?≤?'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ??=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ?.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有()()()()"','".sup sup inf f f f f χχχχχχχχ∈?∈?∈?-=-。
第六章 定积分的应用 单元测试
第六章、定积分的应用 单元测试题（一）选择题（每小题4分，共40分）1. 曲线r ae θ=及直线θπ=-，θπ=所围图形的面积为（ ） A.22012a e d πθθ⎰ B. 22202a e d πθθ⎰ C.22a ed πθπθ-⎰ D. 222a e d πθπθ-⎰2. 心形线4(1cos )r θ=+，直线0θ=，2πθ=所围图形绕极轴旋转而成旋转体的体积为（ ）A. 22016(1cos )d ππθθ+⎰B. 222016(1cos )sin d ππθθθ+⎰C. 222016(1cos )sin [4(1cos )cos ]d ππθθθθ++⎰D.022216(1cos )sin [4(1cos )cos ]d ππθθθθ++⎰3. 横断面积为s 、深为h 的水池中装满了水，把池中的水全部抽到距地面高为H 的水塔中所作的功W =（ ） A.()hs H h y dy ++⎰B. 0()Hs H h y dy +-⎰C.()hs H y dy +⎰D. 0()h Hs H h y dy ++-⎰4. 曲线(0)r ae λθλ=>，从0θ=到θα=一段的弧长s =（ ）A.aaeλθθ⎰B. 0θ⎰C.θ⎰D. 0θ⎰5. 矩形闸门的一边恰与水面相齐，且此闸门垂直于水面，过闸门的中心作水平线将矩形分为面积相等的上、下两部分，设上部所受的压力为1P （吨），下部所受压力为2P （吨），则12P P =（ ） A.12 B.1 C.13 D.236. 曲线1y x=，y x =，2x =所围成的图形面积为A ，则A =（ ）A.211()x dx x -⎰B. 211()x dx x-⎰C.21101(2)(2)dy y dy y-+-⎰⎰ D. 22111(2)(2)dx x dx x -+-⎰⎰7. 曲线22x y =在[0,1]之间的一段绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为（ ）A. 12⎰ B. 1202x dx π⎰C.12x π⎰D. 10x π⎰8. 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()()g x f x m <<（m 为常数），则曲线()y g x =，()y f x =，x a =及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体积为（ ）A.[2()()][()()]bam f x g x f x g x dx π-+-⎰B. [2()()][()()]bam f x g x f x g x dx π---⎰C. [()()][()()]bam f x g x f x g x dx π-+-⎰D.[()()][()()]bam f x g x f x g x dx π---⎰9. 设在区间[,]a b 上，()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令1()baS f x dx =⎰，2()()S f b b a =-，31[()()]()2S f b f a b a =+-，则A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S << 10. 两个半径为a 的直交圆柱体公共部分的体积V =（ ） A. 224()aa x dx -⎰B. 2208()aa x dx -⎰C. 2216()aa x dx -⎰D. 2202()aa x dx -⎰（二）填空题（每小题4分，共60分）1. 抛物线()(0)y x x a a =->与直线y x =所围图形的面积为＿＿。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．222024xdx x dx +-=⎰⎰( )A ．2π B ．12π+ C ．4π D ．π4．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-6．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．11)x dx -=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 8．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y = ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-11．计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．5312．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C．-⎰D ．11edx x二、填空题13．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．14．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.15．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．16．若二项式261()5x x +的展开式中的常数项为m ，则21(2)d mx x x -=⎰_________．17．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．如图，两曲线2y x =，2y x 围成图面积__________．20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.22．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：x10 15 20 25 3035 40 y23022708 2996 3219 3401 3555 3689 10013102y z e =+ 2.49 2.993.554.004.494.995.49（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.23．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．24．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 25．计算下列定积分 （1） ()12xx e dx +⎰（2）2442cos tan 2x x dx ππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ （3）214x dx --26．已知函数()sin cos ,f x x x a x =+且()f x 在3x π=处的切线的斜率为6π.（1）求a 的值，并讨论()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； （2）设1()ln(1),0,01x g x mx x m x -=++≥>+，若对任意[)10,x ∈+∞,总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果.()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．A解析：A 【分析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】22200112x == 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =，2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122x dx ππ+-∴=+-=⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.4．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.5．A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
定积分练习题及答案
第五章 定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。
(完整版)定积分测试题及答案
定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题5分）1.0=⎰（ ）A.0B.1C.π D 4π2(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b3.(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13 D.7124．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( )A ．4 B.43 C.185D ．65.(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1376．(2010·湖南省考试院调研)1-1⎰ (sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( )A ．2πB ．3π C.3π2D ．π8．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1t d t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11)10．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π411．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32 B ．1C ．4D.1212．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题：（每小题5分） 13. 0π⎰sin x d x =______________14.物体在力F(x)=3x+4的作用下，沿着与F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，力F 所做的功为______________15.211()x x dx +=⎰______________16.10()x x e e dx -+=⎰______________17.(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若1-1⎰f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.18．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．19．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．20．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小为________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10 A 11C 12 C13.2 14.40 1532+ln 2 16.e-1e 17.-1或13 18.16x-8y+1=019.-1 20.14。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A ．5000B ．6667C ．7500D ．78542．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数4．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-6．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 7．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+8．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2310．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-11．1204x dx -=⎰（ ）A ．4B ．1C ．4πD ．332π+12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．232319x x dx -⎫-=⎪⎪⎭⎰____________________.14．已知曲线与直线所围图形的面积______.15．424(16)x x dx --+=⎰__________．16．已知曲线y x =，2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S =__________．17．定积分()102xx e dx +=⎰__________．18．已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________19．若，则的值是__________．20．定积分120124x x dx π⎫--⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．已知函数()ln 3mf x x x x=++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]0,2m ∈，不等式()()1f x k x ≤+，对[]1,x e ∈恒成立，求实数k 的取值范围.23．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 24．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-.①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 26．计算由直线4,y x =-曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S 。
定积分练习题
定积分
一、 想一想
计算定积分有哪些方法 定积分的应用
二、 做一做
1. 计算下列定积分的值 1）2
0(23)x dx +⎰
2）2211
()x dx x -⎰
3）2
31
(1)x dx -⎰
4）2
01x dx -⎰
5）2
20
sin 2
x dx π
⎰ 6
）1-⎰
2. 求由抛物线28(0)y x y =>与直线
60x y +-=及0y =围成图形的面积。
3.求由曲线223y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积。
4.求由抛物线24y x =-与直线2y x =-+所围成图形的面积。
5. 求由曲线1
xy=与直线,2
y x y
==所围成图形的面积。
6. 求由曲线2
2
y x x
=-与直线2
24
y x x
=-所围成图形的面积。
7. 在曲线2(0)
y x x
=≥上某一点处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为
1
12。
试求：（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线方程
8. 设()
y f x
=是二次函数，方程()0
f x=有两个相等的实数根，且()22
f x x
'=+。
（1）求()
f x的表达式；
（2）求()
y f x
=的图像与坐标轴所围成的图形的面积；
（3）若直线(01)
x t t
=-<<把()
y f x
=的图像与两坐标轴所围成的图形面积二等分，求t的值。
反思：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分单元测试题
一、填空题 1、
dx x ⎰
+4
1
1=___________。
2、广义积分43
x dx -
+∞
=⎰
3、________1
1
02=+⎰dx x x 。
4、()________1202
=-⎰dx x 。
5、设
()32
1
2-=⎰
-x dt t f x ，则()=2f 。
6、=+⎰
3
1
ln 1e x
x dx。
7、()=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++⋅⎰-dx x x x x x π
πcos 113sin 222
4。
8、x dt t x
x ⎰→0
20cos lim =____________ 9、12
12||
1x x dx x -+=+⎰ 。
10、=
-⎰dx x 201. 11、2
22sin 1cos x x dx xdx π
π-+=+⎰ 12、已知()2
cos ,x F x t dt =⎰则()F x '= 13、已知()2
x t x
F
x te dt -=⎰，则()F x '=
二、单项选择 1、若连续函数
()x f 满足关系式()2ln 220+⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰x dt t f x f ，则()x f 等于（ ）。
（A ）2ln x
e ； （B ） 2ln 2x e ； （C ） 2ln +x e ； （D ） 2ln 2+x e 。
2、设
)(x f 连续，则=-⎰x
dt t x tf dx d 0
22)(（ ）
（A ）)(2x xf ； （B ）)(2x xf -； （C ）)(22x xf ； （D ）)(22x xf -。
3、设
)(x f 是连续函数，且⎰+=10
)(2)(dt t f x x f ，则)(x f =（ ）
（A ）1-x ； （B ）1+x ； （Ｃ）1+-x ； （D ）1--x 。
4、设()()x a x
F x f t dt x a
=
-⎰，其中()f x 为连续函数，则lim ()x a F x →=（ ） （A ）a （B ）)(a af （C ）)(a f （D ）0
5、
=⎰dt e dx d b x
t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2
2x xe -
6、=-+⎰→x
dt
t x x cos 1)1ln(lim
2sin 0
( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1
7、反常积分收敛的是( )
(A)
⎰
+∞
e
dx x x ln (B)⎰+∞e dx x
x ln 1
(C)⎰+∞e x x dx 2)(ln (D)
⎰
+∞
e
x
x dx ln
8、下列广义积分收敛的是（ ） （A
）
1
+∞
⎰
（B ）11dx x +∞⎰ （C ）211dx x +∞⎰ （D
）1⎰ 三、计算题
1、计算 (1)3
20
sin lim
x
tdt x
x ⎰→； (2)2
)1ln(lim
x
dt t x
x ⎰+→。
2、设连续函数()f x 满足条件:0
()sin x
t f x t e dt x -=⎰，求()f x 。
3、
⎰
+2
1
ln 11
e dx x
x 4、．求⎰++1
02
13
2dx x x 5、⎰-+10x x e e dx 6、 ．求
⎰
ππ
2
12
1
cos 1dx x x
7、
⎰
+-5
ln 0
31dx e e e x x x 8、已知()101
ln 1x x f x x x e x
⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪
⎩，求()0e f x dx ⎰
8
、
1
-⎰
9
、1
e ⎰ 10、10arctan xdx ⎰
11、求下列曲线围成图形的面积(1) x
y 1=
，2x = 和 4y x = (2) x y 22
=， 4y x =-
13、证明 （1）
2
20
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=⎰
⎰
（2）20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=⎰⎰。