安徽省2020年江南十校4月综合素质测试文科数学试题含答案解析
【附加15套高考模拟试卷】安徽省“江南十校”2020届高三联考数学(文)试题含答案
A． 13 B．13 C．10 D． 10
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若实数 满足
，则 的最小值为_____．
14．函数 f (x) sin x 3 cos x ， x 0 ，π 的单调减区间为____．
x y 2 0,
x
2
y
5
0,
15．已知实数 x ， y 满足不等式组 y 2 0, 且 z 2x y 的最大值为 a ，则
a cos2 x dx
0
2 =_____．
16．△ABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
sin
3 2
B
4
2 2 ，且 a c 2，则
△ABC 的周长的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）设函数
f
x
多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20 种B．30 种C．40 种D．60 种
7．设函数 f (x) sin x cos x ，若对于任意的 x R ，都有 f (2 x) f (x) ，则 sin(2 ) （ ） 3
1
1
3
3
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
20．（12 分）已知数列
an
为等差数列，其中 a2 a3 8, a5 3a2 ．求数列
an
bn
的通项公式；记
2 an an 1
，
设 bn 的前
n
安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学文试题
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
20．（12分）
已知函数 （ 为常数， ）．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 求实数 的取值范围．
21．（12分）
如图1，在等腰梯形ABCD中， ， ，O是CD中点，将 沿AO折起，使平面 平面ABCO．如图2所示，E，F点分别是AB，CD上的点，且 ．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则有（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
则 ，即 ，
∵ ，∴ ．
14．32【解析】由 知等比数列 的公比 ，
则由题知 且 ，
则 ，求得 ， ，
则 ．
15． 【解析】如图，取 ，中点P，连接MP，NP，
由题知MN与BC所成的角即为MN与PN所成的角，
又正方体 的棱长为1，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，则 ，
且 ，
故MN与BC所成角的正弦值为 ．
17．（10分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．（12分）已知点 ， ， ，点P为曲线C上任意一点，且满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l过点M，求直线l被曲线C截得的最短弦长及此时直线l的方程．
2020年安徽省“江南十校”综合素质检测 文科数学
6.已知cos 奇=a,则sin 孕＝A.a�C. Z a✓ 卢B.-a /卢·D.-2a�7. 已知a =lo g3屈，b =l n 3,c =2-0·99, 则a ,b,c 的大小关系为A.b>c>aB.a>b>cC.c >a>b 8. 执行下面的程序框图，则输出S的值为D. c >b>aA. _ _!_ 23 C 且D埜12 B .面·20. 609."哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大千2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的"l+l"问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为1_5．A l_3 B 3_5 ． c 2一3D 10在心AB C中，角A,B ,C的对边分别为a,b,c . 若acos B +bcos A =2ccos C,c =打，a+b =5,则丛A BC的面积为岛＿2A 卓＿23 Ri C.3戎D .4戎z z4c 11. 已知椭圆C:气＋斗=Ha>b>O)的焦距为2c ,F为右焦点，直线工＝一与椭圆C相交于A ,a b 3 B 两点心AB F是等腰直角三角形．点P 的坐标为(o ,f).若记椭圆C 上任一点Q到点P d 的距离的最大值为d,则一的值为A. 打B.我 c 孕3_2D 12. 已知f(x )=l —2co s 2 (wx 开）(w >O). 给出下列判断：CD若/(x1)=l ,J伍）=-1, 且压-x 2匕＝穴，则w =2;＠存在w E (0,2)使得/(x)的图象右移工个单位长度后得到的图象关于y轴对称；6 ＠若f(x )在[0,2式上恰有7个零点，则o的取值范围为［扎岳）；＠若f(x )在［奇·f]上单调递增，则o 的取值范围为(o,f ].其中，判断正确的个数为A .IB .2 C.3 D.4【文科数学第2页（共4页）】二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，则A. B. C. D.3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连弧的两端各一个，导线接头忽略不计已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为A. 58厘米B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米4.函数在上的图象大致为A. B.C. D.5.在2020年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为1，2，3，，500，从中用系统抽样等距抽样的方法抽取20袋进行检测，如果编号为69的食品被抽到，则下列4个编号的食品中被抽到的是A. 9号B. 159号C. 354号D. 469号6.已知，则A. B. C. D.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.8.执行如图的程序框图，则输出S的值为A. B. C. D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数素数之和，也就是我们所谓的“”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为A. B. C. D.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则的面积为A. B. C. D.11.已知椭圆C：的焦距为2c，F为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B 两点，是等腰直角三角形．点P的坐标为，若记椭圆C上任一点Q到点P的距离的最大值为d，则的值为A. B. C. D.12.已知给出下列判断：若，，且，则；存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；若在上恰有7个零点，则的取值范围为若在上单调递增，则的取值范围为其中，判断正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．14.已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的右顶点到双曲线的渐近线的距离为______．15.在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在的平分线上，且，则向量的坐标为______．16.已知在三棱锥中，A，B，C，D四点均在以O为球心的球面上，若，，，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．18.移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及．某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了100名市民，得到如表格：年龄岁使用移动支付402010442不使用移动支1122410付画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄；完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系？年龄小于50岁年龄不小于50岁合计使用移动支付不使用移动支付合计附：，19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E为PD的中点．求证：平面PBC；求三棱锥的体积．20.已知函数．当时，讨论的单调区间；若对，成立，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：，若圆M：与抛物线C相交于A，B两点，且．求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C相切，斜率为的直线与抛物线C相交于D，E两点，直线，交于点Q，求证：．22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数若直，的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．求曲线C的普通方程；以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点Q为射线与曲线C的交点，求点Q的极径．23.已知函数．求不等式的解集；若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：因为弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为厘米．故选：B．弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，用弧长近似代替弦长，计算导线的长度即可．本题考查了扇形的弧长计算问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，，有，所以在上为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B，在上，，，，则，排除D；故选：C．根据题意，利用排除法分析：先分析函数的奇偶性，再分析在上，，可得答案．本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性，属于基础题．5.答案：D解析：解：由题意得抽样间隔为，因为69号是第三组被抽到，即，可得，则，所以被抽中的初始编号为19号，之后被抽到的编号均是25的整数倍与19的和，四个选项中，只有D选项满足．故选：D．根据系统抽样的抽样方法，抽样间隔为，所以若第一组被抽到的编号为b，则第n组被抽到的编号为，根据69被抽到，故，再计算4个编号的食品中被抽到的即可．本题考查了系统抽样，考查了数列的通项公式得的应用，属于基础题6.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．由已知求得，再由，结合诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．7.答案：A解析：解：因为，，，故．故选：A．结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围即可比较．本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础试题．8.答案：D解析：解：由题意得．故选：D．根据循环体的算法功能可以看出，这是一个对数列求前五项和的程序框图，计算可求解．这是一道程序框图中的循环结构问题，考查了数列求和，需要弄清楚首项与项数，计算要准确．难度不大．9.答案：A解析：解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：，，，，，而加数全为质数的有，拆成的和式中，加数全部为质数的概率为．故选：A．利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：，，，即，，解得，，解得．，解得．则的面积．故选：B．由，利用正弦定理可得：，利用和差公式、诱导公式即可得出利用余弦定理及其，，即可得出三角形面积．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：解：由题意可知，，点A的坐标为，将其代入椭圆方程有，又，，解得或舍，，椭圆C的方程可化为．设点Q的坐标为，则，，，即，故选：C．先通过是等腰直角三角形，得出点，代入椭圆方程，并与结合，可得到b与c的关系，从而椭圆C的方程可化为，设点，利用两点间距离公式表示出，再结合配方法即可求得其最大值．本题考查椭圆的几何性质，两点间距离公式和配方法求最值，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：，周期．由条件知，周期为，，故错误；函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于y轴对称，则，，故对任意整数k，，故错误；由条件，得，，故正确；由条件，得，，又，，故正确．故选：B．先将化简，对于由条件知，周期为，然后求出；对于由条件可得，然后求出；对于由条件，得，然后求出的范围；对于由条件，得，然后求出的范围，再判断命题是否成立即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的图象变换，考查了转化思想和推理能力，属中档题．13.答案：解析：解：函数，可知，故切点为，，故，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：．根据题意，求出和，即可得解．本题考查了导数的几何意义，是基础题．14.答案：解析：解：设双曲线的焦距为2c，，，，则．故双曲线的右顶点坐标为，一条渐近线方程为．双曲线C的右顶点到双曲线的渐近线的距离为：．故答案为：．由已知结合离心率公式求得b，可得双曲线的一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的简单性质，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．15.答案：解析：解：由点C在的平分线上，所以存在，使；又，所以，解得，所以向量．故答案为：．由点C在的平分线上得存在，使，再由求出的值即可．本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题．16.答案：解析：解：设球的半径为R，过A作平面BDC，垂足为，连接，，；由可得；即为的外心，所以球心在射线AO上，在中，，，的外接圆半径满足：；；连接OB，则．故球O的表面积为：．故答案为：．先求出的外接圆半径并确定球心所在位置，再建立等量关系进一步求出球的半径．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.答案：解：数列是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得，由，，可得，解得或舍去，则数列的通项公式为；，，，两式相减可得，化简可得．解析：设等比数列的公比为q，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：样本中使用移动支付的人数为80人，所以每段的频率分别为，，，，，；画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，如图所示；所以使用移动支付的平均年龄为；估计使用移动支付的平均年龄为岁；根据题意填写列联表如下，年龄小于50岁年龄不小于50岁合计使用移动支付701080不使用移动支付41620合计7426100计算，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．解析：根据题意画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，再计算使用移动支付的平均年龄；根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：证明：如图，取PC的中点F，，，，．，，且，四边形ABEF为平行四边形，得，而平面PBC，平面PBC，平面PBC；解：由知，平面PBC，点E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，．如图取AB的中点O，连接PO，，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD，为等腰直角三角形，，，．四边形ABCD为等腰梯形，且，，，梯形ABCD的高为1，则．三棱锥的体积为．解析：取PC的中点F，可得，，再由，，得到四边形ABEF为平行四边形，得，利用线面平行的判定可得平面PBC；由知，平面PBC，则点E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，可得，再求出三棱锥的体积得答案．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：函数的定义域，，当即时，当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当即时，恒成立，故在上单调递增，当即时，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；综上可得，当时，函数的单调递增区间，，单调递减区间；当时，函数的单调递增区间，没有递减区间；当时，函数的单调递增区间，，单调递减区间；因为，成立，所以，成立，即恒成立，所以，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，且，所以当时，，即，函数单调递减，当时，，即，函数单调递增，故当时，取得最小值，所以．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，即可求解函数的单调性；由已知不等式恒成立，分离参数后转化为求解相应函数的范围，构造函数，结合导数可求．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．21.答案：解：因为抛物线C与圆M关于x轴对称，所以交点A，B关系x轴对称，设，，因为，所以，所以，交点或舍，所以，代入抛物线的方程可得，所以，所以抛物线的方程为：；证明：设直线的方程为，，即，联立方程，整理可得，，可得，所以直线的方程为：，设直线的方程为，点D，E的坐标分别为，，联立可得，即所以，所以．联立方程，整理可得，可得，，，所以，同理可得，所以，所以．解析：由于抛物线和圆的对称性可得A，B关于x轴对称，由弦长可得A的纵坐标，代入圆的方程求出A的横坐标，再将A点代入抛物线的方程，求出p的值，求出抛物线的方程；证明设的直线方程，与抛物线联立，由判别式等于0求出k的值，可得直线的方程，设直线的方程，设D，E的坐标，联立直线，的方程求出交点Q的坐标，求出的值，联立直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，两根之积，，的值及之积可证得．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，及求弦长的方法，属于中难题．22.答案：解：直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．联立两直线的方程消去参数k得：．设点由，可得：．代入曲线C，得，解得或舍去，故点Q的极径为．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，可化为，解得，无解；当时，可化为，解得，故；当时，可化为，解得，故．综上可得，的解集为；不等式在R上恒成立，可得，即，由的最小值为，此时；由，当且仅当时，取得等号，则，所以，即m的取值范围是．解析：由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，再求并集可得所求解集；由题意可得，结合二次函数的最值求法，以及绝对值不等式的性质可得所求最小值，进而得到m的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
2020届“江南十校”高三下学期4月综合素质检测
2020年安徽省“江南十校”综合素质检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2(1)(1)iz a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合{}{}234,870A x x x B x x x =<+=-+<，则A B =（ ）A. (1,2)-B. (2,7)C. (2,)+∞D. (1,2)3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A. 58厘米 B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米4.函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上图象大致为（ ） A. B. C.D.5.若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A. 3-B. 2-C. 1-D. 16.已知3log 2a =，ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. b c a >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>7.执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A. 112-B.2360C.1120D.43608.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）A. 15B. 13C.35D.239.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A. 24()27B. 34()27C. 44()27D. 54()2710.已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2B.52C.3D. 211.已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12min πx x -=，则2ω=； ②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A 12B. 122C. 1623D. 163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.14.若22000,150x x a x ∃∈-++<R 为假，则实数a 的取值范围为__________.15.在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =，则向量OC 的坐标为___________.16.已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin sin()33c B b C b =-+. （1）求角C 的大小； （2）若7,3c a b =+=，求AB 边上的高.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,2AB CD CD AB AD ===，PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值.19.一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2n Q Q =. ①求2Q ；②当*N n ∈时，记111,2n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，且过点73(,)24，点P 在第一象限，A 为左顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标. 21.已知函数2()ln ()f x x x ax a =-+∈R . （1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C （1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=，4tan 032παα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.23.已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.。
2020江南十校高三联考数学(文)试题及答案
2020年安徽省“江南十校”高三联考数 学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．45 C ．35i D ．45i2、设集合{}ln ,1y y x x A ==>，集合{}24x y x B ==-，则()RAB =（ ）A ．∅B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞3、设命题:p ()3,1a =，(),2b m =，且//a b ；命题:q 关于x 的函数()255x y m m a =--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．212+D ．12+ 5、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（ ） A ．18 B ．28 C ．32 D ．1446、若函数21x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点(),m n P ，且过点()Q 1,m n -的直线l 被圆C:222270x y x y ++--=截得的弦长为32，则直线l 的斜率为（ ） A ．1-或7- B ．7-或43 C ．0或43D ．0或1- 7、已知点()0,1A 、()2,3B -、()C 1,2-、()D 1,5，则向量C A 在D B 方向上的投影为（ ） AB．D． 8、已知函数()1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若对任意R x ∈，都有()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．29、已知函数()()()()12010x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =++在R 上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞ 10、在正方体1111CD C D AB -A B 中，①经过点A 垂直于平面1D A B 的直线也垂直于平面11D C B ； ②设O 为C A 和D B 的交点，则异面直线1AB 与1C O 所成的角是6π； ③若正方体的棱长为2，则经过棱11D C 、11C B 、1BB中点的正方体的截面面积为④若点P 是正方形CD AB 内（包括边界）的动点，点Q 在对角线1C A 上，且满足1Q C P ⊥A ，Q PA =P ，则点P 的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在R x ∈0=”的否定是 ． 12、()30log 2sin 330213++= ．13、若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则21y x +的取值范围为 ．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O →()11,0A →()21,1A -→()30,1A -→()41,1A --→()51,0A -→()61,1A -→()70,1A →()81,1A →()92,1A →⋅⋅⋅→()122,2A -→⋅⋅⋅→()162,2A --→⋅⋅⋅→()202,2A -→⋅⋅⋅→()253,2A →⋅⋅⋅，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为 ．15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ．在下列曲线中，“远离”直线:l 2y x =的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线C 的编号）①曲线C:250x y -+=；②曲线C:2924y x x =-+-；③曲线C:()2251x y +-=；④曲线C:1x y e =+； ⑤曲线C:ln 2y x =-．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 16f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()I 求函数()f x 的最小正周期；()II 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，3a =，C 3S ∆AB =求22b c +的值．17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．()I 求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；()II 根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；()III 现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 的底面圆半径为2，CD AB 为经过圆柱轴1OO 的截面，点P 在AB 上且13AP =APB ，Q 为D P 上任意一点．()I 求证：Q A ⊥PB ；()II 若直线D P 与面CD AB 所成的角为30，求圆柱1OO 的体积．20、（本小题满分13分）已知函数()()1ln 1a x f x a x x +=-+，其中0a ≥．()I 当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；()II 讨论()f x 在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，它的左焦点为()F ,0c -，直线1:l y x c =-与椭圆C 交于A ，B 两点，F ∆AB 的周长为3a ．()I 求椭圆C 的方程；()II 若点P 是直线2:l 3y x c =-上的一个动点，过点P 作椭圆C 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上一点()00,x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=）参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i i i i i ++==+--+，故选B 2.C ．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂> 故选C3.A ．命题:320,6p m m ⨯-==；命题2:55116q m m m --==-由得或，故选A4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，故选A 5.C ．由等比数列性质可知363961291512,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=, 故选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l 的距离d ==2870k k ∴++=，17,k =--或故选A7.D ．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC 在BD 方向上的投影为13AC BD BD -⨯==13=-,故选D 8. D ．1()sin cos cos 22f x a x a x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++ ()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称， ()(0),22g g a π∴=∴=，故选D9B ．()0()g x f x x a =⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=，故把y =[)0,1上的部分向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，故选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D B C BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，则过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN ，26S ==，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ A C ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q 为1A C 上定点，又PA PQ =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；故选D11.对任意x R ∈0≠．12.52 原式15sin(30)12322=-++=-+=．13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21y x +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21yx +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1以O 为中心，边长为4的正方形上共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2以O 为中心，边长为6的正方形上共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n 个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++ (88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-． 15.②③⑤ 对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的距离91d ==>，符合题意；对③：圆心()0,5C到直线l的距离d ==∴圆C 上的点到l 距离的最小11>，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32ln 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C的距离d ==，()ln 41,2∈，()3ln 41,2∴-∈，2,1d >∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x=， 0'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴==>符合题意。
2020年安徽省“江南十校”综合素质检测数学试题（文）
姓名座位号（季―景■辛.）绝密★启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测文科数学考生注意：L本试卷分逸绎题和非逸择题两部分。
满分150分，考试时间120分忡.2.签垠前，考生务必用0.54来黑色车字芝将白己的姓名和座位号填写在漆题卡上.3.考生作答时，请将答篥答在答题卡上.逸择题每小题逸出冬童后•用2B铅第把备婚卡上对应越日的答寮标号涂家；非选择题请用竟径0.5帝表黑色昼水冬字筮在签题卡上8题的答题区域内作签.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效◎......................................................•••一.选择题:本题共12小赃，每小IBS分，共60分。
在每小8!给出的四个选项中，只有一项是符合赠目51求的。
1.已知集合A-Uk+3>lhB=（x|2x-l<l}.JWAnB=A.（—8,—1）R<2.+oo） C.（-1,2） D.（-2.1）2.己知复数r=i（2+i+『）（i为虚数单位），则f=A.T-i81+i C.l-i D.-1+i3.某装怖公司制作一神扇形板状装怖品，其圆心角为120。
,并在扇形孤上正面等距安装7个发族色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各~个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米•则连接导线最小大致需要的长度为A.58J1米R63厘米 C.69H米 D.76S米4.函数/3=诿鬻在［一专••壬上的图象大致为5.在2020年春节前夕,为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节.某市质检部门对精区内的某大虽超市中的一品牌袋装食品进行抽检.将超市•中该袋装食品编号为、2, 3,・・・・500,从中用系统抽样（等距抽样）的方法抽取20袋进行检测.如果编号为69的食品被抽到.则下列4个编号的食品中被捕到的是19号B159号 C.354号 D.469号【文科致学第1页（共4页）】b . —q Ji —/D. —2a 71—a 16. 已知cos 言UQ '则sm 晋=A.a /I —a 2C. 2a 7. 已知a = |og j y2^"ln 3,r=2必，则的大小关系为A. b>c>a R a>b>cC. c>a>bD. c>fe>a9. •,哥德巴赫猜想”是近代三大数学推题之一・其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质 数（素数）之和，也就是我们所谓的“1 + 1”何题.它是1742年由数学家哥德巴拮提出的，我国 数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩・若将6拆成两个 正整散的和.则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为a A g X c A d £A 5 3 C 5 u 310. 在£1ABC^.角 A.B.C 的对边分别为。
2020年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷(文科)(带答案)
2020 年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷（文科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|x＞1}，B={x|3x＞2}，则 A∩B=（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （1，+∞）2. 复数 z= ，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）D. （0，+∞）A. |z|=B. z 的共轭复数为 + iC. z 的实数与虚部之和为 1D. z 在平面内的对应点位于第一象限3. 雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同 B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C. 在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙 D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙4. 若 a=log3 ，b=log23，c=（ ）3，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A. c＞b＞aB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. c＞a＞b5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为 86，则正整数 k 的最小值为（ ）A. 43B. 1860C. 48D. 426. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6=3，S8=12，则{an}的公差为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3第 1 页，共 15 页7. 已知直线 l⊥平面 α，直线 m∥平面 β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件8. 已知实数 x，y 满足，若 z=x+my 的最大值为 10，则 m=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：dm），则该几何体的表面积是（ ）（侧视图中间有小圆）A. dm2B. 11πdm2C. dm2D. 9πdm210. 已知点 A（1，1）和 B（ ， ），直线 l：ax+by-7=0，若直线 l 与线段 AB 有公共点，则 a2+b2 的最小值为（ ）A. 24B.C. 25D.11. 设 ω＞0，函数 f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ（ω＞0，|φ|＜ ）的图象经过点（0，- ），将该函数的图象向右平移 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两个不同的点，O 为坐标原点，P，Q 两点在直线 x=-p 上的射影分别为 M，N，若|MO|=2 ，|NO|= ，则 p2=（ ）A. 1B.C. 4D. 6二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）13. 已知向量 =（-k，k+2）， =（2，-3），若 ∥（ +2 ），则实数 k=______．14. 在△ABC 中，A=60°，b=1，S△ABC= ，则 的值为______．15. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 x（单位：万元） 与年销售额 y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示． 年广告支出 x/万元 2 3 5 7 8 年销售额 y/万元 28 37 a 60 70经测算，年广告支出 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 =6.4x+18，则 a 的值为______．第 2 页，共 15 页16. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=- ，点 M 在抛物线 C 上， 点 A 在准线 l 上，若 MA⊥l，直线 AF 的倾斜角为 ，则|MF|=______．17. 若变量 x，y 满足，且 z=2x+y，则 z 的最大值是______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 18. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列，且b2=a8． （1）求 an，bn；（2）求数列{ }的前 n 项和 Sn．19. 2019 年国际篮联篮球世界杯，将于 2019 年在的北京、广州、南京、上海、武汉、 深圳、佛山、东莞八座城市举行．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取 了 120 名学生，对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：会收看不会收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛事与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 4 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯赛志愿者宣传活动．（i）求男、女学生各选取多少人；（ii）若从这 4 人中随机选取 2 人到校广播站开展 2019 年国际篮联篮球世界杯赛宣传介绍，求恰好选到 2 名男生的概率．附：，其中 n=a+b+c+d．P（K2≥k0） k00.10 2.7060.05 3.8410.025 5.0240.01 6.6350.005 7.87920. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC= ，M 是 PC 上一动点．第 3 页，共 15 页（1）求证：平面 PAC⊥平面 MBD； （2）若 PB⊥PD，三棱锥 P-ABD 的体积为 ，求四棱锥 P-ABCD 的侧面积．21. 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的左顶点为 A（-2，0），焦距为 2．（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为点 M，与圆 O：x2+y2=4 的另一个交 点为点 N，是否存在直线 l 使得|AM|=|MN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在， 请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2-x-lnx． （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 x1，x2 是方程 ax+（f x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．第 4 页，共 15 页23. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），直线 l 的参数方程为（t 为参数，α 为直线 l 的倾斜角）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位．（Ⅰ）当 α= 时，求直线 l 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线 C 和直线 l 交于 M，N 两点，且|MN|= ，求直线 l 的倾斜角．24 已知 f（x）=|2x+4|+|x-3|． （1）解关于 x 的不等式 f（x）＜8；（2）对于正实数 a，b，函数 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点，求 + 的最小值．2020 年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷（文科）答案和解析【答案】1. C2. D3. C4. B5. A6. B7. A8. B9. A10. B 11. B 12. B13. 414.15. 5516.17.18. 解：（1）设等差数列{an}是公差为 d，由 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列， 可得 b1b6=b32， 即为（a1+5）（a6+10）=（a3+7）2， 由 b2=a8，即 a2+6=a8，第 5 页，共 15 页可得 d= =1，则（a1+5）（a1+5+10）=（a1+2+7）2， 解得 a1=3， 则 an=a1+（n-1）d=3+n-1=n+2； bn=an+n+4=n+2+n+4=2n+6；（2） == （ - ），则前 n 项和 Sn= （ - + - + - +…+ - ）= （ - ）= ．19. 解：（1）因为=7.5＞6.635，所以有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． （ii）设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲； 从中抽取两人，分别记为（A，B），（A，C），（A，甲），（B，C））， （B，甲），（C，甲），共 6 种情形， 其中 2 男的有（A，B），（A，C），（B，C），共 3 种情形．所以，所求概率．20. 解：（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD．∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC． 又∵PA∩AC=A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 PAC． 又∵BD⊂平面 MBD，∴平面 PAC⊥平面 MBD．（2）解：设菱形 ABCD 的边长为 x，∵，∴．在△ABD 中，，∴．又∵PA⊥平面 ABCD，AB=AD，PB⊥PD，∴，∴．又，∴，∴x=1，∴，∵，∴AC=AB=1．又∵PA⊥平面 ABCD，∴，第 6 页，共 15 页∴四棱锥 P-ABCD 的侧面积为：S=．21. 解：（1）由题意，可知 a=2，c=1．则a2=4，b2=a2-c2=4-1=3．∴椭圆 C 的标准方程为 + =1．（2）由题意，假设存在直线 l 使得|AM|=|MN|，可设直线 l 的斜率为 k． 则直线 l：y=k（x+2）． ∵|AM|=|MN|，即点 M 为线段 AN 中点， ∴根据圆的性质，可知 OM⊥AN，且 OM 平分 AN． 根据题意画图如下：则|OM|==．在 Rt△AMO 中，AM==联立直线 l 与椭圆 C 方程，可得：=．，消去 y，整理得（4k2+3）x2+16k2x+4（4k2-3）=0． 则△=256k4-16（4k2+3）（4k2-3）=144＞0．x1+x2=-，x1•x2=．|AM|=•=•=．∴=．整理，得 2k2+3=0．很明显矛盾， 故直线 l 不存在．22. 解：（1）依题意，f′（x）=2x-1- ==．故当 x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0． 故当 x=1 时，函数 f（x）有极小值 f（1）=0，无极大值；第 7 页，共 15 页证明：（2）∵x1，x2 是方程 ax+f（x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得 a= ．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜ ，即证：x1x2＜，即证＜=，不妨设 x1＜x2，令＞1．只需证 ln2t．设，则；令 h（t）=2lnt-t+ ，则 h′（t）=＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减， ∴h（t）＜h（1）=0，即 g′（t）＜0， ∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则 g（t）＜g（1）=0．即 ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即 lnx1+lnx2+2lna＜0．23. 解：（I）由，消去参数 t 可得：x-y-1=0，可得极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ-1=0，即=1．（II）由曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），消去参数 θ 可得：（x-2）2+y2=4．将直线 l 的参数方程为（l 为参数，代入圆的方程：t2-2tcosα-3=0，△＞0．则 t1+t2=2cosα，t1•t2=-3，|MN|=|t1-t2|===，cosα=± ．∴α= 或 ．∴直线 l 的倾斜角为 或 ．24. 解：（1）由题意可得 f（x）=，故当 x≤-2 时，不等式可化为-3x-1＜8，解得 x＞-3， 故此时不等式的解集为（-3，-2]； 当-2＜x＜3 时，不等式可化为 x+7＜8，解得 x＜1， 故此时不等式的解集为（-2，1）；当 x≥3 时，不等式可化为 3x+1＜8，解得 x＜ ，此时不等式无解．综上，不等式的解集为（-3，1）． （2）作出函数 f（x）的大致图象及直线 y=3a+4b，如图． 由图可知，当 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点时，3a+4b=5， 即（2a+b）+（a+3b）=5，第 8 页，共 15 页故 + = （ + ）[（2a+b）+（a+3b）]= •[4+1+ +]=1+ •[ +]≥1+ •2=1+ = ，当且仅当 =时等号成立．所以 + 的最小值为 ．【解析】1. 解：∵集合 A={x|x＞1}，B={x|3x＞2}={x|x＞log32}， ∴A∩B={x|x＞1}． 故选：C． 求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：复数 z= == + i，∴|z|== ，A 错误；z 的共轭复数为 - i，B 错误；z 的实数与虚部之和为 + =2，C 错误；z 在平面内的对应点是（ ， ），位于第一象限，D 正确．故选：D． 化简复数 z，分别求出 z 的模长、共轭复数以及实数与虚部和 z 在平面内的对应点坐标． 本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题．3. 解：由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲、乙在销售方面的数据小于甲，显然 C 选项的分析不正确． 故选：C． 对比两人在雷达图中的相应数据，即可得到结论． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．4. 解：∵a=log3 ＜log31=0，b=log23＞log22=1，0＜c=（ ）3＜（ ）0=1，∴a，b，c 的大小关系为 b＞c＞a． 故选：B． 利用指数函数、对数函数的单调性能求出 a，b，c 的大小关系． 本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5. 解：第一次进入循环后：S=3，n=2第二次进入循环后：S=8，n=6 第三次进入循环后：S=22，n=42 第四次进入循环后：S=86，n=1086 由于 n=42，不满足条件 n≥k，n=1086，满足 n≥k，第 9 页，共 15 页所以正整数 k 的最小值为 43． 故选：A． 模拟程序的运行过程，即可得出 k 的最小值． 本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行是解答此类问题常用的方法，是基础 题．6. 解：∵等差数列{an}中，a6=3，S8=12，∴，解方程可得，a1=-2，d=1， 故选：B． 直接利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7. 解：若 α∥β，∵直线 l⊥平面 α，∴直线 l⊥β， ∵m∥β， ∴l⊥m 成立． 若 l⊥m，当 m∥β 时，则 l 与 β 的位置关系不确定， ∴无法得到 α∥β． ∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件． 故选：A． 结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面的位置关系是解决本题 的关键．8. 解：由实数 x，y 满足，作出可行域如图， 联立，解得 A（2，4），化目标函数 z=x+my 为 y=- x+ ，由图可知，当直线 y=- x+ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为：10， 即 2+4m=10．解得 m=2． 故选：B． 画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联 立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9. 解：由三视图可知几何体左右各是半球，直径为 2，左右两个圆柱的高为 1，底面直径为 2，中间圆柱的高为 3，底面直径为 1，则该几何体的表面积是S=4π+2π×2+π×3+[]×2= （dm2）．故选：A． 由三视图可知几何体左右各是半球，直径为 2，左右两个圆柱的高为 1，底面直径为 2， 中间圆柱的高为 3，底面直径为 1，即可求出该几何体的表面积．第 10 页，共 15 页本题考查三视图，考查几何体的表面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关 键．10. 解：直线 l 经过点 A 时，可得 a+b-7=0；直线 l 经过点 B 时，可得-7=0，化为：3a+2b-18=0．a2+b2 表示点（a，b）到原点 O 的距离的平方．原点 O 到直线 a+b-7=0 的距离 d1= ．原点 O 到直线 3a+2b-18=0 的距离 d2= ，又==- ＜0，∴a2+b2 的最小值为 ．故选：B．直线 l 经过点 A 时，可得 a+b-7=0；直线 l 经过点 B 时，可得-7=0，化为：3a+2b-18=0．a2+b2 表示点（a，b）到原点 O 的距离的平方．原点 O 到直线 a+b-7=0 的距离 d1．原点 O 到直线 3a+2b-18=0 的距离 d2，又＜0，即可得出．本题考查了直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 解：由已知得 f（x）=sin（ωx+φ）．由 f（0）=- 得 sin φ=- ，因为|φ|＜ ，所以 φ=- ．所以 f（x）=sin（ωx- ）．解法一：将函数（f x）的图象向右平移 个单位后所得函数图象对应的函数为 y=sin[ω（x- ）- ]=sin（ωx- - ）．由已知可得，所得函数为偶函数，所以 + =kπ+ （k∈Z），解得 ω=6k+2（k∈Z）． 因为 ω＞0，所以 ω 的最小值是 2． 解法二：令 ωx- =kπ+ （k∈Z），解得 x= π+ （k∈Z）．所以函数 f（x）的图象的对称轴为直线 x= π+ （k∈Z）．将该函数的图象向右平移 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，即函数 f（x）的图象的一条对称轴向右平移 个单位后与 y 轴重合，故有 π+ + =0（k∈Z），解得 ω=-（6k+4）（k∈Z）． 因为 ω＞0，所以当 k=-1 时，ω 取得最小值 2． 故选：B．由已知得 f（x）=sin（ωx+φ）．由 f（0）=- 代入可求 φ，解法一：先求出将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后所得函数图象对应的函数解析式，结合偶函数的对称性可求； 解法二：先求出 f（x）的对称轴，然后把对称轴进行平移，结合已知可求． 本题主要考查了函数的图象的平移及由正弦函数的部分图象性质求解函数解析式，还考 查了正弦函数性质的应用，属于中档试题．第 11 页，共 15 页12. 【分析】本题考查了抛物线的性质，考查了计算能力，属于中档题． 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由|MO|2=（-p-0）2+（y1-0）2=p2+y12，可得 y12=12-p2．由|NO|2=（-p-0）2+（y2-0）2=p2+y22，可得 y =3-p2．又 y1y2=-p2，即可求解． 【解答】 解：作出图象如图所示．设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意可得 M（-p，y1），N（-p，y2）． 故|MO|2=（-p-0）2+（y1-0）2=p2+y12 所以（2 ）2=p2+y12，即 y12=12-p2． |NO|2=（-p-0）2+（y2-0）2=p2+y22，所以（ ）2=p2+y22，即 y =3-p2．又直线 PQ 过焦点 F，设直线 PQ 的方程为：,联立,消去 x 可得：,,可得 y1y2=-p2， 所以（y1y2）2=（-p2）2， 即（y1y2）2=（12-p2）（3-p2）=p4， 解得 p2= ． 故选：B．13. 解：∵ =（-k，k+2）， =（2，-3），∴ +2 =（4-k，k-4），又 ∥（ +2 ），∴-k（k-4）-（k+2）（4-k）=0，解得：k=4． 故答案为：4．由已知求得 +2 的坐标，再由 ∥（ +2 ）列式求得 k 值．本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．14. 解：因为 A=60°，b=1，S△ABC===，则 c=4，由余弦定理可得，cosA= =，解可得，a= ，由正弦定理可得，== ．故答案为：第 12 页，共 15 页由已知结合三角形的面积公式可求 c，然后结合余弦定理可求 a，再由正弦定理即可求 出． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于基础试题．15. 【分析】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 a 值． 【解答】解：∵，，∴样本点的中心坐标为（5， ），代入 =6.4x+18，得，解得 a=55．故答案为：55．16. 解：抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=- ，抛物线 C：y2=5x点 M 在抛物线 C 上，点 A 在准线 l 上，若 MA⊥l，且直线 AF 的倾斜角为 ，直线 AF 的斜率 kAF= ，设|MF|=m，可得 m+ m= ，|MF|= ．故答案为： ．画出图形，抛物线的性质，结合直线的斜率，计算|MF|即可． 本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计算， 属于中档题．17. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由 z=2x+y 得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z， 由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 B 时，直线 y=-2x+z 的截距最大， 此时 z 最大．由，解得 A（ ， ），将 A（ ， ）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=2× + = ．即 z=2x+y 的最大值为 ．故答案为： ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大 值．第 13 页，共 15 页本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的基本方法．18. 本题考查等差数列通项公式的运用，等比数列的性质，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题． （1）设等差数列{an}是公差为 d，运用等比数列性质和等差数列的通项公式，解方程可 得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 == （ - ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．19. （1）求出 K2=7.5＞6.635，从而有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法能求出选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． （ii）设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲，利用列举法能求出恰好选到 2 名男生的概率． 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样、列举法等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题．20. （1）推导出 PA⊥BD．BD⊥AC．从而 BD⊥平面 PAC，由此能证明平面 PAC⊥平面MBD．（2）设菱形 ABCD 的边长为 x，由，得．推导出．由 PA⊥平面 ABCD，AB=AD，PB⊥PD，得，．推导出，从而求出 x=1，由此能求出四棱锥P-ABCD 的侧面积． 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. （1）据题意有 a=2，c=1，则通过计算可得椭圆 C 的标准方程；（2）可先假设直线 l 存在，可设直线 l 的斜率为 k，则直线 l：y=k（x+2）．根据|AM|=|MN| 及圆的性质可知 OM 垂直平分 AN．再根据点到直线的距离公式可得 OM 的关于 k 的表 达式，再解 Rt△AMO 可得 AM 的关于 k 的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去 y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有 x1+x2=-，x1•x2=．根据弦长公式可得 AM 的关于 k 的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果 k 值存在则直线 存在；如果没有 k 值则直线不存在． 本题主要综合考查直线，圆和椭圆三者综合的问题，考查了弦长公式的应用，方程思想 的应用，圆的基本性质，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．22. （1）求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，进一步求得函数极值；（2）由 x1，x2 是方程 ax+f（x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根．可得，得到 a= ，把要证明的结论转化为证：x1x2＜ ，即证：x1x2＜，也就是证＜=，不妨设 x1＜x2，令＞1．只需证 ln2t．构造函数，利用导数证明 g（t）在（1，+∞）上为减函数，可得 g（t）＜g （1）=0，则结论得证．第 14 页，共 15 页本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证 明恒成立问题，属难题．23. （I）由，消去参数 t 可得：x-y-1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（II）由曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），消去参数 θ 可得普通方程．将直线 l 的参数方程为（l 为参数，代入圆的方程：t2-2tcosα-3=0，利用|MN|=|t1-t2|== ，代入解出即可的．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用、一元二次方程的 根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24. （1）利用分段函数去掉绝对值，分类讨论求出不等式的解集．（2）由题意可得当 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点时，3a+4b=5，根据 + =（ + ）[（2a+b）+（a+3b）]，变形后利用基本不等式，求出它的最小值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的零点，基本不等式的应用，属于难题．第 15 页，共 15 页。
2020届安徽省“江南十校”高三下学期4月综合素质测试数学(文)试卷及解析
2020届安徽省“江南十校”高三下学期4月综合素质测试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题绐出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}A x x =+>,{|211}B x x =-<,则A B =（ ）A. (,1)-∞-B. (2,)+∞C. (1,2)-D. (2,1)- 【答案】D【解析】化简集合,由交集定义求解.【详解】因为{|2),{|1}A x x B x x =>-=<.所以}{|21A B x x ⋂--<< .故选：D .2.已知复数()22(z i i i i =++为虚数单位),则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】A【解析】 根据复数的乘法与乘方运算,即可得到z ,写出共轭复数即可.【详解】由()22(1)1z i i i i i i =++=+=-+. 则1z i =--.故选：A .3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A. 58厘米B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长, 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B .4.函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A. B. C.D.【答案】C【解析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号,即可求解. 【详解】由cos ()()22x x x x f x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B ；当02x π<<时,cos 0x >,cos ()220x xx x f x -∴=+＞,排除选项D , 故选：C .5.在2020年春节前夕,为了春节食品市场安全,确保人们过一个健康安全的春节,某市质检部。
2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−3,−1,0，1，3}，B={x|x2+3x=0}，则A∩B=()A. {−3,0，3}B. {−3,0}C. {0,3}D. {−3,−1,0，1，3}2.复数2i1+i=()．A. −iB. 1+iC. iD. 1−i3.半径为2的圆中，π3的圆心角所对的弧的长度为()A. π3B. 2π3C. 3π2D. 23π4.函数f(x)=sinx2+cosx(−π≤x≤π)的图象大致为()A. B.C. D.5.某校为了解高一新生数学科学习情况，用系统抽样方法从编号为001，002，003，…，700的学生中抽取14人，若抽到的学生中编号最大的为654，则被抽到的学生中编号最小的为()A. 002B. 003C. 004D. 0056.已知sin(α2+π6)=14，则cos(π3+α)cos(α2−π3)=()A. 72B. −72C. 732D. −7327.已知a=215，，，则()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a8.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A. 712B. 56C. 12D. 76 9. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8=3+5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为( )A. 16B. 112C. 114D. 115 10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −b)cosA =acosB ．则角A 的大小为 ——；A. π2B. π4C. π3D. π5E. π6F. 2π311. 过椭圆C ：x 225+y 216=1的右焦点F 2且与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，则弦长|AB|=( ) A. 1625 B. 165 C. 325D. 254 12. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π).则下列结论正确的是( )A. f(1112π)=−1B. f(7π10)>f(π5)C. f(x)是奇函数D. f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f (x )=x 22+x −2lnx ，求函数f (x )在点(2,f (2))处的切线方程________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24−y 2=1的顶点到它的渐近线的距离为______．15. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(1,3)，B(−2,k)，若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数k = ______ ．16. 已知AB 为球面上的两点，O 为球心，且AB =3，∠AOB =120°，则球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等比数列{a n }的公比大于1，且满足a 3+a 5=90，a 4=27．(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n=log3a n，求数列{a n(b n+1)}的前n项和T n．18.某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：(1)在每周使用移动支付超过3次的样本中，按性别用分层抽样随机抽取5名用户．①求抽取的5名用户中男、女用户各多少人；②从这5名用户中随机抽取2名用户，求抽取的2名用户均为男用户的概率．(2)如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用移动支付”与性别有关？附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在正四棱锥P−ABCD中，F为AD的中点，E为BC的中点，M是棱PC的中点，AB=4．(Ⅰ)求证：直线PA//平面MFE；(Ⅱ)若PC=2√5，求三棱锥P−MFE的体积．20.已知函数f(x)=ax2−1−lnx，其中a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，求实数a的取值范围．21.斜率为1的直线l经过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长．222.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤x+3；(2)若不等式|m|·f(x)≥|m+2|−|3m−2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解答】解：∵集合A={−3,−1,0，1，3}，B={x|x2+3x=0}={0,−3}，∴A∩B={0,−3}．故选B．2.答案：B解析：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．根据复数的四则运算计算即可．解：化简可得复数z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，故选B．3.答案：B解析：解：根据题意得出：l扇形=2×π3=2π3．故选B．根据题意可以利用扇形弧长公式l扇形直接计算．此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握扇形的弧长公式是解题关键．4.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx 2+cosx =−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C ， 分母2+cosx >0，则当0<x <π时，sinx >0，则f(x)>0，排除D ，f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B 不满足条件． 故选：A ．利用函数的奇偶性得到图象关于原点对称，利用f(π4)<f(π2)，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键． 5.答案：C解析：本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题．根据系统抽样方法求出抽样间隔，再结合题意，求出对应的样本编号即可．解：根据系统抽样方法知，抽样间隔为70014=50，抽到的学生中编号最大的为654，则654−13×50=4，则被抽到的学生中编号最小的为004故选：C ． 6.答案：A解析：本题考查倍角公式以及诱导公式的的应用，属于基础题．直接根据倍角公式以及诱导公式化简，再代入条件计算，即可得到答案．解：cos(π3+α)cos(α2−π3)=cos2(π6+α2)cos(α2+π6−π2)=1−2sin 2(α2+π6)sin(α2+π6)=1−2×(14)214=72． 故选A ．7.答案：C解析：解：a =215>1，0<b =log 352<log 33=1，，∴a >b >c ．故选：C．利用指数函数性质和对数函数性质，判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．本题主要考查利用指数函数性质和对数函数性质比较大小，是基础题．8.答案：A解析：本题主要考查循环结构的程序框图.当循环次数不多时，采用模拟方法解答．执行循环框图，依次写出每次循环输出的结果，当k=4时，循环终止，即可的结果．解：当k=1时，s=1−12=12；当k=2时，s=12+13=56；当k=3时，s=56−14=712；当k=4时，循环终止，输出712．故选A ．9.答案：D解析：本题考查了古典概型的计算与应用，求出总基本事件数和满足条件的事件数是解题的关键，是容易题.总基本事件有15个，满足要求的只有1个，即可得到答案．解：不超过14的素数有2，3，5，7，11，13其6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于的14有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机述取两个不同的数其和等于14的概率为115．故选D．10.答案：C解析：解：∵(2c−b)cosA=acosB，∴由正弦定理可得(2sinA−sinB)cosA=sinAcosB，变形可得2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，∵C 为三角形的内角，sinC ≠0，∴cosA =12，A =π3；由正弦定理和三角函数公式可得cosA =12，可得A =π3；11.答案：C解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．椭圆x 225+y 216=1，可得c =3，取焦点F(3,0).把x =3代入椭圆方程，解得y ，即可得出弦长|AB|．解：由题意可知：a 2=25，b 2=16，c 2=a 2−b 2=9，则c =3，由x =3时，y =±165，∴弦长|AB|=325，故选C ． 12.答案：D解析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A ，代入求值即可；对B ，代入比较大小即可；对C ，根据奇函数定义，验证是否适合；对D ，通过解不等式求单调区间的方法求解．本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．解：∵f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k ∈Z ．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k ∈Z.不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.∴D√；故选D．13.答案：2x−y−2ln2=0解析：本题考查导数的几何意义，基础题型．利用导数的几何意义求解即可．解：∵函数f(x)=x22+x−2lnx，∴f′(x)=x+1−2x，∴f′(2)=2+1−1=2，f(2)=2+2−2ln2=4−2ln2，∴函数f(x)在点(2,4−2ln2)处的切线方程为y−4+2ln2=2(x−2)，即2x−y−2ln2=0．故答案为2x−y−2ln2=0．14.答案：2√55解析：本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础．根据点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线x24−y2=1的一个顶点为A(2,0)，双曲线的一条渐近线为y=12x，即x−2y=0，则点A到渐近线的距离d=√1+4=2√55，故答案为：2√55．15.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k)−(1,3)=(−3,k −3)，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)⋅(−3,k −3)=−3+3(k −3)=0，解得k =4． 故答案为：4．利用向量的坐标运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量的坐标运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．16.答案：4√3π解析：解：△AOB 为等腰三角形，∠AOB =120°，AB =3，通过解三角形解出OA 和OB ，即OA =OB =R =√3，从而求出球的体积4√3π， 故答案为：4√3π.通过解△AOB ，求出三角形的边长，就是球的半径，然后求出球的体积即可． 本题考查球的体积的求法，考查计算能力，是基础题．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q(q >1)，依题意，得{a 1q 2+a 1q 4=90,a 1q 3=27, 两式相除，得1+q 2q =103，整理得3q 2−10q +3=0，结合q >1，解得q =3， 所以a 1=27q 3=2733=1，所以a n =3n−1；(2)由(1)知a n =3n−1，所以b n =log 3a n =n −1，从而a n (b n +1)=n ·3n−1， 所以T n =1×30+2×31+3×32+⋯+n ·3n−1，①两边同乘以3，得3T n =1×31+2×32+3×33+⋯+n ·3n ，② 由①−②，得−2T n =30+31+32+⋯+3n−1−n ⋅3n =1−3n 1−3−n ⋅3n =(12−n)⋅3n −12，所以T n =14(2n −1)⋅3n +14．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．(1)由a 3+a 5=90，a 4=27求出等比数列的公比q ，进而求得等比数列的通项公式；(2)求得b n=log3a n=n，a n b n=n⋅3n−1，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．18.答案：解：(1)①由表格可知，样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人，女用户30人，…(1分)在这75人中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户，其中男用户有3人，女用户有2人．…(3分)②记抽取的3名男用户分别A，B，C；女用户分别记为d，e．再从这5名用户随机抽取2名用户，共包含(A,B)，(A,C)，(A,d)，(A,e)，(B,C)，(B,d)，(B,e)，(C,d)，(C,e)，(d,e)，10种等可能的结果抽取的2名均为男用户这一事件包含(A,B)，(A,C)，(B,C)共计3种等可能的结果，由古典概型的计算公式可得P=310．(2)由图中表格可得列联表：将列联表中的数据代入公式计算得：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(45×15−30×10)225×75×55×45=10033≈3.030<3.841，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否喜欢使用移动支付与性别有关．解析：(1)样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人，女用户30人，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户，其中男用户有3人，女用户有2人，抽取的3名男用户分别A，B，C；女用户分别记为d，e.求出这5名用户随机抽取2名用户，共包含事件总数，抽取的2名均为男用户这一事件数目，即可由古典概型的计算公式求解概率即可．(2)计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型概率的求法，考查计算能力，是基础题目．19.答案：(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD为正方形，且F为AD的中点，E为BC的中点，∴EF//AB，∵EF⊄面PAB，AB⊂面PAB，得EF//平面PAB，∵E为BC的中点，M是棱PC的中点，∴EM//PB，∵EM⊄面PAB，PB⊂面PAB，则EM//平面PAB，又EF⊂面MEF，EM⊂面MEF，且EF∩EM=E，∴平面PAB//平面MEF，则直线PA//平面MFE；(Ⅱ)解：在正三棱锥P−ABCD中，由AB=4，PC=2√5，得正四棱锥的高ℎ=√(2√5)2−(2√2)2=2√3．∵M为棱PC的中点，∴P到平面MEF与C到平面MEF的距离相等，则V P−MEF=V C−MEF．又V C−MEF=V M−CEF=12V M−FECD=14V P−FECD=18V P−ABCD=18×13×16×2√3=4√33．∴三棱锥P−MFE的体积是4√33．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(Ⅰ)由已知可得EF//AB，EM//PB，则EF//平面PAB，EM//平面PAB，由面面平行的判定可得平面PAB//平面MEF，从而得到直线PA//平面MFE；(Ⅱ)直接利用等积法求三棱锥P−MFE的体积．20.答案：解：(1)函数f(x)=ax2−1−lnx的导数为f′(x)=2ax−1x =2ax2−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f′(x)=0可得x=√12a，当0<x<√12a 时，f′(x)<0；当x>√12a时，f′(x)>0．可得f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数，综上可得，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数；(2)f(x)≥x 对x ∈(1,+∞)成立， 可得ax 2≥1+x +lnx ， 当x >1时，a ≥1x 2+1x +lnx x 2，令g(x)=1x 2+1x +lnx x 2，g′(x)=−2x 3−1x 2+1−2lnx x 3=−1−x−2lnxx 3，当x ≥1时，−1−x −2lnx <0，即g′(x)<0， g(x)在[1,+∞)递减， 可得a ≥g(1)=2， 则a 的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)求出f(x)的导数，讨论当a ≤0时，当a >0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)由题意可得ax 2≥1+x +lnx ，当x >1时，a ≥1x 2+1x +lnx x 2，令g(x)=1x 2+1x +lnx x 2，求出导数，判断单调性，可得g(x)的最大值，可得a 的范围．本题考查导数的运用：求单调性，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：由已知可知，抛物线x 2=4y 的焦点为F(0,1)，所以直线l 的方程为y =12x +1，由{y =12x +1x 2=4y ，得(2y −2)2=4y ，即y 2−3y +1=0， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=3， 所以|AB|=y 1+y 2+p =3+2=5．解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 求出焦点坐标，求出直线方程，然后联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)≤x+3，∴|x−1|+|x−2|≤x+3，①当x≥2时，，②当1<x<2时，，③当x≤1时，，由①②③可得x∈[0,6]；(2)①当m=0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m−3|对m恒成立，|2 m +1|−|2m−3|≤|(2m+1)−(2m−3)|=4，当且仅当2m ≥3，即0<m≤23时取等号，∴f(x)=|x−1|+|x−2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．解析：(1)分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；(2)讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。
高三数学下学期4月综合素质检测试题文试题
江南十校2021届高三数学下学期4月综合素质检测试题文考生注意：1.本套试卷分选择题和非选择题两局部。
满分是150分，考试时间是是120分钟。
2.答卷前，所有考生必须用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名和座位号填写上在答题卡上。
3.考生答题时，请将答案答在答题卡上。
选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1.集合A＝{x|x＋3>1}，B＝{x|2x－1<1}，那么A∩B＝A.(－∞，－1)B.(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)2.复数z＝i(2＋i＋i2)(i为虚数单位)，那么z＝A.－1－iB.1＋iC.1－iD.－1＋i3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在反面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，扇形的半径为30厘米，那么连接导线最小大致需要的长度为4.函数f(x)＝cos22x xx x-+在[－2π，2π]上的图象大致为5.在2021年春节前夕，为了春节食品场平安，确保人们过一个安康平安的春节，某质检部门对辖区内的某大型超中的一品牌袋装食品进展抽检，将超中该袋装食品编号为1，2，3，…，500，从中用系统抽样(等距抽样)的方法抽取20袋进展检测，假如编号为69的食品被抽到，那么以下4个编号的食品中被抽到的是 5π＝a ，那么sin 35π＝ 21a - B.－a 21a - 21a - D.－2a 21a -7.a ＝log 32，b ＝ln3，c ＝2，那么a ，b ，c 的大小关系为A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a8.执行下面的程序框图，那么输出S 的值是A.112-B.2360C.1120D.43609.“哥德巴赫猜测〞是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1〞问题。
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（2）记 bn
2n 1 an ，求数列{bn}的前
n
项和
Tn
18．（本小题满分 12 分） 移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、
终端设备、金融机构有效的联合起来，形成了一个新兴的支付体系，使电子货币开始普及， 某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了 100 个市民，得到如下表格：
A. 58 厘米 B．63 厘米 C．69 厘米 D．76 厘米
4．函数
f (x)
x cos x 2x 2x
在[ , ] 上的图象大致为 22
5．在 2020 年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质
检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中的该袋装食品编号
c
A. 3
B． 2
C． 10 2
3
D．
2
12.已知 f (x) 1 2 cos2 (x )( 0) ．给出下列判断： 3
①若 f(xl)=l，f(x2)= -1，且|x1-x2|min=π，则ω=2；
②存在ω∈(0，2)，使得 f(x)的图象右移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称；
③若
（1）画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄； （2）完成下面的列联表，能否在犯错的概率不超过 0.001 的前提下认为使用移动支付与年 龄有关系？
附：
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD, CD=2AB=4，AD= 2 ．
2
AB=AC=AD=2 5 ,CD=2 3 ,∠CBD=60°,则球 O 的表面积为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17—21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分）
7．已知 a=log3 2 ，b=ln3,c=2-0.99，则 a，b，c 的大小关系为
A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 8．执行下面的程序框图，则输出 S 的值为
A. 1
23
B．
12
60
11
43
C．
D．
20
60
9．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成 两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是 1742 年由数学家哥德巴
2．已知复数 z=i(2+i+i2)(i 为虚数单位)，则 z=
A．-1-i B．1+i C．1-i D．-1+i
3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 120°，并在扇形弧上正面等距安装 7
个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知
扇形的半径为 30 厘米，则连接导线最小大致需要的长度为
1
赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的
成绩，若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为
1
A．
5
1
B．
3
3
C．
5
2
D．
3
10.在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，若 acosB bcosA 2ccosC,c 7,a b 5,
为 1，2，3，…，500，从中用系统抽样（等距抽样）的方法抽取 20 袋进行检测，如果编
号为 69 的食品被抽到，则下列 4 个编号的食品中被抽到的是
A．9 号 B．150 号 C．354 号
6 .已知 cos
, 则 sin 3
5
5
D．469 号
A. 1 2 B. 1 2 C. 2 1 2 D. 2 1 2
f(x)在[0，2π]上恰有
7
个零点，则ω的取值范围为
41 24
,
47 24
,
；
④若
f(x)在
[
6
,
4
]
上单调递增，则ω的取值范围为
0,
2 3
.
其中，判断正确的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数 f(x) =lnx+x2，则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 .
2020 年安徽省“江南十校”综合素质检测
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A={x|x+3>1}，B={x|2x-1<1}，则 A∩B=
A.(- ∞,-1) B.(2,+ ∞) C.(-1,2) D.(-2,1)
（2）若对 x∈(0,+ ∞),f(x) ≥(a+1)lnx-2x 成立，求实数 a 的取值范围.
21.（本小题满分 12 分） 已知 抛物 线 C ：y2=2px(p>0), 若圆 M:(x-1)2+y2=3 与抛 物线 C 相交 于 A,B 两点 ，且
14.已知双曲线 C:
的离心率为 2 ，则双曲线 C 的右顶点到双曲线的渐
近线的距离为
.
15.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)和点 B（-3，4），若点 C 在∠AOB 的平分线上，
且 | OC | 3 10 ，则向量 OC 的坐标为
.
16 ． 已 知 在 三 棱 锥 A-BCD 中 ， A 、 B 、 C 、 D 四 点 均 在 以 O 为 圆 心 的 球 面 上 ， 若
△PAB 为等腰直角三角形，PA=PB，平面 PAB⊥底面 ABCD，E 为 PD 的中点． (1)求证：AE∥平面 PBC; (2 求三棱锥 P-EBC 的体积.
3
20.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=x2-(2+a)x+alnx(a∈R)
（1）当 a>0 时，讨论 f(x)的单调区间；
则△ABC 的面积为
A． 3 2
B． 3 3 2
C． 3 3
D． 4 3
11．已知椭圆 C:
4c
=l（a>b>0)的焦距为 2c，F 为右焦点，直线 x= 与椭圆 C 相交
3
bห้องสมุดไป่ตู้
于 A、B 两点，△ABF 是等腰直角三角形，点 P 的坐标为（0， ），若记椭圆 C 上任一
2 d
点 Q 到点 P 的距离的最大值为 d，则 的值为