2011全国数学建模B题论文

城市交通巡警平台的设置与调度摘要由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

本文要解决的就是某市设置交巡警服务平台设置方案，以及如何处理在确保突发事件问题。

对于第一问，根据附件中的各点的坐标和图中所给的各标志点之间的相邻关系，我们求得任意两个相邻标志点的直线距离，根据附件中的全市交通路口的路线做出了邻接矩阵，再用Floyd算法求得任意两点间的最短距离。

在此基础上，为了确定需要增加平台的具体个数和位置，采用主成分分析法。

应用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法进行搜索得到了该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

对于第二问，给出了设置交巡警服务平台的可量化的原则和任务，对现有方案进行评价然后进行优化；案发地点在A区，题目没有给出逃犯的车速，这里要处理好，怎样叫实现了围堵也是需要考虑的问题。

关键字：邻接矩阵、距离矩阵、整数线性规划、主成分分析、surfer作图一．问题的重述警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。

为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。

每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。

根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。

就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。

实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市（主城六区A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案（参见附件）的合理性。

如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P（第32个节点）处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。

为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

二、问题的分析问题一中有三个小问题，分别讨论在现有巡警台不变的情况下，确定出每个巡警台的控制范围，要求在三分钟之内尽可能到达；当有案件发生时，各交巡警按预定的路线到达指定路口封锁该路口，要求我们给出各节点接到指示时他们的行车路线；根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

根据给出的地图和其他数据，运用matlab软件使用Dijkstra算法以及floyd算法，确定出了最短路径，从而可以计算得出每个巡警台所能控制的范围。

不仅仅要考虑运行路线的最短和优化性，还要考虑时间尽可能较少的优化。

问题二三．基本假设1.不考虑巡警在实际工作中所出现的故障而导致延误追捕。

2.假设各站点的警力量是平均一致且为一固定值（巡警台人数高峰期和低潮期的平均值为单一均值）。

3.在整个路途中，通过各种通讯工具，走的路程都是最短路程。

4.不考虑巡警车在行驶过程中出现的塞车、抛锚等耽误时间的情况。

5.不考虑警员所消耗的时间。

7.在整个路途中，转弯处不需要花费时间8.由于题目没有给出逃犯的车速，假设逃犯的速度应该不大于警车的时速；（1）I、要求各交巡警服务平台在其分配的管辖范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警（警车的时速为60km/h）到达事发地，也即要求服务平台的管辖范围为一个圆域，半径为3公里。

作图的代码见附录1，得到图1。

图1 管辖范围计算每个平台到所覆盖的节点的距离。

如果一个节点同时被多个平台覆盖，那么选取离其最近的平台。

该区交巡警服务平台警力的调度方案如下：表192个节点彼此之间的实际距离1、首先我们可以根据题中所给的各个标志点的坐标，用matlab 计算出任意两点之间的直线距离，得到92*92的距离矩阵m ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n m m m m m m m m m m212222111211代码见附录22、根据题中交通路口的路线，我们可以得到各标志点的邻接矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n n n n n n n n n n n212222111211，即如果两个点相邻，则邻接矩阵中相对应的元素的值为1，否则为0；例如：1和2这两个点相邻，那么错误!未找到引用源。

代码见附录33、根据Floyd 算法，我们是要求出各标志点任意两两之间的实际交通距离，所以我们需要得到A 区相邻两个标志点的沿公路的交通距离。

我们可以利用距离矩阵的元素错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的点乘积得到相邻标志点间的距离矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n n D D D D D D D D D n m D212222111211*.4、我们可以将D 中不相邻点间距离0改为无穷大（Inf ）从而得到标志点与标志点间的权值矩阵： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n W W WW W W W W W W212222111211，即如果1和5之间不相邻，也即不能直接到达，那么D 中的错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

都将变成错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

等于无穷大（Inf ），否则则等于D 中相应元素的数据。

5、运用Floyd 算法求出任意两点间最短距离，得到最短距离矩阵d ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n d d d d d d d d d d212222111211算法见附录4，矩阵d 见附录5。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁，也即要封锁13条交通要道在A 区内的交通路口节点，标号为12、14、16、21、22、23、24、28、29、30、38、48。

该问题转化为整数线性规划问题：Min 错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

约束：i 、j 、k 、l 、m 、n 、p 、q 、r 、s 、t 、u 错误!未找到引用源。

20的整数且互不相同； 这里应用迪杰斯特拉（Dijkstra ）算法进行搜索，算法描述如下： （1）假设用带权的邻接矩阵arcs 来表示带权有向图S 为1-20整数的集合，它的初始状态为20个元素的集合，初值为0。

i 、j 、k 、l 、m 、n 、p 、q 、r 、s 、t 、u 这12个未知数各自按先后顺序实现从1-20的循环，每一次选择了一个1-20之间的整数，则将其从S 的集合中删除。

（2）D 表示总共的cost ，每一次对未知数选择了一个整数v 后，则加上以该未知数为列数，v 为行数的d 矩阵中相应的元素值。

（3）如果后面算的的D 值比前面所算得的D 值小，那么选取小的那个D 值 （4）在操作（1）、（2）中共循环20错误!未找到引用源。

20!/8!次。

结论：i=12,j=14,k=16,l=14,m=15,n=13,p=12,q=11,r=10,s=7,t=3,u=6① 计算相关系数矩阵我们首先计算未设置为服务平台的72个节点如果设置为服务平台，那么相应的考虑了距离和发案率的工作量。

从矩阵d 后72列和后72行抽出得到72错误!未找到引用源。

72的矩阵，该矩阵中的每一个元素乘以相应行数对应的发案率得到矩阵错误!未找到引用源。

这样既考虑了平台相应的出警时间，又考虑了相应的发案率。

由矩阵X 可以计算出相关系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211在上式中，r ij （i ，j=1，2，…，p ）为原变量的错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

之间的相关系数，错误!未找到引用源。

矩阵X 的第i 列和第j 列，其计算公式为∑∑∑===----=nk nk j kji kink j kj i kiij x xx xx x x xr 11221)()())((错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

为矩阵X 第i 列和第j 列元素的平均值，n=72② 计算特征值与特征向量首先解特征方程0=-R I λ，通常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值错误!未找到引用源。

，并使其按大小顺序排列，即错误!未找到引用源。

0。

③ 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分错误!未找到引用源。

的贡献率为累计贡献率为错误!未找到引用源。

(i=1,2,错误!未找到引用源。

)选取累计贡献率达85—95%的特征值错误!未找到引用源。

建议增加的平台个数为3个，分别是22、23、24。

主成分分析matlab 代码见附录6 （2）I、根据犯罪率和人口密度与巡警台的正比关系，可以得出，人口密度越大，犯罪率越高的地方，更应该增加巡警台的设置。

首先形象地表示各区每个标点的犯罪率高低以及人口密度，从而更好地得出结论A区各结点犯罪率的标示图B区各结点犯罪率的标示图C区各结点犯罪率的标示图D区各结点犯罪率的标示图E区各结点犯罪率的标示图F区各结点犯罪率的标示图由于犯罪率和人口密度与巡警台的正比关系以及图中所表示的情况可以得出，当前设置的巡警台存在不合理性，更改的结果是：A区情况第一问已经给出，B区警力配置基本合理，不需再多做调度。

C区需要增加一个，增加在273路口处。

D区中应该新增8个巡警台。

E区中需要增加4个巡警台F区中新增4个巡警台较为合理。

II、对全市交通路口的路线表建立有向图D(V,A)在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑，按假设8逃犯最多逃出3公里。

对于追捕逃犯问题，针对案发后犯罪嫌疑人去向不明，我们采用圈套式方法，利用动态规划进行分析，找出人力，物力及时间达到一个平衡点。

根据第一题的第二小问，我们可以计算出来，A区13个交通要道出口的每个封锁时间为t1，t2，t3，t4，t5，t6，t7，t8，t9，t10，t11，t12，t13，及用时最长的路口时间为T1和用时最短的路口的时间为T2。

同时，找到从P出A区最短的线路（见图P）事实上，经过计算得出，犯罪嫌疑人只有可能在两个区中，即A区和C区，我们先考虑犯罪嫌疑人跑出A区到C区的情况一：犯罪嫌疑人由P->节点30，大约需要1.8分钟，也就是说犯罪嫌疑人在3分钟之后已经离开A区，进入C区，所以此时我们应该考虑C区巡警台的围捕问题。