优选高等数学极限存在准则两个重要极限公式

n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
n
1
lim
n
lim n2 1 n
1,
1
1 n2
由夹逼准则得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
思考题： nlimnn2 1 p
1
n2 2p
解: 利用夹逼准则 .由
优选高等数学极限存在准则两个重要极 限公式
2020年9月26日星期六
1
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1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限 单调下降有下界数列必有极限
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
我们可将准则II推广到函数的情形：
准则II′ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0
x x0
(x )
说 明: (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一 定有界，但有界的数列不一定收敛．
(2) 利用准则Ⅰ来判定数列收敛必须同时满足 数 列单调和有界这两个条件．
(3) 准则Ⅰ只能判定数列极限的存在性，而 未给出求极限的方法．
例如，数列 xn (1)n ，虽然有界但不单调； 数列 xn n ，虽然是单调的，但其无界，
n2 1 np =？
n2
n2 n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
2
n2
n
lim
n
1
1
n
1
lim
n
n2 n2
lim
n
1
1
n2
1
lim
n
n
n
2
1
n
2
1
2
n2
1
n
1
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
BD
极限公式： lim sin x 1 x0 x
e
利用变量代换，可得更一般的形式
1
lim 1 (x) (x) e
（x ) 0
例1
求
lim
x
1
1 x
2
x
.
解:
原式
lim
x
1
1 x
x(2)
lim
x
1
1 x
x
2
e 2 .
例2 求
lim
x0
1
1
x x 3
lim
x0
1
3
x x 3
1 3
解:
lim
x0
1
1
x x 3
lim
(x )
lim f (x) A
x x0 (x )
准则II和准则II′统称为夹逼准则.
注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解： n 1 1 n ,
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 12 2
1 2
内容小结
1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
作业
习 题 1-6 1 （2）（4 ）
3思（考3）与（练4）习
例6 求
解: lim sin 3x 3 lim sin 3x 5x x0 sin 5x 5 x0 3x sin 5x
3 sin 3x
5x 3
lim
lim
5 x0 3x x0 sin 5x 5
例7
求lim x0
1
cos x2
x
.
2 sin 2
解: 原式 lim x0
x2
x 2
1 2
lim
x0
作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n
n
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
n 1
xn1
所以，数列
xn
1
1 n
x0
1
3
x x 3
1 3
lim x0
1
x 3
3
x
1 3
1
e 3
2. 夹逼准则
准则II (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
证: 由条件 (2) ,当
0, N1, N2 ,
时,
lim
n
xn
a
当n N2 时, zn a
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
又
xn
1
1
n
n
1
1
n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
n
e
(e 2.71828
)
也可以证明，当 x 取实数而趋于 或 时，函数
y
1
1 x
x
的极限都存在且都等于e
，即
lim
x
1
1 x
x
n
是单调增加的．
其次，证
xn
1
1 n
n有界．
显然，xn
x1
2
是类单似调于增加xn的 ．1 设1n数n列单调zn性 的1证1n 明n，1可则证得数列
yn
1
1 n
n
zn
1
1 n
n1
n 1 n1 n
1 n n1 n 1
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
例4 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
1 cos
x
1
例5 求
解: 令t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
注: 利用变量代换，可得更一般的形式 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
易知，这两数列均发散．
(4) 对于准则I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的 准则， 只是准则形式上略有不同. 例如，
准则I′ 设函数f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调 并且有界，则 f (x) 在 x0 的左极限 f (x0 ) 必存在．
1x
oC
A
证:
当△AOB
x
(
0
,
2
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，
的面积＜ 圆扇形AOB的面积
＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x