几何证明中的截长补短法
八年级上册数学截长补短法
八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。
1. 定义。
- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。
“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段,使得其中的一段或几段与已知线段相等;“补短”就是将一条较短的线段延长,使得延长后的线段与已知的较长线段相等。
- 例如,在三角形ABC中,要证明AB = AC+CD(假设AB>AC),“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC,然后去证明BE=CD;“补短”的做法可以是延长AC到F,使CF = CD,然后去证明AB = AF。
2. 适用情况。
- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时,常常考虑使用截长补短法。
- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。
如在等腰三角形的相关证明中,如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时,可能就需要用到这种方法。
二、截长补短法的解题步骤。
1. 截长法解题步骤。
- 第一步:观察图形和已知条件,确定要截的线段。
一般选择较长的那条线段进行截取。
- 第二步:根据已知条件截取合适的长度,使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。
例如,在三角形中,如果有角平分线的条件,可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。
- 第三步:连接截取点与其他点,构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。
- 第四步:利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理,得出要证明的结论。
- 例如:在三角形ABC中,AD是∠BAC的角平分线,∠C = 2∠B,求证:AB = AC+CD。
- 证明(截长法):在AB上截取AE = AC,连接DE。
- 因为AD是角平分线,所以∠EAD = ∠CAD。
- 在△AED和△ACD中,AE = AC,∠EAD = ∠CAD,AD = AD,根据SAS(边角边)定理,△AED≌△ACD。
- 所以∠AED = ∠C,CD = ED。
- 又因为∠C = 2∠B,∠AED = ∠B + ∠EDB,所以∠B = ∠EDB。
几何辅助线之截长补短 总结+例题
截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法,通常用来证明几条线段的数量关系,即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件,需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法:①延长较短线段中的一条,使延长出来的线段等于另外的较短线段,然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ,得到b ,证:c b a =+。
②延长较短线段中的一条,使延长后的线段等于较长线段,然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ,得到c ,证:a c b -=。
【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图,BP 平分ABC ∠,D 为BP 上一点,E ,F 分别在BA ,BC 上,且满足DE DF =,若140BED ∠=︒,则BFD ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .60︒D .70︒【分析】作DG AB ⊥于G ,DH BC ⊥于H ,根据角平分线的性质得到DH DG =,证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆,得到DEG DFH ∠=∠,根据互为邻补角的性质得到答案.【解答】解:作DG AB ⊥于G ,DH BC ⊥于H ,D 是ABC ∠平分线上一点,DG AB ⊥,DH BC ⊥, DH DG ∴=,在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中, DG DHDE DF=⎧⎨=⎩, ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆,DEG DFH ∴∠=∠,又180DEG BED ∠+∠=︒, 180BFD BED ∴∠+∠=︒,BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒,故选:A .2. 已知,如图,ABC ∆中,2C B ∠=∠,12∠=∠,求证:AB AC CD =+.【分析】在AB 上截取AE AC =,由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆,可证DE DC =,C AED ∠=∠,可证B BDE ∠=∠,可得BE DE DC ==,即结论可得. 【解答】证明:如图,在AB 上截取AE AC =,AE AC =,12∠=∠,AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=,C AED ∠=∠, 2C B ∠=∠,AED B BDE ∠=∠+∠,B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==,AB AE BE =+, AB AC DC ∴=+。
“截长补短法”在一类几何证明题中的运用
“截长补短法”在一类几何证明题中的运用探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题,“截长补短法”是解决这一类问题的一种常用的特殊方法,“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和;“补短”就是将题中某条线段延长(补上某线段),然后,证明它与题中某条线段相等。
例1 已知:△ABC是⊙O的内接等边三角形,点P为弧BC上一动点,求证:PA=PB+PC。
分析:直接证明PA=PB+PC,困难较大。
可用截长法:在PA上截取PD=PB,再证明PC=DA即可(或用补短法:在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段,再证明PA与这条线段相等)。
证明(截长法):在PA上截取PD=PB,连接BD,∵△ABC是圆O的内接等边三角形,∴ BA=BC,∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠BPA=∠BCA,∴∠BPA=60°。
∴△BPD是等边三角形。
∴ BD=BP,∠DBP=60°。
∴∠ABD=∠CBP。
∴△ABD≌△CBP。
∴ PC=DA。
又∵ PA=PD+DA,∴ PA=PB+PC。
证明(补短法):延长BP到D使PD=PC,连接CD,∵△ABC是圆内接等边三角形,∴ AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°。
∵∠BPA=∠BCA,∠ABC=∠APC,∴∠BPA=60°=∠APC。
∴∠CPD=60°。
∴△CPD是等边三角形。
∴ CD=CP ∠DCP=60°。
∴∠ACP=∠BCD。
∴△ACP≌△BCD。
∴ PA=BA。
又∵ BD=PD+BP,∴ PA=PB+PC。
例2 已知:四边形ABCD是☉O的内接正方形,点P为弧BC上一动点,求证:PA=PC+■PB。
分析一:要证明PA=PC+■PB,我们可以在PA上取AD=PC,连接BD,再想办法证明PD=■PB,问题可以解决。
证明:在AP上截取AE=PC,连接BE。
∵四边形ABCD是圆内接正方形,∴ AB=CB,∠BPA=45°。
一题多解|截长补短问题6种证明方法
一题多解|截长补短问题6种证明方法重庆一中初2019级九下半期考试数学试题24题如图, 在正方形ABCD中, 点M是边BC上一点, 连接AM, 过点C作CH⊥AM交AM的延长线于点H, 延长CH于点N, 连接MN、BN.若∠MAD=∠BMN, 求证: AM=MN+CN.分析题目条件:(1)正方形(2)∠MAD=∠BMN(3)CH⊥AM结论让证明: AM=MN+CN, 这是一道截长补短的题目。
解析思路(1)由CH⊥AM和正方形这两个条件可以得到一个几何模型: “8”字型倒角。
由上图可知: ∠BAM=∠BCN;(2)由∠MAD=∠BMN和正方形这两个条件, 可以得到:∠MAD=∠BMN=∠AMB;方法1: 在AM上截取MN'=MN, 连接CN'(1)首先证明△BMN≌△BMN', 得到BN=BN', ∠MBN=∠MBN';(2)再次证明△BCN≌△BCN', 得到CN=CN', ∠BCN=∠BCN'=∠BAM;(3)其次∠BAC=∠BAM+∠CAM=45°, ∠BCA=∠BCN'+∠ACN'=45°;所以∠CAM=∠ACN', 所以AN'=CN'(4)最后, 通过边之间的关系可以得到:AN'=CN'=CN, 所以AM=MN+CN方法2: 延长MN与AB相交于点G, 连接CG(1)首先∠AMB=∠GMB, MB⊥AG, 由“三线合一”知: MA=MG;(2)结合分析和第一步证明可知: ∠1=∠2=∠3(3)同理: ∠BGC=∠BGM+∠CGM=45°, ∠BCG=∠BCN+∠GCN=45°;所以∠NCG=∠NGC, 所以NG=NC; (4)最后, 通过边之间的关系可以得到:AM=MN+CN;方法3: 连接BD交AH于点E, 连接EC;(1)首先证明△ABE≌△CBE, 得到AE=CE;(2)再次证明△ECM≌△NCM, 得到EM=MN;(3)最后, 通过边之间的关系可以得到:AM=MN+CN;方法4: 在AB上截取BG=BM, 连接CG交AM于点P(1)首先证明△ABM≌△CBG, 得到∠BAM=∠BCG=∠BCN, AG=CM;(2)再次证明△APG≌△CPM, 得到AP=CP;(3)然后证明△PCM≌△NCM, 得到CN=CP=AP;(4)最后, 通过边之间的关系可以得到:AM=MN+CN;方法5: 延长AB与MN相交与点G, 延长CN与BG交于点Q(1)首先∠AMB=∠GMB, MB⊥AG, 由“三线合一”知: MA=MG;(2)△GBM≌△CBQ, 所以边之间的关系可以得到QG=CM;(3)△GNQ≌△CNM, 所以NG=NC, NQ=NM;(4)最后, 通过边之间的关系可以得到:AM=MN+CN;方法6: 延长AB与CN交于点G, 连接MG;(1)首先证明△ABM≌△CBG, 所以∠AMB=∠NMB=∠CGB;(2)同时△BGM为等腰RT△;(3)所以∠NGM=∠CGB-45°;∠NMG=∠BMN-45°;所以∠NGM=∠NMG;所以NG=NM;(4)最后, 通过边之间的关系可以得到:AM=MN+CN;。
几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长"或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段与已知线段相等,然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”,就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解.截长法:(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法(1)延长短边.(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……几种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面几种类型;类型①a±b=c类型②a±b=kc类型③±a b c类型④c²=a·b对于类型①,可采取直接截长或补短,绕后进行证明。
或者化为类型②证明.对于②,可以将a±b与c构建在一个三角形中,然后证明这个三角形为特殊三角形,如等边三角形,等腰直角三角形,或一个角为30°的直角三角形等。
对于类型③,一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中,与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对于类型④,将c²=a·b化为ca=bc的形式,然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中,可能会用到截长或补短的方法。
例:B A在正方形ABCD中,DE=DF,DG⊥CE,交CA于G,GH⊥AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数量关系方法一(好想不好证)B A方法二(好证不好想)B AM例题不详解.(第2页题目答案见第3、4页)E(1)正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,∠EAF=45o.求证:EF=DE+BF(1)变形a正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,∠EAF=45o。
专题10:截长补短
专题10:截长补短专题10.1 截长补短--角平分线一.【知识要点】1.截长补短(截长法,补短法)是证明线段和差问题的基本方法:有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段与已知线段相等,然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”,就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解。
二.【经典例题】1、如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.2、如图,△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,点P是线段AD上异于A,D的任意一点,则AB+PC与AC+PB的大小关系是( )A. AB+PC>AC+PBB. AB+PC<AC+PBC.AB+PC=AC+PBD.不确定三.【练习】1.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按下列要求画图并回答:画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。
(12分)(1)∠AEB是什么角?(2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现?(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,①AD+BC=AB;②AD+BC=CD 谁成立?并说明理由。
2.如图,P为△ABC内的点,连CP、BP、AP,∠PBA=30°,PC平分∠BCA,∠BPC =150°,求证:BC=AC+PA.一.【知识要点】1.截长补短(截长法,补短法)是证明线段和差问题的基本方法。
二.【经典例题】 1.已知:如图,△ABC 中,∠C=2∠B ,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD .三、【练习】1.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB=AC+CD ,求证:∠C=2∠B2.已知正方形ABCD 中,M 为CD 的中点,E 为MC 上一点,且∠BAE =2∠DAM .求证:AE =BC +CE .M ED CBA一.【知识要点】半角模型:若一个角等于整个角的一半,往往通过旋转将两个角搬到一起从而产生全等转化问题.有公共顶点,锐角等于较大角的一半,且组成这个较大角的两边相等,通过翻折或旋转,将角的倍分关系转化为角的相等关系,并进一步构造全等或相似三角形,弱化条件,变更载体,而构建模型,可把握问题的本质。
几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短几何证明是数学中一种非常重要的方法,常用于证明几何定理和推导几何性质。
在证明过程中,使用截长补短的方法可以帮助我们更加简化和明确证明的步骤。
截长补短是一种证明方法,即通过添加或截取一些辅助线或辅助点,从而改变原有图形的形状和性质,并且使得证明更加直观和明了。
下面以几何证明中常见的一些问题为例,介绍截长补短的应用方法。
一、证明两线段相等当我们需要证明两条线段相等时,可以考虑添加一条辅助线段,从而将问题转化为两个三角形的相等性质。
具体步骤如下:1.观察题目中给出的线段,设需要证明的线段为AB和CD。
2.根据题目的条件,找到一个与我们需要证明的线段相关的线段,设为EF。
3.添加辅助线段,连接AE和CF,构建出两个三角形,如△AEB和△CFD。
4.利用已知的几何定理或条件,证明两个三角形的相等性质,如SSS (边-边-边)相等性质或SAS(边-角-边)相等性质。
5.根据三角形的相等性质,得出AB=CD的结论。
通过添加辅助线段,将原来需要证明的问题转化为证明两个三角形的相等性质,更加直观和易于操作。
二、证明两角相等当我们需要证明两个角相等时,可以考虑添加一条辅助线段或辅助点,从而改变原有角的性质,并且使得证明更加明确和简洁。
具体步骤如下:1.观察题目中给出的角度,设需要证明的两个角为∠ABC和∠DEF。
2.根据题目的条件,找到一个与我们需要证明的两个角相关的角,设为∠GHI。
3.添加辅助线段或辅助点,改变原有角的性质。
如我们可以添加辅助线段IJ,使得∠GHI=∠ABC。
4.利用已知的几何定理或条件,证明新构建的几何形状的一些性质。
如垂直角、平行线、共线等。
5.根据已知的性质和构建的几何形状,得出∠ABC=∠DEF的结论。
通过添加辅助线段或辅助点,改变原有角的性质,并利用已知的几何定理和条件,可以更加明确和简洁地证明两个角的相等性质。
三、证明两图形全等当我们需要证明两个图形相等时,可以考虑添加一些辅助线段或辅助点,从而改变原有图形的形状和性质,并且将问题转化为相似三角形或平行四边形的性质。
截长补短法全等三角形
截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下,它们是完全相等的。
而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
在几何学中,截长补短法是一种常用的构造方法,可以用来证明两个三角形全等。
它的基本思想是通过截取和补充边长,使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等,从而达到全等的目的。
为了更好地理解截长补短法,我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等,其中已知∠A=∠D,AB=DE,BC=EF。
根据截长补短法,我们可以进行如下的构造:1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段,记为BC'。
2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段,记为AC。
通过以上的构造,我们可以得到以下的结论:1. 由于BC'=EF,且BC=EF,所以BC=BC',即三角形ABC和DEF的两条边相等。
2. 由于AC=DE,且∠A=∠D,所以三角形ABC和DEF的两个角相等。
3. 由于AB=DE,所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。
根据截长补短法,我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。
除了上述的例子,截长补短法还可以应用于更复杂的情况。
例如,当我们需要证明两个三角形全等时,已知两个角度相等并且其中一条边长相等,我们可以通过截长补短法来构造第二条边,从而得到全等的结果。
截长补短法在几何学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来证明三角形的全等,还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。
通过灵活运用截长补短法,我们可以简化证明过程,提高证明的效率。
截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
通过灵活运用截长补短法,我们可以简化证明过程,提高证明的效率。
在解决几何问题时,我们可以尝试使用截长补短法,从而更好地理解和应用全等三角形的性质。
截长补短法(初中数学经典例题和方法选讲)
变式练习
练习3.已知:如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC, ∠C=60°,BD平分∠ABC.求证:BC=AB+AD.
A D
B
C
变式练习
练习4.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠B+∠D=180°
求证:AE=AD+BE.
C
D
A
EB
变式练习
练习5.如图,四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD, 点E为AB上一点,点F为AD上一点,∠BCD=2∠ECF, 求证:EF=BE+DF
证明:如图,延长CE,交BA的延长线于点F. ∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF(ASA)∴BD=CF∵BE平分 ∠ABC∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC∴2CE=CF ∴2CE=BD
变式练习
练习7.如图所示,在D ABC是边长为1的正三角形,DBDC 是顶角为120°的等腰三角形, Ð MDN=60°,点M、N分 别在AB、AC上,求的DAMN的周长。
典型例题
例4.已知:如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平
分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:2CE=BD
分析:证两个角的和是180°,可把它们移到一起, 让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此 题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明:过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2∵∠1=∠2,且 PD⊥BC∴PE=PD,在Rt△BPE与Rt△BPD中,
讲义:截长补短法
截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法:(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
…… 补短法(1)延长短边。
(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……例1:在正方形ABCD 中,DE=DF ,DG ⊥CE ,交CA 于G ,GH ⊥AF ,交AD 于P ,交CE 延长线于H ,请问三条粗线DG ,GH ,CH 的数量关系方法一(好想不好证) 方法二(好证不好想)BABAMBA例2、正方形ABCD 中,点E 在CD 上,点F 在BC 上,∠EAF=45o。
求证:EF=DE+BF变形a正方形ABCD 中,点E 在CD 延长线上,点F 在BC 延长线上,∠EAF=45o。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系?变形b正方形ABCD 中,点E 在DC 延长线上,点F 在CB 延长线上,∠EAF=45o。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系?FE变形c正三角形ABC 中,E 在AB 上,F 在AC 上∠EDF=45o。
DB=DC ,∠BDC=120o。
请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系?变形d正方形ABCD 中,点E 在CD 上,点F 在BC 上,∠EAD=15o ,∠FAB=30o。
AD=3,求∆AEF 的面积例3、正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于O ,点E 在BD 上,AE 平分∠DAC 。
求证:AC/2=AD-EO加强版正方形ABCD 中,M 在CD 上,N 在DA 延长线上,CM=AN ,点E 在BD 上,NE 平分∠DNM 。
过E 作EF ⊥MN 于F,请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系?DFEA例4、、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠C=90°,E 为CD 的中点,EF ∥AB 交BC 于点F (1)求证:BF=AD+CF ;(2)当AD=1,BC=7,且BE 平分∠ABC 时,求EF 的长.例5、已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,BD ⊥AC 于E ,AD=BC ,AC=AB ,DF ⊥AB 于F ,AC 、DF 相交于DF 的中点O .(1)若点G 为线段AB 上一点,且FG=4,CD=3,GC=7,过O 点作OH ⊥GC 于H ,试证:OH=OF ; (2)求证:AB+CD=2BE .变形1.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DCB=450,CD=2,BD ⊥CD 。
初中几何截长补短法的题型解析
初中几何截长补短法的题型解析【知识汇总】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时,用截长补短.1、截长法:通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段,在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
2、补短法:通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和,在证所构造的线段和求证中那一条线段相等;3、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明,这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1,若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法:如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可;补短法:如图3,延长AB至H点,使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型一】截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段,截取的作法不同,涉及四种方法。
方法一:如图2所示,在BF上截取BM=DF,易证△BMC≌△DFC(SAS),则MC=FC=FG,∠BCM=∠DCF,可得△MCF为等腰直角三角形,又可证∠CFE=45°,∠CFG=90°,∠CFG=∠MCF,FG∥CM,可得四边形CGFM为平行四边形,则CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二:如图2所示,在BF上截取FM=GC,可证四边形GCFM 为平行四边形,可得CM=FG=CF;可得∠BFC=∠BDC=45°,得∠MCF=90°;又得∠BMC=∠DFC=135°,于是△BMC≌△DFC(AAS),BM=DF,于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
截长补短法
C
一分为二,使其中的一条线段等于已知
的两条较短线段中的一条,然后证明其
AF
B中在的A另B一上段截与取已知一的段另A一FA条等C线于段A相C等或者等于
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图,AC∥BD,EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上,
求证:EAB=DAC+B截D。长法
C
(1)在AB上截取AF=AC,连接EF
得到△ACE≌△AFE
A F B (2)证明BD=BF,即要证△BFE≌
因此要证∠BFE=∠D或者∠FEB=
全等三角形之巧添辅助线——截长补 短法
例题 如图,AC∥BD,EA、EB分别
平分∠CAB和∠DBA,点E在CD上,
求证:EAB=D证A明C∵:+AEEB在B平平AD分分B上∠∠。DC截ABBA取,AF而∠=AACF,E+∠连B接FEE=F180
轮船正招式成商立局,标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后,民间兴办的各种轮船航运公司近百家,几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2.航空
(1)起步:1918年,附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水:上1飞918机年,北洋政府在交通部下设“
”;此后十年间,航空事业获得较快发展。
专题:全等三角形之巧添辅助线—
截长补短线法段和差处理技巧
截长补短法:是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法, 也是把几何题化难为
易的一种思想. (1)截长法:就是将三者中最长的那条线段一分为二,使 其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条,然后证 明其中的另一段与已知的另一条线段相等。 (2) 补短法:一般有两种方式—— 一种是将某短线段延
全等三角形截长补短法的经典例题
全等三角形截长补短法的经典例题(最新版)目录1.截长补短法的概念2.截长补短法的两种方法:截长法和补短法3.截长补短法在全等三角形中的应用4.经典例题解析4.1 例题一4.2 例题二4.3 例题三5.截长补短法的优点和意义正文一、截长补短法的概念截长补短法是一种在几何问题中添加辅助线的方法,主要用于解决全等三角形的问题。
截长指的是在较长的线段上截取一段较短的线段,补短则是在较短线段上补一段线段,使其和较长的线段相等。
截长补短法的目的是将问题合理地转化为更容易解决的形式,从而简化结论。
二、截长补短法的两种方法截长补短法包括两种方法:截长法和补短法。
1.截长法:在较长的线段上截取与较短线段相等的线段。
2.补短法:在较短线段上补一段线段,使其和较长的线段相等。
三、截长补短法在全等三角形中的应用在全等三角形的证明中,截长补短法是非常常用的一种方法。
通过添加适当的辅助线,可以将问题转化为更容易证明的形式,从而得出结论。
下面通过几个经典例题来具体讲解截长补短法在全等三角形中的应用。
四、经典例题解析1.例题一已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件:AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。
解:通过截长补短法,我们可以在 BC 上截取 BE=CF,连接 AD 和 CE。
由于 AB=DE,BC=EF,且∠ABC=∠DEF,根据三角形全等的 SAS 条件,可得三角形 ABC≌三角形 DEF。
2.例题二已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件:AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。
解:这次我们可以在 AB 上截取 AD=DF,连接 CE 和 BD。
同样地,由于 AB=DE,BC=EF,且∠ABC=∠DEF,根据三角形全等的 SAS 条件,可得三角形 ABC≌三角形 DEF。
3.例题三已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件:AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。
截长补短模型结论及证明
截长补短模型结论及证明
截长补短模型是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法,常用于解决三角形中的线段关系问题。
其基本思想是通过截取或延长线段,构造出全等三角形或其他易于处理的图形,从而得到所需的线段关系。
以下是截长补短模型的一些常见结论及证明:
1.
截长法:
结论:在一条线段上截取一条与它相等的线段,剩下的部分与另一条线段相等。
证明:设线段AB,要在AB上截取AC=BC,证明AD=DB。
证明:在AB上截取AC=BC,连接CD。
由于AC=BC且∠ACD=∠BCD(对顶角相等),CD=CD(公共边),根据SAS全等条件,得△ACD≌△BCD。
因此,AD=DB。
2.
补短法:
结论:将一条较短的线段延长至与另一条线段相等,再用其他条件证明新构造的图形与原图形全等。
证明:设线段AB和CD,AB<CD,要在CD上截取CE=AB,证明BF=DE。
证明:在CD上截取CE=AB,连接BE。
由于CE=AB,∠CEB=∠AEB(对顶角相等),BE=BE(公共边),根据SAS全等条件,得△CEB≌△AEB。
因此,BF=DE。
这些结论可以通过截取或延长线段,然后利用全等三角形的性质(SAS、ASA、AAS、SSS等)进行证明。
截长补短法在处理线段关系问题时非常灵活,需要根据具体问题的条件选择合适的截取或延长方式。
中考必会几何模型截长补短辅助线模型
截长补短辅助线模型模型:截长补短如图①,假设证明线段AB 、CD、EF 之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法:如图②,在EF 上截取EG=AB ,再证明GF=CD 即可.补短法:如图③,延长AB 至H 点,使 BH =CD,再证明 AH =EF 即可.模型解析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长,指在长线端中截取一段等于已知的线段;补短,指将一条短线端延长,延长局部等于线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角均分线等要点词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例 1:如图,在△ABC 中,∠ C=2∠B,∠1=∠2 . 求证:AB =AC +CD .证法一,截长法:如图①,在AB 上取一点E,使 AE=A C,连接 DE.∵AE =AC ,∠1=∠2,AD =AD ,∴△ACD ≌△AED ,∴CD=DE,∠C=∠3 .∵∠C=2∠B,∴∠3=2∠B=∠4+∠B ,∴∠4=∠B ,∴DE=BE ,∴CD=BE .∵AB =AE +BE,∴AB =AC +CD .1证法二,补短法:如图②,延长AC 到点 E,使 CE=CD,连接DE .∵CE=CD,∴∠4=∠E .∵∠3=∠4+∠E,∴∠3=2∠E .∵∠3=2∠B,∴∠E=∠B .∵∠1=∠2,AD =AD ,∴△EAD ≌△BAD ,∴AE =AB.又∵AE=AC +CE,∴∴AB =AC +CD .例 2:如图, OD均分∠ AOB ,DC⊥OA 于点 C,∠A =∠GBD . 求证:AO +BO=2CO .证明:在线段AO 上取一点E,使 CE=AC ,连接DE .∵CD=CD,DC⊥OA,∴△ACD ≌△ECD,∴∠A=∠CED .∵∠A=∠GBD ,∴∠CED=∠GBD ,∴1800-∠CED=1800-∠GBD ,∴∠OED=∠OBD .∵OD 均分∠ AOB ,∴∠AOD =∠BOD .∵OD=OD,∴△OED≌△OBD ,∴OB=OE,∴AO +BO=AO+OE=OE+2CE+OE=OE+CE+OE+CE=2〔CE+OE〕=2CO .追踪练习0,AD 是∠BAC 的均分线,且 AC=AB +BD . 求∠ABC 1. 如图,在△ABC 中,∠BAC =60的度数 .【答案】2证法一:补短延长 AB 到点 E,使 BE=BD . 在△BDE 中,∵BE =BD ,∴∠E=∠BDE,∴∠ABC =∠BDE +∠E=2∠E .又∵AC=AB +BD ,∴AC =AB +BE,∴AC=AE .∵AD 是∠BAC 的均分线,∠BAC =600,∴∠EAD =∠CAD =600÷2=300 .∵AD =AD ,∴△AED ≌△ACD ,∴∠E=∠C .∵∠ABC =2∠E,∴∠ABC =2∠C .∵∠BAC =600,∴∠ABC +∠C=1800-600=1200,∴32∠ABC =1200,∴∠ ABC =800 .证法二:在AC 上取一点F,使 AF =AB ,连接DF.∵AD 是∠BAC 的均分线,∴∠BAD =∠FAD .∵AD =AD ,∴△BAD ≌△FAD ,∴∠B=∠AFD ,BD =FD .∵AC =AB +BD ,AC=AF +FC∴FD=FC ,∴∠ FDC=∠C .∵∠AFD =∠FDC+∠C,∴∠B=∠FDC+∠C=2∠C .∵∠BAC +∠B+∠C=1800,∴ 32∠ABC =1200,∴∠ ABC =800 .0,AD 、CE 分别均分∠BAC 、∠ACB . 求证:AC =AE 2. 如图,在△ABC 中,∠ ABC =60+CD .【答案】如图,在AC 边上取点F,使 AE=AF ,连接OF .∵∠ABC =600,∴∠BAC +∠ACB =1800-∠ABC =1200 .∵AD 、CE 分别均分∠BAC 、∠ACB ,∴∠OAC=∠OAB =D BAC ,∠OCA =∠OCB=2D ACB ,23∴∠AOE =∠COD =∠OAC +∠ OCA =∴∠AOC =1800-∠AOE =1200 .? BAC ? ACB =60 0, 2∵AE =AF ,∠EAO =∠ FAO ,AO =AO ,∴△AOE ≌△AOF 〔SAS 〕,∴∠AOF =∠AOE =600,∴∠COF =∠AOC -∠AOF =600,∴∠COF =∠COD .∵CO =CO ,CE 均分∠ ACB ,∴△COD ≌△COF 〔ASA 〕,∴CD =CF .∵AC =AF +CF ,∴AC =AE +CD , 0,BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB . 求证:AB +CD =BC .3. 如图, ∠ABC +∠BCD =180【答案】证法一:截长如图①,在 BC 上取一点 F ,使 BF =AB ,连接 EF .∵∠1=∠ABE ,BE =BE ,∴△ABE ≌△FBE ,∴∠ 3=∠ 4 .∵∠ABC +∠BCD =1800,BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB ,∴∠1+∠2= 1 2 ∠ABC + 1 2∠DCB =1 2×1800=900 , ∴∠BEC =900, ∴∠4+∠5=900,∠3+∠6=900 .∵∠3=∠4 ,∴∠ 5=∠6 .∵CE =CE , ∠2=∠DCE ,∴△CEF ≌△CED ,∴ CF =CD .∵BC =BF +CF ,AB =BF ,∴ AB +CD =BC证法二:补短如图②,延长 BA 到点 F ,使 BF =BC ,连接 EF .∵∠1=∠ABE ,BE =BE ,∴△BEF ≌△BEC ,∴EF =EC ,∠BEC =∠BEF .∵∠ABC +∠BCD =1800,BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB ,4∴∠1+∠2= 1 2 ∠ABC + 1 2∠DCB =1 2 0=900 , ×180 ∴∠BEC =900, ∴∠BEF =∠BEC =900,∴∠BEF +∠BEC =1800,∴C 、E 、F 三点共线 .∵AB ∥CD ,∴∠ F =∠FCD .∵EF =EC ,∠FEA =∠DEC ,∴△AEF ≌△DEC ,∴AF =CD .∵BF =AB +AF ,∴BC =AB +CD .4. 如图,在△ ABC 中,∠ABC =900,AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D ,∠C =300,BE ⊥AD 于 点 E . 求证: AC -AB =2BE . 【答案】延长 BE 交 AC 于点 M .∵BE ⊥AD ,∴∠ AEB =∠AEM =900 .∵∠3=900-∠1,∠4=900-∠ 2,∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴AB =AM .∵BE ⊥AE ,∴BM =2BE .∵∠ABC =900,∠C =300,∴∠BAC =600 .∵AB =AM ,∴∠ 3=∠4=600,∴∠5=900-∠3=300,∴∠5=∠C ,∴ CM =BM ,∴AC -AB =CM =BM =2BE .5. 如图, Rt △ACB 中,A =BC ,AD 均分∠ BAC 交 BC 于点 D ,CE ⊥AD 交 AD 于点 F , 交 AB 于点 E . 求证: AD =2DF +CE . 5【答案】在AD 上取一点G,使 AG=CE,连接CG .∵CE⊥AD ,∴∠AFC =900,∠1+∠ACF =900 .∵∠2+∠ACF =900,∴∠ 1=∠2 .∵AC =BC,AG =CE,∴△ACG≌△CBE,∴∠ 3=∠B=450,∴∠2+∠4=900-∠3=450 .1∵∠2=∠1=∠BAC =0,2∴∠4=450-∠2=0,∴∠4=∠2=0 .又∵CF=CF,DG⊥CF,∴△CDF≌△CGF,∴DF=GF .∵AD =AG +DG ,∴AD =CE+2DF .6. 如图,五边形ABCDE 中,AB =AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=1800 . 求证:AD 均分∠CDE .【答案】如图,延长CB 到点 F,使 BF=DE,连接 AF 、AC .∵∠1+∠2=1800,∠E+∠1=1800,∴∠ 2=∠E .∵AB =AE ,∠2=∠E,BF=DE,∴△ABF ≌△AED ,∴∠F=∠4,AF=AD .∵BC+DE=CD,∴BC+BF=CD,即 FC=CD .又∵AC=AC ,∴△ACF ≌△ACD ,∴∠F=∠3 .∵∠F=∠4,∴∠3=∠4,∴AD 均分∠ CDE .6。
截长补短法
FA B C12几何模型01——截长补短法在平面几何当中,证明一条线段与线段的和、差、倍数(特别是2倍)相等,其他常规方法不好用的时候,“截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗! 例1.已知:如图,在△ABC 中,△1=△2,△B =2△C .求证:AC =AB +BD . 分析:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AB 至E 使BE =BD ,或在AC 上截取AF =AB .证明:补短法:证明:如图,延长AB 到E ,使BE =BD ,连接DE .∵∵ABD 是∵BDE 的一个外角 ∵∵ABD =∵E +∵BDE ∵BE =BD∵∵E =∵BDE ∵∵ABD =2∵E ∵∵ABD =2∵C ∵∵E =∵C在∵ADE 和∵ADC 中12E C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ADE ∵∵ADC (AAS )∵AE =AC ∵AC =AB +BE=AB +BD 截长法:证明:如图,在AC 上截取AF =AB ,连接DF . 在∵ABD 和∵AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABD ∵∵AFD (SAS )∵∵B =∵AFD ,BD =FD ∵∵B =2∵C ∵∵AFD =2∵C∵∵AFD 是∵DFC 的一个外角∵∵AFD =∵C +∵FDC∵∵FDC =∵C ∵DF =FC ∵BD =FC ∵AC =AF +FC =AB +BD练习1.如图,在∵ABC 中,∵BAC =60°,∵ABC =80°,AD 是∵BAC 的平分线.求证:AC =AB +BD .引例:如图,四边形ABCD 中,∵A+∵C=180°E21D CB A 21DCB A AB C D(1)∵B 与∵D 有什么关系? (2)延长AD 至E ,∵B 与∵CDE 有什么关系?例2.已知,如图3-1,∠1=∠2,P 为BN 上一点,且PD ⊥BC 于点D ,AB +BC =2BD . 求证:∠BAP +∠BCP =180°. 分析:证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP =∠EAP ,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明:过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ,如图3-2∵∠1=∠2,且PD ⊥BC ∴PE =PD ,在Rt △BPE 与Rt △BPD 中,∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ,∴AB +BD +DC =BD +BE , ∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS), ∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°. ∴∠BAP +∠BCP =180° 练习2.已知:如图,∵1=∵2,P 为BN 上一点,且PD ∵BC 于点D ,∵A +∵C =180°.求证:BD =AB +CD .21N PD CBA练习3.已知:如图,在四边形ABCD 中,BC >AB ,AD =DC ,∵C =60°,BD 平分∵ABC .求证:BC =AB +AD .练习4.如图,AC 平分∵BAD ,CE ∵AB 于E ,∵B +∵D =180°.求证:AE =AD +BE .练习5.如图,四边形ABCD 中,∵B+∵D=180°,CB=CD ,点E 为AB 上一点,点F 为AD 上一点,∵BCD=2∵ECF ,求证:EF=BE+DFDC BACDB A E87654321FO CDBE A 练习6.如图,四边形ABCD 中,∵B+∵D=180°,CB=CD ,点E 为AB 上一点,点F 为AD 上一点,∵BCD=2∵ECF ,求证:EF=BE -DF例3.已知:如图,在△AB C 中,△ABC =60°,△ABC 的角平分线AD ,CE 交于点O .求证:AC =AE +CD .证明:如图,在AC 上截取AF =AE ,连接OF .∵AD ,CE 为∵ABC 的角平分线 ∵∵1=∵2,∵3=∵4 在∵AEO 和∵AFO 中12AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AEO ∵∵AFO (SAS )∵∵5=∵6∵∵ABC =60° ∵∵1+∵2+∵3+∵4=180∵B=18060=120∵∵2+∵3=60∵∵AOC =180°60 =120° ∵∵5=∵6=∵7=∵8=60° 在∵OFC 和∵ODC 中8734OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∵∵OFC ∵∵ODC (ASA )∵CF =CD ∵AC =AF +FC =AE +CD练习7.如图所示,在∆ ABC 是边长为1的正三角形,∆BDC 是顶角为120︒的等腰三角形, ∠ MDN=60°,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求的∆AMN 的周长。
全等三角形~截长补短
截长补短“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法,通常用来证明几条线段的数量关系,即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件,需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法:①延长较短线段中的一条,使延长出来的线段等于另外的较短线段,然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ,得到b ,证:c b a =+。
①延长较短线段中的一条,使延长后的线段等于较长线段,然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ,得到c ,证:a c b -=。
例1. 已知:如图,在△ABC 中,△1=△2,△B=2△C .求证:AC=AB+BD .1. 补短法:证明:如图,延长AB 到E ,使BE =BD ,连接DE . △△ABD 是△BDE 的一个外角 △△ABD =△E +△BDE △BE =BD △△E =△BDE △△ABD =2△E △△ABD =2△C △△E =△C在△ADE 和△ADC 中12E CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADE △△ADC (AAS )21D CB A E21D CB AFA BCD12△AE =AC△AC =AB +BE=AB +BD 2. 截长法:证明:如图,在AC 上截取AF =AB ,连接DF . 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AFD (SAS ) △△B =△AFD ,BD =FD △△B =2△C △△AFD =2△C△△AFD 是△DFC 的一个外角 △△AFD =△C +△FDC △△FDC =△C △DF =FC △BD =FC△AC =AF +FC =AB +BD例2. 如图,在四边形ABCD 中,△A=△B=90°,点E 为AB 边上一点,且DE 平分△ADC ,CE 平分△BCD .求证:CD=AD+BC .证明:如图,在CD 上截取CF =CB . △CE 平分△CBD △△1=△2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB A 4321FE D CBA321G CDB A EF △△CFE △△CBE (SAS ) △△CFE =△B △△B =90°△△CFE =△DFE =90° △△A =90° △△DFE =△A △DE 平分△ADC △△3=△4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DEF △△DEA (AAS ) △DF =AD△CD =DF +CF =AD +BC例3. 已知:如图,在正方形ABCD 中,AD =AB ,∠B =∠D =∠BAD =90°,E ,F 分别为CD ,BC 边上的点,且∠EAF =45°,连接EF . 求证:EF =BF +DE .证明:如图,延长FB 到G ,使BG =DE ,连接AG . △△D =△ABC =90° △△ABG =△D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ABG △△ADE (SAS ) △AG =AE ,△1=△2 △△BAD =90°,△EAF =45° △△2+△3=45°FEDC BAE21A B CD△△1+△3=45° 即△GAF =45° △△GAF =△EAF 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AGF △△AEF (SAS ) △GF =EF △GF =BF +BG △EF =BF +DE例4. 在△ABC 中,AD △BC 于D ,△B =2△C .求证:CD =AB +BD .证明:如图,在线段DC 上截取DE =BD ,连接AE .△AD △BC△△ADB =△ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AED (SAS ) △△B =△1,AB =AE △△B =2△C △△1=2△C△△1是△AEC 的一个外角 △△1=△C +△2 △△C =△2 △AE =CE△CD =CE +ED =AE +BD =AB +BDD CAEA B C D P12例5. 如图,在△ABC 中,AB >AC ,△1=△2,P 为AD 上任意一点,连接BP ,CP .求证:AB -AC > PB -PC .证明:如图,在线段AB 上截取AE =AC ,连接PE . 则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEP △△ACP (SAS )△PE =PC在△PEB 中,PB PE <EB △PB -PC <EB△AB -AC > PB -PC例6. 如图,在梯形ABCD 中,AD △BC ,CE △AB 于E ,△BDC 为等腰直角三角形,△BDC =90°,BD =CD ,CE 与BD 交于F ,连接AF .求证:CF =AB +AF .1. 截长法:证明:如图,在CF 上截取CM=BA ,连接DM .21PD A A DE CF B87654321MA D E CF B△△BDC 为等腰直角三角形,BD=CD △△1=△DCB =45°△CE △AB ,△BDC =90° △△CEB =△BDC =90° △△2=△3 △△4=△5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△MCD (SAS ) △DA =DM ,△6=△7 △AD △BC △△7=△1=45° △△6=45° △△8=45° △△7=△8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADF △△MDF (SAS ) △AF =MF△CF =CM+MF =AB+AF补短法:证明:如图,延长BA 交CD 的延长线于点G . △△BDC 为等腰直角三角形△△GDB =△BDC=90°,△5=45° △CE △AB△△CEB =△BDC =90°△△1=△2 △△3=△4 在△GBD 和△FCD 中1234567G A DE CF B34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△GBD △△FCD (ASA ) △BG =CF ,DG =DF △AD △BC △△6=△5=45° △△7=45° △△6=△7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GDA △△FDA (SAS ) △AG =AF △BG =AB +AG △CF =AB +AF。
截长补短法
截长补短法截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。
截长就是在一条线上截取成两段,补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边。
定义:截长:1.过某一点作长边的垂线;2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
补短:1.延长短边。
2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
用法例题:例1:正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,∠EAF=45°。
求证:EF=DE+BF。
证明:延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。
∵ABCD是正方形∴∠ADG=∠ABF=90°,AD=AB又∵DG=BF在Rt△ADG与Rt△ABF中:DG=BF∠ADG=∠ABFAD=AB∴Rt△ADG≌Rt△ABF(SAS)∴∠GAD=∠FAB,AG=AF∵ABCD是正方形∴∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°∵∠GAE=∠FAE=45°,AG=AF,AE=AE∴△EAG≌△EAF(SAS)∴EF=GE=GD+DE=BF+DE例1 图例2 图例2:如图,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求∠AEB的度数。
解:向AE方向延长AE,交BC的延长线于F。
∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF(AAS)∴AD=CF,AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF∴∠AEB=90°例3:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。
求证:AB+BD=AC。
证明:在AC上截取AE=AB,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2又∵AD=AD,AB=AE∴△ABD≌△AED(SAS)∴BD=DE,∠B=∠3又∵∠B=2∠C∴∠3=2∠C又∵∠3=∠4+∠C∴2∠C=∠4+∠C即∠C=∠4∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC例3 图例4 图例4:如图,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
平面几何中截长补短法的应用
授课内容:湘教版九年级上册《证明》授课教师:张羽茂授课时间:
讲评内容:证明中的“截长补短法”。
讲评目标:1、通过讲评,查漏补缺,解决几何证明中截长补短法的应用。
2、规范学生证明过程的书写格式。
3、通过讲评提高审题能力,总结解题方法和规律。
讲评重点:规范学生证明过程的书写格式
讲评难点:通过讲评,查漏补缺,解决图形中截长补短法的应用。
教具准备:黑板、学生作业本
讲评过程:
一、谈话导入
1、公布全班的整体成绩。
2、表扬进步的学生。
二、讲评
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠
B=2∠C,求证:AB+BD=AC.
方法一:(截长法)
方法二:(补短法)
三、课堂练习
1.已知:如图,在正方形ABCD 中,AB=4,
AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。
四、课后拓展
1.正方形ABCD 中,点E 在CD
上,点F 在BC 上,∠EAF=45。
求证:EF=DE+BF 。
五、板书设计
如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC. 已知:如图,在正方形ABCD 中,AB=4,AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。
正方形ABCD 中,点E 在CD 上,点在BC 上,∠EAF=45。
求证:EF=DE+BF
六、教学反思与总结
截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想。
截长:1.过某一点作长边的垂线
2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
补短:1.延长短边
2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
教师工作:
采集信息-----归类点评、指导纠借-----适时检测、落实纠错
学生操作:
作业分析---个体纠借---集体纠错---针对补偿---(依据答案)主动纠错---思考领悟---针对纠错---主动补偿---消除薄弱
教学流程:
作业分析——个体纠错——集体纠错——针对补偿——课堂小结。