【全国百强校】江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试题
江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省南京金陵中学2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B＝_____________．【答案】{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2.已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_____________．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|==．故答案为：．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3.已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．【答案】4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数==5，这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．【答案】【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，∴2名都是女同学的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算6.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．【答案】2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值．【详解】∵中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），∴，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7.已知，则＝_____________．【答案】﹣【解析】【分析】利用sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）即可得到结果.【详解】∵，∴sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）=﹣1=，故答案为：﹣【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8.设a＞0，若a n＝且数列{a n}是递增数列，则实数a的范围是__________．【答案】2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得解得∴2＜a＜39.在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a＋3b的值是_______．【答案】﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，∴切线的斜率为﹣，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣，∴，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，是解答的关键．10.若函数在上不单调，则的取值范围是____．【答案】0【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以11.如下图，在中，．若，则__________．【答案】【解析】因为,又因为，所以，也即，所以，又，故，由余弦定理得，则，应填答案。
江苏省南京市2019版高三上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
江苏省南京市2019版高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·江门模拟) 已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，3}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁RN=（）A . {﹣1，0，1，3}B . {0，1，3}C . {﹣1，0，1}D . {0，1}2. （2分） (2016高一上·重庆期中) 设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣1）•f（x）＜0的解集是（）A . {x|﹣3＜x＜0或1＜x＜3}B . {x|1＜x＜3}C . {x|x＞3或x＜﹣3}D . {x|x＜﹣3或x＞1}3. （2分） (2017高一上·双鸭山月考) 已知函数的定义域是，则的定义域是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·宁波模拟) 已知平面α、β和直线l1、l2 ，且α∩β=l2 ，且“l1∥l2”是“l1∥α，且l1∥β”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高三上·锦州期中) 给出下列四个命题：1）若α＞β且α、β都是第一象限角，则tanα＞tanβ；2）“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得＜0”；3）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则（¬p）∨q为真命题；4）函数是偶函数．其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2017高一上·新丰月考) 函数，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·武侯期中) 函数y=1+ 的图象是（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高三上·巴彦期中) 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2 ，有|x1﹣x2|min= ，则φ=（）A .B .C .D .9. （2分）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
【20套试卷合集】金陵中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2A B == ,则∁U (A ∪B) =( )A ．{}134，， B ．{}34， C ． {}3 D ． {}4 2．若函数32)32()(-+=m xm x f 是幂函数，则实数m 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 3．函数f(x)＝2x ＋3x 的零点所在的区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,2)4．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为( )A ．34B ．34或0 C ．0 D ．11k k +- 5．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝( )A ．±32B ．32C ．－32D ．不能确定 6．下列各式中正确．．的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 168°<cos 10°<sin 11°D ．sin 11°<sin 168°<cos 10° 7．下列函数中，不是．．周期函数的是( )A ．y ＝|sin x|B ．y ＝sin|x|C ．y ＝|cos x|D ．y ＝cos|x|8．设f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f(2 013)＝1，则f(2 014)＝ ( )A ．3B ．2C ．－1D ．以上都不对 9．函数y ＝|tan x －sin x|－tan x －sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )10．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为 ( )A ．k<0或k>4B ．k≥4或k≤0C ．0<k<4D ．0≤k<411．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－2)＜f(lg x)的解集是 ( )A ．(0,100)B ．1(,100)100C ．1(,+)100∞ D ．1(0)100，∪(100，＋∞)第Ⅱ卷 （非选择题满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。
南京民办金陵中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
南京民办金陵中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（ ）A ．1-B ．i -C ．i 2D ．2【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 3． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π4． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识，意在考查运算求解能力. 5． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 6． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.7． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．8． 已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，1}C ．{1}D ．{1，3}10．设a ，b为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 11．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则等于（ ）A．10 B．1) C1 D．12．已知函数(5)2()e 22()2xf x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.14．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________. 15．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．16．若复数34sin (cos )i 55z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2019届江苏省南京市、镇江市高三上学期期中联考试题 数学(理) word版
2019届江苏省南京市、镇江市高三上学期期中联考试题(理科 第I 卷） 2018 11 15注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定位置。
3.答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
答题卡不折叠、无破损。
4.如有做图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。
1.设集合A={x x |是小于4的偶数}, B={-3,1, 2, 4}，则=B A ▲ .2.命题“ x ∀>0，02≥x 的否定为 ▲ .3.若复数i R a iai z ,(21∈-+=为虚数单位）是纯虚数，则a= ▲ . 4.函数)34(log 27+-=x x y 的定义域为▲ .5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1,75,4500===a C A ，则b 的最小值 ▲ .6. 已知函数141)(++=x a x f 是奇函数，则=+-)0()1(f f ▲ . 7.已知e 为自然对数的底数，函数x ex y ln -=在],1[e 的最小值为▲ .8.已知函数42)(2+-=ax x x f 在),1(+∞-上是增函数，则)2(f 的取值范围为▲ .9.将函数)42sin(5π+=x y 的图像向左平移 )2＜＜0(πϕϕ个单位后，所得函数图像关于直线4π=x 对称，则=ϕ▲ . 10.在ABC ∆中，己知2)1)(tan 1(tan =++B A ,则=C cos = ▲ .11.已知x>0，y>0，x+y=1,则141++y x 的最小值为▲ . 12.己知函数)22()(x x x x f --=，则不等式)(lg ＜)2(x f f -的解集为▲ .13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 4+=+，则C cos 的最小值 ▲ .14.己知函数⎩⎨⎧≤=0x 2x,-x -0>,lg )(2x x x f ，若函数m x mf x f y 21)(3)(22-++= 有6 个不同的零点，则实数a 的取值范围为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
【精品试题】江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题答案含附加题答案全国百强校
江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟） 2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，3，4}，B ＝{﹣1，2，3}，则集合A B 为 ． 2．若(2i)i i a b -=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a ＋b ＝ ． 3．函数2ln(4)y x =-的定义域为 ．4．如图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果S 是 ．5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有 根棉花纤维的长度小于20mm ． 6．等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，已知234S =，4154S =，则6a ＝ ．7．函数Asin()y x ωϕ=+(A ＞0，0ω>，22ππϕ-<<)的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ．第5题第7题 第4题8．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为 ．10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm 的半圆，则该圆锥的体积为 cm 3． 11．在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 过点A(0，﹣8)，且与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆C 的方程为 ．12．在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，BA BC 6⋅=，CA CB 3⋅=，BD CE ⋅=4-，则BA CA ⋅的值是 ．13．己知实数x ，y ，z ∈[0，4]，如果x 2，y 2，z 2是公差为2的等差数列，则x y y z-+-的最小值为 ．14．已知函数()33x xf x -=-，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥，则t 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，BC ． （1）求角A 的大小；（2）求cos(B ﹣C)的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AP ⊥CD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．求证：（1）AP ∥平面BEF ；（2）平面BEF ⊥平面PAC ．17．（本小题满分14分）为美化城市环境，相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡经过直径的两端点A ，B 及圆周上两点C ，D 围成一个多边形ABPQR ，其中AR ，RQ ，QP ，PB 分别与半圆相切于点A ，D ，C ，B ．已知该半圆半径OA 长30米，∠COD 为60°，设∠BOC 为θ．（1）求围挡内部四边形OCQD 的面积； （2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小．求该围挡内部多边形ABPQR 面积的最小值？并写出此时θ的值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，点A(2，1)是椭圆E 上的点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线l 1，l 2分別与椭圆E 交于B ，C 两点，己知△ABC 的面积为209，求直线BC 的方程．19．（本小题满分16分）已知函数()ln 1f x x x ax =++，直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线． （1）求实数a 的值；（2）若对任意的x ∈(0，+∞)，都有()(1)f x k x >-，求整数k 的最大值． 20．（本小题满分16分）已知{}n a ，{}n b 都是各项为正数的数列，且11a =，1b n ，都有n a ，2n b ，1n a -成等差数列，n b ，1n b +成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若存在p ＞0，使得集合M ＝{}n n n a p n N λ*≥∈，恰有一个元素，求实数λ的取值范围．南京师大附中2018～2019学年度第一学期 高三年级数学期中试卷（数学Ⅰ）参考答案1、{－1，3}．2、1．3、(－2，2)．4、12．5、30．6、8．7、f(x)＝2sin(2x －π3)．8、16．9、 52．10、 33π．11、x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0．12、2．13、4－2 3．14、[1，＋∞)． 15．解：(1)由余弦定理得：cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋32－(7)22·2·3＝12，……………2分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3．……………5分（漏掉A ∈(0，π)扣1分） (2)由正弦定理得：BC sin A ＝AB sin C ，所以sin C ＝AB sin A BC ＝2·32 7＝ 217．又因为AB ＜BC ，所以C ＜A即0＜C ＜π3，所以cosC ＝ 1－sin 2C ＝1－(217)2 ＝277．……………8分所以sin2C ＝2 sinC cosC ＝2·217·2 77＝437，cos2C ＝2cos 2C －1＝2(2 77)2－1＝17．…11分因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3．所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ，所以cos(B －C)＝cos(2π3－2C)＝cos 2π3cos2C ＋sin 2π3sin2C ＝(－12)·17＋ 32·4 37＝1114．…14分（说明：算出cosB ＝714，sinB ＝3 2114…11分，cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝714·2 77＋3 2114·217＝1114…14分）16．证明：(1)连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，连接CE ．因为AE ＝BC ＝1，AD ∥BC ，所以四边形ABCE 为平行四边形．所以点O 为AC 的中点，又因为点F 为PC 的中点．所以OF ∥AP ．……3分 又因为OFBEF ，APBEF 所以AP ∥平面BEF ……7分(2)因为AD ∥BC ，ED ＝BC ＝1，所以四边形BCDE 为平行四边形．所以BE ∥CD ． 因为AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE ．又因为四边形ABCE 为平行四边形，AB ＝BC ，所以四边形ABCE 为菱形．所以AC ⊥BE ． ……3分 又因为AP ⊥BE ，AP ∩AC ＝A ，AP APC ，ACAPC ．所以BE ⊥平面APC ．…5分 因为BEBEF ．所以平面BEF ⊥平面PAC ． ……7分17．解：（1）连接OQ ，因为QD ，QC 为圆O 的切线，所以QD ＝QC ，OD ＝OC ＝30， OQ ＝OQ ，所以△ODQ ≌△OCQ ，所以∠DOQ ＝∠COQ ＝30°， 又因为OD ⊥DQ ，所以DQ OD ＝tan30°＝33，所以DQ ＝103，所以S △ODQ ＝12OD ·DQ ＝1503，所以S OCQD =2S △ODQ；即围挡内部四边形OCQD 的面积为……4分（2）BP=OB tan 2θ，S OBPC =2S △OBP =900 tan 2θ，同理S OARD =2S △OAR =900 tan(3π－2θ)， S ABPQR =900[tan 2θ+ tan(3π－2θ)]＋2(0,)3πθ∈ ……9分 （漏掉2(0,)3πθ∈扣1分） 即求 tan 2θ+ tan(3π－2θ)的最小值，tan 2θ+ tan(3π－2θ)= tan 2θ+tan 212θθ=2)212θθ+（*）令12x θ=，由2(0,)3πθ∈得x ∈(1，4) 则（*）42)x x +-x=2时取等号，此时3πθ=， 故S min =900答：围挡内部多边形ABPQR 面积的最小值为3πθ=……14分注：（*）也可令tan 2x θ=，转化成函数求导，进而求最值.18．解：(1) 因为椭圆E 的离心率为 22，所以c 2a 2＝12，又因为a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以a 2＝2b 2＝2c 2，因为点A(2，1)是椭圆E 上的点，所以 42b 2＋1b 2＝1 ……2分解得b 2＝3，a 2＝6，所以椭圆E 的标准方程是 x 26＋y23＝1． ……4分(2)当AB 的斜率不存在或为0时，AB ＝4或2，此时△ABC 的面积为4，不合题意舍去； ……6分 当AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的斜率为k ，则直线AB 方程为y －1＝k(x －2)， 由⎩⎨⎧x 26＋y23＝1 ， y －1＝k(x －2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2， y 1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 4k 2-4k-21+2k 2y -2k 2-4k+11+2k2. ……8分AB ＝1+k 2| 4k 2-4k-21+2k 2－2|＝1+k 2|4k+41+2k2|，同理将上式中的k 用－1k 替换，得AC ＝1+k 2|4k-4k 2+2|，因为△ABC 的面积为 209，所以12ABAC ＝121+k 2|4k+41+2k2|1+k 2|4k-4 k 2+2|＝209，……10分化简得(1+k 2)|k 2-1|( 1+2k 2)( k 2+2)＝518， 当k 2≥1时，原方程可化为8k 4－25k 2－28=0，解得k 2=4，……12分当k 2≤1时，解得k 2=14，即k=2或－2或12或－12，当AB 的斜率2时，AC 的斜率－12，此时B 点坐标(23，－53)，C 点坐标(23，53)，此时直线BC 的方程为x ＝23， ……14分当AB 的斜率－2时，AC 的斜率12，此时B 点坐标(229，19)，C 点坐标(－2，－1)，此时直线BC 的方程为x －4y －2＝0， ……16分综上，直线BC 的方程为x ＝23或x －4y －2＝0．19． 解：（1）设切点P(m ，mlnm ＋am ＋1)，由f ′(x)＝lnx ＋1＋a ……2分 知 f(m)＝lnm ＋1＋a.则在点P 处的切线l 方程为：y ＝(lnm ＋1＋a)x －m ＋1.若与题目中的切线重合，则必有⎩⎨⎧lnm ＋1＋a ＝21－m ＝0， ……4分解得a ＝m ＝1，所以a 的值为1. ……6分 （2） 令F(x)＝f(x)－k(x －1)，则根据题意，等价于F(x)＞0对任意的正数x 恒成立. F ′(x)＝lnx ＋2－k ，令F ′(x)＝0，则x ＝e k －2.当0＜x ＜e k －2 ，则F ′(x)＜0，F(x)在（0，e k －2）上单减；当x ＞e k －2 ，则F ′(x)＞0，F(x)在（e k －2，＋∞）上单增. 所以有F(x)min ＝F(ek －2) ＞0，即ek －2－k －1＜0.当k ＝3，容易验证，e k －2－k －1＜0； ……10分下证：当k ≥4，e k －2－k －1＞0成立. ……13分令h(x)＝e x －2－x －1，x ≥4,则h ′(x)＝e x －2－1≥0，对任意的x ≥4恒成立。
江苏省南京市金陵中学高三数学上学期期中试题 文 新人教A版
期中试卷数学（必做题）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分请把正确答案填写在答题卡相应的位置上． 1.设集合A ＝｛x ｜－12＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝ ．2.复数i 2（1－2i ）的实部是3.命题“∃x ∈R ，x 2+ax +1<0” 的否定是4.函数f （x ）＝1－log 3x 的定义域是 ． 【答案】（0，3］ 【解析】试题分析：要使函数解析式有意义需满足31log 00x x -≥⎧⎨>⎩，即03x <≤，故定义域为（0，3］.考点：对数函数.5.在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = .6.已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为 ．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知y =3x 是双曲线x 2a 2－y 2b2=1（a >0,b >0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题： ①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ； ③若l ∥m ,则α⊥β； ④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确命题的序号是 【答案】①③ 【解析】试题分析：对于①，若α∥β，因为l ⊥平面α，故l ⊥平面β，又m ⊆平面β，所以l ⊥m ，①9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y = 5下方的概率为 ．10.已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数x 恒成立，则α= ． 【答案】65,3ππ【解析】 试题分析：由()fx α+=()f x α-知，x α=为函数的对称轴，所以2,6223k k ππππαπα-=+=+，因为α∈(0,π)，所以0,1k =，得,3πα= 或56π. 考点：函数对称性、正弦函数性质.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ．12.已知函数f (x )= |lg (x -1)| 若a≠b ,f (a )= f (b ) ,则a +2b 的取值范围是 ． 【答案】[22 3.)+∞ 【解析】试题分析：由()()f a f b =得，1,1a b >>且()()|lg 1||lg 1|a b -=-，由对数函数的特征得，()lg 1lg(1)0,(1)(1)1a b a b -+-=--=所以ab a b =+，故()2223223a b a ba b a b ab b a++=+=++≥. 考点：对数函数性质、基本不等式.13.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在[0，2013]上的零点个数是_____ ．14.已知函数f (x )=4x+k •2x+14x +2x +1，若对任意的实数x 1,x 2,x 3,不等式f (x 1)+ f (x 2) >f (x 3)恒成立，则实数k的取值范围是 ．综上，实数k的取值范围为1[,4]2．考点：换元法求函数最值、指数函数性质.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知向量a =(2cos x , 2sin x ) ，b =(3cos x , cos x ),设函数f (x )=a •b -3, 求： (1) f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若()()626212f f απαπ--+=, 且α∈(π2,π). 求α.16.(本题满分14分)如图,四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点,G 是AE ,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.。
江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷
【详解】
∵sinh
t，
∴sin2x= cos（2x+ ）=2sin2（x+ ） = ͷ﹣1= െ ，
故答案为：﹣ െ
【点睛】 此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 8．2＜a＜3
3－a＞0，
【解析】由{an}是递增数列，得
a＞1， a8＞a7，
解得
1＜a＜3， a＜－9或a＞2，∴2＜a＜3
垂直，
∴y′=2ax﹣ ，
h ∴
h
t t െ，
解得：a=﹣1，b=﹣2，
故 2a＋3b =﹣8，
故答案为：﹣8
【点睛】
本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到 y|x=2=﹣5，且 y′|x=2= ﹣െ，是解答的关键．
10．0t ݐt 或 t ݐt 【解析】
此题考查导数的应用； h t
， 为偶数
2019-2020 江苏省南京金陵中学
高三第一学期期中考试数学试题
数学答案
参考答案 1．{1，2} 【解析】
【分析】 先化简集合 A，然后求交集即可. 【详解】 集合 A＝ log t t ＜ t ，又 B＝{﹣1，0，1，2，4} ∴A B＝{1，2} 【点睛】 本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．
（3）证明：对任意给定的实数 k，存在 ( 体 )，使得 h 在区间( ， )上单调递增．
20．若数列 h 同时满足：①对于任意的正整数 n，h
h 恒成立；②若对于给定的正整数 k，
h
h t h 对于任意的正整数 n(n＞k)恒成立，则称数列 h 是“R(k)数列”．
【精品试题】【全国百强校】江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合，，则 .【答案】【解析】由题意得．【考点】集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.若，其中a、b R，i是虚数单位，则a＋b＝_______．【答案】1【解析】【分析】将方程左边展开化简后，利用复数相等的充要条件求得的值，从而求得的值.【详解】依题意得，根据复数相等的充要条件得，故.【点睛】本小题主要考查复数相等的充要条件，考查复数的乘法运算，属于基础题.3.函数的定义域为_______．【答案】(－2，2)【解析】【分析】根据对数真数大于零，解一元二次不等式求得函数的定义域.【详解】由于对数的真数要大于零，故，解得，即函数的定义域为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑：一个是对数的真数大于零，一个是分母不能为零，一个是偶次方根被开方数要为非负数，一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.4.如图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果S是_______．【答案】12【解析】【分析】运行程序，直到时，退出循环结构，输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，，判断否，，，判断否，，判断是，输出.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查循环结构的认识以及何时退出循环结构.属于基础题.5.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm。
【答案】30【解析】试题分析：由频率分布直方图可知小于20的3组的频率依次为0.05,0.05,0.2，长度小于20的频率为0.05+0.05+0.2=0.3，所以从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为考点：频率分布直方图点评：频率分布直方图每一个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积和为1【此处有视频，请去附件查看】6.等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______．【答案】8【解析】【分析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】由于数列为等比数列，故，解得，故.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件.7.函数(A＞0，，)的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______．【答案】f(x)＝2sin(2x－)【解析】【分析】根据图像的最大值求得的值，根据四分之三周期求得的值，根据点求得的值.【详解】根据函数图像可知，函数最大值为，故.根据图像可知，，所以，将点代入函数解析式得，解得.故【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像上的条件，求三角函数的解析式，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.求解的过程中，首先利用图像上的最高点求得的值，要注意值的正负.第二根据图像上的半周期或者四分之一周期或者四分之三周期求得的值，第三根据图像上一个点的坐标求得的值.8.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】【解析】【分析】抛掷一个骰子两次，基本事件有种，列出符合题意的可能，根据古典概型概率求解公式，求得相应的概率.【详解】抛掷一个骰子两次，基本事件有种，其中符合题意的有：共六种，故概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查利用列举法求得事件的概率，属于基础题.9.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为_______．【答案】【解析】，所以，得离心率。
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【全国百强校】江苏省南京金陵中学2019届高三第
一学期期中考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B＝
_____________．
2. 已知复数，其中i是虚数单位，则的值是
_____________．
3. 已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．
4. 从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．
5. 如图是一个算法的流程图，则输出a的值是
_____________．
6. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．
7. 已知，则＝_____________．
8. 设a＞0，若a
n ＝且数列{a
n
}是递增数列，则实数a的范
围是__________．
9. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a＋3b的值是
_______．
10. 若函数在上不单调，则的取值范围是
____．
11. 在等腰三角形中，底边，，，若
，则_______.
12. 已知函数，则关于x的方程的解的个数为_____________．
13. 已知正数a，b，c满足，则的最大值为
_____________．
14. 若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_____________．
二、解答题
15. 如图,在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面
,为中点.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）.
16. 已知，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
18. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A1，A2，
B 1，B
2
(如图)．
（1）点Q是圆O上除A
1，A
2
外的任意点(如图1)，直线A
1
Q，A
2
Q与直线
交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；
（2）点P是圆O上除A
1，A
2
，B
1
，B
2
外的任意点(如图2)，直线B
2
P交x轴于点
F，直线A
1B
2
交A
2
P于点E．设A
2
P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为
定值．
（图1）（图2）
19. 设函数，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．（1）当k≤0时，求的单调区间；
（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在()，使得在区间(，)上单调递增．
20. 若数列同时满足：①对于任意的正整数n，恒成立；②若对于给定的正整数k，对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列是“R(k)数列”．
（1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；
（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．
21. 二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：，求l的方程．
22. 在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为d，求d的最大值．
23. 如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A—BE—C的余弦值．
24. 已知，．
（1）若，求中含x2项的系数；
（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
．。