【典型题】高一数学上期中试卷(含答案)

简称为“同增异减”.
7．C
解析：C 【解析】
由题意知，函数 y sin 2x 为奇函数，故排除 B；当 x π 时， y 0 ，故排除 D；当 1 cos x
x 1时， y sin 2 0 ，故排除 A．故选 C． 1 cos 2
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇 偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检 验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 等．
乙城市收益 Q 与投入 b( 单位：万元 ) 满足 Q 1 b 2 ，设甲城市的投入为 x( 单位：万元 4
) ，两个城市的总收益为 f x( 单位：万元 ) ．
（1）写出两个城市的总收益 f x( 万元 ) 关于甲城市的投入 x( 万元 ) 的函数解析式，并
求出当甲城市投资 72 万元时公司的总收益； （2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
（2）若不等式 f 2x k 2x 0 在区间1,1 上恒成立，求实数 k 的取值范围.
25．设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a b tan A，且 B 为钝角.
（1）证明： B A ； （2）求 sin A sin C 的取值范围. 2
得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于
基础题．
10．C
解析：C 【解析】
由题意： a
f
log
2
1 5
f
log2 5 ，
且： log2 5 log2 4.1 2,1 20.8 2 ， 据此： log2 5 log2 4.1 20.8 ，
【典型题】高一数学上期中试卷(含答案)
一、选择题
1．不等式 loga x2 2x 3 1 在 x R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．2,
B． 1,2
C．
1 2
,1
D．
0,
1 2
2．三个数 0.32，20.3， log0.3 2 的大小关系为（ ）.
A． log0.3 2 0.32 20.3
（Ⅰ）求 t 年后，这种放射性元素质量 ω 的表达式；
（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的
时间）．（精确到 0.1；参考数据：
）
24．已知函数 g x ax2 2ax 1 ba 0 在区间2,3 上有最大值 4 和最小值 1，设
f x gx.
x （1）求 a, b 的值；
A．2,
B．2, 4
C．0, 4
D．2, 4
12．函数 y x 2 x 的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
a x 1 , x 1
13．已知函数 f (x) (x a)2
，函数 g(x) 2 f (x) ，若函数 y f (x) g(x) x 1
恰有 4 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为______．
f
log
2
1 5
，
b
f
log2 4.1，
c f 20.8 ，则 a,b, c 的大小关系为( )
A． a b c
B． b a c
C． c b a
D． c a b
11．函数 f x x2 4x 5在区间0, m上的最大值为 5 ，最小值为1，则实数 m 的取值
范围是（ ）
26．计算下列各式的值：
1
（1）
2
7 9
2
2
3π
0
2
10 27
1 3
0.25
1 2
．
（ 2 ） lg5 ln e 21log23 lg2 2 lg5 lg2 ．
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一、选择题 1．C
解析：C 【解析】 【分析】
由 x2 2x 3 x 12 2 2 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对 a 讨论求
所以“ a cos A bcos B ”是“ ABC 是以 A 、 B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件
故选 B
【点睛】
本题考查了必要非充分条件，化简得到 A B 或 A B 是解题的关键，漏解是容易发 2
生的错误.
4．C
解析：C 【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
B． log0.3 2 20.3 0.32
C． 0.32 log0.3 2 20.3
D． 0.32 20.3 log0.3 2
3．在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ，则“ a cos A bcos B ”是
“ ABC 是以 A 、 B 为底角的等腰三角形”的（ ）.
详解：因为 f (x) 是定义域为 (, ) 的奇函数，且 f (1 x) f (1 x) ，
所以 f (1 x) f (x 1) f (3 x) f (x 1) f (x 1)T 4 ,
因此 f (1) f (2) f (3) f (50) 12[ f (1) f (2) f (3) f (4)] f (1) f (2) ，
解即可. 【详解】
由 loga
x2 2x 3
1 可得 loga
x2 2x 3
loga
1 a
，
当 a 1时，由 x2 2x 3 x 12 2 2 可知 x2 2x 3 1 无实数解，故舍去；
a
当 0 a 1时， x2 2x 3 x 12 2 1 在 x R 上恒成立，所以 1 2 ，解得
因为 f (3) f (1)，f (4) f (2) ，所以 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
f (2) f (2) f (2) f (2) 0 ，从而 f (1) f (2) f (3) f (50) f (1) 2 ，
选 C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行 变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
a
a
1 a 1. 2
故选：C 【点睛】 本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】
∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log0.32． 故选 A． 【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
A．
f
x
x2 1 2x
C． f x ln x
B． f x 2x x 1
D． f x xex 1
9．已知函数
f
x
ax, x 1 loga x, x
（
1
a
1且 a
1），若
f
1
2 ，则
f
f
1
2
（）
A． 1
B． 1 2
C． 1 2
D． 2
10．已知奇函数
f
x在 R
上是增函数，若 a
14．函数 f (x) 1 2 log6 x 的定义域为__________．
15．已知
f
x
x3, x a
x2
,
x
a
，若存在实数
b
，使函数
g x
f
x b 有两个零点，则 a
的取值范围是________．
16．函数
的定义域为______________．
17．已知函数 f (x) loga (4 ax) （ a 0 ，且 a 1）在[0,1] 上是减函数，则 a 取值范
22．已知定义域为 R 的函数
f
(x)
2x 2 x 1
b 2
是奇函数．
（1）求 b 的值；
（2）判断函数 f (x) 的单调性，并用定义证明；
（3）当
x
1 2
, 3
时，
f
kx2
f (2x 1) 0 恒成立，求实数 k 的取值范围．
23．一种放射性元素，最初的质量为 500g，按每年 10﹪衰减.
B 选项符合函数图象特征. 故选：B 【点睛】 此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由 f 1 2 ，求得 a 2 ，得到函数的解析式，进而可求解 f ( f (1)) 的值，得到答案．
2
【详解】
由题意，函数
f
x
ax ,
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据定义域排除 C ，求出 f 1 的值，可以排除 D ，考虑 f 100 排除 A .
【详解】
根据函数图象得定义域为 R ，所以 C 不合题意；
D 选项，计算 f 1 e 1，不符合函数图象；
对于 A 选项， f 100 9999 2100 与函数图象不一致；
的大致图像是（
C． 2
）
D． 50
A．
B．
C．
D．
6．函数 f (x) ln(x2 2x 8) 的单调递增区间是
A． (, 2)
B． (,1)
C． (1, )
D． (4, )
7．函数 y sin2x 的部分图像大致为 1 cosx
A．
B．
C．
D．
8．函数 f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
令 t= x2 2x 8 ，则 y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= x2 2x 8 为减函数；
x∈(4,+∞)时,t= x2 2x 8 为增函数；
y=lnt 为增函数，
故函数 f(x)=ln( x2 2x 8 )的单调递增区间是(4,+∞)，
故选 D.
点睛：形如 y f g x 的函数为 y g x , y f x 的复合函数， y g x 为内层函
3．B
解析：B 【解析】
【分析】
化简 a cos A bcos B 得到 A B 或 A B ，再判断充分必要性. 2
【详解】
a cos A bcos B ，根据正弦定理得到： sin Acos A sin Bcos Bsin 2A sin 2B
故 2A 2BA B 或 2A 2B A B ， ABC 为等腰或者直角三角形. 2
5．B
解析：B 【解析】
由 f x 的解析式知仅有两个零点 x 3 与 x 0 ，而 A 中有三个零点，所以排除 A，又
2
f
x
2x2 x 2ex
3
，由
f
x
0 知函数有两个极值点，排除
C，D，故选
B．
6．D
解析：D 【解析】
由 x2 2x 8 >0 得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
x
1
(a 1且 a 1) ， f 1 2 ，
loga x, x 1
所以
f
1
a
2
，所以
f
x
2x ,
x
1
(a 1且 a 1) ，
log2 x, x 1Biblioteka 所以f(1)
1
22
2，
2
所以 f ( f (1)) f ( 2
2) log2
2 1 ，故选 C． 2
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求
围是_________．
18．某企业去年的年产量为 a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加 b ﹪，则第
x (x N ) 年的年产量为 y ______.
19．若 a log4 3 ，则 2a 2a
．
20．已知函数
f
x
x2
6x
6,
3x 4,
x0 x 0 ，若互不相等的实数 x1 ， x2 ， x3 满足
f x1 f x2 f x3 ，则 x1 x2 x3 的取值范围是__________．
三、解答题
21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司 “Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资 160 万元，根据行业规定，每个城市至少要投资 30
万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与投入 a( 单位：万元 ) 满足 P 4 2a 6 ，
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
4．已知 f (x) 是定义域为 (, ) 的奇函数,满足 f (1 x) f (1 x) .若 f (1) 2 ，则
f (1) f (2) f (3) f (50) （ ）
A． 50
B． 0
5．函数
f
(x)
2x2 3x 2ex
数, y f x 为外层函数.
当内层函数 y g x 单增，外层函数 y f x 单增时，函数 y f g x 也单增； 当内层函数 y g x 单增，外层函数 y f x 单减时，函数 y f g x 也单减；
当内层函数 y g x 单减，外层函数 y f x 单增时，函数 y f g x 也单减； 当内层函数 y g x 单减，外层函数 y f x 单减时，函数 y f g x 也单增.