MATLAB方程的图形法迭代法直接法

隔离存在根的区间，区间逼近
二分法: 简单，但效率很高的一种算法
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迭 代 法 直 接 法
通用的可控精度迭代程序
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以方程 3x-ex=0 为例，演示如何将程序通用化： diedai.m 为固定计算x=1/3*exp(x)的可控精度程序 diedais.m 为改写后的可适应一类方程的通用程序 迭 第 diedait.m 为增强后的加可选绘图参数的程序通用
代 法 直 接 法 二 讲 方 程 的 图 关于线性方程组的迭代算法参见《数值计算》： 形 法 高斯消去法；szp42
非线性是更一般的属性？
我们面对的大多数方程（组）都是非线性的。
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定义：一些由实际问题列出的方程中常常包含三角 迭 第 函数、指数函数等，它们与n>=2代数方程一起统 代 二 称为非线性方程（组） 法讲 例如：3x-ex=0 ; xsinx=1 直
接方 法程 的 图 所以，求解这一类方程（组）更具现实意义： 形 法 计算机技术和数学软件技术的飞速发展为我们实现
追加练习：
%8x5-12x4-26x3-13x2+58x+30=0 fplot('8*x^5-12*x^4-26*x^3-13*x^2+58*x+30',[-1,3]); hold on; line([-5 5],[0 0],'color','r'); grid on
图形放大法的步骤和技巧：
方程f(x)=0 (1)建立坐标系，画曲线f(x) (2)观察曲线f(x)与x轴的交点 迭 第 (3)将其中一个交点局部放大 代二 法 讲 (4)该交点的横坐标值就是方程的根
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简单迭代与加速迭代的比较3
改进前面已经被判定为“失败的”迭代格式1：
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x=(x)=x^3-x^2-1
由前述确定原则有：
迭 代 法 直 接 法 第 二 讲 方 程 的 图 形 法 实验发现改进后的迭代格式1能够收敛，但速度仍
然不如迭代格式2和3，相对自身而言“加速” 注意：改进后的迭代格式1在迭代103次后才渐近 至1.8393，并且需要在变量空间中双击查看 why?
经典方法（比如二分法）、创新新方法（比如图形 放大法）提供了极大便利，甚至衍生出一些崭新的 学科方向（比如课本第3章提到的 分形与混沌）
最简捷和最一目了然的方法？
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毫无疑问，图形放大法体现了现代数学软件在数据 可视化方面无以伦比的优点：简捷和直观 演练：p10，2.1
迭 代 法 直 接 法 第 二 讲 方 程 的 图 形 法 x=-6:.001:6; plot(x,x.^5+2*x.^2+4,x,0,'r-') grid on axis([-2 2 -200 200])
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
加速迭代法就是为了解决上述问题而产生的改进型 迭代法： 若迭代格式xn+1=(xn), n=0,1,2...,不收敛，则我们不 直接用(x)迭代，改用(x)与x的加权平均 h(x)= (x)+(1- )x 进行迭代，基于某个确定原则，比 如： =1/（1- '(xn) 改进后的加速迭代格式如下：
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直方 接程 法 的 技巧关键字（提高你的效率）： 图 步进精度选择（要足够适应放大倍数~） 形 法 坐标区域设定（方便直观准确地读数~）
交点追踪（强调x轴、双击重置，放大适可而止~） 延展：能不能写出不需人工干预的图形放大法？
简单迭代法（迭代收敛的情形）
回到早先我们接触的引例：3x-ex=0 xn+1= (xn), n=0,1,2..., x0
附注：确定原则一般来自理论和经验，更多形式 参见P13
简单迭代与加速迭代的比较1
用两种方法迭代方法求解方程x3-x2-x-1=0 构造迭代格式： 初值x0=0
迭 代 法 直 接 法 第 二 讲 x1=1;x2=1;x3=1; 方 for k=1:20 x1=x1^3-x1^2-1; 程 的 x2=(x2^2+x2+1)^(1/3); 图 x3=1+1/x3+1/x3^2; 形 end 法 x1,x2,x3
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直方 接程 法 的 技巧关键字（提高你的效率）： 图 迭代格式的确定（是否唯一,是否一定收敛？） 形 法 迭代初值的选择（迭代与初值选择是否有关?）
迭代存在的缺陷（迭代能否逼近所有的解？） 演练：在讲解加速迭代法后一齐举例~
简单迭代法的改进…
当遇到迭代格式不收敛怎么办？ 如何加快迭代速度？
迭 代 法 直 接 法 第 二 讲 方 程 的 图 形 法
迭 代 法 直 接 法 第 二 讲 方 程 的 图 形 法
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迭代算法的步骤与技巧：
方程f(x)=0 (1)经过简单变形，化为xn+1= (xn), n=0,1,2... (2)*绘出y=x和y= (x)的图形，并观察 迭 第 (3)确定迭代初值x0，并代入程序进行迭代 代二 法 讲 (4)序列发散回到第1步；收敛获得求解
雅克比迭代法；szp54，p59 高斯-赛德尔迭代法；szp53
第二讲 方程及方程组解法(下)
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内容：本讲继续探讨针对方程组的迭代算法,主要 讲解、演练方程(组)求解的MATAB直接解法。 目的：掌握几个方程（组）求解的相关函数。 迭 第 要求：能够处理带应用背景的方程问题。
代 法 直 接 法 二 讲 方 非线性方程组的迭代法（承接第二讲上） 程 的 MATLAB软件直接求解法： 图 solve fsolve fzero roots 形 法 引例波音飞机定价策略…（实验室讲解）
线性方程组AX=B的求解
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迭 代 法 直 接 法
第 二 讲 方 程 的 图 形 法
A=[0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0]; B=[-5;-4;12;5]; rank(A)==rank([A,B]) % ans=0 故原方程组无解 ans=1 有 唯一解 存在性 x=A\B %方法1：矩阵左除运算 x=inv(A)*B %方法2：逆矩阵求解法(须方阵) [L,U]=lu(A); %方法3：LU分解法 x=U\(L\B) [Q,R]=qr(A); %方法4：QR分解法 x=R\(Q\B) rref([A,B]) % 方法5：rref化行最简形 …p13~