§1-2伯努利方程及其应用

ρ
（1-9）
v 2 = 2 gh
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
（二）水流抽气机、喷雾器 如图1—6所示，粗细不均匀的水平玻璃管AB的细窄处连 接一根细管CD。使CD管的下端插在盛有溶液的容器E 里。设流体在A处的流速、截面、压强分别为
v1、S 1、p 1 流体在C处的流速、截面、压强 分别为 v 2、S 2、p 2
S1 = v1 S2
设小孔处的高度为零,则水面处的高度为h。又由于孔 口与大气相接触，故孔口处压强等于大气压强，对点 1和点2应用伯努利方程,则有
第一章 流体的运动
p + ρgh = p 0 + 0.5 × ρv 2
§1-2伯Biblioteka Baidu利方程及其应用
得
2 v2 =
2( p − p 0 )
ρ
+ 2 gh
(1-8)
第一章 流体的运动
p v2 + = 恒量 ρg 2 g
§1-2伯努利方程及其应用
对于水平流管因各处的高度不变，于是伯努利方程为
p + 0.5 ρv 2 = 恒量 即
（1-5）
此式表明，水平管道内流速大处压强小，流速小处压 强大。这一原理有许多实际的应用。 例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管的内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引 入到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求 浴室内水的流速和压强（已知水的密度 ρ=1000kg/m3）。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
在作稳定流动的理想流体中，任取一细流管，在
a1 a 2 两处垂直于流管的截面积分别为 设流体由 a1 向 a 2 流动， a1 b1
流速大小分别为 v1
S1 S 2
v2
1
p1 s1
在很短的时间间隔△t内， 这一小段流体有了移动。 设流体在a1b1处的机械能为△E1
整理上式，得
1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgh1 = p2 + ρv2 + ρgh2 2 2
(1-3a)
由于式中1、2是同一流管内的任意两点，故可略去下 标。对于同一流管的任一截面 1 2 (1-3b) p + ρv + ρgh = 恒量
2
(1-3)式称为伯努利方程，它表明：对于不可压缩的理想流 体作稳定流动，在同一流管内的任一处，每单位体积流体 的动能、势能以及该处压强之和是一恒量。
2 p1 + 0.5 ρv12 = p2 + 0.5 ρv2
H
由连续性原理,得
v1
S2 v1 = v2 S1
主管 细管
v2
图1—4 范丘里管 图1—4 范丘里管
第一章 流体的运动 代入上式得到
v 2 = S1
§1-2伯努利方程及其应用
2( p1 − p 2 ) ρ ( S12 − S 22 )
压强差可由两竖管中液面的高度差算出， p1 − p2 = ρgh
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
§1-2伯努利方程及其应用
故 v 2 >> v1 当流速 v 2 达到一定数值时， 细窄管C处压强 p 2 将小于大气压强 p 0
2 2
⎛ d1 ⎞ S1 π ( d 1 / 2) ⎛2⎞ ⎜ ⎟ v1 = ⎜ ⎟ × 4 = 16( m / s ) v2 = v1 = v =⎜ ⎟ 2 1 S2 π ( d 2 / 2) ⎝1⎠ ⎝ d2 ⎠ 1 2 1 2 由伯努利方程 p1 + 2 ρv1 + ρgh1 = p2 + 2 ρv2 + ρgh2
v 2 = S1 2 gh 2 S12 − S 2
H
2 gh 2 S12 − S 2
体积流量 QV = v2 S 2 = S1 S 2
v1
主管 细管
v2
图1—4 范丘里管 图1—4 范丘里管
上式中，只要读出两根竖管中 液面的高度差h,就可以测定出 流体的体积流量。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
容器E的溶液便沿着CD管上升。我们将流体流速增大时压强减 小，从而产生对周围气体或液体的吸入作用称为空吸作用。 空吸作用的应用很广，水流抽气机就是根据 水 上述空吸作用的原理设计的，如图1—7。 喷嘴 活塞 空气 水和 空气 图1—7 水流抽水机 图1—7 水流抽水机
竖直管 图1—8 小型喷雾器 图1—8 小型喷雾器
2 所以 p 2 = p1 − 0.5 × ρ (v 2 − v12 ) − ρg (h2 − h1 )
= 2.31× 105 ( Pa )
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
二、伯努利方程的应用 （一）范丘里流量计 如图1—4所示为范丘里流量计，它是由一根中间细两头粗 的主管,以及在粗管部分及狭窄部分各装一根竖直的细管 组成，使用时将主管水平放置。应用伯努利方程(1-5),有
a2 b2
h1 h2
p2 s 2
1 2 ∆E1 = mv1 + mgh1 2
图1—3 伯努利方程的推导 图1—3 伯努利方程的推导
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
在 a2b2 处的机械能为△E2
1 2 ∆E 2 = mv 2 + mgh2 2
p1 s1
a1 b1 a2 b2
h1 整段流体在Δt时间内机械能 h2 p2 s 2 增量为ΔE =ΔE2-ΔE1，是外力 对a1b1间的流体作功的结果。 图1—3 伯努利方程的推导 图1—3 伯努利方程的推导 对于理想流体，由于无粘滞性，不会产生平行于流管侧 壁的切应力，流管外的流体对这部分流体的压力必垂直 于流管侧表面，因而不作功。作功的仅是作用于a1 、a2 两处端面的力，作用于a1 表面上的外力为p1s1，此力作 正功，a1处流体的位移为V1Δt。作用于a2表面上的外力 为p2s2，此力作负功，流体的位移为V2Δt。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
想一想 现实生活中哪些地方有应用
例1.3如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体 密度为ρ,液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压 强为p,在液槽侧面小孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0 时,试证明小孔处的液流速度为：
v2 =
2( p − p 0 )
S1 p
ρ
h
ρ
p0 s2
图1—5 小孔流速 图1—5 小孔流速
第一章 流体的运动
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
在Δt时间内，外力对这段流管内流体所作的功为
W = p1 S1v1 ∆t − p 2 S 2 v2 ∆t
根据功能原理，外力所作的总功等于机械能的增量，故 有W =ΔE 即
1 2 ⎛1 2 ⎞ mv 2 + mgh2 − ⎜ mv1 + mgh1 ⎟ = p1 S1v1 ∆t − p 2 S 2 v 2 ∆t 2 ⎝2 ⎠
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
工程应用中常将（1.3）式改写为
p v2 + + h = 恒量 （1.4） ρg 2 g
压 力 水 头 速 度 水 头 位 置 水 头
三者之和为总水头,它们都具有长度的量纲.这时伯 努利方程可表述为:理想流体稳定流动时,在同一流管的 任一处，总水头是一常量。
根据连续性方程 Sv = 恒量 ，故单位时间内流过任 一截面的体积相等， = Svt V
1 1 2 ρVv2 + ρVgh2 − ρVv12 − ρVgh1 = p1V − p2V 2 2
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
1 1 2 ρVv2 + ρVgh2 − ρVv12 − ρVgh1 = p1V − p2V 2 2
(1-8)式中 p − p0 称为计示压强，在 p >> p0 的条件下，2gh与 2(p-p0)/ρ相比非常小,可忽略不计,于是(1-8)式可简化为
v2 = 2( p − p 0 )
若液槽上方不封闭，则 p = p 0 ，（1-9）式可改写为
（1-10） 上式叫做托里拆利公式，它表明任何液体质点从小孔中 流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等。