第六节 利用导数研究函数零点问题

(2)证明：f(x)只有一个零点．
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[解] 证明：因为 x2＋x＋1>0，
所以 f(x)＝0 等价于x2＋xx3＋1－3a＝0.
设 g(x)＝x2＋xx3＋1－3a，
则 g′(x)＝x2xx2＋2＋x2＋x＋132 ≥0，仅当 x＝0 时，g′(x)＝0，
所以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
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[解题技法] 本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函 数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题 时，可以从两个方面去思考： (1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形 状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件； (2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据 函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此 时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导， 层层推理得解．
因此 x＝1 也是 φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为 φ(1)＝23，又∵φ(0)＝0.
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结合 y＝φ(x)的图象(如图)，可知， ①当 m>23时，函数 g(x)无零点； ②当 m＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当 m>23时，函数 g(x)无零点； 当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点．
∴当 x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；
当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴当 x＝e ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋ee＝2，
∴f(x)的极小值为 2.
设函数 f(x)＝ln x＋mx ，m∈R .
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(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－x3零点的个数． 解：由题意知 g(x)＝f′(x)－x3＝1x－xm2－x3(x>0)，
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[典例] (2019·重庆调研)设函数 f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R )．
(2)若函数 f(x)在13，3上有两个零点，求实数 a 的取值范围．
[解] 令 f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得 a＝x－lnxx.
令 g(x)＝x－lnxx，其中 x∈13，3， 则 g′(x)＝1－1－xl2n x＝x2＋lxn2x－1，令 g′(x)＝0，得 x＝1，当 13≤x<1 时，g′(x)<0；当 1<x≤3 时，g′(x)>0，
转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数 画图法
即可 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去 定理法 解决
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[对点训练] 设函数 f(x)＝ln x＋mx ，m∈R . (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； 解：由题意知，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋xe(x>0)， 则 f′(x)＝x－x2 e，

32＋54，
∴m 的取值范围为ln 3－2，ln

32＋54.
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令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x>0)．
设 φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，
则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1 是 φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
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考点二 已知零点存在情况求参数范围
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[典例] (2019·重庆调研)设函数 f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R )．
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； [解] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时， f′(x)＝－2x－1＋1x＝－2x2－x x＋1， 令 f′(x)＝0，得 x＝12(负值舍去)， 当 0<x<12时，f′(x)>0；当 x>12时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为0，12，单调递减区间为12，＋∞.
故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点．
又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－16<0，f(3a＋1)＝13>0， 故 f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．
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[解题技法] 判断函数零点个数的 3 种方法 直接法 令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数
第六 节 利用导数研究函数零点问题
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考点一 研究函数零点个数
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[典例] (2018·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)． (1)若 a＝3，求 f(x)的单调区间；
[解] 当 a＝3 时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令 f′(x)＝0，解得 x＝3－2 3或 x＝3＋2 3. 当 x∈(－∞，3－2 3)∪(3＋2 3，＋∞)时，f′(x)>0； 当 x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)<0. 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2 3)，(3＋2 3， ＋∞)，单调递减区间为(3－2 3，3＋2 3)．
∴当 x∈[1,3]时，h′(x)，h(x)随 x 的变化情况如下表：
x
1
1，32
h′(x)
＋
3 2
32，3
3
0
－
h(x)
4 3
极大值
ln 3－2
∵h(1)＝43，h(3)＝ln 3－2<34，h32＝ln 32＋45，
∴当 x∈[1,3]时，h(x)∈ln 3－2，ln
[对点训练] 设函数 f(x)＝ln
x－x，若关于
x
的方程
f(x)＝x2－130x＋m
在区间[1,3]
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上有解，求 m 的取值范围． 解：方程 f(x)＝x2－130x＋m 在区间[1,3]上有解，
即 ln x－x2＋73x＝m 在区间[1,3]上有解．令 h(x)＝ln x－x2＋73x，
则 h′(x)＝x1－2x＋37＝－3x＋13x2x－3.
∴g(x)的单调递减区间为13，1，单调递增区间为(1,3]， ∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数 f(x)在13，3上有两个零点，g13＝3ln 3 ＋13，g(3)＝3－ln33，3ln 3＋13>3－ln33， ∴实数 a 的取值范围是1，3－ln33.