大学物理角动量转动惯量描述

M
M
O
z
r
F
*
d
P

Fi 0 , Mi 0
d F
: 力臂
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
讨论： 1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量：
其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩： M k r F
+
绕质心的转动
rC
rdm dm
角动量 角动量定理 (§5.1,§5.2)
角动量概念的建立，和转动有密切的关系。 在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着某一 个确定点或轴转动的情况。例如，行星绕太阳的公转， 人造卫星绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的 转动等等。 在这些问题中，动量及机械能的有关规律并不能 直接用，这时若采用角动量概念讨论问题就很方便。 转动问题与平动问题的描述有许多相似之处，如： 力的时间累积效应 力矩的时间累积效应
e2 A2 B2 e3 A3 B3
(A1B2 A2 B1 )e3 +(A2 B3 A3B2 )e1 +(A3B1 A1B3 )e2
定义： M r F
为作用在质点上的力 F 对参考点O的力矩。
一、力矩 1、对参考点的力矩
M
O
r
F
d
p
θ
大小： M r F r si nθF Fd
M ij
O
M rF sin θ Fd
Mij M ji
力矩的计算：
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。
计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。
z
F F F z
z
k Fz
F
OLeabharlann Baidu
r
F
M z rF sinθ
M M1 M2 M3
2）合力矩等于各分力矩的矢量和。
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。
3） 刚体内部，作 用力和反作用力对 同一点（或转轴） 的力矩互相抵消。

大小： M 方向：
垂直纸面向里
(l a) g sin( / 2)(0l / L0 )dl 0 ( g0 / L0 cos )( L3 / 3 aL2 / 2)

L

0
F 对转轴 Z 的力矩 M r F M Fr sin Fd
2、对转轴的力矩 刚体绕 O z 轴旋转，力 F 作用在刚体上点 P (P点在转动 平面内), r为力的作用点 P 到 转轴的径矢。
刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的特殊质点系）。 刚体的运动形式： 平动(translation)、 转动(rotation)。 平动： 刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变
特点：各点位移、速度、 加速度均相同。 刚体平动 质点运动
e1 A B A1 B1
B B1e1 B2e2 B3e3 A Ae 1 1 A 2e2 A 3e3 A B 大小： A B A B sin ( A,B ) (以 A 和 B 为边的平行四边形面积) 方向：与 A 和 B 都垂直， 且成由 A 转到 B 的右手螺旋关系 性质： A B ( B A)
转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。
刚体的平面运动：
例：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。
A点作圆周运动，B
点作直线运动，因此，
AB 杆的运动既不是平动
也不是定轴转动，而是
平面运动。
刚体的一般运动： 质心的平动 质心 ：刚体的质量分布的中心
特别，对刚体
i
M r dF ( r )
例：如图，长为L 的细棒的质量密 L gdm 度分布为 (l ) 0l / L0 , 其中l 为距左端的长度，求其 a 所受重力对O点的力矩。 O L 解：M r dF r gdm (l a)er g (l )dl
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
注意：同一个力对于不同的参考点(转轴)的力矩 不同，因此说“力矩”时必须指明是相对 于哪一点（或哪一个转轴) 而言的。
质点系所受的总力矩（对同一参考点）：
M ri Fi
力臂:
r
是作用点P相对于固定点O的位矢。
d r sin θ
(力与力臂的乘积)
方向：右手螺旋定则判定
M r 和F
单位：N∙m （注意：不能写作功的单位J ）
在直角坐标系中，力矩可表示为：
M r F x Fx
i
j y
k z
其中：
F y Fz M xi M y j M zk
冲量、动量、动量定理。
冲量矩、动量矩(角动量)、 角动量定理。
预备知识：二矢量的矢积（叉乘）
A B ( Ae 1 1A 2e2 A 3e3 ) ( B 1e 1 B2e2 B3e3 )
A1B2e1 e2 A2 B1e2 e1 +A2 B3e2 e3 A3B2e3 e2 +A3 B1e3 e1 A1B3e1 e3
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。 解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦 阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质 元受阻力矩大， m 细杆的质量密度： l x dm l 质元质量： dm dx o m dx x 质元受阻力矩：
基本要求
一．理解角动量概念，掌握角动量定理、角动量守 恒及其应用； 二．理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量 与线量的关系；
三．理解力矩和转动惯量概念，计算转动惯量，掌 握刚体绕定轴转动的转动定律；
四．理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚 体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒 定律。 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题。