7.5多边形内角和与外角和模型专题

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多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题

第二十四讲多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

多边形的内角和与外角和

多边形的内角和与外角和多边形是一种有多个直角或不是直角的边的几何图形。

它由一系列线段组成，这些线段的端点称为顶点。

在一个多边形中，内角和与外角和是两个重要的概念。

一、内角和内角是多边形内部两条边所形成的角，可以通过计算多边形的内角和来了解多边形的性质。

多边形的内角和可以通过以下公式来计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。

可以看出，内角和与多边形的边数呈线性关系，边数越多，内角和也会增加。

例如，对于三角形（三边形），它有3个内角，内角和为180°。

对于四边形（四边形），它有4个内角，内角和为360°。

同理，五边形（五边形）的内角和为540°，六边形（六边形）的内角和为720°。

二、外角和外角是多边形内部一条边与其相邻边的延长线之间所形成的角。

多边形的外角和可以通过以下公式来计算：外角和 = 360°不论多边形的边数是多少，其外角和总是等于360°。

这是因为多边形的各个外角之间构成了一个完整的圆周角。

三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在一定的关系。

根据数学原理，多边形内角和与外角和相差180°。

证明如下：设多边形的边数为n，每个内角为a°，每个外角为b°。

多边形的内角和为 (n - 2) × 180°，外角和为360°。

根据角度的差值关系，可以得到：(n - 2) × 180° = n × a° - n × b°化简得到：360° = n × (a° - b°)因此，a° - b° = 180°，即内角和与外角和相差180°。

这个关系在解决一些几何问题时非常有用。

通过计算内角和和外角和，我们可以推导出多边形的各种性质和特点。

多边形的内角和与外角和公开课课件ppt

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解多边形的内角和与外角和

解多边形的内角和与外角和多边形是我们初中数学中常见的图形之一，它具有许多有趣的性质和特点。

其中，多边形的内角和与外角和是我们需要重点探讨和理解的内容。

一、多边形的内角和多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。

我们知道，一个三角形的内角和是180度，即三角形的三个内角的度数之和为180度。

那么，对于四边形、五边形、六边形等多边形，它们的内角和又是多少呢？1. 四边形的内角和四边形是最简单的多边形之一，它的内角和是360度。

我们可以通过将四边形分割成两个三角形来理解这一点。

两个三角形的内角和分别是180度，那么四边形的内角和就是两个三角形的内角和之和，即360度。

2. 五边形的内角和五边形的内角和是540度。

同样地，我们可以将五边形分割成三个三角形，每个三角形的内角和是180度，那么五边形的内角和就是三个三角形的内角和之和，即540度。

3. 六边形的内角和六边形的内角和是720度。

将六边形分割成四个三角形，每个三角形的内角和是180度，那么六边形的内角和就是四个三角形的内角和之和，即720度。

通过以上的例子，我们可以发现一个规律：多边形的内角和等于（n-2）×180度，其中n表示多边形的边数。

这个规律对于任意多边形都成立。

二、多边形的外角和多边形的外角和是指多边形中所有外角的度数之和。

我们知道，一个三角形的外角和是360度，即三角形的三个外角的度数之和为360度。

那么，对于四边形、五边形、六边形等多边形，它们的外角和又是多少呢？1. 四边形的外角和四边形的外角和是360度。

我们可以通过将四边形的每个内角与相邻的外角相加来理解这一点。

由于四边形的内角和是360度，而每个内角与相邻的外角的和是180度，所以四边形的外角和也是360度。

2. 五边形的外角和五边形的外角和是540度。

同样地，我们可以通过将五边形的每个内角与相邻的外角相加来得到这个结论。

由于五边形的内角和是540度，而每个内角与相邻的外角的和是180度，所以五边形的外角和也是540度。

知识点多边形的内角和与外角性质

知识点多边形的内角和与外角性质知识点：多边形的内角和与外角性质多边形是几何学中的基本概念之一，它由若干条直线段首尾相连而成，形成一个封闭的图形。

根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等等。

在多边形中，我们关注的一个重要性质就是多边形的内角和与外角性质。

一、多边形的内角和性质多边形的内角和是指多边形中所有内角的度数之和。

对于n边形，其内角和可以通过以下公式计算：内角和 = (n-2) × 180°以三角形为例，三角形是由三条边组成的多边形。

根据内角和性质，三角形的内角和恒为180°。

即三角形的三个内角的度数之和始终等于180°。

对于四边形，四边形是由四条边组成的多边形。

根据内角和性质，四边形的内角和恒为360°。

即四边形的四个内角的度数之和始终等于360°。

同样地，我们可以推广到多边形的情况。

对于任意n边形，其内角和恒为(n-2) × 180°。

多边形的每个内角的度数之和始终等于(n-2) ×180°。

二、多边形的外角性质多边形的外角是指由多边形的一条边和其相邻的一条边所组成的角。

相邻边是指连接同一个顶点的两条边。

对于n边形，每个外角的度数可以通过以下公式计算：每个外角的度数 = 360° / n以正多边形为例，正多边形是指边长和内角都相等的多边形。

对于正n边形，每个内角的度数为(180° × (n-2)) / n，每个外角的度数为360°/ n。

可以发现，正多边形的每个内角和每个外角的度数之和均为180°。

三、内角和与外角的关系多边形的内角和与外角有着特殊的关系。

对于任意n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = 360°这个关系可以通过推导得到。

由于多边形的每个外角的度数为360°/ n，n个外角的度数之和为360°。

《多边形的内角和与外角和》知识清单

《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。

比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。

二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。

这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。

2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。

3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。

所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。

例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。

2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。

3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。

不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。

例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。

四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。

例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。

2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。

多边形内角和与外角和模型专题

多边形内角和与外角和专题训练（模型）【模型一】“A 字”模型求证：∠1+∠2=180°+∠A 证法一：连接BC ，利用“三角形内和为180°”.证法二：连接BC ，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”.证法三：利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.证法四：延长EA 至F ，利用“多边形外角和为360°”.【模型二】飞镖模型求证：∠A +∠B +∠C=∠D 证法一、证明：连接BC ，证法二、连接并延长AD ，证法三、连接并延长BD ，交AC 于点E,【模型三】“8字”模型求证：∠A +∠B=∠C+∠D 证法一、利用“三角形内角和为180°” 证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”注意：“8字”模型的变式. 如图，∠1+∠2=∠C+∠D 【模型四】“五角星”模型求证：∠A +∠B +∠C+∠D +∠E =180° 【模型五】“角平分线”模型1、两条内角平分线已知：如图，∠B 、∠C 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠BPC=90°+21∠A2、两条外角平分线已知：如图，∠CBE 、∠BCF 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =90°-21∠A3、一条内角平分线和一条外角平分线已知：如图，∠ABC 、∠ACD 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =21∠A【模型六】“高线角平分线”模型A B CP12A BCDO A B C D12 AB C D 1 2 3 4 A B C D 1 E A BCDO1 PA B C1 2EFPA BC12DDA BO C 1 2 CA B D E 2 1CAB D E 2 1C A BDE 21 3 4 C A BDE2 13 F CDEAB求证：∠DCE=21（∠B -∠A ）.（其中∠B >∠A ）【模型七】“折角”模型求证：∠1+∠2=2∠A求证：∠2-∠1=2∠A 求证：∠1-∠2=2∠A 【直接运用】在“填空题”、“选择题”的客观题型中，可以直接运用模型结论解题.注意结论的准确性.1.☆如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠B=65°，则∠ACD= °2.☆如图，∠1+∠2=260°，则∠A= °3.☆如图，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，则∠D= °4. ☆如图，在△ABC 中，∠A =62°，∠1=20°，∠2=35°，则∠BDC= ° 5. ☆如图，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ，则∠A= ° 6. ☆如图，若∠A=40°，则∠P= °7. ☆如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，CE 平分∠ACB ，∠B =50°，∠A =20°,则∠DCE= ° 8. ☆如图，纸片△ABC 中，∠A =55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C 点落在△ABC 内的C’处，则∠1+∠2= °9. ☆☆如图，∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G= ° 10. ☆☆如图，∠A +∠B +∠C+∠D = °11. ☆☆如图，BE 、CF 交于点O ，∠EOF =105°，则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F= °. 12. ☆☆如图，∠ABD 与∠ACB 的角平分线相交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，则∠P = °. 【过程重现】在“解答题”中，重现模型证明过程.注意方法的选择. 1. ☆☆如图，在∠AMB 的两边AM 、BM 上分别取点P 、Q ，在∠AMB 内取一点N ，连接PN 、QN ，探索∠PNQ 、∠AMB 、∠MPN 、∠MQN 之间的数量关系，并证明你的结论.2. ☆☆如图，∠MON=90°，点A 、B 分别在射线PM 、PN 上，∠MAB 和∠NBA 的平分线相交于点P .点A 和点B 在运动过程中，∠P 的大小是否发生变化？请说明你的理由.3. ☆☆如图，已知AB ∥CD ，BD 平分∠ABC 交AC 于点O ，CE 平分∠DCG.若∠ACE=90°，试判断BD 与AC 的位置关系，并说明理由.4. ☆☆在△ABC 中，内角∠ABC 、∠ACB 的平分线夹角为α，外角∠DBC 、∠ECB 的平分线夹角为β.CA BDE AB C M N A ’ 2 1M B A’23D C 1 NA AB CMNA’123 D AB C D 第1题 A B CD 1 2 第2题 D A BOC 12 第3题 A B C D 12 第4题A B C P C D E A B 第5题第6题 C AB DE 第7题 2CA BC ’ 1 第8题 ABN OM P A BCD EFAB CD E FG 第9题 A B CD 120100第10 A BC D P 第12题A MB A M B A M BA B C 105°OD E F 第11题（1）若α=110°，则∠A = °，（2）若∠A =40°，则β= °，（3）猜想α与β之间的关系，并说明理由.【探索新知】在模型的基础上探索新知，或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程. 1. ☆☆如图①，则∠1+∠2+∠3+∠4 = °；如图②，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 = °；如图③，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5+∠6 = °.2. ☆☆（1）如图（1）,则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F J= °；（2）如图（2），则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H J= °；（3）如图（3），则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H +∠I +∠J= °.3. ☆☆☆已知：如图，在△ABC 中，BO 1、BO 2是∠ABC 的三等分线，CO 1、CO 2是∠ACB 的三等分线. （1）当∠A =60°时，∠BO 2C = °；（2）探索∠BO 1C 与∠BO 2C 之间的数量关系，并证明你的结论.4. ☆☆☆已知：如图，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点E . （1）若∠D =140°，∠E =110°，则∠A °；（2）求证：∠E =21（∠A +∠D ） 5. ☆☆☆☆如图，线段AB 、CD 交于点O ，连接AD 、BC ，我们把形如图1的图形称为“8字形”.（1）如图（1），直接写出∠A +∠D 与∠B+∠C 的关系；（2）如图（2），∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 、CP 交于点P ，且分别与AB 、CD 交于点M 、N ，∠D=46°，∠B=30°. 先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P 的度数；（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P 的度数(用含有α、β的式子表示). 6. ☆☆☆☆如图，在△ABC 中，将点A 向下拖动，依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图（1）、图（2）、图（3）中∠EAD 、∠B 、∠C 、∠D 与∠E 之间有什么数量关系？7. ☆☆☆☆如图，线段AB 、CD 交于点O .将图（1）中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可以得到图（2）、图（3）、图（4）.分别探究图（2）、图（3）、图（4）中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 与∠AED 之间有什么数量关系？ 8. ☆☆☆☆转化是数学中的重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化简单的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题. （1）请你根据学过的知识求出下面星形中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E 的度数；（2）若将图（1）中的星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F 的度数；（3）若再将图（2）中角进一步截去，如图（2），你能由题（2）中的方法或规律，猜想出图（3）中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H +∠I +∠J 的度数？（直接写出结果，不需要写出解题过程）10. ☆☆☆☆☆如图，四边形ABCD 中，内角∠ABC 的角平分线与外角∠DCE 的角平分线交于点A B C ED5 1 2 3 41 2 3 4 6 1 2 3 5 4 ① ② ③A B C D E F H HG F E D C B F A F A B C D E GH I J F (1) (2) (3)AB C A B C D E B C D E A B C D E （1）（2）（3） A B C O 1O 2 DA B C EPOCDEAB A F BFC FD FEFF FGFA F BF C F D F E F F FH F I J （1）（2）（3） A DBCOA B C D E O A D C B E O A B C D O E （2）（3）（4）（1） A DB C O P M NA D BC O （2）（1）F ，且∠F 为锐角.设∠A =α，∠D =β.（1）如图①，α+β>180°，试用α、β表示∠F ；（2）如图②，α+β<180°，请在图中画出∠F ，并试用α、β表示∠F ；（3）一定存在∠F 吗？如有，求出∠F 的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠F .9. ☆☆☆☆☆如图①，把三角形纸片ABC 折叠，使3个顶点重合于点P ，这时∠α+∠β+∠γ=°，∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 +∠6 = °.如果三角形纸片ABC 折叠后，3个顶点并不重合于点P （如图②），那么（1）中关于“∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 +∠6 ”的结论是否仍然成立？请说明理由. A BCDE F ① AB C D E②G 12 A BCD EF HI 3456 α β γPA’ B’C’ ABCDEFG I H12 365 4 4①②。

多边形的内角和与外角和要点例析

多边形的内角和与外角和要点例析多边形的内角和与外角和是初中数学中常见的几何概念。

在这篇文章中，我们将对多边形的内角和与外角和进行详细讲解，并提供相关例题来帮助读者更好地理解这个概念。

1. 多边形的内角和多边形的内角和是指多边形内部所有角度的和。

对于一个n边形，它的内角和为 (n-2) × 180 度。

这个公式可以通过以下方法进行推导：将n边形划分为n-2个三角形，每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和为(n-2) × 180度。

举例来说，一个三角形的内角和为180度，一个四边形的内角和为360度，一个五边形的内角和为540度，以此类推。

2. 多边形的外角和多边形的外角和是指多边形每个顶点处的角度之和。

对于任意n 边形，它的外角和恒为360度。

这个结论可以通过以下方法进行推导：以n边形的一个顶点为起点，依次连接该顶点和其他n-2个顶点，将n边形分解为n-2个三角形，每个三角形的外角和为360度，因此n边形的外角和为(n-2) × 180度。

又因为n边形的所有外角之和为360度，所以有(n-2) × 180度 = 360度，即n边形的外角和为360度。

3. 相关例题例题1：计算五边形ABCDE的内角和。

解：根据上述公式，五边形的内角和为(5-2) × 180度 = 540度。

例题2：计算六边形ABCDEF的外角和。

解：根据上述结论，六边形的外角和为360度。

例题3：已知四边形ABCD的一个内角为120度，求该四边形的内角和。

解：设四边形ABCD的内角和为x度，根据四边形内角和的公式，有x = (4-2) × 180度 = 360度。

又因为已知一个内角为120度，所以四边形的内角和为x = 360度，其中120度已经被计算在内。

以上是关于多边形内角和与外角和的要点例析。

通过理解这个概念和例题练习，读者可以更好地掌握多边形的几何知识。

多边形的内角和与外角和讲义

龙文教育一对一讲义教师:学生:日期:星期:时段:课题多边形的内角和与外角和学习目标与分析目标：会求多边形的内角和，会根据多边形的外交和求相应的边角关系。

考点：1）多年形内角和公式：（n-2）*18002）多年形外角和为3600学习重点重点：会运用多边形的内角和公式进行相关的计算。

难点：运用外角和定理，内角和公式求多边形的边角关系。

学习方法讲授与练习，归纳与总结学习内容与过程教师分析与批改1.12边形内角和是_______2.已知一个多边形的每个内角为140度则这个多边形是—————边形3.若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加——4.在四边形ABCD中四个内角度数比为2:3:4:3则每个内角—————5.下列角中能成为一个多边形内角和的是————A 270度B 560度C 1800度D 1900度6. 如果一个多边形的每个外角都等于40°,则这个多边形的内角和是多少？7.如果一个多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形的边数是多少？8.如图：求正五边形的每一个外角以及每一个内角的度数各是多少度？学习内容与过程教师分析与批改9.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.10、一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于900 , ∠B 和∠C应分别是210和320,检验工人量得∠BDC=1480,就断定这个零件不合格.运用你学过的三角形的有关知识说明零件不合格的理由.11. (1）如图(甲)，在五角星图形中，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。

（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？。

多边形的内角和外角

实例二：五边形的内角和与外角和
总结词
五边形可以被划分为3个三角形，因此其内角和为540度，外角和也为360度。
详细描述
五边形可以被划分为3个三角形，每个三角形的内角和为180度。因此，五边形的内角和为3 * 180度 = 540度。同时，由于多边形的外角和总是等于360度，所以五边形的外角和也为360度。
了解多边形的内角和外角在几何学中的应用。
掌握多边形的内角和外角的计算方法。
02 多边形的内角和外角的基本概念
内角和外角的定义
内角
多边形内部相邻两边的夹角。
外角
多边形外部与一个内角相邻的两边的夹角。
内角和外角的关系
01
02
03
外角和内角互补
一个内角与相邻的外角的和为180度。
外角和的性质
06 总结与回顾
本章重点回顾
1 2
多边形的内角和外角的概念
多边形的内角是指多边形内部的角，而外角则是与内角相对的，位于多边形外部的角。
内角和外角的性质
多边形的内角和等于其边数减2的乘积再乘以 180度，而外角和则等于360度。
3
内角和外角的应用
内角和外角的性质在几何学中有着广泛的应用，例如在计算多边形的面积、判断多边形的类型等方面。
总结词
计算多边形内角和的公式是（n-2） *180度，其中n是多边形的边数。
详细描述
这个公式是计算多边形内角和的关键。通过将多边形的边数代入公式，即可得到多边形的内角和。例如，一个五边形的内角和为（5-2）*180度=540 度。
04 多边形的外角和性质
外角的定义和性质
总结词
外角的定义是指多边形各边延长线所形成的角。每个外角的大小与相邻的内角互补，即它们的角度之和为180度。

多边形的内角和外角

多边形的内角和外角多边形是指由一定数量的直线段组成的图形，其中相邻直线段之间没有交点且连续组成闭合曲线。

多边形的内角和外角是我们在几何学中经常遇到的概念。

一、多边形的内角和外角定义多边形的内角是指从多边形的一个顶点出发，所得到的两条相邻边之间的夹角。

多边形的外角是指从多边形的一个顶点出发，所得到的一条边的延长线与另一条边之间的夹角。

二、多边形的内角和外角的性质1. 多边形的内角和为180°：对于一个n边形（n≥3），其内角和为 (n-2)×180°。

也就是说，不管多边形有多少个边，其内角和的度数总是相同的。

例如三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，以此类推。

2. 多边形的外角和为360°：同样地，在一个n边形中，其外角和也是固定的。

外角和的度数等于360°。

这是因为多边形的每个顶点都可以作为外角的顶点，而多边形有n个顶点，因此外角和为n×360°。

3. 多边形的内角和与外角和的关系：多边形的内角和和外角和之间有一个重要的关系：内角和与外角和的和为360°。

也就是说，多边形的内角和加上外角和等于360°。

这一性质对于任何多边形都成立。

三、多边形内角和外角的示例让我们以一个三角形和一个四边形作为例子来说明多边形内角和外角的应用。

1. 三角形三角形是一种有三条边和三个内角的多边形。

它的内部角度和为180°，而外角和为360°。

具体来说，三角形的每个内角都是直角的三分之一，即60°。

相应地，三角形的每个外角也是120°。

2. 四边形四边形是一种有四条边和四个内角的多边形。

它的内部角度和为360°，而外角和为720°。

对于普通的四边形，内角之和为360°，外角之和为720°。

多边形内角和外角和

多边形内角和外角和
多边形是几何学中的一个重要概念，指具有三个或更多条边的图形。

其中，内角和外角的概念是在讨论多边形时经常提到的。

首先，让我们来看看多边形的内角和外角是如何定义的。

内角是多
边形内部的角，是由多边形的相邻两边所形成的角。

而外角则是指多
边形的某一个角和其相邻角的补角。

接着，我们来研究一下多边形内角和外角的性质。

对于任意一个多
边形来说，它的所有内角之和是固定的。

具体来说，对于一个 n 边形
（n ≥ 3），其内角之和为 (n-2) × 180 度。

这个性质被称为多边形内角
和定理，是几何学中的基本定理之一。

另外，多边形的外角也有一个重要性质。

对于任意一个多边形来说，它的所有外角之和也是固定的。

具体来说，对于一个 n 边形，其外角
之和为 360 度。

这个性质被称为多边形外角和定理，同样也是几何学
中的基本定理之一。

多边形内角和外角的性质在几何学中有着广泛的应用。

通过研究多
边形的内外角和，我们可以更深入地理解多边形的结构和性质，进而
解决与多边形相关的各种问题。

总的来说，多边形内角和外角的性质是几何学中的重要内容。

通过
对这些性质的深入研究，我们可以更好地理解和运用多边形的相关知识，为解决各种几何问题提供有力的支持。

希望本文的介绍能够帮助
读者更好地理解多边形内角和外角的概念和性质。

7.5多边形内角和与外角和模型专题

多边形内角和与外角和专题训练（模型）【模型一】“A字”模型求证：∠1+∠2=180°+∠A证法一：连接BC，利用“三角形内和为180°”.证法二：连接BC，利用“三角形内和为180°”与“四边形内和为360°”. 证法三：利用“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”.证法四：延长EA至F，利用“多边形外角和为360°”. CAB DE21CAB DE21CAB DE213 4CAB DE213F【模型二】飞镖模型求证：∠A +∠B +∠C=∠D 证法一、证明：连接BC ，证法二、连接并延长AD ，证法三、连接并延长BD ，交AC 于点E,【模型三】“8字”模型求证：∠A +∠B=∠C+∠D 证法一、利用“三角形内角和为180°”证法二、利用“三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和”A BC D O A B C D 12 A B C D 1 234 A B C D 1E A BC DO 1注意：“8字”模型的变式. 如图，∠1+∠2=∠C+∠D【模型四】“五角星”模型求证：∠A +∠B +∠C+∠D +∠E =180°【模型五】“角平分线”模型 1、两条内角平分线已知：如图，∠B 、∠C 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠BPC=90°+21∠A2、两条外角平分线已知：如图，∠CBE 、∠BCF 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =90°-21∠AABCP12PAB C1 2EFDAB OC 1 2 CDEAB3、一条内角平分线和一条外角平分线已知：如图，∠ABC 、∠ACD 的平分线BP 、CP 交于点P 求证：∠P =21∠A【模型六】“高线角平分线”模型求证：∠DCE=21（∠B -∠A ）.（其中∠B >∠A ）【模型七】“折角”模型求证：∠1+∠2=2∠A求证：∠2-∠1=2∠A求证：∠1-∠2=2∠AP ABC1 2 DCABDE ABCMNA ’2 1MBA ’23D C1NAABCMNA ’ 12 3 D在“填空题”、“选择题”的客观题型中，可以直接运用模型结论解题.注意结论的准确性. 1.☆如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠B=65°，则∠ACD= °2.☆如图，∠1+∠2=260°，则∠A= °3.☆如图，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，则∠D= °4. ☆如图，在△ABC 中，∠A =62°，∠1=20°，∠2=35°，则∠BDC= °5. ☆如图，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ，则∠A= °6. ☆如图，若∠A=40°，则∠P= °7. ☆如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，CE 平分∠ACB ，∠B =50°，∠A =20°,则∠DCE= °8. ☆如图，纸片△ABC 中，∠A =55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使C 点落在△ABC 内的C ’处，则∠1+∠2= °9. ☆☆如图，∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G= °10. ☆☆如图，∠A +∠B +∠C+∠D = °11. ☆☆如图，BE 、CF 交于点O ，∠EOF =105°，则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F= °. 12. ☆☆如图，∠ABD 与∠ACB 的角平分线相交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，则∠P = °.A B C D 第1题 A B C D 1 2 第2题 D AB OC 1 2 第3题 A B CD 12 第4题AB C PC D EA B 第5题第6题 C A B D E 第7题 2 C A B C ’1 第8题 AB C D E F G 第9题 ABC D 120100第10A BC DP 第12题A BC105° OD EF第11题在“解答题”中，重现模型证明过程.注意方法的选择.1. ☆☆如图，在∠AMB 的两边AM 、BM 上分别取点P 、Q ，在∠AMB 内取一点N ，连接PN 、QN ，探索∠PNQ 、∠AMB 、∠MPN 、∠MQN 之间的数量关系，并证明你的结论.2. ☆☆如图，∠MON=90°，点A 、B 分别在射线PM 、PN 上，∠MAB 和∠NBA 的平分线相交于点P .点A 和点B 在运动过程中，∠P 的大小是否发生变化？请说明你的理由.3. ☆☆如图，已知AB ∥CD ，BD 平分∠ABC 交AC 于点O ，CE 平分∠DCG.若∠ACE=90°，试判断BD 与AC 的位置关系，并说明理由.A B N O M P A B C D EFA MB A M B AM B4. ☆☆在△ABC 中，内角∠ABC 、∠ACB 的平分线夹角为α，外角∠DBC 、∠ECB 的平分线夹角为β.（1）若α=110°，则∠A = °，（2）若∠A =40°，则β= °，（3）猜想α与β之间的关系，并说明理由.【探索新知】在模型的基础上探索新知，或用与探索模型类似的方法探索新知.注意的模型生成过程. 1. ☆☆如图①，则∠1+∠2+∠3+∠4 = °；如图②，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 = °；如图③，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5+∠6 = °.2. ☆☆（1）如图（1）,则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F J= °；（2）如图（2），则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H J= °；（3）如图（3），则∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H +∠I +∠J= °.3. ☆☆☆已知：如图，在△ABC 中，BO 1、BO 2是∠ABC 的三等分线，CO 1、CO 2是∠ACB 的三等分线.（1）当∠A =60°时，∠BO 2C = °；（2）探索∠BO 1C 与∠BO 2C 之间的数量关系，并证明你的结论.4. ☆☆☆已知：如图，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点E . A5 1 2 3 41 2 3 4 6 1 2 3 5 4① ② ③A B C D E F H GF E D C B A A BC D E G H I J F (1) (2) (3)A B C O 1 O 2DA B C EPO（1）若∠D =140°，∠E =110°，则∠A °；（2）求证：∠E =21（∠A +∠D ）5. ☆☆☆☆如图，线段AB 、CD 交于点O ，连接AD 、BC ，我们把形如图1的图形称为“8字形”. （1）如图（1），直接写出∠A +∠D 与∠B+∠C 的关系；（2）如图（2），∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 、CP 交于点P ，且分别与AB 、CD 交于点M 、N ，∠D=46°，∠B=30°. 先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P 的度数；（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P 的度数(用含有α、β的式子表示).6. ☆☆☆☆如图，在△ABC 中，将点A 向下拖动，依次可以得到图1、图2、图3.分别探究图（1）、图（2）、图（3）中∠EAD 、∠B 、∠C 、∠D 与∠E 之间有什么数量关系？7. ☆☆☆☆如图，线段AB 、CD 交于点O .将图（1）中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖AB C A B C D E A B C D E A B C DE （1）（2）（3）A DB C O PM NA D BC O（2）（1）动，依次可以得到图（2）、图（3）、图（4）.分别探究图（2）、图（3）、图（4）中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 与∠AED 之间有什么数量关系？8. ☆☆☆☆转化是数学中的重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化简单的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题. （1）请你根据学过的知识求出下面星形中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E 的度数；（2）若将图（1）中的星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F 的度数；（3）若再将图（2）中角进一步截去，如图（2），你能由题（2）中的方法或规律，猜想出图（3）中∠A +∠B +∠C+∠D +∠E+∠F +∠G +∠H +∠I +∠J 的度数？（直接写出结果，不需要写出解题过程）10. ☆☆☆☆☆如图，四边形ABCD 中，内角∠ABC 的角平分线与外角∠DCE 的角平分线交于点F ，且∠F 为锐角.设∠A =α，∠D =β.（1）如图①，α+β>180°，试用α、β表示∠F ；C D E A B A B CD EF G A B C DE F H I J（1）（2）（3）（2）如图②，α+β<180°，请在图中画出∠F ，并试用α、β表示∠F ；（3）一定存在∠F 吗？如有，求出∠F 的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠F .9. ☆☆☆☆☆如图①，把三角形纸片ABC 折叠，使3个顶点重合于点P ，这时∠α+∠β+∠γ= °，∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 +∠6 = °.如果三角形纸片ABC 折叠后，3个顶点并不重合于点P （如图②），那么（1）中关于“∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 +∠6 ”的结论是否仍然成立？请说明理由. A B C D E F ① AB C D E ② G12 A BCDEF H I34 5 6 α β γP A’ B’ C’ ABCDEF GIH12 3 65 4 4①②。

多边形的内角和与外角和完整PPT

多边形的内角和与外角和
1、经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进一步发展合情推理能力；
2、掌握多边形内角和与外角和公式，进一步发展演绎推理能力。
自主学习教材P153-156
回答下列问题：
1、什么叫多边形？ 2、如何推理出多边形的内角和公式？ 3、多边形的外角和为多少？与边数有关吗？ 4、正多边形每个内角为多少？每个外角为多少？
在平面内，各个角都相等、各条
边都相等的多边形叫做正多边形。
我们知道，三角形的内角和是 180 度,四边形的内角和是 360 度，那这个五边形的内角和呢？
探索五边形的内角和你有几种方法?请和同伴一起交流.
探索n边形内角和
A B
C
180°×3= 54角和
A
E B
D
CF
180°×4 -180° =540°
（3）、一个正多边形的内角和是外角和的2倍,则这
• 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
• 多边形的外角:多边形的边与 B 它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
C • 多边形的对角线:连接多边形
不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
A1 E
D
观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
等边三角形正方形正五边形正六边形正八边形
那么你能研究出n边形的外角和吗？
n边形的外角和就是nX 180°- (n-2)X 180° = (n-n+2)X 180° = 360 °
多边形的外角和都等于360°
正n边形的一个内角= 360 n
1.（1）n边形的内角和等于___(_n__-__2_)__• _1_8_0_°，
一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数