矩阵的特征多项式与特征根

矩阵的特征多项式与特征根

定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式

nn

n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ

212222111211

)(叫做矩阵A 的特征多项式．f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根．

设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而k 0∈C n 是一个非零的列向量，使Ax 0=λ0x 0,就是说，x 0是齐次线性方程组（λ0I-A ）X=0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ

0的特征向量．

例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----310425

2373 的特征根和相应的特征向量．

解)1)(1(3104252

373)(2+-=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈R ，k≠0．

② 在C 内，A 有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i.A 的属于特征根1的特征向量为k （2，-1，-1），k ∈C ，k≠0；A 的属于特征根i 的特征向量为k 1（-1+2i,1-i,2）, k 1∈C, k 1≠0

A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0

注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量（关于基础解系）组合系数要取自指定的数域F （或C ），且不全为零．