高中数学第三章函数概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性课件新人教A版必修第一册
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1第1课时函数的单调性a高一第一册数学
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(3) 因 为 f(x) ＝ － x2 ＋ 2|x| ＋ 3 ＝
课
情
堂
景 －x2＋2x＋3，x≥0，
小
导 学
－x2－2x＋3，x<0.
结 提
探
新 知
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图
素 养
象可知，
课
合
时
作
函数 f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． 分
业
疑
难
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函数单调性的判定(pàndìng)与证明
课
情
景
导 学
【例2】
探
新 知
数．
堂
(教材P79例3改编)证明函数f(x)＝x＋
1 x
在(0,1)上是减函
小 结 提
素
养
合
[思路点拨] 设元0<x1<x2<1 ―→ 作差：fx1－fx2
课 时
作
分
探 究
探 新
上是增函数还是减函数．
素
知
养
合
(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝25x－＋x1，，x<x≥1；1，
课 时
作
分
探 究
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
层 作
释
业
疑
难
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课
情
堂
景 导 学
[解]
(1)函数
f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性课件新人教A版必修第一册
D．f(2)<f－32<f(－1)
[解析] ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 又 f(x)在(－∞，－1]上单调递增，且－2<－32<－1， ∴f(－2)<f－32<f(－1)，又∵f(－2)＝f(2)， ∴f(2)<f－32<f(－1)．故选 D.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
函数奇偶性的判断
题型四
单调性与奇偶性的综合应用
典例 4 定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，
若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求实数a的取值范围． [ 分 析 ] 利 用 f(x) 是 奇 函 数 ， 把 f(1 － a) ＋ f(1 － 3a)<0 变 形 为 f(1 －
3a)<f(a－1)，再根据单调性列出不等式(组)求解．
且f(－x)＝____－__f(_x_)____
函数f(x)叫_偶__函__数___
函数f(x)叫__奇__函__数__
想一想：(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶 函数吗？
(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？
(3)函数 f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集 R，关于原点对称． 因为 f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数 f(x) ＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当 x＞0 时，－x＜0，则 f(－x)＝－12(－x)2－1＝－12x2＋1＝－f(x)； ①
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
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第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
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第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
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第三章 函数的概念与性质
高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1第1课时函数的单调性a高一第一册数学
C.y=x2
D.y=1-x
答案(dá àn):D 4.函数 f(x)=x2-2x+3 的单调递减区间是 (-∞,1) .
解析:因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上(xiàngshàng)的二 次函数,其对称轴为直线x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(∞,1).
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第十二页，共二十八页。
第二十一页，共二十八页。
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] . 解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
所以(suǒyǐ)此二次函数的对称轴为直线x=1-a. 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(-∞,-3].
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(2) 单 调 递 增 、 单 调 递 减 定 义 中 的 “∀x1,x2 ∈ D” 可 以 改 为 “∃x1,x2∈D”. ( )
答案(dá àn):× (3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函数. ( )
第四页，共二十八页。
续表
【思考】
(1)增(减)函数定义中的 x1,x2 有什么特征?
提示:定义中的x1,x2有以下3个特征: ①任意性,即x1,x2是任意选取的,证明时不能以特殊代替 (dàitì)一般; ②有大小,通常规定x1<x2; ③属于同一个单调区间.
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性课件新人教A版必修第一册
课标A版·数学·必修第一册
题型二 求函数的单调区间 【典例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x2－xx121xx222＋x1. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
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证明或判断函数单调性的方法步骤
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
[针对训练] 1．求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0) 上是增函数． [证明] ∀x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x121－ x122＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
1．观察下列函数图象：
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3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学
18－8a，a>4.
经典例题
跟踪训练3
题型三 求二次函数的最值
已知函数 f(x)＝x－2 x－3，求函数 f(x)的最值．
解：设 x＝t(t≥0)，则 x－2 x－3=t2－2t－3. y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当 t＝1 即 x＝1 时，f(x)min＝－4，无最大值．
的最大值为________．
－x2＋2，x<1
2 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 为 f(1)＝1； 当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
当堂达标
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1， 当 0<a<4 时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数． 又 f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)． 所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 当 a≥4 时，f(x)在[－4，4]上是减函数， 所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 综上，在[－4,4]上函数的最大值为 9a＋17.
4.函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________.
4 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4.
当堂达标
5．求函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
高中数学第三章函数的概念与性质3-2函数的基本性质3-2-1函数的单调性与最值课件湘教版必修第一册
答案：C
解析：∵a2－a＋1＝
－a＋1)≤f
3
4
.故选C.
a−
1 2 3
＋
2
4
≥
3
.又函数y＝f(x)在[0，＋∞)是减函数，∴f(a2
4
状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对
应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2 解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实
值范围是( C )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪ 3， + ∞
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为
6
________．
3
(4)已知函数f(x)＝
，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
2x−1
解析：(4)先证明函数f(x)＝
递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是
相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定
要仔细读题，明确条件含义．
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
x1 −1
x
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递
增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．( √ )
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是(
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
3
函数的基本性质ppt课件
证明或判断函数单调性的方法步骤
例二：根据定义证明函数
复习巩固
1．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增 函数，则实数a的取值范围是什么？ 练习：如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞) 上是增函数，则b的取值范围为( ) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3
一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，若存在实数M，则满足：
由图像可知，二次函数y=x²的图像上有最低点(0,0) (1)∀x∈I,都有f(x)≤M
即∀x∈R，都有f(x)≥f(0)
(2)∀x0∈I,都有f(x0)=M
那么称M是y=f(x)的最大值
则说明，函数f(x)的图像有最低点时，就有最小值
2.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b. (1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式． (2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围.
把本题(2)条件“不单调”改为“单调”， 求实数a的取值范围．
打开课本81页
小结：本节课你学到了什么？
函数的最值：
问题：观察以下图像，图像有什么特点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
像这样，函数图像在某个区间保持上升（或下降） 的性质叫做函数的单调性
研究二次函数f(x)=x2的单调性 为什么f(x1)>f(x2)?
为什么f(x1)>f(x2)?
研究二次函数f(x)=x2的单调性 请你用符号语音描述y轴右侧的性质特征
思考：函数y=-x2的单调性是怎样？如何描 述 y=|x|的单调性呢？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间
函数单调性的定义
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增 时，我们就称它为增函数
高中数学第三章函数31函数的概念与性质312函数的单调性第2课时教学课件1新人教B版必修第一册
(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间 段[t1，t2]上的平均加速度，即 a vt2 vt1 .
t2 t1
2021/4/17
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【评价反馈】 1．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式不恒成立的是( A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)
2021/4/17
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4
：直线的斜率有什么几何意义？
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：任何一个函数上两点，他们所确定的直线斜率是否一定存在？为 什么？
答案：B
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同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
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(2)函数的平均变化率与函数的单调性 y=f(x)在I上是增函数⇔ y >0在I上恒成立
x
y=f(x)在I上是减函数⇔ y <0在I上恒成立
高中数学第三章函数31函数的概念与性质312函数的单调性第1课时教学课件1新人教B版必修第一册
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2.函数f(x)=x|x|-2x的单调递增区间为________.
x≥0时，f(x)=x2-2x，对称轴为x=1，开口向上，在(1，+∞)单调 递增， x<0时f(x)=-x2-2x，对称轴x=-1，开口向下，在(-∞，-1)单调递 增， 所以函数的单调递增区间是(-∞，-1)和(1，+∞). 答案：(-∞，-1)和(1，+∞)
高中数学第三章函数31函数的概念与性质312函数的单调性 第1课时教学课件1新人教B版必修第一册
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【解析】1.由图像可以看出f(x)的单调递减区间是 [-1，1]. 答案：[-1，1]
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高中数学第三章函数31函数的概念与性质312函数的单调性 第1课时教学课件1新人教B版必修第一册
x，x 0，
y=|x|= x，x 0， 在R上不是增函数，不符合题意； 对于B选项，y=x，为正比例函数，在R上是增函数，符合题意；
对于C选项，y=x2，为二次函数，在R上不是增函数，不符合题意； 对意于. D选项，y=1x ，为反比例函数，在R上不是增函数，不符合题
2021/4/17
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不满足减函数的定义。
但
1 x1
1 x2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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简单应用 利用图像求函数的单调区间
【典例】1.如图是定义在区间[-2，2]的函数y=f(x)，则f(x) 的单调递减区间是________.
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高中必修第一册数学《3.2 函数的基本性质》获奖说课课件ppt
一、观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 二、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？
初步感知
上升 y
yx
下降
y
y x
局部上升或下降 y
f (x) x2
ox
ox
ox
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
A．2
B．－2
C．2 或－2
D．0
【解析】 由题意，a≠0，当 a>0 时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得 a＝2； 当 a<0 时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得 a＝－2.综上知 a＝±2.
【答案】 C
4．函数 y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3]
B．[－1,0]
又由x1
x2 , 得x1
x2
0, 于是
x1 x2 x1x2
( x1 x2
1)
0
即y1 y2.
所以，函数 y x 1 在区间(1,)上单调递增。
x
观察
下列两个函数的图象：
y
y
M
M
x
o x0
图1
思
o
x0
x
图2
考 观察这两个函数图象，图中有个最高点，
那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
思
考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
例2 物理学中的玻意耳定律 p = k (k为正常数)告 诉我们，对于一定量的气体，当其V体积V减小时， 压强p将增大,试用函数单调性证明之.
分析：按题意就是证明函数 p = k 在区间
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值教学案新人教A 版必修第一册第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值． 教学难点：求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一 函数的最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有□01f (x )≤M ； ②∃x 0∈I ，使得□02f (x 0)＝M . 那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象□03最高点的纵坐标． 知识点二 函数的最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①∀x ∈I ，都有□01f (x )≥M ； ②∃x 0∈I ，使得□02f (x 0)＝M . 那么，称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象□03最低点的纵坐标． 【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y ＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y ＝－x 2(y ＝x 2)． (3)特别地，对于常函数f (x )＝C ，它的最大值和最小值都是C .1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )(3)若函数y ＝f (x )有最大值，则这个最大值唯一．( )(4)若函数y ＝f (x )的最大值是M ，则使f (x 0)＝M 的x 0是唯一的．( )(5)对于函数y ＝f (x )，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最大值是________．(2)函数y ＝1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________．(3)函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 答案 (1)1 (2)23 (3)4题型一 利用图象求函数最值例1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值；(2)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[解] (1)作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1；当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0. (2)f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.金版点睛图象法求最值的一般步骤[跟踪训练1] 求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最大值和最小值．解 y ＝|x ＋1|－|x －2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≥2，2x －1，－1<x <2，－3，x ≤－1.作出函数的图象，如图所示．由图可知，y ∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. 题型二 利用单调性求函数最值例2 求函数f (x )＝x ＋4x在x ∈[1,3]上的最大值与最小值．[解] 设1≤x 1＜x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2.又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0. 当1≤x 1＜x 2≤2时，1－4x 1x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 所以f (x )在[1,2]上单调递减．当2<x 1<x 2≤3时，1－4x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.所以f (x )在(2,3]上单调递增． 所以f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4.又因为f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，所以f (x )的最大值为5. 金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练2] 求函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 令f (x )＝x 2x －3，∀x 1，x 2∈[1,2]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22(x 1－3)(x 2－3)＝(x 2－x 1)[3(x 1＋x 2)－x 1x 2](x 1－3)(x 2－3)，因为1≤x 1＜x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)＜12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0， 故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数y ＝x 2x －3在区间[1,2]上单调递减，所以y max ＝f (1)＝－12，y min ＝f (2)＝－4.题型三 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值； (2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值；(3)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]，求函数f (x )的最小值； (4)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值．[解] (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3图象的开口向上，对称轴x ＝1， ∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2)． ∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)由(1)知对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3，t ≤0，t 2＋2t －3，t >0，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.(3)f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2的图象开口向上，且对称轴为直线x ＝a .当a ≥1时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，最小值为f (1)＝3－2a ；当－1＜a ＜1时，函数图象如图②所示，函数f (x )在区间[－1,1]上先单调递减后单调递增，最小值为f (a )＝2－a 2；当a ≤－1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增，最小值为f (－1)＝3＋2a .(4)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.∵y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当t ＝1，即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值． 金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f (x )＝x －2x －3.[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值； (2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值； (3)求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值g (t )． 解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.令y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当t ＝1，即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值． (2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图①所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，∴最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图②所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1； 当t >1时，函数图象如图③所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递增，∴最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.题型四 应用题中的最值问题例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，其中x 是仪器的月产量(单位：台)．(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)月产量为x 台，则总成本为(20000＋100x )元， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25000，当x ＝300时，f (x )max ＝25000；当x >400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )<60000－100×400＝20000<25000. ∴当x ＝300时，f (x )max ＝25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元． 金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．[跟踪训练4] 某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为8020t 吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解 设t 小时后，池中水量为y 吨，则y ＝450＋80t －8020t ＝4(20t －10)2＋50， 当20t ＝10，即t ＝5时，y min ＝50，所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨．1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2答案 C解析 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.2．已知函数f (x )＝x 2－2，其中x ∈[0,2]，这个函数的最大值和最小值分别为( ) A ．－2和1 B ．2和－2 C ．2和－1 D ．－1和2答案 B解析 ∵f (x )＝x 2－2在区间[0,2]上单调递增， ∴y max ＝f (2)＝2，y min ＝f (0)＝－2.3．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时，面积S 最大，此时x 的值为( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 ∵S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋252，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3－x2>0，即0<x <6，∴当x ＝1时，S 取最大值252.故选B.4．函数f (x )＝6x －2(x ∈[3,5])是________函数(填“增”或“减”)，它的最大值是________，最小值是________．答案 减 6 2解析 易知函数是减函数，从而f (x )的最大值是f (3)＝6，最小值是f (5)＝2. 5．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．解 (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5图象的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上单调递减． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上单调递增，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2，即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上单调递减，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1，即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.。
3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学
x
概念生成
一般地，设函数 = ()的定义域为，如果存在实数满足:
(1)∀ ∈ ,都有() ≤ ;
(2)∃ ∈ ,使得( ) = .
那么，我们则称是函数 = ()的最大值.
y
函数 = ()的最大值可用“ ”或“() ”来表示.
1
- 4 -3 - 2
值
( ) < ( )，那么就称函数()
( ) > ( )，那么就称函数()在
在区间上单调递增.
区间上单调递减.
就叫做函数()的单调递增区间，
就叫做函数()的单调递增区间，
简称增区间.
简称减区间.
问题2 如何判定函数的单调性？
(1)图象法(形象直观)；(2)定义法(推导证明)
-1
1
1.图像
-2
2.定义域
-3
3.单调性
-4
4.求最值
2 3
4
x
新知讲解
问题5 一次函数（以 = ， = −（ ∈ ） 为例）有最大（小）
值吗？
图像：
y
y
() =
5
1
4
- 4 -3
3
2
-2
-1 0
-1
-1 0
-1
-2
1
- 4 -3
-2
-3
1
2
3
4
x
-4
1
2
3
4
x
二次函数() = +
观察图像，可以发现，二次函数
() = − 的图象上有一个最高点
（0,0），即∀ ∈ ,都有() ≤ ().
当一个函数()的图象有最高点时，
我们就说函数()有最大值.
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由图象可知，在(－∞，－1)和[0,1]上，函数是增函数， 在[－1,0]和(1，＋∞)上，函数是减函数．
——能力提升——
14．(5分)若在[1，＋∞)上函数y＝(a－1)x2＋1与y＝
a x
都单调
递减，则a的取值范围是 (0,1)
解析：由于两函数在[1，＋∞)上递减应满足
a－1<0， a>0，
x1－1 x1＋1
－
x2－1 x2＋1
＝
2x1－x2 x1＋1x2＋1
，由x1>x2>0知x1＋
1>0，x2＋1>0，x1－x2>0， 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
13．(13分)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的 单调区间．
解：y＝－x2＋2|x|＋3＝－－xx22－＋22xx＋＋33xx<≥00 ， ＝－－xx－＋1122＋＋44xx≥<00.， 函数图象如图，
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能 用“∪”连接．故选C.
2．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1<0，x2>0，则( B )
第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质 第20课时 函数的单调性
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1.掌握单调增减函数，单调区间的概念； 2.结合具体函数，了解函数单调性的含义.
——基础巩固—— 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下 列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
实数k的取值范围是 (－∞，0)
解析：函数f(x)是反比例函数，若k>0，函数f(x)在区间(－ ∞，0)和(0，＋∞)上是减函数；若k<0，函数f(x)在区间(－∞，0) 和(0，＋∞)上是增函数，所以有k<0.
11．y＝－(x－3)|x|的递增区间是 [0，32]
．
解析：y＝－(x－3)|x|＝
解析：若用“或”连接两个区间，则意味着函数f(x)在(－ ∞，0)∪(0，＋∞)即在定义域上为减函数，显然是错误的．
5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( C )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12
D．k<－12
解析：若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则必有2k－1<0， ∴k<12.
二、填空题(每小题5分，共15分) 9．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数， 当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝ 13 .
解析：由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以
m 4
＝－
2，m＝－8，则f(1)＝13.
10．已知函数f(x)＝
k0<a<1.
15．(15分)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b) －1，并且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)是R上的增函数．
证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0， 所以f(x2－x1)>1. 所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－ f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)是R上的增函数．
A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能
解析：由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1， 所以f(x2)>f(x1)．
4．下列关于函数f(x)＝1x的单调性的表述中不正确的是( D ) A．函数f(x)在(－∞，0)上是减函数 B．函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数 D．函数f(x)在(－∞，0)或(0，＋∞)上是减函数
－x2＋3x x>0， x2－3x x≤0，
图，观察图象知递增区间为[0，32]．
作出其图象如
三、解答题(共25分)
12．(12分)已知函数f(x)＝
x－1 x＋1
，判断f(x)在(0，＋∞)上的单
调性并用定义证明．
解：f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)＝
谢谢观赏！
Thanks!
6．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( C )
A.－12，＋∞ C.－∞，－12
B．[－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：y＝x2＋x＋1＝x＋122＋
3 4
，其对称轴为x＝－
1 2
，在对称
轴左侧单调递减，∴当x≤－12时单调递减．
7．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数
A.fxx11－－fx2x2<0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 C．f(a)>f(x1)>f(x2)>f(b) D.fxx11－－fx2x2<0
解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区 间上是减函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，由此可知，选项A、 B、D正确；对于选项C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1) ＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故选项C不成立．
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)<f(－x2)
C．f(－x1)＝f(－x2) D．无法确定
解析：因为x1<0，x2>0，所以－x1>－x2，又y＝f(x)是R上的减 函数，所以f(－x1)<f(－x2)．
3．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，存在x1，x2∈(a， b)，且x1<x2，则有( A )
m的取值范围是( C )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)， 所以2m>－m＋9，即m>3.
8．如果函数f(x)在[a，b]上是减函数，对于任意的x1，x2∈ [a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( C )