专题函数单调性的证明

函数单调性的证明

函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。

一、证明方法步骤为：

① 在给定区间上任取两个自变量1x 、2x 且1x ＜2x

② 将()1f x 与()2f x 作差或作商（分母不为零）

③ 比较差值（商）与0（1）的大小

④ 下结论，确定函数的单调性。

在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。

二、常见的类型有两种：

（一）已知函数的解析式：

例1：证明：函数()1=x-1

f x 在x ∈（1，+∞）单调递减

例2：证明：函数()3

=x +x+1x f x R 在∈时单调递增

例3：证明：函数()x [1+f x ∞∈，）时单调递增

例4：讨论函数()1=x+

1+x-1

f x ∞在（，）的单调性，并求最小值

例5：求函数()x+2=

x-1

f x 的单调区间

练习：1、证明函数()a =x+a 0x

f x ∞（＞）单调递增

2、讨论函数()f x 的单调性 （二）抽象函数的单调性：

抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中()f x 与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：

例1：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (x +y )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞0时，f (x )＞0.证明：f (x )在R 上单调递增.

例2：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )+f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增.

例3：已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时，f (xy )=f (x )f (y ) 恒成立，且当x ＞1时，f (x )＞

1.若f (x )≠0.证明：f (x )在(0,+∞)上单调递增.

练习：

1、已知函数()f x 对于任意的x 、y ∈R ，总有

()()()()()2+=+y x 00=-.3

y 1f x f f x f x f ，且当＞时，＜； （1）求证：()f x 在R 上是减函数

（2）求()f x 在[-3，3]上的最大值与最小值

2、已知函数()()()()m n m+n m n +=+1f x R R f f f 的定义域为，且、∈，恒有，且=1-20f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当x ＞1-2

时，()f x ＞0. （1）求证：()f x 是单调递增函数

（2）求()f x 在[-2,2]的最大值与最小值.

3、定义在R 上的函数()f x 恒为正，且满足()()()+y =y f x f x f ，当x ＞0时，()f x ＞1.

（1）证明：()f x 在R 上单调递增 .

（2）若函数()f x 的定义域为[-1,1]时，解不等式()2-1f x ＞()2f x

4、函数()f x 的定义域为R ，对于任意的a 、b ∈R 皆有()()()+=b +b 1a a+f f f ，且x ＞0时， ()f x ＞1

（1） 求证：()f x 是R 上的增函数

（2） 若()()243m -m-2=53f f ，解不等式＜