苏教版高中数学高一必修二2.2《圆与圆的位置关系》导学案

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2.5.2 圆与圆的位置关系导学案正文

2.5.2 圆与圆的位置关系【学习目标】1.能描述圆与圆的位置关系.2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系.◆ 知识点圆与圆的位置关系1.两圆的位置关系主要包括:外离、、、和内含.2.两圆的位置关系的判断:(1)代数法:已知圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0(D 12+E 12-4F 1>0),圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0(D 22+E 22-4F 2>0),由{x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下表中判断标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r 1,r 2,计算两圆的圆心距d ,按下表中判断标准进行判断. (3)判断标准:位置关系外离外切相交内切内含图示公共点个数 0 121 0 Δ的值 Δ<0Δ=0Δ<0 d 与r 1,r 2 的关系d= r 1+r 2d< |r 1-r 2|【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( )(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( )(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. ( ) (4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离.( )◆ 探究点一两圆位置关系的判断及应用例1 (1)已知圆C 1:x 2+y 2-2x+4y+4=0和圆C 2:4x 2+4y 2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为( )A .1或3B .4C .0D .2(2)已知圆O1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆O2:(x-3)2+(y+2)2=r2(r>0)相内切,则r= ( )A.4B.5C.6D.√13变式 (1)若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2mx+m2-m=0外切,则实数m的值为( )A.-1B.1C.1或4D.4(2)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线,则实数m的取值范围是.◆探究点二两圆公共弦问题例2 (1)已知圆C1:x2+(y-2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=( )A.√3B.2√3C.√23D.2√23(2)已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得的公共弦的长为√2,则圆O2的半径r=( )A.1B.√3C.√5或1D.√5变式已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程;(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.[素养小结]解决两圆公共弦问题的方法如下:(1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长;(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程.◆探究点三圆与圆的位置关系的综合问题例3 (1)(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的值可能是( )A.-1B.0C.1+2√2D.-2(2)已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1均外切,求圆C的圆心的轨迹方程.变式已知线段AB的端点B的坐标是(6,5),端点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动.(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程;(2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M,N,求线段MN的长.[素养小结]1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量.2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点的轨迹方程,从而得到动点的轨迹,通过研究它的轨迹方程与圆的方程的关系,判断所得的轨迹与圆的位置关系.。

高中数学必修二《圆与圆的位置关系》优秀教学设计

圆与圆的位置关系（探究）一．教学目标知识与能力目标：1、通过探究，了解圆与圆有哪些位置关系；2、通过探究，得到判断圆与圆的位置关系的方法；3、通过探究，得到求出相交圆公共弦所在直线的方法；过程与方法目标：在探究的过程中，渗透数形结合思想；形成严谨的数学逻辑思维；学会发现问题，解决问题.情感态度与价值观：在探究过程中感受数学的魅力，提高数学学习兴趣.二．课程内容探究一：圆与圆有哪些位置关系？1、请根据上面5组圆的方程，完成表1第一列圆心与半径位置关系圆心距dr r '+（1）C 1（，），r 1=________；（2）C 2（，），r 2=________ （3）C 3（，），r 3=________；（4）C 4（，），r 4=________ （5）C 5（，），r 5=________；（6）C 6（，），r 6=________ （7）C 7（，），r 7=________；（8）C 8（，），r 8=________ （9）C 9（，），r 9=________；（10）C 10（，），r 10=________2、请在下面5个坐标系中分别画出以上5组圆（每个坐标系中画出两个圆）（请按比例尺取长度）（1）（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+-1)2()2(:4)2()1(:1222221y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2)2-()2(:2:2224223y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=+=++9)1-(:1)1(:4228227y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=+9)1()1-(:1:52210229y x C y x C ）（⎪⎩⎪⎨⎧=++=++4)1-(2:11:3226225y x C y x C ）（）（）（1表2（3）（4）（请完成表1第二列）（5）3、小结：圆与圆的位置关系有5种。

分别是外离、外切、相交、内切、内含探究二、如何使用代数法判断圆与圆的位置关系？1、如何判断一元二次方程解的个数？2、实例探究练习：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系. 方法分析：联立方程，作差，消元3、方法小结：①联立方程、消元得到一元二次方程②利用△判断解的个数局限性：无法区分内切与外切，内含与外离探究三、如何从几何的角度判断圆的位置关系？1、完成表1 后3列；有什么猜想?2、根据猜想，完成表2. 验证猜想位置关系数量关系位置关系数量关系外离内切外切内含相交3、使用几何法判断两个圆位置关系的步骤：（1）将两圆的方程化为标准方程；（2）求两圆的圆心坐标和半径R 、r ；（3）求两圆的圆心距d 及|R-r|，R ＋r ；（4）比较d 与|R-r|，R ＋r 的大小关系：4、练习：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.2表探究四、两圆相交时，如何求出公共弦所在直线方程？1、练习探究：已知圆C 1:x 2+y 2+2x +8y -8=0和圆C 2:x 2+y 2-4x -4y -2=0，两圆相交于A 、B 两点，求出A 、B两点所在直线方程。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.3 圆与圆的位置关系》22

圆和圆的位置关系保定市第二中学时磊教学背景：高一学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的问题，学生往往感到乏味而难以准确的理解。

而多媒体具有形象、直观的特点，利用它为学生构建思维想象的平台，营造良好的学习气氛，充分调动学生学习的自觉性，引导学生积极地开展思维活动，主动地获取知识。

符合学生认知规律。

从具体事物到抽象理论。

通过学生的直接感知去理解知识，用以到达以快乐的形式去追求知识的目的。

设计理念：学生的开展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生的开展为主体，转变学生的学习方式。

“圆与圆的位置关系〞这一课题，以全新的自主的学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研气氛，让学生感受“两圆位置关系〞的探究发现过程，体验成功的快乐，为终身学习与开展打下根底。

教学目标：1、掌握通过圆心距d和两圆半径R、r的关系来确定两圆的位置关系，2、解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。

能力目标：1、通过本节课的学习，可培养学生空间想象能力，观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，并以以上能力为载体培养学生思维能力及创新能力。

2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的能力。

情感目标：1、通过合作交流、自主评价，改良学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。

2、让学生在猜测与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。

教学重点：1、圆与圆位置关系的发现及确定方法。

2、解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。

教学难点:圆与圆位置关系的数量关系的发现及应用。

教学过程：一新课导入1．展示“日食〞的图片。

2．提问这种现象是怎样产生的。

让学生们讨论在变化过程中有哪些几何变化，并画下来。

三探索新知1、如果把月亮与太阳看成在同一平面内的两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们答复。

苏教版高中数学必修二第课时圆与圆的位置关系学案

听课随笔第二章平面解析几何初步第二节圆与方程第14课时圆与圆的位置关系2．了解用代数法研究圆的关系的优点；3．了解算法思想．自学评价1．圆与圆之间有，，，，五种位置关系．,r r，圆心距为d，2.设两圆的半径分别为12当时，两圆外离，当时，两圆外切，当时，两圆相交，当时，两圆内切，当时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：2222++-=-+-=与x y x y(1)(2)(2)1(2)(5)162222（）与x y x x y y++-=++-=26706270【解】例2：求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程．【解】追踪训练一1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与；2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3．2. 若圆22x y m +=与圆2268x y x y ++- 110-=相交，求实数m 的取值范围．【选修延伸】例3: 已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．【解】例5：求过两圆22640x y x ++-=和 226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程．【解】思维点拔：解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．追踪训练二1．一个圆经过圆221:890C x y x +--=和圆222:8150C x y y +-+=的两个交点，且圆心在直线210x y --=上，求该圆的方程．听课随笔2．已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.3 圆与圆的位置关系》

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11
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教师提问:观察五种位置关系,可以看到两圆内切或外切时产生了一个公共点,这个公共点与两圆心有何位置关系？
设计意图：为例2做铺垫一方面,引入时有图形关系在前，趁热打铁，学生思维清晰,很容易观察到两圆相习切时的性质;另一方面,讲解例2时再使用该性质学生不会有突兀之感
教师总结：我们把这种通过比较圆心距与半径和、差之间来判断圆与圆位置关系的方法叫做几何方法。

Ste3 典例剖析，理解新知
例1、判断下列两圆的位置关系
（1）16)5()2(1)2()2(2222=-+-=-++y x y x 与（2）02760762
2
2
2
=-++=-++y y x x y x 与教师提问：如何判断两圆的位置关系？学生口述，教师板演
共同师生归纳出判断两圆位置关系的一般步骤：写圆心、半径—求出圆心距—比较圆心距与两圆半径的和与差—得出位置关系
设计意图：考察两圆位置关系的判定方法
教师提问：你还有别的方法判断圆与圆的位置关系吗？
3 无公共点时,由d>r1r2,
得5>2a1,则0<a<2
B 层学生：能够说出圆心应在已知圆的圆心与原点的连线y x =上．
B 层学生：能够说出所求圆经过原点和
(0,6)A ，用待定系数法求解．
B 层学生：能够说出圆心还在线段OA 的中垂线3y =上
C 层学生：能够说出圆心与O 点之间的距离。

直线与圆、圆与圆的位置关系导学案

直线与圆、圆与圆的位置关系导学案
一、知识梳理1．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系：设圆1：(－1)＋(－1)＝1(1>0)，圆2：(－2)＋(－2)2＝r22(r2>0)．
3.辨明两个易误点
(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[熟记常用结论]
1．圆系方程：(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．。

高中数学必修二教案-圆与圆的位置关系

重点用坐标法判断圆与圆的位置关系．
难点用坐标法判断圆与圆的位置关系．
教
问题与情境及教师活动
学生活动
学
过程与方法：
过
1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？
程
教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；
及
学生：回顾知识点时，可互好的方法吗？
教师课时教案
教问题与情境及教师活动
学生活动
学 10.教师总结：过设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：程（1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；及（2）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；方（3）当 | r1 r2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交；法（4）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切；
法
教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答
学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法．
学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法．
3．例 3
你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆
点评：由吗多？个你平从面中图发形现围了成什的么几？何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算教它师们：的应表该面关积注就并是发计现算有它多的少各学个生侧利面用面“积图和形底”面求面，积对之这和些．学生
应该给予表扬．同时强调，解析几何是一门数与形结合的学科．
4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何
把这些直观的事实转化为数学语言呢？
教师课时教案
教问题与情境及教师活动
学生活动
学师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．过生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．及 5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？方师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别法两个圆的位置．

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.3 圆与圆的位置关系》00

圆与圆的位置关系
阜宁县第一高级中学张文
学习目标：1了解圆与圆的位置关系。

2了解判断圆与圆的位置关系的方法。

3掌握圆与圆位置关系的应用。

教学重点：圆与圆位置关系的判断方法。

教学过程：
一，回顾
1.求圆224
+=的过点（1，3）的切线方程。

x y
2.求过原点且与圆22
(1)(2)1
-+-=相切的直线方程。

x y
注意：切线斜率不存在的情况
上节课我们学习的直线与圆的位置关系，那么圆与圆又有哪些位置关系呢？
二．新课探究
判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系
两圆的位置关系：
外离外切相交内切内含
d＞Rr d=Rr|R-r|＜d＜Rr d=|R-r|d＜|R-r|
（1）＋22＋－22＝1与－22＋－52＝16；
（2）2＋2＋6－7＝0与2＋2＋6－27＝0．
1分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系
（1）2222(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与
2若圆 22x y m += 与圆 2268110x y x y ++--= 相交，求实数m 的取值范围。

3已知圆与圆没有公共点，求正数a 的取值范围
4．两圆2＋2＋4－4＋7＝0和2＋2－4－10＋13＝0的公切线的条数为．
三．小结
（1）两圆的位置关系
（2）已知位置关系求参数范围
（3）注意其中措辞：“相切”，“没有公共点” 22()1x a y -+=2225x y +=。

高一数学必修2第4章圆与方程的导学案

高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.3 圆与圆的位置关系》8

（抓住特殊位置）
动手操作，亲自试验
培养学生运动观点分析问题的能力
类比旧知识学习新知识的能力
（三）两圆的位置关系
1、动画演示两圆的位置关系，从公共点角度分析位置关系
2、幻灯展示五种位置关系，强调相切包括外切与内切，相离包括外离和内含，两圆同心是内含的特例
外离
相离
内含
外切
相切
内切
相交
3、思考：（1）两个半径相等的圆的位置关系有几种？
积极思考独立解决问题后小组订正交流
规范书写解答过程。
运用相切的几何特征，圆心切点三点共线。
通过计算实践理解公共弦的求解。
小组交流，共同验证，得出结论。
培养学生运用知识的能力
遇到相离或相切养成分类讨论的习惯
进一步理解曲线的方程
体会由特殊到一般的过程。
课堂小结
本堂课你有哪些收获？还有什么疑惑？
归纳整理，回顾所学
例2、求过点且与圆C:
切于原点的圆的方程。
例3、圆与圆相交于两点，求直线的方程。
探讨：设圆C1：2＋2＋D1＋E1＋F1＝0，圆C2：2＋2＋D2＋E2＋F2＝0若两圆相交，则经过两圆交点的弦所在的直线方程是什么？
结论:
变式：求以圆C1：2228-8=0，圆C2：22-4-4-2=0的公共弦AB的方程及以公共弦AB为直径的圆方程
情感态度
与价值观
通过探究过程，满足对数学的好奇心与求知欲，并体验成功的喜悦。
教学重点
两圆的五种位置中两圆半径、圆心距的数量之间的关系。
教学难点
如何得出两圆的五种位置中两圆半径、圆心距的数量关系。
教学方法
类比法、引导探索法等
教学用具
刻度尺
教学过程

苏教版学高中数学必修二平面解析几何初步圆与圆的位置关系讲义

学习目标核心素养１．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．（重点）２．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．（易错点）３．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．（难点）通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.圆与圆的位置关系１．几何法：若两圆的半径分别为r１，r２，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r１，r２的关系d>r１＋r２d＝r１＋r２|r１—r２|<d<r１＋r２d＝|r１—r２|d<|r１—r２|错误!错误!错误!错误!１．思考辨析（１）两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．（）（２）若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．（）（３）若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．（）（４）若两圆有公共点，则|r１—r２|≤d≤r１＋r２. （）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）√２．两圆x２＋y２＋6x＋４y＝0及x２＋y２＋４x＋２y—４＝0的公共弦所在的直线方程为______________．x＋y＋２＝0 [联立错误!１—２得：x＋y＋２＝0．]３．圆x２＋y２＝１与圆x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0的交点坐标为________．（—１，0）和（0，—１）[由错误!解得错误!或错误!]４．圆C１：x２＋y２＋４x—４y＋7＝0和圆C２：x２＋y２—４x—１0y＋１３＝0的公切线有________条．３[圆C１的圆心坐标为C１（—２，２），半径r１＝１．∵圆C２的圆心坐标为C２（２，５），半径r２＝４．∴|C１C２|＝错误!＝５，r１＋r２＝５，∴两圆外切．故公切线有３条．]两圆位置关系的判定１２２２２２２（１）m＝１时，圆C１与圆C２有什么位置关系？（２）是否存在m使得圆C１与圆C２内含？思路探究：（１）参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r１＋r和|r１—r２|的大小关系．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则圆心距d<|r１—r２|.２[解] （１）∵m＝１，∴两圆的方程分别可化为：C１：（x—１）２＋（y＋２）２＝9．C２：（x＋１）２＋y２＝１．两圆的圆心距d＝错误!＝２错误!，又∵r１＋r２＝３＋１＝４，r１—r２＝３—１＝２，∴r１—r２<d<r１＋r２，所以圆C１与圆C２相交．（２）假设存在m使得圆C１与圆C２内含，则错误!<３—１，即（m＋１）２<0，显然不等式无解．故不存在m使得圆C１与圆C２内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．１．已知圆C１：x２＋y２—２ax—２y＋a２—１５＝0，C２：x２＋y２—４ax—２y＋４a２＝0（a>0）．试求a为何值时两圆C１，C２（１）相切；（２）相交；（３）相离；（４）内含．[解] 对圆C１，C２的方程，经配方后可得：C１：（x—a）２＋（y—１）２＝１6，C２：（x—２a）２＋（y—１）２＝１，∴圆心C１（a，１），r１＝４，C２（２a，１），r２＝１，∴|C１C２|＝错误!＝a，（１）当|C１C２|＝r１＋r２＝５，即a＝５时，两圆外切，当|C１C２|＝r１—r２＝３，即a＝３时，两圆内切．（２）当３<|C１C２|<５，即３<a<５，时，两圆相交．（３）当|C１C２|>５，即a>５时，两圆外离．（４）当|C１C２|<３，即0<a<３时，两圆内含．两圆相交的问题１２２２２２（１）求公共弦所在直线的方程；（２）求公共弦的长．思路探究：错误!→错误!→错误!→错误![解] （１）设两圆的交点分别为A（x１，y１），B（x２，y２）．将点A的坐标代入两圆方程，得错误!１—２，得x１—２y１＋４＝0，故点A在直线x—２y＋４＝0上．同理，点B也在直线x—２y＋４＝0上，即点A，B均在直线x—２y＋４＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB的方程为x—２y＋４＝0，即公共弦所在直线的方程为x—２y＋４＝0．（２）圆C１的方程可化为（x—１）２＋（y＋５）２＝５0，所以C１（１，—５），半径r１＝５错误!.C１（１，—５）到公共弦的距离d＝错误!＝３错误!.设公共弦的长为l，则l＝２错误!＝２错误!＝２错误!.１．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．２．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．２．求圆心在直线x—y—４＝0上，且经过两圆x２＋y２—４x—6＝0和x２＋y２—４y—6＝0的交点的圆的方程．[解] 由错误!得错误!或错误!即两圆的交点坐标为A（—１，—１），B（３，３）．设所求圆的圆心坐标C为（a，a—４），由题意可知CA＝CB，即错误!＝错误!，解得a＝３，∴C（３，—１）．∴CA＝错误!＝４，所以，所求圆的方程为（x—３）２＋（y＋１）２＝１6．两圆相切的问题１．若已知圆C１：x２＋y２＝a２（a>0）和C２：（x—２）２＋y２＝１，那么a取何值时C１与C２相外切？[提示] 由|C１C２|＝a＋１，得a＋１＝２，∴a＝１．２．若将探究１中，C２的方程改为（x—２）２＋y２＝r２（r>0），那么a与r满足什么条件时两圆相切？[提示] 若两圆外切，则a＋r＝|C１C２|＝２，即a＋r＝２时外切．若两圆内切，则|r—a|＝|C１C２|＝２．∴r—a＝２或a—r＝２．【例３】已知圆C１：x２＋y２＋４x—４y—５＝0与圆C２：x２＋y２—8x＋４y＋7＝0．（１）证明：圆C１与圆C２相切，并求过切点的公切线的方程；（２）求过点（２，３）且与两圆相切于（１）中切点的圆的方程．思路探究：（１）证明|C１C２|＝r１＋r２，两圆方程相减得公切线方程．（２）由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．[解] （１）把圆C１与圆C２都化为标准方程形式，得（x＋２）２＋（y—２）２＝１３，（x—４）２＋（y＋２）２＝１３；圆心与半径长分别为C１（—２，２），r１＝错误!；C２（４，—２），r２＝错误!，因为|C１C２|＝错误!＝２错误!＝r１＋r２，所以圆C１与圆C２相切．由错误!得１２x—8y—１２＝0，即３x—２y—３＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程．（２）由圆系方程，可设所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋λ（３x—２y—３）＝0．点（２，３）在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝错误!.所以所求圆的方程为x２＋y２＋４x—４y—５＋错误!（３x—２y—３）＝0，即x２＋y２＋8x—错误!y—9＝0．两圆相切有如下性质（１）设两圆的圆心分别为O１，O２，半径分别为r１，r２，则两圆相切错误!（２）两圆相切时，两圆圆心的连线过切点（两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦）．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．３．求与圆C：x２＋y２—２x＝0外切且与直线l：x＋错误!y＝0相切于点M（３，—错误!）的圆的方程．[解] 圆C的方程可化为（x—１）２＋y２＝１，圆心C（１，0），半径为１．设所求圆的方程为（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），由题意可知错误!解得错误!或错误!所以所求圆的方程为（x—４）２＋y２＝４或x２＋（y＋４错误!）２＝３6．１．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）判断两圆位置关系的方法及应用．（２）求两圆公共弦长的方法．３．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解．１．圆（x＋２）２＋y２＝４与圆（x—２）２＋（y—１）２＝9的位置关系为（）Ａ．相离Ｂ．相切Ｃ．相交Ｄ．内含C[两圆圆心分别为（—２，0），（２，１），半径分别为２和３，圆心距d＝错误!＝错误!.∵３—２<d<３＋２，∴两圆相交．]２．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋m２＝１与圆C２：x２＋y２＋２y＝8外离，则实数m的取值范围是________．（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）[圆C１可化为（x—m）２＋y２＝１，圆C２可化为x２＋（y ＋１）２＝9，所以圆心C１（m，0），C２（0，—１），半径r１＝１，r２＝３，因为两圆外离，所以应有C１C２>r１＋r２＝１＋３＝４，即错误!>４，解得m>错误!或m<—错误!.]３．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x２＋（y—３）２＝１内切，则此圆的方程为________．（x±４）２＋（y—6）２＝３6 [设圆心坐标为（a，b），由题意知b＝6，错误!＝５，可以解得a ＝±４，故所求圆的方程为（x±４）２＋（y—6）２＝３6．]４．已知圆C１：x２＋y２—２mx＋４y＋m２—５＝0，圆C２：x２＋y２＋２x—２my＋m２—３＝0，m为何值时，（１）圆C１与圆C２外切；（２）圆C１与圆C２内含．[解] 将圆C１，圆C２化为标准形式得C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9，C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４．则C１（m，—２），C２（—１，m），r１＝３，r２＝２，C１C２＝错误!＝错误!.（１）当圆C１与圆C２外切时，有r１＋r２＝C１C２，则错误!＝５，解得m＝—５或２，即当m＝—５或２时，两圆外切．（２）当圆C１与圆C２内含时，C１C２<r１—r２，∴错误!<１，即m２＋３m＋２<0．∵f（m）＝m２＋３m＋２的图象与横坐标轴的交点是（—２，0），（—１，0），∴由m２＋３m＋２<0，可得—２<m<—１，即当—２<m<—１时，两圆内含．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.3 圆与圆的位置关系》5

圆与圆的位置关系教学目标1．通过对圆与圆位置关系的直观感知，掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判断圆与圆的位置关系；掌握圆与圆的公共弦的简单问题．2．通过问题的探究，经历圆与圆位置关系判断方法的形成过程．3．理解并渗透数形结合的思想，进一步提升自主、合作、探究的学习能力．教学重点圆与圆的位置关系及其判断方法．教学难点圆与圆位置关系的判断方法的数学本质．教学过程一、问题情境学生活动问题1 直线与圆的关系有哪些？问题2 圆与圆的位置关系有哪些呢？思考：如何来确定它们的位置关系呢？【设计意图】问题引领，放手让学生自我在问题解决中逐步形成圆与圆的位置关系及其判断方法，回避了教师直接给出结论与方法，拓宽了学生自主建构的思维空间，由被动接受走向主动学习．二、建构数学图形位置关系d与r1、r2关系方程组解数（1）学习小组讨论，完成表格；（2）学生展示，形成方法【设计意图】小组讨论，学生自我展示，揭示数学方法的形成过程以及形成过程中所运用的思想方法，更利于理解和掌握三、数学运用1、例1 判断下列两圆的位置关系：（1）22(2)(2)1x y ++-=与22(2)(5)16x y -+-=；（2）22670x y x ++-=与226270x y x ++-=变式 1 若圆221()()4C x a y a -+-=：与圆2221C x y +=：相交，则实数a 的取值范围为变式 2 若圆22222240x y ax ay a +--+-=与圆221x y +=有3条公切线，则实数a 的取值范围为变式3 若圆221()()4C x a y a -+-=：上总存在两点到原点的距离为1，则a 的取值范围为【设计意图】数学方法是要在应用中理解并得以巩固通过这样的变式训练，让学生在回答问题过程中进一步比较、类比、总结，真正实现知识与能力上的“螺旋式上升”，为熟练运用新知解决问题打下基础 2、例2 已知圆C 1：2＋2＝1，圆C 2：2＋2-2-2+1＝0，试求两圆交点的坐标．变式1 已知圆C 1：2＋2＝1，圆C 2：2＋2-2-2+1＝0，求两圆的公共弦所在直线的方程．变式2 已知圆C 1：2＋2＝1，圆C 2：2＋2-2-2+1＝0，求两圆的公共弦长．变式3 已知圆A ：2242130x y x y +++-=，若圆B 平分圆A 的周长且圆B 的圆心在直线：3y x =上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程【设计意图】设置变式，目的是分散两圆相交弦问题这一教学难点，不断激起认知冲突，并最终突破难点通过变式的研究充分调动学生的积极性，拓展学生的思维，深化几何问题代数化的思想，体现数形结合的思想，让学生在思维碰撞中建构自己的知识体系四、总结提炼1、知识结构：圆与圆位置关系；2、思想方法：数形结合、分类讨论【设计意图】引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结知识性内容的小结，完成知识建构把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可领会数学思想方法并且逐渐养成科学的思维习惯五、巩固拓展1、必做题：课本22()(+2)4x a y a -+-=2210PA PO +=22(3)(4)1x y -+-=(0)A m -，(0)(0)B m m ->，π=2APB ∠的取值范围为【设计意图】1 反馈知识掌握程度，巩固、强化基本技能，培养良好的学习习惯、提升数学思维品质；2 选做题给学生留有个性发展的数学思维空间，实现“做”中“学”、“学”中“研”、“研”中“思”，真正拓展学生的创新意识和数学能力。

高中数学必修二《圆与圆的位置关系》教学设计

《圆与圆的位置关系》教学设计1．教学目标（1）知识与技能目标：通过探索两圆的位置关系，了解两圆位置关系的定义，熟练掌握不同位置关系的性质及判定方法，并能在实际生活中运用。

发展学生分类讨论的思想、数形结合的思想、运动变化、相互联系、相互转化的思想。

（2）过程与方法目标：通过几何画板的演示和作图活动，发展学生观察、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括的能力。

（3）情感态度和价值观目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作、与人交流的良好品质，形成事物运动变化。

培养用数学的意识，感受数学的美，激发学生对数学的热爱。

2．教学重点与难点重点：圆与圆的五种位置关系的性质和判定的探究及应用。

难点：圆与圆位置关系的数量关系的发现。

3．教学方法采用“情境─问题”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。

借助几何画板、Powerpoint和自制的两张圆形硬纸板等工具，加强直观性，分散知识难点。

4. 设计思路笔者结合几何画板，制作了多媒体课件采用情境—问题的教学模式，先通过日食现象使生活中的问题联系到数学问题，引出圆与圆的位置关系，再运用课前准备好的教具让学生分组演示两圆位置关系与公共点个数的联系，然后通过几何画板进行演示，得出两圆的五种位置关系，并通过等圆情况下的位置关系进一步巩固知识点。

结合电脑演示与学生讨论，利用圆心距d、R、r分析五种两圆的位置关系。

通过习题一题多解的形式引出判断两圆位置关系的两种不同的方法：几何法、代数法，并通过课堂设计引导学生比较两种方法的优缺点，又进一步加深学习了共点圆系方程的概念及其应用，最后利用相关习题进行巩固。

5．教学过程（1）创造情景，引出主题展示日食现象的动画，问：首先我们来欣赏一段动画，你们见过这种现象吗？目的：创造现实情景，引导学生发现现实数学问题，引导学生了解知识，使学生理解生活中存在数学问题，数学源自生活。

（2）学生活动引导学生利用课前准备的教具分组试验，合作探究，分类讨论弄清两圆的各种位置关系。

2.5.2 圆与圆的位置关系导学案答案

2.5.2 圆与圆的位置关系【课前预习】知识点1.外切相交内切2.(3)Δ=0 Δ>0 d>r 1+r 2 |r 1-r 2|<d<r 1+r 2d=|r 1-r 2|诊断分析(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (1)由两圆相交的概念知结论正确.(2)若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论不正确.(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立,若两圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确.(4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含,故结论不正确.【课中探究】探究点一例1 (1)D (2)C [解析] (1)由题意得圆C 1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆C 2:(x-2)2+(y+1)2=14,则两圆的圆心分别为C 1(1,-2),C 2(2,-1),所以圆心距d=|C 1C 2|=√(2-1)2+(-1+2)2=√2.因为1-12<√2<1+12,所以两圆相交,则这两个圆的公切线有2条.(2)由题意得|O 1O 2|=√(3+1)2+(-2-1)2=5.∵圆O 1和圆O 2相内切,∴|O 1O 2|=|r-1|,即|r-1|=5,解得r=6或r=-4(舍去).故选C .变式 (1)D (2)(√5,3√5) [解析] (1)圆C 2的方程可化为(x-m )2+y 2=m ,所以m>0,即两圆的圆心分别为C 1(0,0),C 2(m ,0).设圆C 1,C 2的半径分别为r 1,r 2,则r 1=2,r 2=√m ,所以|C 1C 2|=m=r 1+r 2=2+√m ,可得m=4.故选D .(2)易知圆C 1的圆心为C 1(0,0),半径为m ,由x 2+y 2-2x-4y-15=0,得(x-1)2+(y-2)2=20,所以圆C 2的圆心为C 2(1,2),半径为2√5.因为圆C 1与圆C 2恰有两条公切线,所以圆C 1与圆C 2相交,所以|2√5-m|<|C 1C 2|<2√5+m ,又|C 1C 2|=√(1-0)2+(2-0)2=√5,所以可得√5<m<3√5,即m 的取值范围是(√5,3√5).探究点二例2 (1)B (2)D [解析] (1)由x 2+(y-2)2=5和(x+2)2+y 2=5两式相减得弦AB 所在直线的方程为x+y=0,点(0,2)到直线x+y=0的距离d=√2=√2,所以|AB|=2×√5-2=2√3.故选B .(2)由x 2+y 2=1与x 2+y 2-2x+2y+F=0(F<1)两式相减得公共弦所在直线的方程为2x-2y-1-F=0.圆O 2的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2-F ,可得圆O 2的圆心为O 2(1,-1),半径r=√2-F ,则圆心O 2到直线2x-2y-1-F=0的距离d=√4+4=2√2,则(2√2)2+(√22)2=r 2=2-F ,可得F=-3,故r=√5.故选D .变式解:(1)设两圆交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点的坐标是方程组{x 2+y 2+6x -4=0,x 2+y 2+6y -28=0的解, 将两方程相减,得x-y+4=0.因为A ,B 两点的坐标都满足此方程,所以x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.(2)方法一:解(1)中的方程组,得{x =-1,y =3或{x =-6,y =-2.设所求圆的圆心坐标为(a ,b ),因为圆心在直线x-y-4=0上,所以b=a-4,则√(a +1)2+(a -4-3)2=√(a +6)2+(a -4+2)2,解得a=12,故所求圆的圆心坐标为(12,-72),半径为√892. 故所求圆的方程为(x -12)2+(y +72)2=892, 即x 2+y 2-x+7y-32=0.方法二:设所求圆的方程为x 2+y 2+6x-4+λ(x 2+y 2+6y-28)=0(λ≠-1),则其圆心坐标为(-31+λ,-3λ1+λ),代入x-y-4=0,解得λ=-7,故所求圆的方程为x 2+y 2-x+7y-32=0.探究点三例3 (1)ABC [解析] 设M (x ,y ),∵|MA|2+|MB|2=12,∴(x-2)2+y 2+x 2+(y-2)2=12,∴(x-1)2+(y-1)2=4.∵圆C :(x-a )2+y 2=1上存在点M ,使得|MA|2+|MB|2=12,∴圆C 与圆(x-1)2+(y-1)2=4相交或相切,∴1≤√(a -1)2+1≤3,∴1-2√2≤a ≤1+2√2,故选ABC .(2)解:由题意,圆C 1:x 2+(y+4)2=1,圆C 2:x 2+(y-2)2=1,可得两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C 1(0,-4),C 2(0,2). 由题意得|CC 1|=|CC 2|,可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线,又因为线段C 1C 2的中点坐标为(0,-1),直线C 1C 2的斜率不存在,所以圆C 的圆心的轨迹方程为y=-1.变式解:(1)设点P 的坐标为(x ,y ),点A 的坐标为(x 0,y 0),因为点B 的坐标是(6,5),且点P 是线段AB 的中点,所以{x =x 0+62,y =y 0+52,于是有{x 0=2x -6,y 0=2y -5①.因为点A 在圆C 1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,所以(x 0-4)2+(y 0-3)2=4②.把①代入②,得(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,整理得(x-5)2+(y-4)2=1,所以点P 的轨迹C 2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1.(2)将圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-5)2+(y-4)2=1的方程相减得 2x+2y-19=0.圆C2:(x-5)2+(y-4)2=1的圆心为(5,4),半径r=1,且圆心(5,4)到直线2x+2y-19=0的距离d=√22+22=√24,所以|MN|=2√r2-d2=2×√1-18=√142.。