数学建模——几何图示法-PPT
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• 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图 所示的地面的可能性是否存在?只有可能 性存在才谈得上用什么方法铺的问题.
11
12
为此,在图上白、黑相间的染色.然后 仔细观察,发现共有19个白格和21个黑 格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两 格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无论用什 么方法),总要剩下2个黑格没有铺.而一 块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的,唯 一的办法是把最后一块瓷砖一断为二。
OP10t60
由余弦定理知
O P 2 P P 2 P 2 O 2 P P P c O o O P s .P
9
注意到 O P30,P 0 P2t0
co O s P P cos4 (5 )co sco4s5sinsi4 n5
2 212 24,
10 2
12 0 2 5
故
2
OP
(20t)23020220t3004
数学建模——几何图示法
利用几何图示法建模.有不少实际问题的 解决只要从几何上给予解释和说明就足以 了，这时，我们只需建立其图模型即可， 我们称这种建模方法为图示法.这种方法既 简单又直观。
1
例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监 测，当前台风中心位于城市O（如图1）的 东偏南 (cos 2)方向300km的海面P处， 并以20km/h的速10度向西偏北45方向移动.台 风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并10km/h的速度不断增大. 问几小时 后该城市开始受到台风的侵袭？
2
图1
3
问题分析与假设
1. 根据问题解决目的：问几小时后 该城市开始受到台风的侵袭，以及台 风侵袭的范围为圆形的假设，只要求
出以台风中心 p（动点）为圆心的圆
的半径r，这个圆的半径划过的区域自 然是侵袭范围.
4
2. 台风中心是动的，移动方向为向西 偏北 45，速度为20km/h，而当前半径 为60km，并以10km/h的速度不断增大， 即半径的增加速度为 r(t)60,t1为0 t 时间.于是只要 op10t，6便0是城 市O受到侵袭的开始.
15
数学中许多的著名的不可能的证明都要用到
奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论： 2
是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己 动手做一下).
• 由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简 单,极富创造力.在估计事情不可能成立 时,可考虑使用奇偶性这一方法来论证.
16
即( 3 0 2 0 2 0 2 t) 2 ( 3 0 7 2 0 2 0 2 t) 2 ( 1 t 6 0 ) 2 ,0
102
10 2
整理可得 t23t62880,
由此解得 12t 24，即12小时后该城市开始受到 台风的侵袭.
8
模型II 设在时刻t(h)台风中心为（如图 2），此时台风侵袭的圆形半径为 10t+60，因此，若在时刻t城市O受到 台风侵袭，应有
5
模型I 如图2建立坐标系：以O为原点，正 东方向为x轴正向.
图2 6
在此时刻t(h)台风中心的坐标为 P (x, y)
x
300
2 10
20
2 t, 2
y
Βιβλιοθήκη Baidu
300
72 10
20
2 t. 2
此时台风侵袭的区域是
(xx)2 (yy)2 [r(t)2] ,
其中r(t)=10t+60.
7
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 (0x)2(0y)2(1t 06)2 0 ,
13
• 解决铺瓷砖问题中所用方法在数 学上称为“奇偶校验”,即是如果两 个数都是奇数或偶数，则称具有相 同的奇偶性.如果一个数是奇数,另一 个数是偶数,则称具有相反的奇偶性. 在组合几何中会经常遇到类似的问 题.
14
在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有 相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的 奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反 奇偶性的一对方格.因此，把19块长方形瓷 砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格 具有相反的奇偶性时,才有可能把最后一块 长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格具有 相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方 形瓷砖这就从理论上证明了用20块长方形 瓷砖铺好如图所示地面是不可能的.任何改 变铺设方式的努力都是徒劳的
5
202t2960t0302.0
因此 22t0 2 96 t 0 30 2 0(0 1t 06)2 0 .
解得 12t2.4
10
例2：铺瓷砖问题
• 要用40块方形瓷砖铺设如图所示图形的 地面, 但当时商店只有长方形瓷砖,每块大 小等于方形的两块.一人买了20块长方形 瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无 法完整铺好.
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为此,在图上白、黑相间的染色.然后 仔细观察,发现共有19个白格和21个黑 格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两 格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无论用什 么方法),总要剩下2个黑格没有铺.而一 块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的,唯 一的办法是把最后一块瓷砖一断为二。
OP10t60
由余弦定理知
O P 2 P P 2 P 2 O 2 P P P c O o O P s .P
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注意到 O P30,P 0 P2t0
co O s P P cos4 (5 )co sco4s5sinsi4 n5
2 212 24,
10 2
12 0 2 5
故
2
OP
(20t)23020220t3004
数学建模——几何图示法
利用几何图示法建模.有不少实际问题的 解决只要从几何上给予解释和说明就足以 了，这时，我们只需建立其图模型即可， 我们称这种建模方法为图示法.这种方法既 简单又直观。
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例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监 测，当前台风中心位于城市O（如图1）的 东偏南 (cos 2)方向300km的海面P处， 并以20km/h的速10度向西偏北45方向移动.台 风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并10km/h的速度不断增大. 问几小时 后该城市开始受到台风的侵袭？
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图1
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问题分析与假设
1. 根据问题解决目的：问几小时后 该城市开始受到台风的侵袭，以及台 风侵袭的范围为圆形的假设，只要求
出以台风中心 p（动点）为圆心的圆
的半径r，这个圆的半径划过的区域自 然是侵袭范围.
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2. 台风中心是动的，移动方向为向西 偏北 45，速度为20km/h，而当前半径 为60km，并以10km/h的速度不断增大， 即半径的增加速度为 r(t)60,t1为0 t 时间.于是只要 op10t，6便0是城 市O受到侵袭的开始.
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数学中许多的著名的不可能的证明都要用到
奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论： 2
是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己 动手做一下).
• 由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简 单,极富创造力.在估计事情不可能成立 时,可考虑使用奇偶性这一方法来论证.
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即( 3 0 2 0 2 0 2 t) 2 ( 3 0 7 2 0 2 0 2 t) 2 ( 1 t 6 0 ) 2 ,0
102
10 2
整理可得 t23t62880,
由此解得 12t 24，即12小时后该城市开始受到 台风的侵袭.
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模型II 设在时刻t(h)台风中心为（如图 2），此时台风侵袭的圆形半径为 10t+60，因此，若在时刻t城市O受到 台风侵袭，应有
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模型I 如图2建立坐标系：以O为原点，正 东方向为x轴正向.
图2 6
在此时刻t(h)台风中心的坐标为 P (x, y)
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300
2 10
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2 t, 2
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Βιβλιοθήκη Baidu
300
72 10
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2 t. 2
此时台风侵袭的区域是
(xx)2 (yy)2 [r(t)2] ,
其中r(t)=10t+60.
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若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 (0x)2(0y)2(1t 06)2 0 ,
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• 解决铺瓷砖问题中所用方法在数 学上称为“奇偶校验”,即是如果两 个数都是奇数或偶数，则称具有相 同的奇偶性.如果一个数是奇数,另一 个数是偶数,则称具有相反的奇偶性. 在组合几何中会经常遇到类似的问 题.
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在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有 相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的 奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反 奇偶性的一对方格.因此，把19块长方形瓷 砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格 具有相反的奇偶性时,才有可能把最后一块 长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格具有 相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方 形瓷砖这就从理论上证明了用20块长方形 瓷砖铺好如图所示地面是不可能的.任何改 变铺设方式的努力都是徒劳的
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202t2960t0302.0
因此 22t0 2 96 t 0 30 2 0(0 1t 06)2 0 .
解得 12t2.4
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例2：铺瓷砖问题
• 要用40块方形瓷砖铺设如图所示图形的 地面, 但当时商店只有长方形瓷砖,每块大 小等于方形的两块.一人买了20块长方形 瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无 法完整铺好.