二次曲面2讲义009
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九节二次曲面-PPT课件
单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
二次曲面形的性质及求法
二次曲面形的性质及求法二次曲面是一个重要的数学概念，它在图像处理、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍二次曲面的性质及其求法。
一、二次曲面的定义二次曲面是指具有二次项（或更高次项）的二元多项式所构成的曲面。
一般二次曲面的方程可以写为以下形式：$$ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+d=0$$其中，$a,b,c,f,g,h$和$d$均为实数，并且至少其中一项系数不为零。
二、二次曲面的性质1.对称性对于任意一个二次曲面，它都具有以下三种对称性：（1）关于$x$轴的对称性当$a=b$且$f=g=h=0$时，二次曲面具有关于$x$轴的对称性。
（2）关于$y$轴的对称性当$a=c$且$f=h=g=0$时，二次曲面具有关于$y$轴的对称性。
（3）关于$z$轴的对称性当$c=b$且$h=g=f=0$时，二次曲面具有关于$z$轴的对称性。
2.焦点和直线二次曲面的焦点是指使二次曲面上的所有点到其确定的两个固定点的距离之比等于一个定值的点对。
二次曲面的焦线是指对于二次曲面上的任一点，都满足其到焦点的距离与到焦线的距离之比等于一个定值。
3.标准形式通过线性代数的方法，可以将任意一个二次曲面通过坐标变换，化为以下标准形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$其中，$a,b,c$为正实数，分别代表$x,y,z$轴上的半轴长。
三、二次曲面的求法1.第一种方法：配方法配方法是求解二次曲面的一种基本方法。
通过将二次曲面的方程变形为一个平方差式，来实现对二次曲面的求解。
例如，对于方程$4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=1$，可以通过配方法将其变为以下形式：$$\bigg(2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{3} {4}z^2=1$$我们最终得到的形式就是一个椭球面的标准形式。
二次曲面及复习ppt课件
r个1
1 1 0 0
;
事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 假设
xTBx ≥ 0, ∨ n维列向量x，
那么 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个 特征值均为0.
另外，B与以下矩阵合同
r个1
1 1
0
0
;
P240第14题: 请注意在用定义说明一个 矩阵是正定时，需要强调x是非零的向量. 因为x=θ时， xTAx = 0 !
xTAx = (xT, T)Mx > 0,
yTBy = (T, yT)My > 0,
A, B都正定.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =
AO OB
,
证明: M正定 A, B都正定.
证明: ()
1
1
② 设P1AP =
, Q1BQ =
,
s
t
1
那么P O 1 A O OQ OB
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零 时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零 时，曲面为一对平行的平面.
8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零 时，曲面为一对平行的虚平面.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz.
a11 a12 a13
x
b1
A = a12 a22 a23 x = y B = b2
a13 a23 a33
z
b3
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
空间解析几何-第3章-常见的曲面2上课讲义
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 1 (a0,b0,c0)
a2 b2 c2
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
空间解析几何-第3章-常见的曲 面2
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: xa，y b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
by22
cz22
1
z
由方程
x2 a2
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
by22
cz22
1单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 1 (a0,b0,c0)
a2 b2 c2
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
空间解析几何-第3章-常见的曲 面2
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: xa，y b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
by22
cz22
1
z
由方程
x2 a2
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
by22
cz22
1单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
第讲二次曲面
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直 角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线 是xOy面上的圆x2+y2=R2．
一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空 间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线 是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.
x2y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
yx1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
作图练习 2、画图: x1 (1)
y2
z
oo
1
x
z 4x2y2
(2)
yx0
z
2y
o
2y
x
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
作图练习
3.作 x2 出 y2 a 2 曲 ， x2 z 面 2 a 2 ,x 0 ,y 0 ,z 0 所围立
y
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
(2) 双叶双曲面
z
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数
oy x
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
线性代数之二次曲面PPT课件
的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0
二次曲面
2
z
与平面 y = y1 的交线为 （2’） ）
2 y 其轴 轴 x = 2 p z − 其轴//z 抛物线 2q y12 顶点 0, y1 , y = y 1 2q
2 1
x
y
与曲面相截， （3）用坐标面 yoz ( x = 0)，x = x1 与曲面相截，均得抛物线 ）
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
11
x2 z2 eg2:求坐标面 xoz 上的双曲线 2 − 2 = 1 分别绕 x a c
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 + y2 z2 − 2 =1 2 a c
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面 旋转双曲面. 旋转双曲面
12
三、椭球面
x y z + 2 + 2 = 1 (1)范围： x ≤ a, a2 b c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 2 + 2 =1 , b a z = 0
2
2
2
y ≤ b,
16
四、抛物面 1. 椭圆抛物面
x y + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
a ) p > 0, q > 0 z
b) p < 0, q < 0
2
2
z o x y
x
o
y
17
z
与平面 y = y1 的交线为 （2’） ）
2 y 其轴 轴 x = 2 p z − 其轴//z 抛物线 2q y12 顶点 0, y1 , y = y 1 2q
2 1
x
y
与曲面相截， （3）用坐标面 yoz ( x = 0)，x = x1 与曲面相截，均得抛物线 ）
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
11
x2 z2 eg2:求坐标面 xoz 上的双曲线 2 − 2 = 1 分别绕 x a c
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 + y2 z2 − 2 =1 2 a c
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面 旋转双曲面. 旋转双曲面
12
三、椭球面
x y z + 2 + 2 = 1 (1)范围： x ≤ a, a2 b c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 2 + 2 =1 , b a z = 0
2
2
2
y ≤ b,
16
四、抛物面 1. 椭圆抛物面
x y + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
a ) p > 0, q > 0 z
b) p < 0, q < 0
2
2
z o x y
x
o
y
17
二次曲面
x2 a2
y2 a2
z2
x2 y2 a2 z2 圆锥面
二、小结 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25
表示怎样的曲线？
x 3
思考题解答
x2 4y2 z2 x 3
25
4 y2 z2 x 3
16 .
表示平面 x = -3上的一条双曲线.
(2)
a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
1. 椭圆抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
截得抛物线
x2
2
pz
y 0
x2 y2 z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
x2 a2
28.8.5二次曲面(二)及习题课
2
2 x ' 2 z' 2 x ' 2
2 y ' 2 2 y ' 2
2
8 x ' （y ' 2） （z ' 1 4 0 4 2 ）
2
x x' 作平移变换 y y ' 2 z z ' 1
解
特征值：1 8，2 4，3 2
求A的属于特征值8,4,-2的特征向量,将 其规范正交化,得A的规范正交的特征向量:
17
2 2 0 2 2 P 0 , P2 0 , P3 1 1 0 2 2 2 2
T 1 T 1
f ( X 1 ) 0 为所求的最小值.
16
例2 f ( x, y, z) 6 x2 2 y2 6 z 2 4 xz 8 x 4 y 8 z 2 0
在几何空间中表示什么曲面？
6 0 2 A 0 2 0 2 0 6 E A ( 2)( 4)( 8)
为正交阵.
2 2 0 2 2 令P ( P1 P2 P3 ) 0 0 1 2 2 0 2 2
18
则
8 x ' 4 y ' 2 z ' 8 2 y ' 4 z ' 2 0
2 2 2
x x' y P y ' z z '
8.5.3 双叶双曲面:
x y z 由方程 2 2 2 1 (a >0,b >0,c>0) a b c
2 x ' 2 z' 2 x ' 2
2 y ' 2 2 y ' 2
2
8 x ' （y ' 2） （z ' 1 4 0 4 2 ）
2
x x' 作平移变换 y y ' 2 z z ' 1
解
特征值：1 8，2 4，3 2
求A的属于特征值8,4,-2的特征向量,将 其规范正交化,得A的规范正交的特征向量:
17
2 2 0 2 2 P 0 , P2 0 , P3 1 1 0 2 2 2 2
T 1 T 1
f ( X 1 ) 0 为所求的最小值.
16
例2 f ( x, y, z) 6 x2 2 y2 6 z 2 4 xz 8 x 4 y 8 z 2 0
在几何空间中表示什么曲面？
6 0 2 A 0 2 0 2 0 6 E A ( 2)( 4)( 8)
为正交阵.
2 2 0 2 2 令P ( P1 P2 P3 ) 0 0 1 2 2 0 2 2
18
则
8 x ' 4 y ' 2 z ' 8 2 y ' 4 z ' 2 0
2 2 2
x x' y P y ' z z '
8.5.3 双叶双曲面:
x y z 由方程 2 2 2 1 (a >0,b >0,c>0) a b c
高等数学7.9 二次曲面
x2 y2 2 1, a2 b 2 2 2 (c z1 ) (c z12 ) 2 c c2 z z1.
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
二次曲面
7.9 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.关于一般的三元方程0),,(=z y x F 所表示的曲面的形状，已难以用描点法得到，本节采用称之为截痕法的方式来研究二次曲面，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合从而了解曲面的全貌.作为例子研究椭球面的方程1222222=++cz b y a x并化出其图形.(1) 对称性: 方程的图形关于各个坐标面及原点对称(2) 在坐标轴上的截距: 方程的图形在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别是c b a ±±±,,（c b a ,,分别称为椭球面的半轴）.并且由1,1,1222222≤≤≤cz b y a x 得方程的图形位于平面c z b y a x ±=±=±=.,为界的长方体内.(3) 在坐标面上的截痕: 方程的图形在xoy 面、yoz 面、xoz 面上的截痕分别为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax (4) 平行截痕，研究与xoy 面平行的平面h z =（c h <）与方程图形的截痕，截痕曲线为 ⎪⎩⎪⎨⎧==++h z cz b y a x 1222222 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-hz c h b y c h a x 1)1()1(22222222这是一个在平面h z =上以221c h a -和221ch b -为半轴的椭圆.当h 由0逐渐增大时,两个半轴逐渐减少，当c h =时,截痕缩为一点.同样,分别讨论与yoz 面及xoz 面平行的平面与方程图形的截痕,它们也是椭圆.综合以上讨论可知，方程的图形如图7.40示,今后称这个曲面为椭球面. 当c b a ==时,椭球面变为球面.当b a =时椭球方程为122222=++cz a y x 它是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax 绕z 轴旋转而成的旋转椭球面，它在平行于xoy 面的平面上的截痕都是圆（图7.40）除椭球面外，常见的二次曲面有以下几种.下面我们列出它们的标准方程与图. 1 椭圆抛物面（图7.41）pz by a x22222=+ )0,0,0(≠>>p b a2 单叶双曲面（图7.42）1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a3双叶双曲面（图7.43）1222222-=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a4双曲抛物面（图7.44）pz by a x 22222=- )0,0,0(≠>>p b a5锥面（图7.45）0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a图7.40 图7.41图7。
二次曲面2009
x +y z − 2 =1 2 b c
2 2 2
z
y x +z − =1 2 2 b c
2 2 2
z o x y
o x 旋转双叶双曲面
y
17 2011-1-14
旋转单叶双曲面
五、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.如球面、 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 如球面、圆 如球面 锥面等.下面利用 截痕法” 下面利用“ 锥面等 下面利用“截痕法”再研究几种特殊的二次曲 面. 1、椭球面 、 z
因此该柱面方程中不含有z 可设柱面方程为: 因此该柱面方程中不含有 , 可设柱面方程为
f ( x, y ) = 0
8 2011-1-14
一般地,在空间直角坐标系中 方程 不含z), 一般地 在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含 表 在空间直角坐标系中 不含 示母线平行于z轴的柱面 轴的柱面,它的一条准线为 示母线平行于 轴的柱面 它的一条准线为 f ( x, y ) = 0
6 2011-1-14
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。 由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。 柱面 T: 空间一条定曲线 ，称为柱面的准线。 称为柱面的准线。 C: 空间一条定直线 ，确定了柱面的方向。 确定了柱面的方向。 动直线L始终平行于直线 并沿着曲线T移动而形成 始终平行于直线C并沿着曲线 动直线 始终平行于直线 并沿着曲线 移动而形成 的轨迹。动直线 称为柱面的母线。 称为柱面的母线 的轨迹。动直线L称为柱面的母线。 和定直线C的方向唯一确定 注：柱面由准线T和定直线 的方向唯一确定。 柱面由准线 和定直线 的方向唯一确定。 反之，柱面的准线不唯一。 反之，柱面的准线不唯一。
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因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为:
f (x, y) 0
8 20.03.2021
一般地,在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含z), 表
示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线为 f (x, y) 0 z0
方程 g(x , z)=0 (不含y), 表示母线平行于y轴的柱面,它
y
xy u ucso insvv zcu
x
(u,0v2)
14 20.03.2021
四、旋转面
圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直
线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲线L绕一
条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. 一般
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0 表示空间曲面，而
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
则表示空间曲线.
3 20.03.2021
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面. 下面建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 .
空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当 | P0 P | = R , 所以该球面方程为:
球面的参数方程
z
1. 球心在原点
z P
P 0 P 和 Z 轴 正 向 的 夹 角Px 0
y
y
P 0P在 oxy坐 标 面 的 投 影
和 x轴 正 向 的 夹 角
x
x y zR R ssR iin n cosc so in s (0,02)
球心不在原点时
( x , y , z ) ( x 0 R s i n c o s , y 0 R s i n s i n , z 0 R c o s )5
反之，柱面的准线不唯一。
7 20.03.2021
z 母线平行于z轴的柱面方程.
T:
f (x, y) 0 z 0
C :
x0 y0
CL
o
y
x 图1 T
求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
M 0 ( x 0 , y 0 , 0 ) T L , M ( x , y , z ) L xx0,yy0,z任 意
例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为
b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的
方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。P.241
6 20.03.2021
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。
T: 空间一条定曲线 ，称为柱面的准线。 C: 空间一条定直线 ，确定了柱面的方向。 动直线L始终平行于直线C并沿着曲线T移动而形成 的轨迹。动直线L称为柱面的母线。 注：柱面由准线T和定直线C的方向唯一确定。
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 R 2
若球心在坐标原点,则球面方程为:
x2 + y2 + z2 = R2
将上述方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2
4 20.03.2021
二次曲面2009
精品
§7.1 二次曲面
球面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 课堂练习
2 20.03.2021
本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方 程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状. 所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.
13 20.03.2021
例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为： x2 + y2 =1 z=c
(c为常数), 求锥面的方程 .
解：设 P(x, y, z) 为锥面上任一点,母线OP交准线于
点P1(x1, y1, z1), 则有
z
xyz, x1 y1 z1
x12y121,
z1c
消去参数 x1, y1, z1 可得 z2 = c2(x2 + y2)。o 锥面的参数方程：
20.03.2021
曲面和曲线的参数方程
yxxy((uu,,vv)) zz(u,v)
(u,v)D
x y
x(t) y(t)
z z(t)
tI
例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程。
x2 y2 z2 5 z 1
x2 y2 4 z 1
x y
2 2
cos sin
z 1
1
y2 b2
z2 c2
1;
4
x2 a2
z2 c2
1;
y
2x2y2 1;
5 xy0
z
3 x2 y0;
z
x
o y
y
z
y
x
xz
o
x
z
o y
x
10
20.03.2021
例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为
x2 + y2 + z2 = c x+y+z=0
的柱面方程。
M ( x ,y ,z ) L ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) L T
x x 1 t,y y 1 t,z z 1 t
(xt)2(yt)2(zt)2a2
xtytzt0
2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 x y 2 y z 2 x z 3 a 2
11 20.03.2021
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.
动直线L沿定曲线T移动，并且L移动时始终经过动
的一条准线为 g(x, z) 0 y0
方程 h(y , z)=0 (不含x), 表示母线平行于x轴的柱面,它
的一条准线为 h(y, z) 0 x0
注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴。
二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面
9 பைடு நூலகம்0.03.2021
例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?
点M0。L称为锥面的母线，T称为锥面的准线， M0
称为锥面的顶点。
z
同理，锥面由准线顶点唯一决定， 并且锥面的准线不唯一。
o
y
x
求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
12 20.03.2021
锥面方程的求解
求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。
T :
f (x, y) 0 z z1
M 0 (x0 , y0 , z0 )
M ( x ,y ,z ) L ,M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) L T xx0 yy0 zz0 x1x0 y1y0 z1z0
f(x 1 ,y 1 ) 0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 ,z 1 已 知
x00,y00,z00 x1
z1x z
,
y1
z1y z
f (z1x, z1y)0 zz