高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结

一.直线部分

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.

（2）直线的斜率：

α

tan ),(211

21

2=≠--=

k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y .

2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0

x x =．

（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式：121

121x x x x y y y y --=

-- (12y y ≠，12

x x ≠).

注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：1=+b y

a x （

b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．

注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．

一般式化为斜截式：

B C x B A y -

-

=，即，直线的斜率：

B A

k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0

x ，常设其方程为

x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．

已知直线过点

00(,)

x y ，常设其方程为

00

()y k x x y =-+或

x x =．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直

线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若

111

:l y k x b =+，

222

:l y k x b =+，有

① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121

l l k k ⊥⇔=-.

（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有

① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且； ② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．

5．平面两点距离公式： （1）已知两点坐标

111(,)

P x y 、

222(,)

P x y ，则两点间距离2

2122121)()(y y x x P P -+-=．

（2）x 轴上两点间距离：

A

B x x AB -=．

（3）线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

+=+=222

10210y y y x x x ． 6．点到直线的距离公式：

点

)

,(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：

2

200B A C

By Ax d +++=

．

7．两平行直线间的距离公式：

两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：的距离：222

1B A C C d +-=

．

8．直线系方程： （1）平行直线系方程：

① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10

Ax By C ++=．

③ 过点

00(,)

P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：

00()()0

A x x

B y y -+-=．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10

Bx Ay C -+=．

② 过点

00(,)

P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：

00()()0

B x x A y y ---=．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点000(,)

P x y 的直线系方程为

00()

y y k x x -=-(除直线

x x =),其中k 是待定的

系数．

② 经过定点

000(,)P x y 的直线系方程为

00()()0

A x x

B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系

方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除开2l

)，其中λ是待定的系数．

9．两条曲线的交点坐标：

曲线1

:(,)0C f x y =与2

:(,)0

C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==的解．

10.平面和空间直线参数方程：

① 平面直线方程以向量形式给出：

n

b y n

a

x 2

1

--=

方向向量为()n n s 21，=→

下面推导参数方程：

⎪⎩⎪⎨⎧+=+===--t

n b y t

n a x t

n b y n

a x 2

1

2

1

则有令：

② 空间直线方程也以向量形式给出： n

b z n

b y n

a

x 3

2

1

---==

方向向量为()n n n s 321,，=→

下面推导参数方程：

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧+=+=+===

=---t n c z t n b y t n a x t n

c z n

b y n

a x 3213

2

1

则有令：

注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

二.圆部分