与圆有关的轨迹方程

求与圆有关的轨迹方程

［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。

（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N （x o, y o）,

求出用x，y表示x o，y o的关系式，将（x o, y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。

［讲解设计］重点和难点

例1 已知定点A（4，o ），点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。

例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC求弦BC中点P的轨迹方程。

方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP则OPL BC

』-=一止

当x^0 时，k op ■ k AP=—1，即TT x—4

即x2+ y2—4x = O.①

当x= O时，P点坐标（0,0）是方程①的解，

BC中点P的轨迹方程为x2+ y2—4x= O（在已知圆内的部分）.

方法二：（定义法）

由方法一知OPtAP,取OA中点M 则M2,0）, |PM =2 I OA = 2，

由圆的定义知，P的轨迹方程是（x —2）2+ y2= 4（在已知圆内的部分）.

例3 已知直角坐标平面上的点Q（2, 0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数

（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线MN切圆于N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= J'|MQ|}

T圆的半径|ON|=1，二|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 , 设点M的坐标为（x, y）,则j

整理得（x-4）2+y2=7 .

•••动点M的轨迹方程是（x-4 ）2+y2=7 .

它表示圆，该圆圆心的坐标为（4 , 0）,半径为越

例4 如图，已知两条直线11：2x-3y+2=0 , I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与丨1,丨2都相交, 并且I 1与I 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24,求圆心M的轨迹方程。

设动圆的圆心为M（x,y）,半径为r,点M到直线1* 2的距离分别为d1和dz 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

一J 即」

消去r得动点M满足的几何关系为'町=25,

（靈一护ay 心一丹4爭即口

口=25.

化简得（x+1）2-y2=65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.

练习与作业

2 2

1、已知：点P是圆x y 16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当P点在圆上运动时，求线段

PA的中点M的轨迹方程

2、已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D,使|CD|=|BC|，求AC与OD（O为坐标原点）的交

点P的轨迹方程。

2 2

3、求与y轴相切，且与圆x y 4x 0也相切的圆P的圆心的轨迹方程

5、已知与 0C : x 2 y 2 2x 2y 1 0相切的直线I 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，0为坐标原点, OA a,OB ba 2,b 2 .

(1)求证：a 2 b 2 2 ;(2)求线段AB 中点P 的轨迹 _ 2 4、由点P 分别向两定圆G ：(x 2) 2 2 y 1 及圆 C 2 ：(x 2) 2

y 4所引切线段长度之比为 1 : 2,求点P 的轨迹方程