百校联盟2020届高三高考模拟数学试卷(PDF版)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ⋅ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )A. {−1,0，1}B. {−2,−1,1}C. {−2,0，1}D. {−2,−1,0，1} 2. 设z −是复数z 的共轭复数，若z −⋅i =1+i ，则z ⋅z −=( )A. √2B. 2C. 1D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y =xsinxB. y =xlnxC. y =x ⋅e x −1e x +1 D. y =xln(√x 2+1−x)4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )A. 283B. 12C. 383D. 135. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 2C. 83 D. 1036. 已知函数f(x)=2cos 2x −cos (2x −π3)，则下列结论正确的个数是( )①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增； ③函数f(x)在[0,π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称．A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. −2B. −34 C. −54D. 548. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )A. 13B. 12C. 25D. 349. 已知函数f(x)=log 12(x 2−ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1]B. [−12,1]C. (−12,1]D. (−12,+∞)10. 若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0，则z =|x −y +1|的最大值为( )A. 2B. 2411C. 2811D. 311. 如图所示，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为( )A. 9πB. 10πC. 12πD. 14π12. 已知函数f(x)=x+aax−1(x >0)，若a =√1−x 2>0，则f(x)的取值范围是( )A. [−√2−1,−1)B. (−2√2,−1)C. [−2√2,−1)D. (−√2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为______．14. 已知函数f(x)=x 3−5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则yx +9x2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．(1)求角A ；(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产A B说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π，E为CD中点．将△ADE沿AE3折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；(2)求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n +2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={−1,0，1}，B ={0,−2}， ∴A ∪B ={−2,−1,0，1}． 故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵z −⋅i =1+i ， ∴z −=1+i i=(1+i)(−i)−i 2=1−i ，则z ⋅z −=|z|2=(√2)2=2． 故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ⋅z −=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(−x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数； 对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于C ，y =x ⋅e x −1e x +1，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)⋅e −x −1e −x +1=x ⋅e x −1e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y =2+1−x)，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数； 故选：B ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2， ∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =13， ∴S 3=9(1−133)1−13=13．故选：D ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =13，由此能求出S 3的值．本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基5.答案：C解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P−ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)=2cos2x−cos(2x−π3)=cos2x+1−12cos2x−√32sin2x=12cos2x−√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∴T=2π2=π，①对；由2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，得x∈[kπ−2π3,kπ−π6]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，②错；∵x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，cos(2x+π3)∈[−1,12]，函数f(x)在[0,π2]上的最大值为32，③错，∵2x+π3=kπ，x=kπ2−π6，k∈Z，④对，故选：B．先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π3)+1，根据T=2π2=π，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f(x)在在[0,π2]上的最大值，可以判断③；可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点， 则CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12[−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14×22−34×2×3×12=−54．故选：C ．根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟， 由几何概型知所求的概率P =2050=25．故选：C ．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B解析：解：∵y =log 12x 在(0,+∞)上为减函数， ∴y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立， ∴{−−a 2≤12(12)2−12a +a ≥0，解得−12≤a ≤1．故选：B ．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)；平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，令t =x −y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ， 所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点， △PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102， 故R =(√102)=√142，故S =4π×144=14π故选：D ．结合已知构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：解：由a =√1−x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π2)， 则y =sinα+cosαsin αcos α−1，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π4)∈(1,√2],sinαcosα=t 2−12,∴1y =t 2−32t =t2−32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数，∴y ∈[−2√2,−1)．故选：C ．依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =sinα+cosαsin αcos α−1，再令t =sinα+cosα∈(1,√2]，可得y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围． 本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．13.答案：553解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动， 若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为553， 故答案为：553．根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论． 本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2解析：解：由f(x)=x 3−5x +a ，得f′(x)=3x 2−5， ∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 02−5=−2，∴x 0=1或x 0=−1，∴y 0=a −4或y 0=a +4， 即切点坐标为(1,a −4)或(−1,a +4)， 代入直线中，得a +b =2或a +b =−2， ∵a ，b 为正实数，∴a +b =2． 故答案为：2． 先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=−2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)解析：解：解：当x=c时，c2a2−y2b2=1，可得y=±b2a故M(c,b2a)如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2<tan45°=1，即b2a2c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2−a2<2ac，即c2−2ac−a2<0，则e2−2e−1<0，解得：1−√2<e<1+√2又e>1，∴1<e<1+√2故答案为：(1,1+√2)求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc⇒a2+c2−b2=c2+bc；∴a2+c2−b22ac =c+b2a；∴b+c=2acosB；由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB⇒sinB=sin(A−B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；∴sinA=cosB；∴sinB=12.∴B=π6，A=π3．(2)由(1)可知C=π2.∴△ABC为直角三角形．又因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒PA ⊥PC ； 所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图： ∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4， 设O 为AC 的中点，连接BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP =BO −PO =√1+(2√3)2−1=√13−1． 设∠OCP =α，则∠COP =π−2α， ∴sinα=PA AC=12PA ；cosα=PC AC=12PC ；∴S =12PA ⋅PC =2sinαcosα=sin2α；在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π−2α)=sin2α=BCBO =√3√13=2√3913． ∴当BP 取得最小值时(√13−1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，(2)填表如下；销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 81220K 2=20(2×4−6×8)28×12×10×10≈3.333<3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87． 分别设为A ，B ，C ，D ，E ，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．解析：(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×(√102)=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P−BCE=V B−PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH=2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x−2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|2+1|QT|2=QS 2+QT 2QS 2⋅QT 2=2t 12+a2a 2(t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√aa (舍负)，当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)由f(x)<g(x)，得e x −ax 2−x −1>0，设ℎ(x)=e x −ax 2−x −1(x >0)，则ℎ′(x)=e x −2ax −1，令H(x)=e x −2ax −1，则H′(x)=e x −2a ，当a ≤12时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴H(x)=ℎ′(x)>ℎ′(0)=0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0成立，即f(x)<g(x)成立． 当a >12时，由H′(x)=e x −2a =0，解得x =ln2a ， x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数， x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a −1−2aln2a ，设t(a)=2a −1−2aln2a(a >12)，则t′(a)=−2ln2a <0， ∴t(a)在(12,+∞)上为减函数， ∴t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0∴∃x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， 又ℎ(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立， 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，即可得f(x)的单调性；(2)构造函数ℎ(x)=e x −ax 2−x −1(x >0)，求出ℎ′(x)，令H(x)=ℎ′(x)=e x −2ax −1，再求H′(x)=e x −2a ，当a ≤12时，易证得ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，ℎ(x)>ℎ(0)=0成立，即f(x)<g(x)成立；当a >12时，由H′(x)=e x −2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即ℎ′(x)的单调性，于是ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a −1−2aln2a ，再令t(a)=2a −1−2aln2a(a >12)，求导可知t(a)在(12,+∞)上为减函数，t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立，因此得解．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x −1|−4≥0， 当x <−2时，−x −2−x +1−4≥0，解得x ≤−52； 当−2≤x ≤1时，x +2−x +1−4≥0，解得x ∈⌀； 当x >1时，x +2+x −1−4≥0，解得x ≥32， ∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤−52或x ≥32}； (2)∵函数f(x)的定义域为R ，∴|x +2|+|x −1|−a ≥0对任意的x ∈R 恒成立， ∴a ≤|x +2|+|x −1|，又|x +2|+|x −1|≥|x +2−x +1|=3， ∴a ≤3，∴s =3， ∴12m+n+2m+3n=3，且m >0，n >0，∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=13[(2m +n)+(m +3n)]⋅(12m+n +2m+3n )=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23， 当且仅当m =1+2√215,n =3+√215时取等号， ∴3m +4n 的最小值为1+2√23．解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x −1|−4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x −1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出12m+n +2m+3n =3，然后即可得出3m +4n =13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出3m +4n 的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a −b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．。
2020届河南省百校联盟高三12月教育教学质量检测考试数学(理)试卷 PDF版
18. （本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥 S--ABCD中，四边形 ABCD 是菱形，ζABC = l35 ° ,SD =2CD，点P,Q,M分别是线段 SD,PD,AP的中点，点N是线段 SB 上靠近B的四等分点．
线 CE,BF 所成角的余弦值为
A.
10 J百 一＿＿＿＿：！＿二L 57
B.
一只λ 工二可二 57
c.
λ可
＿：，；＿二二
19
.3
,/I百 19
10.已知函数JC川的图象关于原点对称，且满足 f(x十1)十f(3-x) = O，且当工仨（2,4）时，f(x) =
1)十m，若f(20221) 1 =f（ 口，则m 二
命题户：Im 一一 2圳的值可能为9;
命题 q :'' (m Zn) lm” 的充要条件为“ c叫，n ＞ 工÷ ” ；
则下列命题中，真命题为
A.ρ
B. p八q
C. C「户）八q
D. pV C「q)
5.记抛物线 C,y2= Zρx（ρ＞O）的焦点为F，点M在抛物线上，若面N ＝ 币1字，且N(Z,2），则抛物线C的准线方程
不合格
合格男生Leabharlann 1416女生
10
20
(1）是否有90%以上的把握认为“性别” 与“问卷的结果 ”有关？
(2）在成绩合格的学生 中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖
品 ，记拿到奖品的男生人数 为X，求X的分布列及数学期望E(X). 附：K ?2 ＝ 一U一十一b－) （αd-bc)2
$
# +
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z 满足121z i i -+=+，则||(z = ) A ．5B ．2C ．3D ．32．（5分）已知集合{21A a =-，2a ，0}，{1B a =-，5a -，9}，且{9}A B =I ，则()A ．{9A =，25，0}B ．{5A =，9，0}C ．{7A =-，9，0}D ．{7A B =-U ，9，0，25，4}-3．（5分）已知向量2(2a x x =-r ，1)，(1,3)b =-r ，则“13x -<<”是“a r ，b r 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（5分）将函数2sin(2)4y x π=+的图象向右平移4π个单位长度，所得函数( )A ．在区间3(8π-，)8π上单调递增B ．在区间5(8π-，)8π-上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3(8π，0)为一个对称中心 5．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π6．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．347．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数3||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB ∆的面积为( ) A ．2B ．3C ．3 D ．3 9．（5分）一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为( )A ．2027B ．79C ．727D ．2910．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，3BC CD =，则ADB ∠的最大值为()A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π 11．（5分）我国古代的数学著作《九章算术g 商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M 、N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形的面积为( )A ．213B ．213C 27D 4712．（5分）已知函数()2f x alnx x =-，若存在*x N ∈，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,)e +∞B ．4(2ln ，)+∞ C ．6(3ln ，)+∞ D ．(2,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为 ．14．（5分）在25(1)()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为 ． 15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为 ． 16．（5分）巳知1F 、2F 为双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△12PF F 内切圆的圆心为I ，则圆心1到圆22(1)1x y +-=上任意一点的距离的最小值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，*112()1n n n S a n N n +-=+∈+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*()2(1)!n n na b n N n =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T <„． 18．（12分）某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20，60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间 [20，30)[30，40)[40，50)[50，60]教师人数 2000 1300 样本人数130。
百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷及答案详解(24页)
百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷文科数学试题一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）二、填空题13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案与详解一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。
2020届百校联盟(全国卷)高三第二次模拟考试数学(理)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第二次模拟考试数学试题（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．i是虚数单位，41i z i=- 则||z =( )A. 2B.C. 4D. 2．集合{}|2lg 1A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =( )A.[3,3]-B.(C.(]0,3D.⎡-⎣3．已知向量2a =，1b =，2)2(=-⋅b a a,则a 与b 的夹角为 ( )A.o 30B.o 60C.o 90D.o 1504.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响, 某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本, 其中：城镇户籍与农村户籍各100人；男性120,女性80人, 绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示）, 其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例, 则下列叙述中错误的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别无关C ．倾向选择生育二胎的人群中, 男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人群中, 农村户籍人数少于城镇户籍人数5.设变量y x ,满足约束条件,042001⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤--y x y x y x 则y x z 2-=的最大值为 （ ） A.23B.-12C.0D. 1 6.正项等差数列}{a n 的前n 项和为n S ，已知==+-+92573,015S a a a 则( )A.35B.36C.45D.547.b a ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,βα⊥⊂b a , ,则 “βα//”是 “b a ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知实轴长为22的双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的 左,右焦点分别为)0,2(),0,2(21F F - 点B 为双曲线C 虚轴上的一个端点，则21F BF ∆的重心到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ） A.32 B. 32 C. 33D. 31 9．将函数f （x ）＝sinx 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝f （x ）g （x ）的最大值为( )C.1D.1210.在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为,2,3,,,-=⋅=B c b a π且满足,sin 2sin sin B C A =+则该三角形的外接圆的半径为（ ）A.334 B.332 C.3 D. 11.已知点A 是抛物线y x 42= 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA = ，若m 取得最大值时，点P 恰好在以F A ,为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A.13-B.12-C.215- D.212-12.已知函数a x x ax x f +-=221ln )(有且只有一个极值点，则实数a 构成的集合是 （ ）A. {}0<a aB. {}0>a aC. {}1<a aD. {}1>a a 二、填空题（每小题5分，共20分）13．二项式51)x的展开式中2-x 的系数是_______________.14.已知)(x f 为奇函数，当0≤x 时，,3)(2x x x f -=则曲线)(x f y =在点)4,1(-处的切线方程为_______________.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为_______________.16. 三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为_______________.三、解答题17．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（I ）求证：MN//平面ABCD ； （II ）求二面角11D -AC B -的正弦值18. （本小题满分12分）支付宝宣布在肯德基的KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频率分布直方图：若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”， 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.（I ）若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.（II ）支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率. 附：参考公式与参考数据如下，其中.19.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 满足n n n n n a b N n a a a a 4112321log ),(2222=∈=++++*+- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列}b 1{1n +⋅n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于,A B 两点，当直线l 垂直于y 轴时||AB =． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．21.（本小题满分12分） 已知).ln()(2a x ex f x++=.（Ⅰ）当1a =时，①求()f x 在()0,1处的切线方程；②当0≥x 时，求证：()()21f x x x ++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.选考题：本小题满分共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，).(1212:2为参数t t y t x C ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=（Ⅰ）求曲线1C 上的点到曲线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2倍，得到曲线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB +.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.,322)(R m m x x x f ∈+++= （Ⅰ）当2-=m 时，求不等式3)(≤x f 的解集；（Ⅱ）),0,(-∞∈∀x 都有xx x f 2)(+≥恒成立，求m 的取值范围.数学试题（理科答案）1B 2C 3B 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10B 11B 12A 13.-10 14.5x+y-1=0 15.1375 16.3.17【解析】(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n =所以二面角11D AC B --. 18(1)(2)2813 19（Ⅰ）当1n =时，41=a 当2n ≥时由132121+23222n nn a a a a +-+++=- 312122+23222nn n a a a a --+++=- 两式相减得122nn n a -=，即212n n a -=………………………4分 且上式对于1n =时不成立．所以数列{}n a 的通项公式⎩⎨⎧≥==-2,21,412n n a n n …… 6分 （Ⅱ）因为2122,111-=≥==n b n b n n 时，当时，，…………………………………………8分114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+所以12231111n n n T b b b b b b +=+++=12234+-n …………………………………………12分20（Ⅰ）由已知椭圆过点⎫⎪⎪⎝⎭，可得22222271143a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，.………………………………………………3分 解得229,4a b ==所以椭圆的E 方程为22194x y +=. ……………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，所以120002294, 124949x x k x y kx k k +-===+=++. …………………7分 当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k =-++++ 将(,0)M m 代入得：549m k k=-+……………………………9分若0k >，则49k k +≥， 若0k <，则449[(9)]12k k k k -+=-+-≤- 所以5012m -≤<或5012m <≤………………………………………11分当0k =时，0m =综上所述，存在点M 满足条件,m 取值范围是551212m -≤≤.……………12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)xf x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10x F x e x x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分（2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-<设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a'=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（） ()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=- 1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+ 设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =--->2()221x g x e x '=-- 2()42420x g x e ''=->-> ()g x '∴在(0,)+∞单调递增 ()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分 所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=-----23.解：当m=-2时，, 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.当时，当时，不等式化为.由当且仅当即时等号成立.，.当时，不等式化为.，令，.，在上是增函数.当时，取到最大值为..综上.。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
江苏省百校大联考2020届高三上学期第一次考试数学试题 Word版含解析
江苏省2020届“百校大联考”高三年级第一次考试数学试卷2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}12x x -<≤，集合B ＝{}0x x >，则A I (∁U B)＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算解析：因为全集U ＝R ，集合B ＝{}0x x >，则∁U B ＝{}0x x ≤，又因为集合A ＝{}12x x -<≤，所以A I(∁U B)＝(﹣1，0]2．已知复数22i 1iz =++，i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 答案：1 考点：复数 解析：222(1i)22i 2i 2i 2i 1i 1i (1i)(1i)1i z --=+=+=+=+++--．3．函数：lg(1y =-的定义域是 ．答案：[0，1) 考点：定义域解析：100x ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以0≤x ＜1．4．执行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：30考点：算法初步，伪代码 解析：3＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝305．在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为 ．答案：13考点：古典概型解析：从甲、乙两个盒子中各取一个小球共有9种情况，其中两个小球颜色相同共有3种情况，则两个小球颜色相同的概率为3÷9＝13．6．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 ．答案：4考点：统计（分层抽样）解析：先求得a ＝0.030，24÷[(0.030＋0.020＋0.010)×10]×(0.010×10)＝47．已知圆224x y +=过椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞0，b ＞0)的焦点与短轴端点，则椭圆C 的标准方程为 ．答案：22184x y += 考点：椭圆的标准方程解析：由题意可得，2b c ==，所以2228a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=． 8．如右图，在体积为12的三棱锥A —BCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝2MB ，点N 为 CD的中点，则三棱锥C —AMN 的体积为 ．答案：4考点：棱锥的体积解析：由题意可得V C —AMN ＝13V A —BCD ＝4． 9．已知{}n a 为等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S 且6328a a -=，37S =，则{}n a 的通项公式为 ． 答案：12n n a -=考点：等比数列解析：因为6328a a -=，所以521128a q a q -=①，因为37S =，所以31(1)71a q q -=-②， ①÷②得：3240q q --=，解得q ＝2，11a =所以12n n a -=10．若()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()3f x x x =-+，则()0f x ≥的解集为 ．答案：(-∞，﹣3]U [0，3] 考点：函数的奇偶性解析：根据数形结合的方法得()0f x ≥的解集为(-∞，﹣3]U [0，3]11．若非零向量a r 与b r满足22a b a b +=+=r r r r ，则a r 与b r的夹角为 ．答案：23π 考点：平面向量的数量积解析：由22a b a b +=+=r r r r ，得212a ba b a ⎧=⎪⎨⋅=-⎪⎩r r r r rcos<a r ，b r >＝221122a a b a b a-⋅==-⋅r r r r r r ，得a r 与b r 的夹角为23π． 12．若5cos 26sin()04παα++=，(2πα∈，)π，则sin 2α= ． 答案：﹣1考点：三角恒等变换 解析：由5cos 26sin()04παα++=，得(cos sin )[5(cos sin )0αααα+-+=，所以cos sin 0αα+=或cos sin 5αα-=-得sin 21α=-或725因为(2πα∈，)π，则sin 2α=2sin cos 0αα<，所以sin 21α=-．13．已知函数22(23)320()4ln 20x m x m m x f x x m x xe ⎧+++++≤⎪=⎨+->⎪⎩，，在区间R 上有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为 ． 答案：[﹣1，2) 考点：函数与方程解析：首先22(23)32x m x m m +++++＝0最多两个零点，一个是﹣m ﹣1，﹣m ﹣2；而4ln 2x m x e+-＝0最多也是两个零点，由于原函数在R 上有四个零点，则两个方程在各自的区间分别有两个零点，可得不等式组如下：10240m m e e --≤⎧⎪+⎨<<⎪⎩，解得﹣1≤m＜2．14．已知正实数x ，y 满足()4xy x y -=，则x y +的最小值为 ．答案：考点：函数与最值解析：()x y +==xy t =，(0, )t ∈+∞ 设24()f t t t =+，38()1f t t'=-，可知t ＝2时，()f t 取最小值为3，所以x y +的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的图像上两个相邻的最高点之间的距离为2π且直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．（1）求()f x 的解析式；（2）若α满足()3()3f f παα=+，求tan 2α．16．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，D 是棱A 1B 1的中点． （1）证明：直线B 1C ∥平面AC 1D ；（2）若AC ＝AA 1，A 1B 1⊥A 1C 1，证明：平面AC 1D ⊥平面A 1B 1C ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，点A 1分别为椭圆C 与坐标轴的交点，且AB x 轴上定点E(1，0)的直线与椭圆C交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点．（1）求椭圆C 的方程； （2）求△QAB 面积的最大值．18．（本小题满分16分）某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，其中渠底BC宽为1米，渠口AD宽为3米，渠深34米．根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍．设扩建后渠深为h 米，若挖掘费用为每立方米ah2万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰，AB端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米3a万元．（1）用h表示渠底B1C1的长度，并求出h的取值范围；（2）问渠深h为多少米时，建设费用最低？19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，24a =，且满足1136n n n a a S +-+=+(n ≥2)． （1）证明：{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)nn n b t n a =⋅-⋅，0t ≠，若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值； （3）在（2）的条件下，设1212()2321n n n n c n N +*+=∈-⋅+，记数列{}n c 的前n 项和为 n T ．若对任意的n ，k N *∈，存在实数λ，使得1n k T b λ+⋅<，求实数λ的最大值．20．（本小题满分16分） 已知函数(1)()ln ()kk f x x x a x x -=-+．（1）当a ＝1时，求1()f x 在1x =处的切线方程；（2）对于任意x ∈[1，+∞)，1()f x ≥0 恒成立，求a 的取值范围；（3）试讨论函数0()()F x f x x =-的极值点的个数．。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z−1+i=2i+1，则|z|=()A. √5B. 2C. √3D. 32.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，且A∩B={9}，则()A. A={9,25，0}B. A={5,9，0}C. A={−7,9，0}D. A∪B={−7,9，0，25，−4}3.已知向量a⃗=(x2−2x,1)，b⃗ =(1,−3)，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.将函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，所得函数()A. 在区间(−3π8,π8)上单调递增 B. 在区间(−5π8,−π8)上单调递减C. 以x=π8为一条对称轴 D. 以(3π8,0)为一个对称中心5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A. 8π3B. 8πC. 16π3D. 12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是()A. 13B. 12C. 25D. 347.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1]B. [−12,1] C. (−12,1] D. (−12,+∞)8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y=√33|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2−3y2+3=0上，则△OAB的面积为()A. 2B. √3C. √32D. √339.一只蚂蚁从正四面体A−BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A−BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为()A. 2027B. 79C. 727D. 2910.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，BC=√3CD，则∠ADB的最大值为()A. π4B. π3C. π2D. 2π311.我国古代的数学著作《九章算术⋅商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形的面积为()A. 2√213B. 4√213C. 2√73D. 4√7312.已知函数f(x)=alnx−2x，若存在x∈N∗，使f(x)>0成立，则实数a的取值范围是()A. (2e,+∞)B. (4ln2,+∞) C. (6ln3,+∞) D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z=|x−y+1|的最大值为______．14.在(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为______．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为______．16.巳知F1、F2为双曲线x24−y2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，S2=10，S n=n−1n+1a n+1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n(n+1)!(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为T n，求证：12≤T n<1．18.某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]教师人数20001300样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：(1)求该市年龄在[50,60]的教师人数；(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x−及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)．19.如图，将斜边长为4√2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B−AD−C，E为AD中点．(1)求二面角A−BC−E的余弦值；(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M−CDE外接球的体积．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)当a=12时，设P(x,y)为函数y=ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1(x∈(0,+∞))图象上任意一点．直线OP的斜率为k，求证：0<k<1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.若a>0，b>0，且2a+b+2=3ab．(1)求2a+b的最小值；(2)是否存在a、b，使得a3+b3=4√2？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z−1+i=2i+1，∴z=2+i，∴|z|=√22+12=√5，故选：A．先根据复数的基本运算求出复数z，再利用复数的模长公式即可算出结果．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．2.答案：C解析：解：∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a−1=9或a2=9，∴a=5或a=±3，①a=3时，A={5,9，0}，B={−2,−2,9}，集合B错误，不满足集合元素的互异性，∴a≠3；②a=−3时，A={−7,9，0}，B={4,−8,9}，满足A∩B={9}，即a=−3成立；③a=5时，A={9,25，0}，B={−4,0，9}，A∩B={0,9}，∴a=5不成立，综上得，A={−7,9，0}，A∪B={−8,−7,0，4，9}．故选：C．根据条件可得出2a−1=9或a2=9，从而得出a=±3或a=5，然后对于每个a的值，求出A，B，看是否满足题意即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查看计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：a⃗⋅b⃗ =x2−2x−3=(x−3)(x+1)，当−1<x<3时，a⃗⋅b⃗ <0，此时a⃗，b⃗ 的夹角为钝角或平角，即充分性不成立，若a⃗，b⃗ 的夹角为钝角，则a⃗⋅b⃗ <0，得−1<x<3，即必要性成立，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B．根据向量数量积与夹角的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积与夹角的关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：B解析：解：函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2sin(2x−π4)，对于选项A：令−π2+2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)，整理得：−π8+kπ≤x≤kπ+3π8(k∈Z)，故单调增区间为：[−π8+kπ,kπ+3π8](k∈Z).故选项A错误．对于选项B：由于函数的最小正周期为π，所以单调递减区间为[−5π8+kπ,kπ−π8](k∈Z)．当k=0时，在区间(−5π8,−π8)上单调递减，故正确．对于选项C：当x=π8时．2x−π4=0，所以函数没有取得最大或最小值，故错误．对于选项D：当x=3π8时，2x−π4=π2，所以f(3π8)=2≠0，故选项D错误．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据，计算该几何体的体积为V=V圆柱−V圆锥−V半球=π⋅22⋅4−13⋅π⋅22⋅2−12⋅4π3⋅23=8π．故选：B．根据三视图知该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据计算该几何体的体积．本题考查了利用几何体的三视图求体积的问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P=2050=25．故选：C．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题．7.答案：B解析：解：∵y=log12x在(0,+∞)上为减函数，∴y=x2−ax+a在(12,+∞)上为增函数，且y>0恒成立，∴{−−a2≤12(12)2−12a+a≥0，解得−12≤a≤1．故选：B．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点M(x,y)， 由题意不妨设：x 1<0，x 2>0， ∵{x =x 1+x 22y =y 1+y 22，y═y 1+y 22=√33⋅x 2−x 12， 所以x 2−3y 2=x 1x 2，∴x 1x 2=−3，∵OA =√x 12+y 12=−2√33x 1，OB =2√33x 2，∠AOB =2π3，∴S △AOB =12OA ⋅OBsin∠AOB =−√33x 1x 2=√3．故选：B ．设出AB 坐标，求出中点坐标，代入双曲线方程，利用已知条件，转化求解三角形的面积，推出结果即可．本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：由题意可得，蚂蚁每次爬到下一个顶点的概率为13，设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，则P n =23P n−1+1×(1−P n−1)， ∴(P n −34)=−13(P n−1−34)，∴数列{P n −34}是以14为首项，以−13为公比的等比数列， ∴P n −34=14×(−13)n−1， ∴P n =34−34×(−13)n ，n ∈N ∗，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为1−P 4=1−2027=727， 故选：C ．设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，利用古典概型的的概率公式可得P n =23P n−1+1×(1−P n−1)，即(P n −34)=−13(P n−1−34)，再利用等比数列的通项公式求出P n 即可． 本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．解析：解：设CD=a，则AB=2a，BC=√3a．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，由平面几何知识，易知AD=MC，BD=NC．设AD=MC=m，BD=NC=n．在△MBC中，m2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos∠MBC，在△NBC中，n2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos(π−∠MBC)，∴m2+n2=8a2，在△ABD中，cos∠ADB=m2+n2−4a22mn =4a22mn，又2mn≤m2+n2=8a2，∴cos∠ADB=4a22mn ≥4a28a2=12，∴∠ADB的最大值为π3．故选：B．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，设CD=a，AD=m，BD=n，则AB=2a，BC=√3a，MC=m，NC=n，然后依次在△MBC和△NBC中利用余弦定理，借助∠MBC和∠NBC互补，可以得出m2+n2=8a2，再在△ABD中，利用余弦定理，表示出cos∠ADB，并结合基本不等式的性质即可求得其最大值．本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．11.答案：A解析：解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由题意得NE=ME=√173，AM=AN=√5，MN=√6，∴AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形面积为：S=12×√6×√(√5)2−(√62)2+12×√6×(√173)(√62)=2√213．故选：A．延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．本题考查平面截“堑堵”所得截面图形的面积的求法，考查“堑堵”性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解析：解：由题意可得alnx −2x >0， 当x =1时，−2>0不成立， 当x >1时，a >2xlnx ， 设g(x)=2xlnx ， 则g′(x)=2(lnx−1)ln 2x ，当x ∈(1,e)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， ∵g(2)=4ln2，g(3)=6ln3， 又4ln3=ln81>ln64=6ln2， ∴4ln2>6ln3， ∴a >6ln3， 故选：C ．由题意可得a >2xlnx ，设g(x)=2xlnx ，利用导数求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：2811解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)； 平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故答案为：2811．作出不等式组对应的平面区域，令t=x−y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14.答案：−1或32解析：解：设(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，则当r=2时，T3=∁52⋅x3⋅(−a)2=10a2⋅x3；则当r=1时，T2=∁51⋅x4⋅(−a)1=−5ax4；则当r=0时，T1=∁50⋅x5⋅(−a)0=x5；∴(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数是：10a2−5a−1=14⇒a=−1或32；故答案为：−1或32．根据题意，利用(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，通过对r取值即可求得(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数进而求得结论．本题考查二项式定理，着重考查二项展开式中的通项公式的应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：1解析：解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|．又点P在双曲线右支上，∴|PF1|−|PF2|=2a，即(|PA|+|F1A|)−(|PB|+|F2B|)=2a，∴|F1M|−|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为(x,0)，∵|F1M|−|F2M|=2a，∴(x+c)−(c−x)=2a，解得x=a，故内切圆的圆心I与在直线x=2上，故圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为2−1=1故答案为：1．设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，因此|F1M|−|F2M|=2a，设M点坐标为(x,0)，代入即可求得x，可得内切圆的圆心I与在直线x=2上，即可求解．本题考查圆与圆锥曲线的综合与双曲线的简单性质，难点在于“|PF1|−|PF2|=2a⇒|F1M|−|F2M|=2a”的分析与应用，着重考查双曲线的定义与性质的灵活运用，属于难题．17.答案：(1)解：由题意，当n=1时，a1=S1=2，∵S2=a1+a2=2+a2=10，∴a2=8，当n≥2时，由S n=n−1n+1a n+1+2，可得：S n−1=n−2na n+2，两式相减，可得：a n=S n−S n−1=n−1n+1a n+1+2−n−2na n−2，整理，得：a n+1 n+1=2⋅a nn(n≥2,n∈N∗)，∴数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，∴a nn=4⋅2n−2=2n∴a n=n⋅2n(n≥2,n∈N∗)，∵当n=1时，a1=2也满足上式，∴a n=n⋅2n，n∈N∗．(2)证明：由(1)知，b n=a n2n(n+1)!=n⋅2n2n⋅(n+1)!=n(n+1)!=1n!−1(n+1)!，则T n=b1+b2+⋯+b n=1−12!+12!−13!+⋯+1n!−1(n+1)!=1−1(n+1)!<1，∵b n=n(n+1)!>0，n∈N∗，∴由T n构造成的数列{T n}为单调递增数列，∴T n≥T1=12，∴12≤T n<1．解析：本题第(1)题先计算出a1，a2的值，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)，代入进行推导可得数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，通过计算出数列{a nn}的通项公式可得到数列{a n}的通项公式，最后将n=1代入验证最终可得数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n，再根据放缩法和数列的单调性的应用即可证明结论．本题主要考查数列求通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，构造法，裂项相消法求数列前n项和，放缩法，不等式的计算能力，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)设样本容量为x，则x5000×1300=130，解得x=500．∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有5005000×2000=200(人)．∴年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中共有500−200−130=170(人)．设年龄在[50,60)的教师在样本中的人数为y，由题意知，y+(y+10)=170，则y=80．即该市年龄在[50,60]的教师人数为5000500×80=800；(2)由(1)可知，年龄在[20,30]的教师人数为5000−2000−1300−800=900(人)，频率为9005000=0.18；年龄在[30,40]的教师人数为2000(人)，频率为20005000=0.4；年龄在[40,50]的教师人数为1300(人)，频率为13005000=0.26；年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为9005000=0.18．由此作出频率分布直方图：x−=25×0.18+35×0.4+45×0.26+55×0.16=39；s2=(25−39)2×0.18+(35−39)2×0.4+(45−39)2×0.26+(55−39)2×0.16=92．解析：(1)设样本容量为x，由x5000×1300=130解得x，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中的人数，再由题意列式求解；(2)分别求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求该市教师年龄的平均数x−及方差s2．本题考查频率分布直方图，训练了利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，∵△ABC为等腰直角三角形，且二面角B−AD−C为直二面角，∴BD⊥平面ADC，∴AD=BD=CD=2√2，AB=BC=CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，∴EF⊥BC，AF⊥BC，∴∠EFA是二面角A−BC−E的平面角，在△EFA中，AE=√2，AF=√42−22=2√3，EF=√10−4=√6，∴cos∠EFA=EF2+AF2−AE22×EF×AF =1612√2=2√23，∴二面角A−BC−E的余弦值为2√23．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，在三棱锥B−CDE中，S△BCE=12×BC×EF=2√6，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，∴当M为BC中点时，直线DM与平面BCE所成角最大，此时DM=2，由平面几何知识可知，△CDE和△CME都是直角三角形，设N为CE的中点，则ND=NE=NC=NM=12CE=√102，∴三棱锥M−CDE的外接球的半径为R=√102，∴三棱锥M−CDE外接球的体积为：V=43π×(√102)3=5√103π．解析：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，推导出BD⊥平面ADC，AD=BD=CD=2√2，AB=BC= CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，从而EF⊥BC，AF⊥BC，进而∠EFA是二面角A−BC−E 的平面角，由此能求出二面角A−BC−E的余弦值．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成角最大，此时DM =2，同此能求出三棱锥M −CDE 外接球的体积．本题考查二面角的余弦值、三棱锥外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA =PG ，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， ∴GB =12GH =2，∴PG =√x 2+4，又∵PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)； 当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|+1|QT|=QS 2+QT 2QS ⋅QT =2t 12+a 2a (t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，…1分；当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上的单调递减…2分； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√1a =±√aa(舍负)，…3分；当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；…5分(2)证明：由已知，即证0<y <x ． ∵y =ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，∴即证0<lne x −x−112x 2<x …6分①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2，∴ℎ′(x)=e x −1−x ，ℎ″(x)=e x −1， ∵x ∈(0,+∞)，∴ℎ″(x)=e x −1>0，∴ℎ′(x)=e x −1−x 为增函数． ∴ℎ′(x)=e x −1−x >ℎ′(0)=e 0−1=0， ∴ℎ(x)为增函数，∴ℎ(x)=e x−x −1−12x 2>ℎ(0)=0，即e x−x −1>12x 2，即x(e xx −1)−1x(12x+1x)−1>1，∴lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1>0，即y >0，…9分②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，∵s′(x)=e x −1−xe x −12x 2e x ，∴s″(x)=−2xe x −12x 2e x<0，∴s′(x)在(0,+∞)上为减函数， ∴s′(x)<s′(0)=0，∴s(x)在(0,+∞)上为减函数，∴s(x)<s(0)=0， ∴e x−x −1<12x 2e x，即e x −x−112x 2<e x，即y =lne x −x−112x 2<x 成立．由①②可知，0<y <x ，∴0<k <1成立，…12分．解析：(1)由f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，分a ≤0与a >0两类讨论，即可求得函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)由已知，即证0<y <x.由于y =lnx⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e xx −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，即证0<lne x −x−112x 2<x ，①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2；②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，利用导数研究由这两个函数的单调性及函数取值情况，即可证得0<k <1成立．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论、构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，×1×√7=√7．所以四边形PACB面积的最小值为S=2×12解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由3ab=2a+b+2≥2√2ab+2，得ab≥2，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b=3ab−2≥6−2=4，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b的最小值为4．(2)由(1)知a3+b3≥2√a3b3≥4√2，当且仅当2a=b=2，a=b时成立，因为2a=b=2，a=b不同时成立，所以a3+b3>4√2，不存在a，b使a3+b3=4√2成立．解析：根据基本不等式求解ab的值域，然后求解(1)(2)．本题考查基本不等式，属于中等题．。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}1,2,3,5,7A =，{}2,5B =，则A C B =（）A ．{}1,2,7B ．{}1,3,7C ．{}1,2,3D ．{}2,3,7 答案：B根据补集的定义求解.解：因为{}1,2,3,5,7A =，{}2,5B =，所以{}1,3,7A C B =.故选：B点评：本题主要考查补集的定义，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，则复数42i i +=-（） A ．7655i + B ．7655i - C ．7655i -+ D ．7655i -- 答案：A利用复数的乘除运算法则求解.解： 因为()()()()4247676222555i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：A点评：本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．三个数313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 3=b ，133c =之间的大小关系是（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<答案：A利用指数函数和对数函数的性质求解.解： 因为30110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1ln ln103b =<=，301331c =>=， 所以b a c <<.故选：A点评：本题主要考查指数，对数，幂比较大小，还考查了转化求解的能力，属于基础题.4．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为121答案：BA.根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B.根据茎叶图中的数据的波动情况判断C.根据茎叶图中的数据计算即可.D.根据茎叶图中的数据计算即可. 解：由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确；柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B点评：本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 5．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．答案：D将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 解：()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----， 故该图象是由函数1y x x =+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =Q ，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项. 故选：D.点评：本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题.6．6⎛ ⎝的展开式中含65x 项的系数为（） A ．192B ．-192C ．240D ．-240答案：C先得到6⎛ ⎝的展开式的通项公式()726126121r r r r r C T x -+--=，再令752126r -=求解.解：6⎛ ⎝的展开式的通项为(()76261266121rr r r r r r r C x C T ---+⎛=- ⎝=， 令752126r -=，得2r =.故6⎛ ⎝的展开式中含65x 项的系数为()2262621240C --=. 故选：C点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r （）A ．()4,6B ．()4,6--C ．⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭ 答案：B。
江苏省百校大联考2020届高三上学期第一次考试数学试题 含解析
江苏省2020届“百校大联考”高三年级第一次考试数学试卷2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{}12x x -<≤，集合B ＝{}0x x >，则A I (∁U B)＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算解析：因为全集U ＝R ，集合B ＝{}0x x >，则∁U B ＝{}0x x ≤，又因为集合A ＝{}12x x -<≤，所以A I(∁U B)＝(﹣1，0]2．已知复数22i 1iz =++，i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 答案：1 考点：复数 解析：222(1i)22i 2i 2i 2i 1i 1i (1i)(1i)1i z --=+=+=+=+++--．3．函数：lg(1y =的定义域是 ．答案：[0，1) 考点：定义域解析：10x ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以0≤x ＜1．4．执行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：30考点：算法初步，伪代码解析：3＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝305．在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为．答案：13考点：古典概型解析：从甲、乙两个盒子中各取一个小球共有9种情况，其中两个小球颜色相同共有3种情况，则两个小球颜色相同的概率为3÷9＝1．36．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为．答案：4考点：统计（分层抽样）解析：先求得a ＝0.030，24÷[(0.030＋0.020＋0.010)×10]×(0.010×10)＝47．已知圆224x y +=过椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞0，b ＞0)的焦点与短轴端点，则椭圆C的标准方程为 ．答案：22184x y += 考点：椭圆的标准方程解析：由题意可得，2b c ==，所以2228a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=． 8．如右图，在体积为12的三棱锥A —BCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝2MB ，点N 为 CD 的中点，则三棱锥C —AMN 的体积为 ．答案：4考点：棱锥的体积解析：由题意可得V C —AMN ＝13V A —BCD ＝4． 9．已知{}n a 为等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S 且6328a a -=，37S =，则{}n a 的通项公式为 ． 答案：12n n a -=考点：等比数列解析：因为6328a a -=，所以521128a q a q -=①，因为37S =，所以31(1)71a q q -=-②， ①÷②得：3240q q --=，解得q ＝2，11a =所以12n n a -=10．若()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()3f x x x =-+，则()0f x ≥的解集为 ． 答案：(-∞，﹣3]U [0，3] 考点：函数的奇偶性解析：根据数形结合的方法得()0f x ≥的解集为(-∞，﹣3]U [0，3]11．若非零向量a r 与b r满足22a b a b +=+=r r r r ，则a r 与b r的夹角为 ．答案：23π 考点：平面向量的数量积解析：由22a b a b +=+=r r r r ，得212a ba b a ⎧=⎪⎨⋅=-⎪⎩r r r r rcos<a r ，b r >＝221122a a b a b a-⋅==-⋅r r r r r r ，得a r 与b r 的夹角为23π．12．若5cos 26sin()04παα++=，(2πα∈，)π，则sin 2α= ．答案：﹣1考点：三角恒等变换 解析：由5cos 26sin()04παα++=，得(cos sin )[5(cos sin )0αααα+-+=，所以cos sin 0αα+=或cos sin 5αα-=- 得sin 21α=-或725因为(2πα∈，)π，则sin 2α=2sin cos 0αα<，所以sin 21α=-．13．已知函数22(23)320()4ln 20x m x m m x f x x m x x e ⎧+++++≤⎪=⎨+->⎪⎩，，在区间R 上有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为 ． 答案：[﹣1，2) 考点：函数与方程解析：首先22(23)32x m x m m +++++＝0最多两个零点，一个是﹣m ﹣1，﹣m ﹣2；而4ln 2x m x e+-＝0最多也是两个零点，由于原函数在R 上有四个零点，则两个方程在各自的区间分别有两个零点，可得不等式组如下：10240m m e e --≤⎧⎪+⎨<<⎪⎩，解得﹣1≤m ＜2．14．已知正实数x ，y 满足()4xy x y -=，则x y +的最小值为 ．答案：考点：函数与最值解析：()x y +==xy t =，(0, )t ∈+∞ 设24()f t t t =+，38()1f t t '=-，可知t ＝2时，()f t 取最小值为3，所以x y +的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的图像上两个相邻的最高点之间的距离为2π且直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．（1）求()f x 的解析式； （2）若α满足()3()3f f παα=+，求tan 2α．16．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是棱A 1B 1的中点． （1）证明：直线B 1C ∥平面AC 1D ；（2）若AC ＝AA 1，A 1B 1⊥A 1C 1，证明：平面AC 1D ⊥平面A 1B 1C ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>3，点A 1分别为椭圆C 与坐标轴的交点，且AB 5过x 轴上定点E(1，0)的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 为线段MN 的中点．（1）求椭圆C 的方程； （2）求△QAB 面积的最大值．18．（本小题满分16分）某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形ABCD中，BC米．根据国家对农∥AD，AB＝CD，其中渠底BC宽为1米，渠口AD宽为3米，渠深34田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面AB1C1D1仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍．设扩建后渠深为h米，若挖掘费用为每立方米ah2万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰，AB端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米3a万元．（1）用h表示渠底B1C1的长度，并求出h的取值范围；（2）问渠深h为多少米时，建设费用最低？19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，24a =，且满足1136n n n a a S +-+=+(n ≥2)． （1）证明：{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)nn n b t n a =⋅-⋅，0t ≠，若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）在（2）的条件下，设1212()2321n n n nc n N +*+=∈-⋅+，记数列{}n c 的前n 项和为 n T ．若对任意的n ，k N *∈，存在实数λ，使得1n k T b λ+⋅<，求实数λ的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数(1)()ln ()kk f x x x a x x-=-+． （1）当a ＝1时，求1()f x 在1x =处的切线方程；（2）对于任意x ∈[1，+∞)，1()f x ≥0 恒成立，求a 的取值范围；（3）试讨论函数0()()F x f x x =-的极值点的个数．。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|1}A x Z x =∈…，{|(3)0}B x x ln x =+=g ，则(A B =U ) A ．{1-，0，1}B ．{2-，1-，1}C ．{2-，0，1}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）设z 是复数z 的共轭复数，若1z i i =+g ，则(z z =g ) A ．2B ．2C ．1D ．03．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．sin y x x =B ．y xlnx =C ．11x x e y x e -=+gD ．2(1)y xln x x =+-4．（5分）数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，0n a >，234a a +=，3432a a +=，则3(S =)A ．283B ．12C ．383D ．135．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．2C ．83D ．1036．（5分）已知函数2()2cos cos(2)3f x x x π=--，则下列结论正确的个数是( )①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 在区间[0，]3π上单调递增；③函数()f x 在[0，]2π上的最大值为2； ④函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB =u u u r u u u rg( )A ．2-B ．34-C ．54-D．548．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．349．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞10．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．2411C ．2811D ．311．（5分）如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为()A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π12．（5分）已知函数()(0)1x a f x x ax +=>-，若0a =>，则()f x 的取值范围是( ) A．[1-，1)-B．(-，1)- C．[-1)- D．(，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为 ．14．（5分）已知函数3()5f x x x a =-+，直线20x y b ++=与函数()f x 的图象相切，a ，b 为正实数，则a b +的值为 ．15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为 ． 16．（5分）1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点．过2F 作直线l x ⊥轴，交双曲线C 于M 、N 两点，若1MF N ∠为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，22a b bc =+，且sin tan cos 1C B C +=．（1）求角A ；（2）2b =，P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0AP CP =u u u r u u u rg，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时APC ∆的面积S ．18．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量80>销售量80„总计 A 电商平台 B 电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．（12分）如图①，平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3ABC ∠=，E 为CD 中点．将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P ABCE -． （1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20．（12分）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数1()f x ax x=+，()1x e g x x =-．（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若对任意的(0,)x ∈+∞，()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]。
【数学】河南省百校联盟2020届高三9月联合检测 数学(理)(PDF版)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合
M＝{x｜x2－3x－4＜0}，N＝{
x
｜
1 3－x
＞0
}，则
M∩N
等于
A．{x｜－4＜x＜3}
B．{x｜－1＜x＜3}
C．{x｜3＜x＜4}
D．{x｜1＜x＜3}
2．设复数
z
满足
若冬至的日影长为 13．5 尺，现在我们用如图所示的程序框图来
求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果
是
A．94 尺
B．95 尺
C．96 尺
D．97 尺
9．在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥BC，E，F 分别为棱
PB，PC 的中点，过 E，F 的平面分别与棱 AB，AC 相交于点 D，
（1）求角 B 的大小；
3 sin B－2 cos2 A＋C ＝0 ． 2
（2）若 sin2B＝2sinAsinC，且△ABC 的面积为 4 3 ，求△ABC 的周长．
19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝1，且 AB⊥AC，点 M 在棱 CC1 上，
z z＋2
＝i
，则
z＋2
在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 3．已知 a＝log26，b＝log53，c＝20．8，则
A．b＜a＜c
D．第四象限 B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．2019 年 7 月 1 日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、
2020年百校联盟top20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(全国ii卷)
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷（文科）（3月份）（全国II 卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设U R =，集合{|10}A x x =-…，则(U A =ð ) A ．{|1}x x „B ．{|1}x x <C ．{|1}x x …D ．{|1}x x >2．（5分）(12)(2)(i i -+= ) A ．43i -B ．43i +C ．43i --D ．43i -+3．（5分）下列函数中为偶函数的是( ) A ．||y lnx =B ．22y x x =-C ．2y x=D ．||()2x f x =4．（5分）已知双曲线22:13y C x -=，F 为双曲线C 的右焦点，过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M ．则||(FM = ) A ．23B ．3C ．22D ．45．（5分）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为( )A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 6．（5分）在边长为45的概率是( ) A ．16B ．15C ．14D ．127．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的圆心角为34π，半径为1，P是¶AB上一点，其横坐标为223，则sin(BOP∠=)A．2B．3C．42+D．32+8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2019，则输出S的值为() A．3B．43C．12D．2-9．（5分）设α，(0,)2πβ∈，sin cos3sin cosαββα=，则αβ-的最大值为()A．12πB．6πC．4πD．3π10．（5分）设x，y满足不等式组2x yy x ay+⎧⎪+⎨⎪⎩ggg„„…且4yx+的最大值为12，则实数a的值为() A．1B．2C．3D．411．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，点A、B是椭圆C上关于原点O对称的两个点，且||||AO AF=，0FA FB=u u u r u u u rg．则椭圆C的离心率为() A31B．23-C2D212．（5分）若函数()x f x alnx e =-有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,)e -+∞B ．(1,)eC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知非零向量(2,)a x y =r ，(1,2)b =-r ，且//a b r r ，则x y= ．14．（5分）甲、乙，丙、丁4人站在一栋房子前g 甲说：“我没进过房子“：乙说：“丙进去过“：丙说：“丁进去过“：丁说：“我没进过房子“．这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话．则进过这栋房子的人是 ．15．（5分）已知高为25的直三棱柱ABC 一111A B C ，的各个顶点都在同一球面上，若24AB BC ==，60ABC ∠=︒．则球的体积为 ．16．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos cos )b c a B C +=+．若ABC ∆的周长的最大值为442+，则a = ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*211,21(3n n n a a a n N a +==+∈且2)n …．（Ⅰ）证明：1{}na 为等差数列： （Ⅱ）求数列3{}nna 的前n 项和n T ．18．（12分）如图．直三棱柱111ABC A B C -，12AA =，底面是边长为1的等边三角形，D 为1BB 的中点，1AC 与1CA 交于点E ． （Ⅰ）证明：//DE 平面111A B C ； （Ⅱ）求点B 到平面1DCA 的距离．19．（12分）2019年第一期中国青年阅读指数数据显示，从阅读需求的角度，排名前三的阅读领域分别为文学、哲学及社会科学和历史．某学校从文科生和理科生中选取了经常阅读的学生进行了假期阅读内容和阅读时间方面的调查，得到以下数据． 学生所学文理与阅读内容列联表文学阅读人数非文学阅读人数调查人数 理科生 70 130 200 文科生 45 55 100 合计115185300（Ⅰ）判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？（Ⅱ）从阅读时间大于30分钟的被调查同学中随机选取30名学生，其阅读时间（分钟）整理成如图所示的茎叶图，并绘制日均阅读时间分布表； 其中30名同学的日均阅读时间分布表（单位：分钟）阅读时间 [30，60)[60，90) [90，120)男生人数 4 y2 女生人数x102求出x ，y 的值，并根据日均时间分布表，估计这30名同学日阅读时间的平均值； （Ⅲ）从（Ⅱ）中日均阅读时间高于90分钟的同学中随机选取2人介绍阅读体会，求这2人性别相同的概率．参考公式22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据： 0()P K k … 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.82820．（12分）已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y kx =+与抛物线交于A 、B 两点．（Ⅰ）若12k =，求以AB 为直径的圆被x 轴所截得的弦长； （Ⅱ）分别过点A ，B 作抛物线C 的切线，两条切线交于点E ，求EAB ∆面积的最小值． 21．（12分）已知函数2()f x x lnx =． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性：（Ⅱ）证明：23()4x x f x e <+．请考生从第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:2C ρ=与x 轴的正、负半轴分别交于A ，B 两点．（Ⅰ）P 为1C 上的动点．求线段AP 中点的轨迹2C 的直角坐标方程：（Ⅱ）直线l 与2C 分别交于点M ，N ，且M 在N 的左侧，BMO ∆的面积是NMO ∆面积的2倍．求tan α的值． 【选修4-5：不等式选讲】 23．已知函数2()||f x x a x =--．（Ⅰ）若1a =．求不等式()1f x …的解集； （Ⅱ）若不等式2()2(1)f x x <-至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷（文科）（3月份）（全国II 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设U R =，集合{|10}A x x =-…，则(U A =ð ) A ．{|1}x x „B ．{|1}x x <C ．{|1}x x …D ．{|1}x x >【解答】解：{|1}A x x =…，U R =， {|1}U A x x ∴=<ð． 故选：B ．2．（5分）(12)(2)(i i -+= ) A ．43i -B ．43i +C ．43i --D ．43i -+【解答】解：(12)(2)24243i i i i i -+=+-+=-． 故选：A ．3．（5分）下列函数中为偶函数的是( ) A ．||y lnx =B ．22y x x =-C ．2y x=D ．||()2x f x =【解答】解：A ．函数的定义域为(0,)+∞，函数为非奇非偶函数B ．函数的对称轴为1x =，为非奇非偶函数C ．函数为奇函数，不满足条件．D ．||||()22()x x f x f x --===，函数为偶函数，满足条件，故选：D ．4．（5分）已知双曲线22:13y C x -=，F 为双曲线C 的右焦点，过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M ．则||(FM = )A ．BC ．D ．4【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：y =，则过点F 作与渐近线垂直的直线为：2)y x =-，所以它们的交点(1,3)M -，(2,0)F ，所以||23FM =．故选：A ．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．则该几何体的体积为( )A ．3πB ．23π C ．π D ．43π 【解答】解：由三视图还原原几何体， 可知该几何体为圆柱内部去掉一个圆锥， 圆柱的体积为2π，圆锥的体积为23π， 则该几何体的体积为24233V πππ=-=． 故选：D ．6．（5分）在边长为45的概率是( ) A ．16B ．15C ．14D ．12【解答】解：如图：作OC AB ⊥与C ；2222(5)21CD OD OC =-=-=；故该点到正方形中心的距离小于5的概率是：212CD AB =； 故选：D ．7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，扇形AOB 的圆心角为34π，半径为1，P 是¶AB 上一点，其横坐标为22，则sin (BOP ∠= )A 2B 3C 42+ D 32+ 【解答】解：由题意知，点22(P ，1)3， 根据三角函数的定义知，1sin 3POA ∠=，22cos POA ∠=， 所以3sin sin()4BOP POA π∠=-∠ 33sin cos cos sin 44POA POA ππ=∠-∠ 22221(3=⨯ 426+=． 故选：C ．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2019，则输出S 的值为( )A ．3B ．43C ．12D ．2-【解答】解：程序运行如下： 3S =，1k =；43S =，2k =； 12S =，3k =； 2S =-，4k =；3S =，5k =；⋯⋯ 此程序的S 值4个一循环，输入a 的值为2019，则当2020k =时跳出循环，20204505=⨯，故输出S 的值为2-． 故选：D ．9．（5分）设α，(0,)2πβ∈，sin cos 3sin cos αββα=，则αβ-的最大值为( )A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【解答】解：由sin cos 3sin cos αββα=可得tan 3tan αβ=， αQ ，(0,)2πβ∈，所以2tan tan 2tan 23tan()3tan 11tan tan 1313tan 23tan tan tan tan αββαβαββββββ--====+++g…， 当且仅当13tan tan ββ=即3tan β=，tan 3α=时取等号，此时αβ-取得最大值6π． 故选：B ．10．（5分）设x ，y 满足不等式组20x y y x a y +⎧⎪+⎨⎪⎩gg g „„…且4y x +的最大值为12，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知2a -…，4yx +的几何意义是可行域内的点与(4,0)Q -连线的斜率， 直线20x y +-=与直线y x a =+的交点为(12a A -，1)2a +， 当12a x =-，12a y =+时，4y x +的最大值为12，解得2a =，所以实数a 的值为2． 故选：B ．11．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点A 、B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点，且||||AO AF =，0FA FB =u u u r u u u rg ．则椭圆C 的离心率为( )A 31B ．23-C 2D 2 【解答】解：因为0FA FB =u u u r u u u rg ，所以90AFB ∠=︒，因为||||AO AF =，所以||2||AB AF =，故30ABF ∠=︒，设椭圆的左焦点为1F ，由椭圆的性质可得，四边形1AF BF 为矩形，且130AF F ABF ∠=∠=︒，1||3AF c =，||AF c =， 由题意的定义12||||2AF AF a +=32c c a +=， 所以离心率3131c e a ===+， 故选：A ．12．（5分）若函数()x f x alnx e =-有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,)e -+∞B ．(1,)eC ．(1,)+∞D ．(0,)+∞【解答】解：Q 函数()x f x alnx e =-，(0,)x ∈+∞， ()x af x e x'∴=-， ①当0a …时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，无极值点， ②当0a >时，根据ay x=与x y e =的图象，如图所示： ，设两个函数在第一象限的交点的横坐标为0x ，当0(0,)x x ∈时，x ae x >，()0f x '>，函数()f x 在区间0(0,)x 上单调递增；当0(x x ∈，)+∞时，x ae x<，()0f x '<，∴函数()f x 在0(x ，)+∞上单调递减， 所以当0a >时，函数()f x 有一个极大值点， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知非零向量(2,)a x y =r ，(1,2)b =-r ，且//a b r r ，则x y = 14- ．【解答】解：由(2,)a x y =r ，(1,2)b =-r ，且//a b rr ， 所以2(2)10x y --=g g ， 所以14x y =-． 故答案为：14-．14．（5分）甲、乙，丙、丁4人站在一栋房子前g 甲说：“我没进过房子“：乙说：“丙进去过“：丙说：“丁进去过“：丁说：“我没进过房子“．这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话．则进过这栋房子的人是 甲 ．【解答】解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的假话，故甲是进过房子的那个人． 故答案为：甲．15．（5分）已知高为ABC 一111A B C ，的各个顶点都在同一球面上，若24AB BC ==，60ABC ∠=︒．则球的体积为 36π ．【解答】解：因为24AB BC ==，60ABC ∠=︒．所以90ACB ∠=︒，ABC ∆外接圆半径为2，则球的半径3R =，球的体积34363R V ππ==．故答案为：36π16．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos cos )b c a B C +=+．若ABC ∆的周长的最大值为4+，则a = 4 ．【解答】解：因为(cos cos )b c a B C +=+，由正弦定理可得，sin sin sin cos sin cos B C A B A C +=+，所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos A C C A A B B A A B A C +++=+， 即cos (sin sin )0A B C +=， 所以cos 0A =，即2A π=，故cos sin [1)]4a b c a a B a B a B π++=++=+，当4B π=时，a b c ++取得最大值(14(1a +=，所以4a =． 故答案为：4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*211,21(3n n n aa a n N a +==+∈且2)n …．（Ⅰ）证明：1{}na 为等差数列： （Ⅱ）求数列3{}nna 的前n 项和n T ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由121nn n a a a +=+，可得112n n n n a a a a ++=+， 即112n n n n a a a a ++-=． 两边同时除以1n n a a +，可得 1112(2)n nn a a +-=…． Q2111312a a -=-=，也满足上式． ∴数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，112(1)21nn n a =+-=-， 则3(21)3nn nn a =-g． 21333(21)3n n T n ∴=⨯+⨯+⋯+-g ，23131333(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-+-g g ， 两式相减，可得23123232323(21)3n n n T n +-=+⨯+⨯+⋯+--g g ， 221318(1333)(21)3n n n -+=+⨯+++⋯+--g1113318(21)313n n n -+-=+⨯---g12(1)36n n +=--g ． 1(1)33n n T n +∴=-+g ．18．（12分）如图．直三棱柱111ABC A B C -，12AA =，底面是边长为1的等边三角形，D 为1BB 的中点，1AC 与1CA 交于点E ． （Ⅰ）证明：//DE 平面111A B C ； （Ⅱ）求点B 到平面1DCA 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取11A C 的中点F ，连接EF ，1B F ， 1//EF AA Q ，11//BB AA ，1//DB EF ∴，又1112EF DB AA ==Q ，∴四边形1DEFB 为平行四边形，则1//DE B F ． 又1B F ⊂Q 平面111A B C ，DE ⊂/平面111A B C ． //DE ∴平面111A B C ；（Ⅱ）解：取AB 的中点H ，连接CH ， 由直三棱柱的性质可得CH ⊥平面11AA B B ，3CH =，124BDA S =V ． 设点B 到平面1DCA 的距离为h ，又134DCA S =V ， 由11B DCA C BDA V V --=，得111133DCA BDA S h S CH =V V g g ，即13123343h ⨯=⨯⨯，解得6h =．19．（12分）2019年第一期中国青年阅读指数数据显示，从阅读需求的角度，排名前三的阅读领域分别为文学、哲学及社会科学和历史．某学校从文科生和理科生中选取了经常阅读的学生进行了假期阅读内容和阅读时间方面的调查，得到以下数据． 学生所学文理与阅读内容列联表文学阅读人数非文学阅读人数调查人数 理科生 70 130 200 文科生 45 55 100 合计115185300（Ⅰ）判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？（Ⅱ）从阅读时间大于30分钟的被调查同学中随机选取30名学生，其阅读时间（分钟）整理成如图所示的茎叶图，并绘制日均阅读时间分布表； 其中30名同学的日均阅读时间分布表（单位：分钟）阅读时间 [30，60)[60，90) [90，120)男生人数 4 y2 女生人数x102求出x ，y 的值，并根据日均时间分布表，估计这30名同学日阅读时间的平均值； （Ⅲ）从（Ⅱ）中日均阅读时间高于90分钟的同学中随机选取2人介绍阅读体会，求这2人性别相同的概率．参考公式22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据： 0()P K k … 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828【解答】解：（Ⅰ）22300(705513045) 2.820 2.706200100115185K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关． （Ⅱ）由茎叶图可知，6x =，6y =， 各组数据的频数分别为10，16，4， 则30名同学日阅读时间的平均值为10164457510569303030⨯+⨯+⨯=， 故这30名同学日阅读时间的平均值为69分钟．（Ⅲ）记“这两人性别相同”为事件A ，日均阅读时间高于90分钟的4人中，男生2人记为A ，B ，女生2人记为a ，b ，从4人中任选2人的基本事件有：{A ，}B ，{A ，}a ，{A ，}b ，{B ，}a ，{B ，}b ，{a ，}b ，共6个基本事件，事件A 有{A ，}B ，{a ，}b ，共2个基本事件，所以21()63P A ==． 故这2人性别相同的概率为13．20．（12分）已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y kx =+与抛物线交于A 、B 两点． （Ⅰ）若12k =，求以AB 为直径的圆被x 轴所截得的弦长； （Ⅱ）分别过点A ，B 作抛物线C 的切线，两条切线交于点E ，求EAB ∆面积的最小值． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线1y kx =+和抛物线的方程24x y =，可得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-，（Ⅰ）若12k =，122x x +=，可得12123y y +=+=，||5AB =，设AB 的中点为M ，3(1,)2M ，所以以AB 为直径的圆被x 轴所截得的弦长为4m ==；（Ⅱ）对24x y =求导，可得2xy '=，可得12AE x k =，直线AE 的方程为11(1)2x y y x -=-，即21124x x y x =-， 同理可得直线BE 的方程为22224x x y x =-，设0(E x ，0)y ，联立直线AE ，BE 的方程，可得12022x x x k +==，12012x x y ==-，即(2,1)E k -，E 到直线AB 的距离2d ==，2||4(1)AB k ==+，所以322211||4(1)4(1)422ABES AB d k k ∆==⨯+⨯=+…，当且仅当0k =时取得等号， 综上可得，ABE ∆的面积的最小值为4． 21．（12分）已知函数2()f x x lnx =． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性：（Ⅱ）证明：23()4x x f x e <+．【解答】解：()()2I f x xlnx x '=+，0x >， 令()0f x '=可得12x e-=，21y lnx =+Q 在(0,)+∞上单调递增，则当120x e -<<时，()0f x '<，函数单调递减，当12x e->时，()0f x '>，函数单调递增，故()f x 在12(0,)e -上单调递减，在12(e -，)+∞上单调递增，()II 由()I 可知，121()()2min f x f e e-==-， 令23()4x x g x e =-，则(2)()xx x g x e -'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 则()max g x g =（2）2434e =-， 而22431(83)(2)()0424e e e e e -+---=<， 因此2221433244x x x lnx e e e ->--厖，即：23()4x x f x e <+． 请考生从第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:2C ρ=与x 轴的正、负半轴分别交于A ，B 两点．（Ⅰ）P 为1C 上的动点．求线段AP 中点的轨迹2C 的直角坐标方程：（Ⅱ）直线l 与2C 分别交于点M ，N ，且M 在N 的左侧，BMO ∆的面积是NMO ∆面积的2倍．求tan α的值．【解答】解：（Ⅰ）设AP 的中点为C ，OA 的中点的坐标为D ， 所以1||||12DC OP ==， 所以点C 的轨迹为以(1,0)D 为圆心，1为半径的圆． 所以轨迹方程为2220x y x +-=．（Ⅱ）把直线l 的参数方程是2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），代入2220x y x +-=，得到26cos 80t t α-+=，其中(2,0)B -， 所以126cos t t α+=，128t t =， 由于2BMO MNO S S ∆∆=，所以2BM MN =u u u u r u u u u r，2132t t =，所以1212216cos 832t t t t t t α⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得225cos 27α=，22sin 27α=， 所以22tan 25α=，解得tan α=．【选修4-5：不等式选讲】 23．已知函数2()||f x x a x =--．（Ⅰ）若1a =．求不等式()1f x …的解集； （Ⅱ）若不等式2()2(1)f x x <-至少有一个负数解，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，2()|1|f x x x =--． ()1f x Q …，∴2111x x x ⎧⎨--⎩……或2111x x x <⎧⎨-+-⎩…，10x ∴-剟，∴不等式的解集为{|10}x x -剟．（Ⅱ）2()2(1)f x x <-，即22||2(1)x a x x --<-，2||2x a x ∴-<-． 设()||g x x a =-，2()2h x x =-， 当0a <时，()g x 的图象如折线①所示， 由22y x a y x=-⎧⎨=-⎩，得220x x a +--=， 若y x a =-与22y x =-相切，则△14(2)0a =++=，∴94a =-，∴当94a -„时，不等式无负数解，∴904a -<<；当0a =时，显然满足不等式2()2(1)f x x <-至少有一个负数解； 当0a >时，()g x 的图象如折线②所示，当2a =时，恰好无负数解， 当2a …时，不等式无负数解，02a ∴<<， 综上，实数a 的取值范围为9(,2)4-．。