第三章线性系统状态方程的解
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第三章 系统的分析——状态方程的解
§3-1线性连续定常齐次方程求解
一、齐次方程和状态转移矩阵的定义
１、齐次方程
状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：
)()(t Ax t x
= 线性定常连续系统：
Ax x
= 初始条件：00x x t ==
２、状态转移矩阵的定义
齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为
)0()(x e t x At ⋅=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：
At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)
(0
0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解
设Ax x
= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)(
式中 ，，，
，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t ===
为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x
= ，得：
+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x
)(2210 +++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00
3
230
21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K
且有：00x b =
故以上系数完全确定，所以有：
+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(
++++
+=k k t b A k t b A t Ab b 020200!
1
!21
)0()!
1!21(22x t A k t A At I k
k +++++=
定义（矩阵指数或矩阵函数）：
∑∞==+++++=022!
1!1!21K k
k k k At
t
A k t A k t A At I e
则
)0()(x e t x At
⋅=。
（２）拉氏变换解法
将Ax x
= 两端取拉氏变换，有
)()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =-
)0()()(1X A sI s X ⋅-=-
拉氏反变换，有
)0(])[()(1
1x A sI L t x ⋅-=--
则由微分方程解的唯一性可知：
])[()(1
1---==A sI L e
t At
φ
【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵
和状态方程的解。
解：（１）求状态转移矩阵
++++
+==k k At t A k t A At I e t !
1
!21)(22φ 此题中： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡====000032n
A A A 所以
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=+==1010001001)(t t At I e t At φ （２）状态方程的解 )0(101)0()(x t x e t x At
⋅⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⋅=
【例 3.1.2】 已知系统状态方程为x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
，初始条件为)0(x ，试求状态方程的
解。
解：
)0()(x e t x At
⋅= ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=-3213210
00s s s s A sI ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++
+-++
+-+-
++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--22112
21221112112213)2)(1(1
)
(1
s s s s s s s s s s s s A sI ∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-==----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e
t 222211
2222])[()(φ
故而
)0(2222)0()(2222x e e e e e e e e x e t x t t t
t t t t
t At ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+-+---=⋅=-------- 二、状态转移矩阵At e 的性质
+++++==k
k At
t A k t A At I e
t !
1!21)(22φ （1）I =)0(φ
（2）A t t A t )()()(φφφ==
A =)0(φ
（3）
)()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=±
证明：)()()()()(1221)()()
(212121t t t t e e e t t t A t A t t A φφφφφ±=±=⋅==±±±
（4）)()(1t t -=-φφ，
)()(1t t φφ=-- 证明：)()()()()()0(1
t t I t t t t -=⇒=-=-=-φφφφφφ
（5）
)()()(00t x t t t x -=φ
证明：
)0()()(x t t x φ=
)()()0()0()()
(00100t x t x x t t x ⋅=⇒=-φφ，代入上式
∴
)()()()()()(00001
t x t t t x t t t x -=⋅=-φφφ 证毕。
（6）
)()()(011202t t t t t t --=-φφφ
证明：)()()(0022t x t t t x -=φ………………………. …………………(1) )()()(0011t x t t t x -=φ……………………………………………(2) )()()()()()(001121122t x t t t t t x t t t x --=-=φφφ…………….(3) 比较（1）、(3)式，有)()()(011202t t t t t t --=-φφφ成立。证毕。