理解锐角三角函数的定义

合集下载

锐角三角函数知识梳理

锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。

解读锐角三角函数

解读锐角三角函数锐角三角函数是介于0到90度之间的角的三角函数。

它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

锐角三角函数的定义如下：- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以斜边得到的比值。

- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，其中一锐角的邻边除以斜边得到的比值。

- 正切函数（tan）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以邻边得到的比值。

正弦函数的值在0到1之间变化，其中sin(0) = 0，sin(90) = 1、余弦函数的值也在0到1之间变化，其中cos(0) = 1，cos(90) = 0。

正切函数的值在负无穷到正无穷之间变化，其中tan(0) = 0，tan(90) = 无穷。

锐角三角函数在几何学中的应用非常广泛。

它们可以用来计算三角形的边长和角度，求解直角三角形以及一般三角形的问题。

例如，知道一个直角三角形的一条边和一个锐角，可以利用锐角三角函数来计算其他边的长度。

此外，锐角三角函数还可以用来计算三角形的面积和高度等问题。

锐角三角函数在物理学中也有重要的应用。

例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来分解复杂的力或速度矢量，并求解它们的分量。

在电工学中，正弦函数和余弦函数可以用来表示交流电的电压和电流。

在波动学中，正弦函数可以描述声波和光波的传播过程。

此外，锐角三角函数还出现在信号处理、图像处理和计算机图形学中。

它们可以用来模拟和处理信号、图像和曲线，从而实现音频和视频的压缩、滤波和变换等技术。

总之，锐角三角函数在数学和物理学等领域中是非常重要的。

它们的应用范围广泛，不仅可以用来解决数学和几何学问题，还可以用来研究自然科学和工程领域的现象和问题。

熟练掌握和理解锐角三角函数的特性和应用，对于学习和研究这些领域都具有重要意义。

锐角三角函数sin cos tan

锐角三角函数sin cos tan
我们要讨论锐角三角函数，包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。

首先，我们需要理解这些函数的基本定义和性质。

锐角三角函数是定义在锐角上的函数，这些函数与三角形的边和角有关。

1. 正弦（sin）: 正弦函数是定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。

2. 余弦（cos）: 余弦函数是定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。

3. 正切（tan）: 正切函数是定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。

这些函数有一些重要的性质，例如：
1. 它们的值都在-1到1之间，这是因为在一个锐角三角形中，对边和邻边
的长度永远不会超过斜边的长度。

2. 正弦、余弦和正切函数在锐角范围内是单调的，这意味着随着角度的增加，它们的值也会增加。

3. 正弦和余弦函数在45度时相等（sin(45°) = cos(45°)），这是因为在一
个等腰直角三角形中，对边和邻边的长度是相等的。

4. 正切函数是无界的，这意味着随着角度的增加，正切函数的值可以无限增加或无限减少。

这些性质对于理解锐角三角函数非常重要，它们可以帮助我们解决各种与三角学相关的问题。

锐角三角函数

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

解答锐角三角函数问题容易犯的错误

数学篇数苑纵横在求解锐角三角函数问题时，有的同学由于对锐角三角函数的概念理解不清，或运用锐角三角函数定义时忽略了直角三角形这个前提条件，或在解题时考虑问题不全面，忽视了要进行分类讨论，从而走入了解题的误区.为了避免同学们也犯相同的错误，现对解三角函数问题中的常见错误进行归纳并分析.一、对锐角三角函数概念理解不清锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为因变量的函数.它的概念是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度的比.因此锐角三角函数只是一个比值(数值)，它的值与角的大小有关，与三角形边的长度无关.很多同学由于对该概念的本质没有理解透彻，误把“无关”当“有关”.例1在Rt△ABC 中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A 的三角函数值（）.A.都扩大3倍B.都扩大4倍C.不能确定D.没有变化错解：A.错因分析：三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边，直角边与直角边的比值不变.产生错解的原因就在于没有真正理解三角函数的概念.正解：D.点拨：锐角三角函数反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，当一个锐角大小不变时，其函数值是固定的.二、忽视运用锐角三角函数定义的前提解决任何问题都必须具备一定的条件背景，解答锐角三角函数问题的前提就是必须在直角三角形中.只要题目条件中没有直角条件的，要么证出直角，要么添加辅助线构造直角，然后再根据锐角三角函数的定义进行求解.有的同学没有构造直角三角形求解锐角三角函数问题的意识和习惯，直接运用三角函数的定义解题就会出错.例2在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边为a ，b ，c ，且a :b :c =3:4:5.试证明sin A +sin B =75．错解：设a =3k ，b =4k ，c =5k ，则sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．错因分析：本题中没有说明∠C =90∘，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先说明△ABC 为直角三角形，且∠C =90∘后才能用定义解题．正解：设a =3k ，b =4k ，c =5k (k >0)，因为a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，所以△ABC 是以c 为斜边的直角三角形.所以sin A =a c =3k 5k =35，sin B =b c =4k 5k =45.所以sin A +sin B =35+45=75．例3在等腰三角形ABC 中，AB =AC =5，BC =6.求sin B 、cos B 、tan B .错解:∵a =6，b =5，c =5，∴sin B =b c =55=1，cos B =a c =65，tan B =b a =56.错因分析：错解忽视了用边比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中，显然△ABC 不是直角三角形，故上述解法错误.正确解法应把∠B 放到直角三角形中求解函数值.正解：如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，则解答锐角三角函数问题容易犯的错误江西高安夏宇23数学篇数苑纵横BD =3，∵AB =5，∴AD =AB 2-BD 2=4,∴sin B =AD AB =45，cos B =BD AB =35，tan B =AD BD =43.点拨：锐角三角函数是在直角三角形中定义的.锐角三角函数与锐角在的直角三角形有关，而与锐角作为内角所在的三角形无关，因此必须先构造直角三角形，再求值.三、考虑问题不全面导致漏解锐角三角函数的定义揭示了直角三角形中的锐角与三边之间的关系，因此，我们会遇到一些边、角、点、形等条件不明确，存在多解情况的问题.这个时候就需要采取分类讨论的方法，以保证解题的完整性与准确性.如果同学们思考不细致，思维不严谨，就会出现漏解的情况.例4在ΔABC 中，AB =122，AC =13，cos ∠B，则BC 边长为（）.A.7 B.17 C.8或17D.7或17错解：作AD ⊥BC 于点D ，如图2，∵cos ∠B 2，∴∠B =45°，∵AB =122，∴AD =BD =12，又∵AC =13，∴CD =5，∴BC =BD +CD =12+5=17，故选B.图2错因分析：错解认为高AD 一定在三角形的内部.其实△ABC 不一定是锐角三角形，应分两种情况:(1)高AD 在△ABC 内部；(2)高AD 在△ABC 外部.错解忽视了第二种情况.正解：∵cos ∠B ，∴∠B =45°，当ΔABC 为钝角三角形时，如图3，∵AB =122，∠B =45°，∴AD =BD =12，∵AC =13，∴由勾股定理得CD =5，∴BC =BD -CD =12-5=7；当ΔABC 为锐角三角形时，如图2，BC =BD +CD =12+5=17，故选D ．例5Rt△ABC 的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.错解：因为6和8是直角三角形的两边，所以斜边是10，所以最小角的正弦值是610，也就是35.错因分析：已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：（1）6和8是两条直角边，（2）6是直角边，8是斜边.错解忽视了第二种情况.正解：当6和8是直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值35；当6是直角边，8是斜边时，另一直角边是82-62=2727，所以最小角的正弦值为=.综上可知，最小角的正弦值为35或.点拨：对于没有明确三角形高的位置的问题，要注意对高的位置进行分类讨论；在直角三角形中没有说明已知的边是直角边或斜边的情况下，要分这两边是直角边及所给的长边是斜边两种情况来讨论.解答锐角三角函数问题易出现的错误除了以上几种情况外，可能还会出现其他的情况.希望同学们正确理解三角函数的概念，把握运用三角形函数定义的前提条件以及可能存在的多种情况，避免出现解题错误.图1图324。

锐角的三角比_知识讲解

锐角的三角比知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系〞及“锐角三角函数值随角度变化的规律〞.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA b AA a∠==∠的邻边的对边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边；cotB aBB b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA，cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A•不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A，cot与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠〞，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF〞，不能写成“tanAEF〞；另外，、、、2cot A（）常写成、、、2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值锐角 cot α 30° 45° 1 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：假设，那么锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如下图，在Rt △ABC 中，∠C=90°． (1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商的关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切、余切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴222213512AC AB BC --=．∴5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==，12cot 5AC A BC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==，5cot 12BC B AC ==．【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，假设a=3，b=4，那么c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c=5，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求以下各式的值：(1)sin30°-2cos60°+cot45°； (2)tan30sin30cot45tan60••°°°°；(3)11(1|1sin30|2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】(1)原式11121222 =-⨯+=；(2)原式116 ==；(3)原式115 11212222 =--+=-+=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进展化简．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，假设∠A=45°，那么∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B =45°，sinA =22，cosA =22，sinB =22，cosB =22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角； (2)求锐角．【答案与解析】(1)先将方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如下图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，假设弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACP ＝90°，又∵∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴△PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PCAPC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解以下问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值围是_______．(3)如图1②，sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴10sadA BD AD ==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，那么sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，那么sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

锐角三角函数的定义第1课时说课稿

《28.1锐角三角函数的定义》第1课时说课稿
（一）教学目标：
1、理解锐角三角函数的意义，并能根据概念正确进行计算.
2、培养学生从感性认知到理性证明，由特殊到一般的演绎推理能力.
3、培养学生独立思考、讲解展示、合作交流的能力.
（二）教学重点、难点：
重点：理解认识锐角三角函数概念，能用锐角三角函数概念进行简单的计算.
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意给定锐角，它的边的比值是固定值.
突出重点、突破难点的策略：从特殊角性质入手，猜想任意锐角的边是否也有固定比值，结合几何画板直观演示，借助相似知识证明结果，配合由浅入深的练习，正练反练变形练，使学生不但知道对任意给定锐角，它的边的比值是固定值，而且加以论证并会运用. （三）教学过程
感谢您百忙之中的聆听，您的悉心指导是我教育教学进步的源泉！。

锐角三角函数—知识讲解

锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值Ca b c利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴ 222213512AC AB BC =-=-=．∴ 5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==．【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°； (3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】Ca bc解：（1）原式==122-．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA 5BD AD ==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

锐角三角函数的定义

BC AB AC
① B 'C ' BC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的对边与斜边的比是一个定
AB ' AB 值；
② AC ' AC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的邻边与斜边的比是一个定
AB ' AB 值；
③ B 'C ' BC ，在 RtABC C 90 ，当 A 确定时，它的对边与邻边的比仍然是一
【答案】 1 【解析】原式 sin 53 sin 53 cos53 s cos53 sin2 53 cos2 53 1． 13、（2014 中考丰台二模）如图，将一副三角板按图中方式叠放， BC 4 ，那么 BD __________
【答案】
第 10 页，共 26 页
锐角三角函数
30° 【解析】 ∵ sin 60 co（ s 90 60）， ∴ cos co（ s 90 60） cos30 ，即锐角 30 ．
12、 sin 53cos37 cos53sin 37 _________
AC 5 5 故选 C． 2、（2014 初三上期末通州区）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个
第 5 页，共 26 页
锐角三角函数
顶点均在格点上，E 为 BC 中点，则 sin AEB 的值是（）
A． 5 5
B． 3 4
C． 3 5
D． 4 5
【答案】 D 【解析】该题考查的是三角函数的定义．
锐角的正弦和正切随角度的增大而增大，锐角的余弦随角度的增大而减小．四、三角恒等式
①若 A 与 B 互余：则 sin A cos B ， tan A 1 ． tan B

什么叫做锐角三角函数

y
其余为负
o
三角函数全为正
x
正切为正其余为负
余弦为正
其余为负
x y r y
x y
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
比值叫做的余切比值叫做的正割比值叫做的余割记作： r 记作：
x
cot
sec
r y
r x
记作：
csc
例3．（课本第18页）确定下列各三角函数值的符号： ①cos250 ② 4 4．诱导公式一角是“任意角”，当 =2k+(kZ) 时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。即：诱导公式一 sin(+2k)=sin cos(+2k)=cos tan(+2k)=tan, csc(+2k)=csc, sec(+2k)=sec cot(+2k)=cot 例4．（课本第19页）求下列各三角函数值： 7 9 (1) sin11500 (2) cos (3) tg( )
复习:
什么叫做锐角三角函数（即直角三角形中的三角函数）？以锐角为自变量，以比值为函数值的函数叫做锐角三角函数。 y
设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P，则这一点的坐标就确定了设为P(x,y)，P与原点的距离 r x 2 y 2 0 a的终边
r
o
③tg(-67210’) ④
11 ctg 3
6 诱导公式（一）的作用：能把任意角的三角函数化为 0~360 （或 0~2 ）间的角的三角函数。其方法是先在 0~360 （或 0~2 ）内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一），然后得出结果。
P( x，y ) P( x，y )

第二十八章《锐角三角函数》教材分析(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及其在直角三角形中的应用是本节课的核心内容。重点讲解三个函数的概念，使学生理解并掌握其在直角三角形中的表示方法。
举例：在直角三角形中，当锐角A的对边为a，邻边为b，斜边为c时，正弦（sin）为a/c，余弦（cos）为b/c，正切（tan）为a/b。
针对以上教学难点，教师应采取以下措施：
1.通过直观的图形演示，帮助学生理解锐角三角函数的互化关系。
2.结合实际案例，引导学生学会将现实问题抽象为数学模型，并运用锐角三角函数求解。
3.开展跨学科教学活动，让学生在实际情境中体会数学知识的应用，提高跨学科综合应用能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
第二十八章《锐角三角函数》教材分析（教案）
一、教学内容
第二十八章《锐角三角函数》教材分析（教案）：
本章节内容依据人教版八年级数学教材，主要包括以下部分：
1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义及其在直角三角形中的应用。
2.锐角三角函数的图像与性质：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质。
3.锐角三角函数的简单应用：利用锐角三角函数解决直角三角形中的实际问题，如测量物体的高度等。
同学们，今天我们将要学习的是《锐角三角函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
五、教学反思
在本次《锐角三角函数》的教学过程中，我注意到了几个值得反思的方面。首先，学生在理解锐角三角函数定义时，普遍感到概念较为抽象。为此，我通过引入生活实例，如测量物体高度等，帮助学生将抽象的数学概念与具体实际相结合，降低理解难度。但在这一过程中，我也发现部分学生对实际问题的提炼和数学化处理能力较弱，需要在今后的教学中加强这方面的训练。

第二十八章锐角三角函数第一节(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切的定义及互化公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室内某物体的高度。这个操作将演示锐角三角函数的基本原理。
-锐角三角函数互化公式的推导与应用：学生需要掌握正弦、余弦、正切之间的互化关系，并能灵活应用于解决具体问题。
-实际问题的解决方法：学生应学会将实际问题抽象为锐角三角函数模型，运用所学知识解决问题。
举例解释：
-定义重点：如正弦函数的定义为“直角三角形中，锐角的正弦等于其相邻边与斜边的比值”。
-互化公式：如sin^2θ + cos^2θ = 1，这个公式是解决三角函数问题时常用的基础公式。
4.培养学生的几何直观素养：通过直角三角形的图形分析，使学生能够运用几何直观感知三角函数的变化规律，加深对三角函数几何意义的理解。
5.提高学生的数学运算能力：让学生在计算过程中熟练运用互化公式，解决锐角三角函数相关的计算问题，提高运算的准确性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：这是本节课的核心内容，要求学生理解正弦、余弦、正切三个三角函数的定义，并能记住各自的符号表示。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的热情很高，这让我感到很欣慰。通过亲自动手操作，他们能够更直观地理解锐角三角函数的原理。不过，我也注意到在讨论过程中，有些小组的思路不够清晰，导致讨论成果不够理想。为此，我计划在下一节课中，加强对学生讨论过程的引导，帮助他们理清思路，提高讨论效果。
学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，让学生充分发表自己的观点。在这个过程中，我发现学生们对于锐角三角函数在实际生活中的应用有着各种不同的见解，这非常好。但同时，我也发现有些学生在表达自己的观点时，逻辑不够严密，容易跑题。因此，我打算在后续的教学中，加强对学生逻辑思维能力的培养，让他们学会如何有条理地表达自己的观点。

《锐角三角函数》教案

锐角三角函数【教学内容】锐角三角函数【教学目标】1、正确理解锐角三角函数的定义。

2、熟记0°、30°、45°、60°、90°角的四个三角函数值。

3、掌握互余两角的三角函数之间的关系：sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sin α tg(90°-α)=ctg α， ctg(90°-α)=tg α 4、理解同角三角函数之间的关系：（1）平方关系 sin 2α+cos 2α=1 （2）倒数关系 tg α·ctg α=1（3）弦切间的关系 tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos5、掌握三角函数值的大小变化规律：若0°<α<β<90°，则0<sin α<sin β<1 0<cos β<cos α<1 0<tg α<tg β 0<ctg β<ctg α6、会用科学计算器（尚无条件的学校可使用算表）由已知锐角求它的三角函数值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它对应的角度。

【知识讲解】1、锐角三角函数的定义如图，△ABC 中，∠C=90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA ，即：sinA=caA =∠斜边的对边把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即：cosA=c bA =∠斜边的邻边把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA ，即：tgA=b aA =∠邻边的对边把锐角A 的邻边与对边之比叫做∠A 的余切，记作ctgA ，即：ctgA=abA =∠对边的邻边2、特殊角的三角函数值可列表如下：对边邻边3 4 证明：（1）在又∵ ∴sin 2α （2）∵tg α ∴tg α （3）∵sin α=c a ，cos α=c b ，tg α=ba∴bacb c a==ααcos sin =tg α 又∵tg α·ctg α=1∴ctg α=ααsin cos5、当角度在0°～90°间变化时，正弦（正切）值随角度的增大而增大，余弦（余切）值随角度的增大而减小。

初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 0, ∠A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a、 b、 c，则∠ A 的正弦可表示为： sinA∠ A 的余弦可表示为： cosA∠ A 的正切可表示为： tanA，它们称为∠ A 的锐角三角函数① sin A ()＝______，斜边②cosA ()＝______，斜边③ tanA ( )＝______，A的邻边【特别提醒： 1、sinA、cosA、 tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。

2、取值范围<sinA< ，<cosA< ， tanA>例 1. 锐角三角函数求值：在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，若 a＝ 9， b＝ 12，则 c＝ ______，sinA＝ ______， cosA＝ ______， tanA＝______ ，sinB＝ ______， cosB＝ ______， tanB＝______ ．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM 中，∠ TMN ＝90°， MR⊥ TN 于 R 点， TN＝ 4， MN＝ 3．求： sin∠TMR、 cos∠TMR 、 tan∠ TMR．2．已知：如图，⊙3 O 的半径 OA＝ 16cm， OC⊥AB 于 C 点， sinAOC4求： AB 及 OC 的长．类型二 . 利用角度转化求值：1．已知：如图， Rt △ABC 中，∠ C ＝ 90°． D 是 AC 边上一点， DE ⊥ AB 于 E 点．DE ∶ AE ＝1∶ 2．求： sinB 、 cosB 、tanB ．2．如图，直径为 10 的⊙ A 经过点 C (0，5) 和点 O (0，0) ，与 x 轴的正半轴交于点 D ，B 是 y轴右侧圆弧上一点，则 cos ∠ OBC 的值为（） A ．1B ．3 C ．3 4 2 2 D ．5 y 5C AOB D x第 8题图3， AC 5.如图， ⊙O 是 △ ABC 的外接圆， AD 是 ⊙O 的直径，若 ⊙O的半径为2 ，则 2sin B 的值是（）2 3 3 4 A ． B ． C ． D ． 3 2 4 36. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知AB 8 ， BC 10 ， AB=8,则 tan ∠ EFC 的值为 ( ) A DEＡ． 3 Ｂ． 4Ｃ． 3Ｄ．4 B FC43557. 如图 6，在等腰直角三角形 ABC 中， C90 ， AC6 ， D 为 AC 上一点，若tan DBA 1 ) ，则 AD 的长为 (5A ． 2B． 2C． 1 D ． 2 2类型三 . 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ ABC 中，∠ A=30°，∠ B=45°， AC=2 3 ，求 AB 的长．2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°，点 D 在 BC 边上，且△ ABD 是等边三角形．若 AB=2 ，求△ ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠ A=60°， AB=6 cm， AC=4cm ，则△ ABC 的面积是（）A.2 3 cm2B.4 3 cm2C.6 3 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）1B．5C．10 D ．2 5A ．2 5 10 5ACO BA B2．如图，△ ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______.3．如图， A、 B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC 'B' ，则 tan B' 的值为（）1B. 1 1D. 1A.3 C.4 24．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠ AOB 的值是（）5 2 5 1A ． 5 B. 5 C.2 D. 2知识点二：特殊角的三角函数值锐角 30° 45° 60°sin cos tan 当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例 1．求下列各式的值．1.计算： tan 60 sin 245 2 cos30－ 1+(2 π－ 1)0－ 3tan30－°tan45 ° 2.计算：3313tan30 0 tan 45 sin 303．计算： 2 cos60 sin 45 4．计算：221 cos60例 2．求适合下列条件的锐角．(1) cos 1 3(3) sin 2 2 (4) 6 cos(16 ) 3 3(2) tan 3 2 2（）已知为锐角，且tan(300 )3 ，求 tan的值（）在 ABC 中， cos A 1 (sin B2 )20 ， A ， B 都是锐角，求 C 的度数2 2例 3. 三角函数的增减性1 1．已知∠ A 为锐角，且 sinA < 2，那么∠ A 的取值范围是A. 0 °<A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D.30 <°A < 90 °2. 已知 A 为锐角，且cos A sin 300，则（）A. 0 °<A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A <90 °类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中， DE ⊥AB 于 E， BE＝16cm， sin A求此菱形的周长．12132．已知：如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC BC 3 ，作∠ DAC ＝30°， AD 交 CB 于 D 点，求：(1) ∠ BAD；(2)sin∠ BAD 、 cos∠BAD 和 tan∠BAD ．3. 已知：如图△ ABC 中， D 为 BC 中点，且∠ BAD ＝90°， tan B 1，求： sin∠CAD 、cos 3∠CAD 、 tan∠ CAD ．4. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，sin B 3，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6 ，求 tan∠ BAD 5的值． AB CD5（.本小题 5 分）如图，△ ABC 中，∠A=30°，tan B3 ，2AC 4 3 ．求 AB 的长 . CA B知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示 )：在Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ b，BC＝a， AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐角之间的关系：_________________________________ _ ．③边与角之间的关系：sinA cosB ______；cos A sin B _______；1_____；1tan A tan B ______．tan B tan A④直角三角形中成比例的线段(如图所示 )．在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D．CD 2＝ _________； AC2＝ _________；BC 2＝ _________ ；AC· BC＝ _________．例 1．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°．(1) 已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠ A、∠ B，c；(2) 已知： sinA2 6 ，求 a、b；， c3（3）．已知：△ ABC 中，∠ A＝ 30°，∠ B＝ 60°， AC＝ 10cm．求 AB 及 BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面 A 、 B 两点的俯角分别是30°、 45°，如果此时热气球C处的高度 CD 为 100 米，点 A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A ．200 米B ．200 米C． 220 米D． 100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在 A 北偏西的方向上，沿31河岸向北前行 20 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值： tan31 °≈3， sin31 °≈1）5 2图133 .如图，小聪用一块有一个锐角为 30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距 3 3 米，小聪身高AB 为 1.7 米，求这棵树的高度.CA DBE4．一数学兴趣小组为测量河对岸树 AB 的高，在河岸边选择一点 C ，从 C 处测得树梢 A 的仰角为 45°，沿 BC 方向后退 10 米到点 D ，再次测得点 A 的仰角为 30°．求树高． (结果精确到 0.1 米．参考数据：2 1.414 ，3 1.732 )A30° 45°DC B5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离（ AC ）为 30 米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 8 秒，∠ BAC=75° ．（1）求 B 、 C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道 60 千米 /小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据： sin75 °≈ 0.9659，cos75°≈ 0.2588， tan75 °≈ 3.732，3 ≈ 1.732， 60 千米 /小时 ≈ 16.7米 /秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3 ，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）A ． 100mB ．100 3 m C． 150m D ．50 3 m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆 AB 的高度 .如图，老师测得升旗台前斜坡 FC 的坡比为i=1:10 ，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即 CE=35m ）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知 tanα= 3，升旗台高AF=1m，小明身高7CD=1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度 .BiFC =1:10ADα FCE3.如图，有两条公路 OM ，ON 相交成 30°角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心、 50 米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米 /时 .(1)求对学校 A 的噪声影响最大时 ,卡车 P 与学校 A 的距离 ;(2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪影响的时间.NP30°O 80米 A M4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知 BC=4 米， AB=6 米，中间平台宽度DE=1 米，EN、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，∠ EAB=31 °，DF ⊥ BC 于 F，∠ CDF =45 °．求 DM 和 BC 的水平距离 BM 的长度．（结果精确到 0.1 米，参考数据： sin31 °≈ 0.，52cos31°≈ 0.86，tan31 °≈ 0.）60CE D 45°F31°A N M B5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o 降为 30o，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点 D 、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

28.1.1锐角三角函数教案

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
今天在教授《锐角三角函数》这一章节时，我发现学生们对于三角函数的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功引起了学生的好奇心，这是一个很好的开始。但在教学过程中，我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，理论介绍环节，虽然我尽可能用简洁明了的语言解释锐角三角函数的定义，但仍有部分学生显得有些困惑。我意识到，对于这部分学生来说，可能需要更多的具体例子和直观图形来帮助他们理解。在接下来的教学中，我打算增加一些图示和动画，让学生更直观地感受三角函数的变化。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的对边、邻边、斜边的比值。它们是解决直角三角形相关问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用锐角三角函数计算直角三角形中的未知角度和边长。
解决方法：设置多个实际问题，引导学生运用三角函数解决，培养学生的数学应用意识。
（3）计算过程中的细节处理：学生在计算过程中容易忽视单位换算、精确度等问题，需要教师在教学中强调。
举例：在计算过程中，注意角度与弧度的转换，以及精确到小数点后几位等。
（4）空间想象力的培养：在直角三角形中，学生需要具备一定的空间想象力，才能更好地理解三角函数的应用。