勾股定理解题方法

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勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数）毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数）柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例3.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 21E DCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m 。

勾股定理解题方法

勾股定理解题方法
解题方法：
1. 已知两条直角边长，求斜边长：直接使用勾股定理，假设两直角边
长为a和b，则斜边长c = √(a² + b²)。

2. 已知斜边长和一直角边长，求另一直角边长：使用勾股定理的变形，假设斜边长为c，已知直角边长为a，则另一直角边长为b = √(c² - a²)。

3. 已知斜边长和另一直角边长，求第一直角边长：同样使用勾股定理
的变形，假设斜边长为c，已知另一直角边长为b，则第一直角边长为
a = √(c² - b²)。

4. 已知斜边和另一直角边的比例关系，求另一直角边的长度：根据已
知比例关系，确定两直角边的比例，然后设定一个系数，分别乘以比
例中的两个数，得到两直角边的长度。

需要注意的是，勾股定理只适用于直角三角形，即其中有一个角
度为90°的三角形。

其他类型的三角形使用其他的性质和定理进行计算。

勾股定理的解题方式

∴
a b c
2 2
2
从而证明了勾股定理
方法二：毕达哥拉斯：“拼图” 毕达哥拉斯（公元前572—前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.
方法二：加菲尔德“总统证明法”
谁说总统就是在国家领导，每天忙于外交的工作，然而有一个人他在 1876年4月1日，在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。我们不要说自己忙忙于时间去做，任何事情，他就是我们的榜样
方法一：欧几里得“公理化证明”
方法二：毕达哥拉斯：“拼图” 方法二：加菲尔德“总统证明法”
方法一：欧几里得“公理化证明”
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，需要四个辅助定理如下： SAS定理三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积。
A
B
b
b
a
a
D
C
将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2 所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等。
∵图形是相同的，方法不一样
1 1 1 2 2 a b 2 ab c ∴ 2 2 2

勾股定理在数学竞赛中的常见题型

勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。

它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。

在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。

一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。

它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。

题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。

3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。

例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。

根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。

所以答案是5。

三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。

3. 最后，解方程得到未知边的长度。

例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。

根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。

所以答案是4。

四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。

勾股定理例题详解

勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理;2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角;3理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=a+b2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形;图1中,所以;方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形;图2中,所以;方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图3—1和3—2所示的两个形状相同的正方形;在3—1中,甲的面积=大正方形面积—4个直角三角形面积,在3—2中,乙和丙的面积和=大正方形面积—4个直角三角形面积,所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.方法四：如图4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形;,所以;知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理,作出长为的线段;2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形;熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果a,b,c是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形;经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°1已知a=6, c=10,求b, 2已知a=40,b=9,求c；3已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用;解析：1 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=2 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=3 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决;如：不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和;举一反三变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少答案∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思路点拨：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析：作于D,则因,∴的两个锐角互余∴在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据勾股定理,在中,.根据勾股定理,在中,.∴.总结升华：利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三变式1如图,已知：,,于P. 求证：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM,根据勾股定理,在中,.而在中,则根据勾股定理有.∴又∵已知,∴.在中,根据勾股定理有,∴.变式2已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD的面积;分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单;解析：延长AD、BC交于E;∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°;∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==;∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==;∴S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点;1求A、C两点之间的距离;2确定目的地C在营地A的什么方向;思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解;解析：1过B点作BE米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９米＞２.５米．因此高度上有米的余量,所以卡车能通过厂门．二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3图3中,在Rt△ABC中同理∴图3中的路线长为图4中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞>∴图4的连接线路最短,即图4的架设方案最省电线．总结升华：在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．举一反三变式如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm, 根据勾股定理得提问：勾股定理∴ AC＝＝＝≈１０．７７cm勾股定理．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段;思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作;作法：如图所示1作直角边为1单位长的等腰直角△ACB,使AB为斜边；2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角;斜边为；3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是、、、;总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定;一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可;举一反三变式在数轴上表示的点;解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1;作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为;类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．正确2．原命题：对顶角相等正确3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．正确4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系;解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．正确总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备;7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC 的形状;思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题;解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ a-32+b-42+c-52=0;∵ a-32≥0, b-42≥0, c-52≥0;∴ a=3,b=4,c=5;∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2;由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形;总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到;举一反三变式1四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;答案：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理变式2已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2m,n为正整数,且m＞n,判断△ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以△ABC是直角三角形.变式3如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB;请问FE与DE是否垂直请说明;答案答：DE⊥EF;证明：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2;连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2;∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE;经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积;思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积;解析：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得：3x2+4x2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程组求解;举一反三变式1等边三角形的边长为2,求它的面积;答案如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D则：BD＝BC等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合∵AB＝AC＝BC＝2等边三角形各边都相等∴BD＝1在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝＝BC·AD＝S△ABC注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a;变式2直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积;答案设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：由1得：x+y＝7,x+y2＝49,x2+2xy+y2＝49 33－2,得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6cm2变式3若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n;思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3,然后利用勾股定理列方程求解;解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：n+12+n+22＝n+32化简得：n2＝4∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边;变式4以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝c－ac+a来判断;例如：对于选择D,∵82≠40+39×40－39,∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形;同理可以判断其它选项; 答案：A变式5四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;解：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m;假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度;2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程;因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校;解析：作AB⊥MN,垂足为B;在 RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴ AB＝AP＝80; 在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半∵点 A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响;如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100m,由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60;同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD＝100m,BD＝60m,∴CD＝120m;拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s;答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒;总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理;举一反三变式1如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”;他们仅仅少走了__________步路假设2步为1m,却踩伤了花草;解析：他们原来走的路为3+4＝7m设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2m又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路;答案4变式2如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形;1直接写出单位正三角形的高与面积;2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线;答案1单位正三角形的高为,面积是;2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积;3过A作AK⊥BC于点K如图所示,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD．解：连接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFDASA．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,根据勾股定理得：,所以EF=13;总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识;通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解;二方程的思想方法4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值;思路点拨：由,再找出、的关系即可求出和的值;解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,则,由勾股定理,得;因为,所以,,,;总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半;举一反三：变式如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长;解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF;因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以; 所以;设,则;在Rt△ECF中,,即,解得;即EF的长为5cm;。

八年级数学勾股定理经典题型

八年级数学勾股定理经典题型摘要：1.勾股定理的定义与应用2.直角三角形的判定与性质3.勾股定理的逆定理4.经典题型及解题方法正文：一、勾股定理的定义与应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

这个定理在我国古代称为“勾三股四弦五”，是数学中极为重要的基本定理之一。

在解决许多实际问题和几何题目时，勾股定理都发挥着关键性的作用。

二、直角三角形的判定与性质直角三角形是指其中一个角为90 度的三角形。

要判断一个三角形是否为直角三角形，可以利用勾股定理的逆定理。

逆定理指出：如果一个三角形的三边长a、b、c 满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形就是一个直角三角形。

直角三角形的性质包括：直角三角形的两条直角边的长度和等于斜边的长度；直角三角形的斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边的长度。

三、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指：若一个三角形的三边长a、b、c 满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。

逆定理为我们判断一个三角形是否为直角三角形提供了简便方法，同时也让我们更加深入地理解了勾股定理的本质。

四、经典题型及解题方法在解决勾股定理相关的题目时，我们需要熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用直角三角形的性质。

以下是一些常见的经典题型及解题方法：1.已知直角三角形的两条直角边长分别为3 和4，求斜边长。

解：根据勾股定理，斜边长c = √(3^2 + 4^2) = 5。

2.已知直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边长。

解：根据勾股定理，另一条直角边长b = √(10^2 - 6^2) = 8。

3.已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，证明这个三角形是直角三角形。

解：根据勾股定理的逆定理，3^2 + 4^2 = 5^2，因此这个三角形是直角三角形。

通过以上例题，我们可以发现勾股定理在解决实际问题和几何题目中的重要性。

勾股定理最短路径问题做题技巧

勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。

其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。

下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。

1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。

通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。

一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。

2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。

这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。

在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。

3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。

勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。

4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。

当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。

另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。

5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。

我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。

在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。

希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程

如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

而在现代生活中，我们可以通过一些简单的实验来证明这个定理，比如使用火柴盒。

我们需要准备一些火柴盒，以及一张平整的纸张。

在纸张上画出一个直角三角形，其中一条边代表直角边，另外两条边分别代表斜边和另一条直角边。

然后，我们按照所画直角三角形的比例，将火柴盒分别摆放在两条直角边上，使其形成一个完整的三角形。

接下来，我们开始证明勾股定理。

我们在直角三角形中标出直角和两个锐角，然后对应的边分别记为a、b、c。

根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。

在这个实验中，火柴盒的长度可以代替三角形的边长，通过比例尺来测量和计算。

通过这种简单的实验方法，我们可以直观地理解勾股定理，并且深化我们对数学知识的理解。

使用火柴盒来证明勾股定理是一种有趣而且形象的方法，可以让我们更加直观地感受数学定理的魅力。

希望通过这个实验，读者们可以对勾股定理有更深入的认识，同时也能够激发大家对数学的兴趣和学习热情。

【2000字】第二篇示例：勾股定理是几何中的重要概念，描述了直角三角形三边之间的关系。

它指出：直角三角形的两条直角边上的平方和等于斜边上的平方。

这个定理在数学中具有重要的意义，被广泛应用于各种计算和证明中。

在这篇文章中，我们将通过一个有趣的方法使用火柴盒来证明勾股定理的解题过程。

我们需要准备一些材料：一个大火柴盒，两个小火柴盒。

我们可以用大火柴盒表示直角三角形的直角边，小火柴盒表示直角三角形的其他两条边。

接下来，我们开始解题：第一步：我们将大火柴盒拆开，得到两根直角边。

假设这两根火柴的长度分别为a和b。

第二步：将两根火柴盒以直角相对放置，在它们的交点处放一个小火柴盒，构成一个直角三角形。

第三步：测量斜边的长度，假设为c。

我们可以直接测量出c的长度，也可以通过勾股定理计算出c的长度。

如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程

如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程说明如下：
1.准备材料：
1.一个火柴盒（最好是硬纸板构成的正方形盒子）
2.剪刀
3.尺子
4.铅笔
5.胶水或胶带
6.火柴棒若干
2.制作模型：
1.使用剪刀和尺子，从火柴盒上剪下四个正方形面板（两个长边，两个短边）。

2.在这些面板上用铅笔标记出直角三角形的三个边：斜边c，以及两个直角边a和b。

确保a和b的平方和等于c的平方。

3.使用胶水或胶带将这些面板粘贴在一起，形成一个三维的直角三角形模型。

3.验证过程：
1.使用火柴棒来代表三角形的边。

将火柴棒按照标记的长度剪断。

2.将剪好的火柴棒按照直角三角形的形状摆放，确保它们形成一个完美的直角。

3.现在，将代表直角边a和b的火柴棒平方（即，将它们各自摆放成正方形形状），并将这两个正方形放在一起。

4.同时，将代表斜边c的火柴棒平方（即，摆放成正方形形状）。

5.比较这两个由火柴棒构成的正方形。

如果勾股定理成立，那么由直角边a和b构成的正方形的面积之和应该等于由斜边c构成的正方形的面积。

这个模型提供了一个直观的方式来理解勾股定理，因为它允许我们通过物理方式“看到”数学定理是如何在空间中表现的。

不过，需要注意的是，这个模型是一个近似表示，因为火柴盒和火柴棒可能不是完美的正方形和直线，但它足以用来演示和解释勾股定理的基本概念。

勾股定理典型解题技巧及练习

专题复习一勾股定理常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由a 2+b 2=c 2可得 a 2= c 2- b 2=(c+b) (c-b) （平方差公式）例如，已知c=61, b=60, 则a 2= c 2-b 2= (61+60) (61-60) =121, 则 a=11已知c=41, b=40, 则a 2= c 2-b 2= (41+40) (41-40) =81, 则 a=9已知c=17, b=8, 则a 2= c 2-b 2= (17+8) (17-8) =25 x 9=52 x 32= (5 x 3)2 则 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

如图，CD 为斜边AB 的中线，过D 作D E ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F 在RT ▲ADE 和RT ▲DBF 中，∠DAE=∠BDF , AD=DB ∠ADE=∠DBFRT ▲ADE ≌RT ▲DBF ∴ EA=FD, 有因CEDF 为矩形， ∴FD=CE=EA=1/2 CART ▲ADE ≌RT ▲CDE ∴ CD=AD=DB=1/2 AB6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。

该点称三角形的内心（内切圆圆心）。

9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。

该点称三角形的垂心 10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。

该点称三角形的重心。

11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。

勾股定理的证明方法勾股定理的应用

一、勾股定理是什么
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。

中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。

在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。

既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。

两矩共长二十有五，是谓积矩。

”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。

在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。

二、勾股定理的主要意义
1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

勾股定理的10种证明方法常见勾股定理证明方法
勾股定理的10种证明方法：课本上的证明勾股定理的10种证明方法：邹元治证明勾股定理的10种证明方法：赵爽证明
勾股定理的10种证明方法：1876年美国总统Garfield证明勾股定理的10种证明方法：项明达证明
勾股定理的10种证明方法：欧几里得证明勾股定理的10种证明方法：杨作玫证明
勾股定理的10种证明方法：切割定理证明
勾股定理的10种证明方法：直角三角形内切圆证明勾股定理的10种证明方法：反证法证明。

勾股定理解题技巧

例1 如图1，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．分析折叠问题和轴对称紧密相关，要注意分清对称轴，在求解这类问题时可以根据题意引进未知数，利用勾股定理来布列方程即能简易求解．例2 如图2，ABC △中，22.5B ∠=，60C ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于D，BD =AE BC ⊥于E ，求EC 的长．分析由条件22.5B ∠=和AB 的垂直平分线交BC 于D 可想到连结AD ，这样就可以充分运用条件，构造方程求解．遇到含30的直角三角形时一定要注意：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的使用．例 3 已知一个直角三角形的两边长是3cm 和4cm ，求第三边的长．分析已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论．例4 一个等腰三角形的周长为14cm ，一边长4cm ，求底边上的高．分析一边长4cm ，并没有指明是底边还是腰，所以应分类讨论．这里对等腰三角形的分类讨论，实际上就是对直角三角形的边的讨论．例5 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高分析根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解．勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联．例6 如图4，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距点C 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少分析由于蚂蚁是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体转化展开成平面图形，根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的路线有两种可图3B C图1ACFB图2CB图4能（如图5、图6）利用勾股定理容易求出图5、图6中AB 的长度，比较后即可求得蚂蚁爬行的最短路程．说明这里原本是求最短距离，却转化成研究长方体的展开图问题，但最终还是利用勾股定理求两点间的距离问题．图5BA图6AB。

如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程

如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它可以用来求解直角三角形中的边长和角度。

在我们的日常生活中，我们也可以通过一些简单的实验方法来证明勾股定理，比如利用火柴盒来进行证明。

下面我将介绍如何用火柴盒来证明勾股定理的解题过程。

我们需要准备一些火柴盒。

我们将用火柴盒来拼接成一个正方形，然后通过测量正方形的对角线长度来验证勾股定理。

假设我们要证明的勾股定理是：直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

第一步，我们需要准备9根火柴盒。

我们将3根火柴盒拼接成一个小三角形A，其中两条火柴盒作为直角边，一条火柴盒作为斜边。

然后我们再用6根火柴盒来拼接成一个正方形B。

正方形B的边长应该等于小三角形A的两条直角边的长度之和。

第二步，我们需要将正方形B的对角线长度进行测量。

我们将正方形B的对角线标记为c，对角线的长度即为c的长度。

然后我们再用火柴盒拼接成一个边长为c的正方形C，并将它的对角线也标记为c。

通过这个简单的实验，我们可以更加直观地理解和验证勾股定理。

利用火柴盒拼接成不同几何形状，可以让我们在实践中学习数学知识，加深对勾股定理的理解。

希望这个实验能够帮助大家更好地掌握勾股定理的应用和规律。

【注：内容仅供参考】。

第二篇示例：勾股定理是几何学中非常重要的定理，它可以用来解决直角三角形中的问题。

勾股定理的表述是：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

即a² + b² = c²，其中a、b分别代表直角三角形的两个直角边的长度，c代表斜边的长度。

在日常生活中，我们可能会用到火柴盒来证明勾股定理。

下面就让我们通过使用火柴盒来证明勾股定理的解题过程吧。

准备3根长度不同的火柴，分别代表直角三角形的三条边。

假设火柴A代表直角边a，火柴B代表直角边b，火柴C代表斜边c。

让我们来具体看一下这个过程：第一步，将火柴A和火柴B拼成一个L形状，两者之间形成一个直角。

勾股定理知识点与常见题型总结

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一・知识归纳1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a, b,斜边为c,那么a2+b2=c22 •勾股定理的证明，常见的是拼图的方法①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，而积不会改变②根据同一种图形的而积不同的表示方法，列岀等式，推导出勾股左理常见方法如下：方法一：4S」+ S舫形护s = S正方形翻，4xl^ + (/?-t/)2=cS化简可证.乙方法二：四个直角三角形的面积与小正方形而积的和等于大正方形的而积.四个直角三角形的而积与小正方形而积的和为S=4xL ab + c^=2ab + c22大正方形面积为S = (a + h)2 =a2 +2ab+b2所以/ +b2 =c2方法三：S梯形=*(“+0).(“+b),= 2S^)E + =2-Lab + Lc2,化简得证3 •勾股定理的适用范围：勾股怎理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股立理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 •勾股定理的应用：勾股左理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的讣算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股左理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股左理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

在中，ZC = 90°,则c , b = JdF , a = ylc2-b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a, b, c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

勾股定理的证明方法十种过程

勾股定理的证明方法十种过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是几何学中最基础的定理之一。

它表明在直角三角形中，直角的两边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的证明方法有很多种，下面我将介绍十种常用的证明过程。

一、几何证明法1. 利用相似三角形的性质，构造辅助线，将直角三角形分割成两个直角三角形，再利用勾股定理的定义证明斜边的平方等于直角两边的平方和。

2. 利用平行线的性质，构造辅助线，形成四边形，再利用四边形的性质推导出勾股定理。

二、代数证明法1. 利用代数方法将直角三角形的三边长度表示成a，b，c，利用勾股定理的定义列出等式a^2 + b^2 = c^2，再进行变形推导得到结论。

2. 利用向量法，将三角形的三个顶点表示成二维向量，用向量的性质证明直角三角形满足勾股定理。

三、三角函数证明法1. 利用正弦、余弦、正切等三角函数的关系，将直角三角形的三条边长和角度联系起来，通过三角函数的计算推导出勾股定理。

2. 利用三角函数的定义，将角度和边长关系转换成三角函数的等式，再通过化简和运算得到勾股定理。

五、解析几何证明法1. 利用直角三角形在坐标平面上的表示，用坐标的差和平方和表达斜边和直角两边之间的关系，进行运算保证两边相等。

2. 利用解析几何的方法，利用两直线间的距离公式和直线的斜率关系，推导出勾股定理成立的条件。

七、数学归纳法证明法1. 从一个特殊的直角三角形出发，比如3-4-5直角三角形，验证勾股定理成立。

然后假设勾股定理对于n=1的情况成立，推导出n=k+1的情况也成立，利用数学归纳法证明定理的普遍性。

2. 从勾股数列的性质入手，证明勾股定理的普遍性。

十、几何变换证明法1. 利用几何变换，比如平移、旋转等，将直角三角形变换成其他几何形状，再通过形状不变性证明勾股定理。

2. 利用相似性和对称性的变换，将直角三角形转化成其他几何形状，结合几何形状的性质证明勾股定理的成立。

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。

证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。

拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。

勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。

此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。

勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。

2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。

例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。

3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。

记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。

勾股定理题型总结

勾股定理1：勾股定理2、勾股逆定理 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等cbaHG F EDCBAa bcc baED CBAbacbac cabcabCABDDABC③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

3：在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为多少？4：已知如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。

勾股定理

勾股定理【知识点】１．勾股定理（只适用于直角三角形）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=２.勾股定理的证明证明方法1：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．证明方法2：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=证明方法3：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须注明所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，bacbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bc cbaED CBA②可运用勾股定理解决一些实际问题③利用勾股定理作长为 n （n 为大于1的整数）的线段５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边注意：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较：若222a b c +=时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）考点例析考点1：已知直角三角形两边边长，求第三边边长1、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+2、直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 A 、4 cmB 、8 cmC 、10 cmD 、12 cm3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25B 、14C 、7D 、7或254、在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长考点2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。