高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数1()arctanf x x=的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也 存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xx x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、 若),1(3-=x f y Z且x Zy ==1则f (x )的表达式为 ;2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim 1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设,)(ax ax x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ；三、 计算题:1、计算下列各式极限： （1）xx x x sin 2cos 1lim0-→； （2）x xx x -+→11ln 1lim 0；（3）)11(lim 220--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→ （5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则t t x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 则dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x则=dxdy; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x e x f ax 处处可导，则( )(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =14、 若f (x )在点x 可微,则x dyy x ∆-∆→∆0lim的值为( )(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( )(A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、 若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n fx . 7、 计算39.02的近似值.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin lim 0x f f x f x -→= ;4、 x e yx sin =的极大值为 ，极小值为 ;5、)10(11≤≤+-=x xxarctg y 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

2、 函数x x f sin )(=在区间[-]2,2ππ上（ ） （A ）满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ （B ）满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ（C ）不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论；（D ）不满足罗尔定理的条件3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）（A ）极大值一定是最大值； （B ）极小值一定是最小值；（C ）极大值一定比极小值大； （D ）极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。

4、 设f (x )在(a , b )内可导，则()0f x '<是f (x )在(a , b )内为减函数的（ ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件。

5、 若f (x )在(a , b )上两次可导，且（ ）, 则f (x )在(a , b )内单调增加且是上凹的。

（A ）0)(",0)('>>x f x f ； （B ）;0)(",0)('<>x f x f ； （C ）0)(",0)('><x f x f ； （D ）0)(",0)('><x f x f三、计算题：1、 求:2211(1)lim()sin x x x →- tan 0(2)lim x x x +→2、 求过曲线y =x e x -上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x =0的直线方程.四、应用题：1、 通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：2()0.1 2.643G x x x =-++,其中G （x ）是接受能力的一种度量，x 是提出概念所用的时间（单位：min ）（a ）、x 是何值时，学生接受能力增强或降低？（b ）、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？ （c ）、最难的概念应该在何时讲授？（d ）、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？五、证明题：证明不等式22arctan ln(1)x xx ≥+（四）不定积分一、选择题：1、 设)(x f 可微，则()f x =（ ）（A ）⎰))(x df （B ）⎰))((dx x f d （C ）⎰)')((dx x f （D ）⎰dx x f )('2、 若F （x ）是)(x f 的一个原函数，则c F （x ）（ ）)(x f 的原函数 （A ）是 （B ）不是 （C ）不一定是3、 若⎰+=,)()(c x F dx x f 则⎰=+dx b ax f )(（ ）（A ）c b ax aF ++)( （B ）c b ax F a++)(1（C ）c x F a+)(1（D ）c x aF +)( 4、 设)(x f 在[a ，b ]上连续，则在（a ，b ）内)(x f 必有（ ） （A ） 导函数 （B ） 原函数 （C ） 极值 （D ） 最大值或最大值 5、 下列函数对中是同一函数的原函数的有（ ）2211()sin cos 24 与A x x - 2()ln ln ln 与B x x22() 与x x C e e 1()tan cot 2sin 与x D x x-+6、 在积分曲线族⎰=xdx y 3sin 中，过点)1,6(π的曲线方程是（ ）cx D xC cx B x A +-++-3cos )(3cos 31)(3cos 31)(13cos 31)(7、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A ）2x edx -⎰； （B ）31dx x +⎰； （C ）ln dxx⎰； （D ）ln x dx x ⎰. 8、已知一个函数的导数为2y x '=，且x =1时y =2,这个函数是（ ）（A ）2;y x C =+ （B ）21;y x =+ （C ）2;2xy C =+ （D ）1.y x =+9、2ln xdx x=⎰（）（A ）11ln x C x x ++; （B ）11ln x C x x++; （C ）11ln x C x x -+； （D ）11ln x C x x--+. 10、10(41)dxx =+⎰（ ）（A ）9119(41)C x ++； （B ）91136(41)C x ++； （C ）91136(41)C x -++； （D ）111136(41)C x -++. 二、计算题:1、⎰++dx x x )1ln(22、1tan 1tan xdx x-+⎰3、⎰dx x xf )("3、 ⎰+++)3)(2)(1(x x x dx 5、x dx ⎰ 6、⎰+)1(x x dx7、2arccos x xdx ⎰三、求⎰,)(dx x f 其中⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤+<<∞-=x x x x x x f 121010,1)(（五）定积分及其应用一、填空题：1、 设)(x f 是连续函数，dt t xf x F x)()(0⎰=，则F '(x )= ;2、 设)(x f 是连续函数，则⎰-=---+ππdx x f x f x f x f )]()()][()([ ； 3、 111lim()12n n n n n→∞+++=+++ ； 4、设)(x f 是连续函数，f (0)= -1,则=⎰→3sin 0)(limxdtt f xxx ；5、函数)(x f =xe 在区间[a ，b ]上的平均值为 )(b a <.二、单项选择题：1、 设⎰<bab a dx x f )(,)(存在，则)(x f 在[a ，b ]上( )(A)可导 (B)连续 (C)具有最大值和最小值 (D)有界2、 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰+∞→=nta an dx x f n )(1lim( )（A ）T a f ⋅)( （B ）dx x f T)(0⎰ （C ）⎰adx x f 0)( （D ）()f a3、 设⎰⎰⎰++=dx x f dx x f dx d dx x f dx d I )(')()(43存在，则I =( ) (A) ()f x (B) 2()f x (C) 2()f x C + (D) 0 4、)()(b a a x dxpba<-⎰,在( ) （A ）P<1 时收敛,P ≥1时发散 （B ）P ≤1 时收敛,P ≥1时发散 （C ）P>1 时收敛,P ≤1时发散 （D ）P ≥1 时收敛,P <1时发散5、 曲线)0(ln ,ln ,,ln b a b y a y y x y <<===及y 轴所围的图形面积为( ) (A)⎰baxdx ln ln ln (B)dx e xe e ba⎰(C)dx e yba⎰ln ln (D)xdx ab e eln ⎰三、计算下列定积分:1、2511x dx -⎰2、dx e xx--+⎰1sin 244ππ3、⎰++12)1ln(dx x x 4、⎰-+a xa x dx22四、求下列极限:1、sin 0tan 0tan lim sin xx x tdt tdt+→⎰⎰2、dt ttdt t xtxx sin )1(lim1sin 0⎰⎰+→五、设可导函数y =y （x ）由方程⎰⎰=+-yxt x tdt dt e 0221sin 2所决定，试讨论函数y =y （x ）的极值.六、已知抛物线)0,4(,)4(22>≠+-=a p a y p x ，求p 和a 的值，使得：（1） 抛物线与y=x+1相切；（2） 抛物线与0x 轴围成的图形绕0x 轴旋转有最大的体积.（六）向量代数 空间解析几何一、填空题：1、向量{}1,2,1a =与x ，y ，z 轴的夹角分别为,,αβγ，则α= ，β= ，γ= 。