高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续

一、选择题：

1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A)

;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y

2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )

（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x

x

x f -=+-=

ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数

1

()arctan

f x x

=的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ）

（A ）)(lim x f x

x →若存在，则f (x )有界；

（B ）若在

0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0

x g x x →),(lim 0

x h x x →都存在，

则),(lim 0

x f x x →也 存在；

（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;

（D ） 当∞→x 时，x

x x x x a sin )(,1)

(==

β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.

二、填空题：

1、 若),1(3-=x f y Z

且x Z

y ==1

则f (x )的表达式为 ;

2、 已知数列n x n 1014-

=的极限是4, 对于,101

1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;

3、 3214

lim 1

x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设

,)(a

x a

x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0

,

;

0,

)(,sin )(⎩⎨

⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ；

三、 计算题:

1、计算下列各式极限： （1）x

x x x sin 2cos 1lim

0-→； （2）x x

x x -+→11ln 1lim 0；

（3）)11(

lim 220

--

+→x x x （4）x

x x x cos 11sin

lim

30-→ （5）x x x 2cos 3sin lim 0

→ （6）x

x x

x sin cos ln lim

0→

2、确定常数a , b ，使函数

⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,

11,11,arccos )(2

x x x b x x a x f 在x =-1处连续.

四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a

()f ξξ=.

（二）导数与微分

一、填空题:

1、 设0()f x '存在，则t t x f t x f t )

()(lim 000+--+

→= ;

2、 ,1

,3

21

,)(3

2⎪⎩⎪

⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设

x

e

y 2sin =, 则dy = ;

4、 设),0(sin >=x x x y x

则

=dx

dy

; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x

确定的隐函数, 则

(0)f '= .

二、选择题:

1、

)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )

(A) –ln a (B) ln a (C)

a ln 21 (D) 2

1 2、 设曲线2

1x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )

(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=0

3、 设

⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0

),

1(0)(2

x x b x e x f ax 处处可导，则( )

(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =1

4、 若f (x )在点x 可微,则

x dy

y x ∆-∆→∆0lim

的值为( )

(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定

5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( )

(A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx ' (C)

(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '

三、计算题：

1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '

2、 若g(x)=⎪⎩

⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2

x x x x 又f (x )在x =0处可导，求

))((=x x g f dx d

3、 求曲线⎩

⎨⎧=++=-+010

)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程

4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ

5、 设32

2

2

()x y y u x x =+⋅=+, 求.du

dy 6、 设()ln f x x x =, 求()

()n f

x . 7、 计算3

9.02的近似值.

（三）中值定理与导数的应用

一、填空题：

1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;

2、 若01

lim sin 22

ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)

(ln )

0()(sin lim 0

x f f x f x -→= ;

4、 x e y

x sin =的极大值为 ，极小值为 ;

5、

)10(11≤≤+-=x x

x

arctg y 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：

1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）

（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

2、 函数x x f sin )(=在区间[-

]2

,2π

π上（ ） （A ）满足罗尔定理的条件，且 ;0=ξ （B ）满足罗尔定理的条件，但无法求;ξ

（C ）不满足罗尔定理的条件，但有ξ能满足该定理的结论；

（D ）不满足罗尔定理的条件

3、 如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（ ）

（A ）极大值一定是最大值； （B ）极小值一定是最小值；

（C ）极大值一定比极小值大； （D ）极在值不一定是最大值，极小值不一定是