“哥德巴赫猜想”讲义(3)

“哥德巴赫猜想”讲义（3）
第三讲
“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展（二）
主讲王若仲
第2讲中我们介绍了“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展途径一，这一讲我们介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展的其他途径。

途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。

在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。

x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。

我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。

这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。

当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。

在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。

这就是例外集合的思路。

从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题
为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了堆垒素数论中一个新的分析方法。

这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家拉玛努贾合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现。

应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分
当且只当整数的时候，上面的积分才等于1。

因此，如果考虑积分式：
其中，那么这个积分式实际上等于：
上式中第二项等于0，所以
方程“”的解的个数。

所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数
，单位圆上的环路积分式。

同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：
因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式和中以质数为变数的三角多项式。

哈代和利特尔伍德猜测，当变量接近于分母“比
较小”的既约分数时，
的值会“比较大”，而当接近于分母“比较大”的既约分数时，的值会“比较小”。

也就是说，积分的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。

因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（major arc 与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分
则称为“劣弧”（minor arc）。

将整个积分
分成优弧上的积分
与劣弧上积分
之和，然后证明相比
起可以忽略，而，这就是圆法的主要思想[4]。

哈代和利特尔伍德在1923年的论文中证明了，如果存在正数
，使得所有的狄利
克雷L 函数的全体零点都在半平面
上，那么充分大的奇数
一定满
足，也就是说能够表示成三个素数的和。

他们还给出了的渐进式：在趋于无穷大的时候，
其中
他们还证明了，在假设广义黎曼猜想成立的情况下，如果用表示以内无法写成两个质数之和的偶数的个数，那么对任意的正数，都有
这说明了，不能写成两个质数之和的偶数占所有偶数的比例是可以忽略的。

维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对于黎曼猜想的依赖。

也就是说，维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数都能表示为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。

维诺格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以素数为变数的指数和
做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。

唯一的不足是维诺格拉多夫并没有给出“足够大”的下限。

后来波罗斯特金在1956年给出了一个可计算的下限：，也就是说大于的整数都可以写成三个素数的和。

1946年，苏联数学家尤里·弗拉基米罗维奇·林尼克沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。

然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。

写出来有6846168位数字，要验证之前的偶数都能写成两个素数的和，计算量仍然太大。

1989年陈景润与王元将这个下限减低到1043000.5，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至e3100≈101346.3，但仍然与实际验证过的范围（4×1014）有很大距离。

而如果假设广义黎曼猜想正确的话，让-马克·德苏耶等人在1998年证明了：每个大于等于7的奇数都可以
写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。

1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数k，
每个充分大的奇数都可以表示p
1+p
2
+p
3
k的形式。

当k=1的时候，就是弱哥德巴赫
猜想。

由于维诺格拉多夫估计时使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。

1945年，林尼克发展出估计狄利克雷L 函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。

这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975年沃恩提出了首个不依赖估计L函数零点密度的方法，1977年潘承洞得到了仅利用L函数初等性质的简易证明。

2013年5月13日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德·贺欧夫各特，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。

贺欧夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得普林斯顿大学博士学位。

2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。

2012年5月，贺欧夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。

在这个更优估计的基础上，贺欧夫各特在2013年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，贺欧夫各特和同事David Platt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。

第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。

由于技术上的原因，圆法不适用于偶数哥德巴赫猜想，人们只能另觅途径。

途径三：小变量的三素数定理，即已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。

如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。

我们可以把
这个问题反过来思考。

已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明
这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。

这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。

这个小素变数不超过N的θ次方。

我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。

潘承洞先生首先证明θ可取1/4。

后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。

这个数已经比较小了，但是仍然大于0。

途径四：几乎哥德巴赫问题，即2m=p+q+2k。

p和q均为奇素数。

1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。

在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。

这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。

我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。

因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。

这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。

显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。

但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。

其中有个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。

目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D.R.Heath-Brown)和德国数学
家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。

2020年10月16日。