数学建模-房室模型

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最简单的房室模型是一房室模型

最简单的房室模型是一房室模型。

用一房室模型意味着将机体看成一个动力学单元,它适用于给药以后药物瞬即分布到血液、其它体液及各器官组织中,并达成动态平衡的情况。

二房室模型是从动力学角度把机体设想为两部分,分别称为中央室和周边室。

中央室一般包括血液及血流丰富的组织(如心、肝、肾、肺、脑、消化器官等),周边室一般指血流供应少,药物不易进入的组织(如肌肉、皮肤、脂肪、毛发等)。

尽管经典房室模型在临床中已有广泛的应用,但是这种模型并不能描述组织间浓度差异较大的生理系统。

对药理活性不高的药物而言,可以忽略房室之间的差异,但是对于具有高亲和力的药物,或对于某些组织具有毒性,有特殊的目标器官的药物,经典的房室模型就无法描述这种特殊的现象[1]。

经典房室模型还存在着一些明显的缺点,如:分析结果依赖于房室模型的选择,而房室模型的选择带有一定的不确定性。

同一种药物可用不同的房室模型来解释,相应的参数可以显著不同。

因而,要判断哪一个模型最适宜,有时是困难的,甚至是不可能的。

为了克服经典房室模型的缺点,近年来药物动力学研究继经典房室模型之后又提出了生理房室模型[2]。

生理房室模型简称生理模型,是一种整体模型。

它是根据生理学、生物化学和机体解剖学的知识,模拟机体循环系统的血液流向并将各器官或组织相互联结。

每一房室代表一种或一组特殊器官或组织,每一器官或组织(房室)在实际血流速率和组织/血液分配系数以及药物性质的控制下遵循物质平衡原理进行药物运转。

因此,生理模型可描述任何器官或组织内药物浓度的经时变化,以提供药物体内分布的资料,并可以模拟肝、肾等代谢、排泄功能,提供药物体内生物转化的资料,从而得到药物对靶器官作用的信息,有助于药物作用机理的探讨。

依据生理房室模型药物动力学,通过模拟可以验证、补充和预测体内药量的经时变化规律。

对新药研究开发、临床药物治疗均有理论指导意义和实用价值。

药动学通常用房室模拟人体，只要体内某些部位接受或消除药物的速率相似，即可归入一个房室。

数学建模之体内药物浓度的分布模型

2
ln 2 k
环境机体
只输出不输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
kx
K0
dt
（x(0)=0）
K0
（3.13）
这是一个一阶常系数线性方程，其解为：
易见：lim C(t) K0
t
Vk
（第一次） C(t) K0 (1 ekt )
Vk 0≤t≤T1
C(t) K0 (1 ekT1 )ek (tT1)
Vk
T1≤t≤T1 +T2
环境
dx dt
K0
机体
x(t)
x(0) 0
恒定速率输入房室
dx
dt
出
情况3 口服药或肌注
口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物
D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地
满足微分方程：
dx kx 0 dt
（3.12）
其解为：
x(0) D x(t) Dekt
负增长率的Malthus模型
药物的浓度： c(t) D ekt
V
与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的
时间称为药物的血浆半衰期：
t1
dx dt
出
kx
假设药物均匀分布
环境
药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常 dx
机体
见的给药方式下体内药体的变化规律。
dt
入
x(t)
dx
பைடு நூலகம்dt
出

房室模型的划分依据和动力学特征

房室模型的划分依据和动力学特征示例文章篇一：《房室模型的划分依据和动力学特征》嘿，你知道吗？在我们探索身体里那些奇妙的变化呀，有个特别有趣又超级有用的东西叫房室模型呢。

我就先说说啥是房室模型吧。

你可以把我们的身体想象成一个大城堡，这个城堡里呢，有不同的房间。

每个房间就像是一个房室。

房室模型就是科学家们想出来的一种办法，用来描述药物在我们身体这个大城堡里是怎么跑来跑去的。

那房室模型的划分依据是啥呢？这就好比我们要把城堡里的房间分类。

有些房间可能挨得特别近，药物在它们之间跑得就特别快，就像在同一个小院子里的屋子似的。

比如说，我们的血液就像城堡里的一条大河，那些和血液关系特别紧密的地方，药物一进去就能快速到达，这就可能被划分成一个房室。

像我们的心脏、血管这些地方，药物一下子就能在里面扩散开，那它们就可能被看作是一个房室。

还有啊，如果有一些组织器官，它们对药物的吸收啊、分布啊的速度差不多，那它们也能被划到同一个房室里。

就像城堡里的一些功能相似的小角落，它们对待客人（药物）的态度很相似，那就把它们归为一类啦。

这就好比厨房和餐厅，总是有很多东西在它们之间来来去去，速度也差不多，就可以算是一种类型的房室。

再讲讲房室模型的动力学特征吧。

这就像在城堡里，每个房间都有自己独特的规则来迎接和送走客人。

比如说一房室模型，药物进入身体这个城堡后，就像一个小探险家在一个大房间里跑来跑去。

这个小探险家（药物）在这个大房间（一房室）里的运动速度是有一定规律的。

它可能会均匀地分散在这个房室里，就像你把一把沙子撒在一个大盒子里，慢慢地沙子就会均匀分布一样。

这个时候呢，药物的浓度变化是按照一定的数学公式来的。

如果用一个简单的比喻，就像是一个小水滴在一个平静的小池塘里，慢慢地扩散开来，它的扩散速度是有规律可循的。

二房室模型就更有趣了。

就像城堡里有两个不同的区域，一个可能是中心区域，一个是边缘区域。

药物先进入中心区域，这个中心区域就像是城堡里的大厅，药物在大厅里一下子就能散开，浓度变化比较快。

数学建模——太阳能小屋的设计模型

针对该问题，我们需要研究如下的问题：
（1）根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
（2）：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
（3）：根据附件7给出的小屋建筑要求，为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
二、问题分析
对于在绿色小屋上铺设太能电池板最优解的问题，我们可以设定为是多因素限制的一个多变量的规划问题。
太阳能电池由电池板和逆变器构成，两个相互影响，只允许相同型号的光伏组件进行串联，不同型号的光伏组件只能并联。电池板本身大小固定，很难完全铺设，这些都是限制因素，都要在模型中加以考虑。
根据逆变器的参数调整设计电池组件分组阵列串并联的方式以满足相应的输出电压和总功率，研究电池板型号对应于逆变器的关系来确定电池板的组件；
最后，对所建模型进行评价和改进，并且就太阳能小屋的设计和建造问题给出了具体的建议。
关键词：光伏电池优先因子贪婪算法非线性优化最佳倾角
一、问题重述
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

房室模型的综述

房室模型的综述1前言神经系统可能是我们体内最复杂和最重要的系统。

它负责传递有关肌肉运动和感官输入的信息，使我们能够与周围的世界互动并感知它们。

神经系统主要由称为神经元的大量互连细胞网络组成。

因此，对神经元的研究具有重要意义，因为了解神经元本身的性质有助于理解它们如何在更大的网络中协同工作。

1.1神经元解剖学神经元可以分解为三个主要部分;躯体，树突和轴突。

体细胞是神经元的主体，具有容纳细胞核的半透性细胞膜。

树枝状结构形成一个巨大的树状结构，从躯体延伸出来。

树突负责接收来自其他神经元的突触输入（神经递质）。

神经元的轴突是长轴状结构，终止于轴突末端。

轴突末端负责释放由其他神经元的树突所接收的神经递质。

神经元图如图1所示。

树突和轴突末端的大分支结构允许每个神经元与数千个其他神经元连接，形成大规模的通信网。

神经元通过突触进行通信，突触由轴突终端中的电脉冲触发。

轴突末端的电脉冲释放神经递质，该神经递质与另一神经元的树突上的受体位点结合。

树突上的兴奋性神经递质的累积可以引起动作电位，这是跨细胞膜的电压的大的尖峰。

该电脉冲可以沿树突移动到轴突终端，其中可以定位其他突触，允许信息在网络上传播。

1.2数学方法为了捕获沿单个神经元的电脉冲传播的基本动态，可以使用数学方程。

然而，神经元的复杂生理结构产生难以分析的方程式。

跨越神经元细胞膜的潜在差异取决于空间和时间，因此生理上准确的神经元模型将受部分差异方程（PDE）控制。

PDE难以通过分析和数值分析。

为了克服这种困难，神经元可以通过称为区室化的过程离散化（图2）。

当神经元被划分时，它被分解成称为隔室的不连续区段。

图1：神经元图。

神经元的三个主要部分是体细胞，树突和轴突。

单个隔室没有空间依赖性，因此它们的电压仅取决于时间，这使得它们可以由普通的二元方程（ODE）控制。

通常，对ODE系统的分析比PDE系统的分析容易得多。

区室化过程允许使用空间独立的隔室对神经元进行建模。

模型具有的隔室越多，其生理学上就越现实。

房室模型(药物代谢动力学)

06
房室模型的验证与选择
模型的验证方法
残差分析
通过观察残差的正态性、独立性和变异性，评估模型的拟合效果。
诊断绘图
利用诊断图（如半对数图、标准化残差图等）来评估模型假设的合理性。
参数的统计推断
通过比较参数的估计值与实际值，评估模型的准确性。
交叉验证
利用不同数据集对模型进行验证，以评估模型的泛化能力。
房室模型的应用
01
02
03
药代动力学研究
通过房室模型可以研究药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程，为药物设计和优化提供依据。
药物相互作用研究
房室模型可以用于研究药物之间的相互作用，预测新药与现有药物联合使用时的药代动力学行为。
个体化用药指导
根据患者的个体差异，通过房室模型可以预测不同患者的药物暴露量，为个体化用药提供依据。
详细描述
清除率的大小取决于药物的代谢速率和排泄速率。药物的清除率对于了解药物在体内的消除过程、制定给药方案和评估药物疗效具
有重要意义。
吸收速率常数
总结词
吸收速率常数是反映药物吸收速度的参数，表示药物从胃肠道进入血液的速度。
详细描述
吸收速率常数的大小与药物的溶解度、渗透性和肠道吸收能力等因素有关。了解药物的吸收速率常数有助于预测药物的生物利用度和血药浓度变化，从而指导临床合理用药。
THANKS
感谢观看
02
一室模型
定义与特点
定义
一室模型是指药物在体内均匀分布，且药物在各组织中的消除速率相同。
特点
一室模型是房室模型中最简单的一种，适用于药物在体内分布广泛且消除速率较慢的情况。
数学表达方式
药物浓度在体内随时间变化的方程为： C(t) = C₀ * e^(-kt)，其中C₀为初始药物浓度，k为消除速率常数，t为时间。

数学模型二房室模型

对应齐次方程通解可证明：特征方程有两个不相等负根
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
给药速率 f0(t) 几种常见的给药方式和初始条件 t=0 瞬时注射剂量D0 1.快速静脉注射 f (t ) 的药物进入中心室,血 V c (t ) (k k )c V k c V 药浓度立即为D0/V1
c1 (t ), c2 (t ) 0
详解
• 因f0( B1e t , c2 (t ) A2et B2e t 1 • 代入方程第一式（第二式也可）
- A1e
t
- B1e
t
（k12 k13 )( A1e -
c1 (t ) A1e (t T ) B1e (t T ) 通解 c2 (t ) A2 e (t T ) B2 e (t T )
常数A1 A2 k0 (k21 ) k0 (k21 ) , B1 , V1k21k13 ( ) V1k21k13 ( )
t>T以后，静脉注射停止
V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 1 方程 ,t T c (t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V2
当T充分大，初值 k0 c1 (T ) k13V1 k12 k0 c2 (T ) k 21k13V2
f 0 (t ) V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 V 1 1 c (t ) V1 k c k c f 0 (t ) k0 , c1 (0) 0, c2 (0) 0 2 12 1 21 2 V2

房室模型[汇总]

§3 房室模型[问题的提出]药物进入机体后，在随血液输运到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外．药物在血液中的浓度，即单位体积血液(毫升)中药物含量(毫克或微克)，称血药浓度，随时间和空间(机体的各部分)而变化．血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的效果，浓度太高又可能导致药物中毒、副作用太强或造成浪费．因此研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系，对于新药研制、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展都具有重要的指导意义和实用价值．这个学科分支称药物动力学．建立房室模型(Compannlent Model)是药物动力学研究上述动态过程的基本步骤之一．所谓房室是指机体的一部分，药物在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不同房室之间则按照一定规律进行药物的转移．一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度而定．本节只讨论二室模型，即将机体分为血液较丰富的中心室(包括心、肺、肾等器官)和血液较贫乏的周边室(四肢、肌肉组织等)．药物的动态过程在每个房室内是一致的，转移只在两个房室之间以及某个房室与体外之间进行．二室模型的建立和求解方法可以推广到多室模型．显然，将一个机体划分为若干房室是人们为了研究目的所做的简化．值得庆幸的是，这种简化在一定条下已由临床试验证明是正确的，为医学界和药理学界所接受．[模型的假设] 1．机体分为中心室( 室)和周边室( 室)，两个室的容积(即血液体积或药物分布容积)在过程中保持不变；2．药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的血药浓度成正比；3．只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进人中心室，最后又从中心室排出体外．与转移和排除的数量相比药物的吸收可以忽略．在这些假设下的一种二室模型示意图如下，)(),(t x t c i i 和i V 分别表示第i 室)2,1(=i 的血药浓度、药量和容积，12k 和21k 是两室之间药物转移速率系数，13k 是药物从I 室向体外排除的速率系数.)(0t f 是给药速率，由给药方式和剂量确定．这种速率系数为常数的房室模型称乳突状模型．[模型的建立] 根据假设条件和上图可以写出两个房室中药量)(),(21t x t x 满足的微分方程．)(1t x 的变化率由I 室向Ⅱ室的转移12k -1x ，I 室向体外的排除113x k -，Ⅱ室向I 室的转移是221x k ，及给药)(0t f 组成；)(2t x 的变化率由I 室向Ⅱ室的转移112x k 及Ⅱ室向I 室的转移221,x k -组成．于是有)(t x i 与血药浓度)(t c i 、房室容积i V 之间显然有关系式(2)代人(1)式可得这是线性常系数非齐次方程，它的解由齐次方程的通解和非齐次方程的特解组成．其对应齐次方程的通解为：其中βα,由确定．为了得到非齐次方程的特解从而解出(3)，需要设定给药速率)(0t f 和初始条件．我们考察下面几种常见的给药方式．1．快速静脉注射这种注射可简化为在0=t 的瞬时将剂量0D 的药物输入中心室，血药浓度立即上升为10/V D ，于是)(0t f 和初始条件为方程(3)在条件(6)下的解为其中βα,由(5)确定．可以看出当∞→t 时0)(,0)(21→→t c t c ．2．恒速静脉滴注当静脉滴注的速率为常数是0k 时，)(0t f 和初始条件为方程(3)在条件(9)下的解可表示为其中常数11,B A 由初始条件0)0()0(21==c c 确定．当t 充分大时)(),(21t c t c 将趋向于(10)式右端第3项表示的常值．实际上，若T t =后停止滴注，那么)(),(21t c t c 在T t >以后将按指数规律衰减并趋于零．3．口服或肌肉注射这种给药方式相当于在药物输入中心室之前先有一个将药物吸收人血掖的过程，可以简化为有一个吸收室，如图16．)(0t x 为吸收室的药量，药物由吸收室进人中心室的转移速率系数为01k ，于是)(0t x 满足0D 是给药量．而药物进人中心室的速率为将方程(11)的解代人(12)式得在这种情况下方程(3)的解)(1t c 的一般形式为(设βα,01≠k )．其中系数A ，B ，,E 正由初始条件0)0()0(21==c c 确定．从以上的讨论可以看出，中心室的血药浓度)(1t c 取决于转移速率系数132112,,k k k ，房室容积21,V V 以及输入参数00,k D 等因素，而房室模型的用途恰是通过对)(1t c 的量测，确定对于药理学和临床医学最为重要的参数，如转移速率系数，特别是从中心室向体外排除的速率系数13k ．下面介绍在快速静脉注射给药方式下估计诸参数的方法．[参数估计] 在0=t 瞬时快速注射剂量为0D 的药物以后，在一系列时刻),2,1(n i t i ，⋯=从中心室采取血样并获得血药浓度)(1t c ，根据这些数据利用 (7)，(5)式估计参数132112,,k k k 的过程可分两步：先计算(7)式中的B A ,,,βα再确定132112,,k k k ．1．计算B A ,,,βα 不妨设βα<，于是当t 充分大时(7)式近似为或对于适当大的i t 和相应的)(1t c ，用最小二乘法不难估计出α，1nA 和A ．然后计算再利用(7)式得对于较小的i t 和由(17)式算出的)(1i t c ，仍用最小二乘法即可得到β和B ．2．确定132112,,k k k因为∞→t 时0)(),(21→t c t c ，进人中心室的药物全部被排除，所以将(7)代人(19)式可得又因为联合(20)，(21)式解出再利用(5)式即可确定这就完成了根据中心室血药浓度的量测数据，估计转移和排除速率系数的过程．[ 评注] 建立房室模型的目的是研究体内血药浓度的变化过程，确定诸如转移和排除速率系数等参数，为制订给药方案和剂量大小提供数量依据．建模过程是将机理分析和测试分析相结合，先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数．选用几个房室建模是一个重要问题，可以先选择一室模型，其计算非常简单．不满意时再采用二室或多室模型，甚至非线性房室模型．常见的一种非线性模型(以一室为例)是12111.)(c k c k t c +-=，当1c 较小时它近似于线性模型；称为一级排除过程，而当1c 较大时)(1.t c 近似于常数，称为零级排除过程，所以它表示了一种混合型的排除过程．。

住宅空间算法模型

住宅空间算法模型随着城市化进程的不断推进，住宅空间规划与设计变得愈加重要。

如何在有限的空间中合理布局，满足人们对居住环境的需求，成为了一个值得研究的课题。

为此，研发出适用于住宅空间的算法模型，成为了提高住宅空间利用率和居住质量的重要手段。

住宅空间算法模型的目标是通过数学建模和优化算法，找到最佳的空间布局方案。

首先，需要对住宅空间进行分析和抽象，将其转化为数学表达形式。

这个过程中，需要考虑到住宅的功能需求、居住者的行为习惯以及空间的限制条件等因素。

然后，根据这些因素构建适用于住宅空间的数学模型，以描述住宅空间的各个要素之间的关系。

在构建数学模型的过程中，可以利用图论、线性规划、优化算法等数学工具。

图论可以用来描述住宅空间中的房间和房间之间的连接关系，从而寻找最佳的空间布局。

线性规划可以用来优化住宅空间的利用效率，通过设置适当的目标函数和约束条件，找到最佳的解决方案。

优化算法可以通过遗传算法、模拟退火等方法，对住宅空间进行搜索和优化，找到最佳的空间布局方案。

除了数学建模和优化算法，还可以借鉴人工智能和机器学习的方法，通过大量的数据分析和模式识别，找到住宅空间布局的规律和最佳实践。

通过对已有住宅空间数据的学习和训练，可以预测和推荐适合的空间布局方案。

住宅空间算法模型的应用范围广泛。

在城市规划中，可以用来优化住宅小区的空间布局，提高居住者的生活质量。

在室内设计中，可以用来优化单个住宅的空间布局，提高居住者的舒适度和便利性。

在住宅销售中，可以用来推荐适合不同人群的住宅空间布局方案，提高销售的成功率。

然而，住宅空间算法模型也面临一些挑战和限制。

首先，住宅空间的需求是复杂多样的，不同人群对住宅空间的需求也不尽相同。

因此，如何将这些需求准确地转化为数学模型，仍然是一个难题。

其次，住宅空间的优化目标可能存在冲突，需要进行多目标优化。

在多目标优化中，如何找到平衡点，使得各个目标之间达到最优的平衡，也是一个需要解决的问题。

房室模型名词解释

房室模型是心脏解剖和心脏电活动的一种简化模型，用于描述心脏内部的结构和电流传导路径。

在房室模型中，心脏被分为两个主要部分：心房和心室。

心房是上部的心腔，其收缩将血液推向心室。

心室是下部的心腔，其主要功能是将血液泵送到全身各个器官。

房室之间有一个称为房室结（AV结）的区域，它位于心房底部和心室之间，起到连接和传导信号的作用。

房室模型还包括其他重要的结构，例如窦房结（SA结）、希氏束和浦肯野纤维等。

窦房结是心脏的起搏点，控制心脏的节律。

希氏束和浦肯野纤维是心室内部的电流传导通路，负责将来自心房的电信号传递到心室肌肉，引发心室收缩。

通过房室模型，可以更好地理解心脏的结构和电活动，为诊断和治疗心脏疾病提供参考和指导。

请注意，房室模型只是心脏解剖和电活动的简化描述，并不能完全涵盖所有细节和复杂性。

在实际的医学和生理学研究中，对心脏功能和电活动的理解还需要更加详细和深入的模型和方法。

房室模型的确定及参数计算

(4-2)
M
N
Sw
(Ci
X
e jti
j
) 2 Wi
(4-3)
i1
j 1
N为房室数，ｊ为房室序数， M为采血时间次数，xj、j为待定参数，Ct 为ｔ时刻血药浓度，Ci为第i次取样时的血药浓度实测值，为第i次取样时的血药浓度的理论计算值，S为残差平方和，Sw为加权残差平方和， Wi为权重系数
• 由表4-1所列数据经最小二乘法分别按一室及二室模型拟合曲线，得相应的药-时曲线方程式：
• C=235.170e－0.026t
（一室）
• C=210.86e－0.222t+164.36e－0.020t （二室）
• 按上述C-T方程式分别标出两种模型不同时间的血药浓度，谓之血药浓度的计算值，结果见表4-3中的第3栏、第5栏数值。
5. AIC 判断法（Akaike′s information criterion）
该法首次由日本统计学家赤池弘次（Akaike）提出，该氏从信息理论出发，提出一种信息标准（information criterion），以便对信息量作出数字上的表达，并用统计学方法确定拟合于一组实验数据的数学方程的参数数目，故称 AIC法。Akaike 及Tanabe 根据随机误差遵从Gaussion分布的假设，以下列方程式定义AIC：
第4章房室模型的确定及参数计算
第1节房室模型的确定
药代动力学系通过“速率类型”和“数学模型与隔室”这两大要素来分析药物体内动态规律的，这里十分重要的问题是要建立一个合适的房室模型，亦既房室数的确定问题，同样一组血药浓度资料，房室模型确定不当，将导致错误的结果。
一、最佳房室数确定原则
i 1 n

大学生数学建模：饮酒驾车问题的分析房室模型

饮酒驾车问题的分析摘要本文通过Excel 对附录中给出的饮酒后血液中酒精含量随时间变化的关系表进行分析，根据药物代谢动力学原理，进行了合理的假设建立“房室模型”。

对于短时间内的饮酒情况，我们建立了二室模型进行研究；而长时间内的饮酒的情况，则建立一室模型进行研究。

下面，我们先就两个模型进行简单介绍。

(1) 模型一（短时间内的饮酒问题）：由于时间比较短，我们可将其看成是口服或肌肉注射药物的过程，即酒精经吸收进入血液后，再进入中心室。

这里，我们将酒精吸收进入血液的过程简化为一个吸收室，建立一个酒精经吸收进入中心室的“二室模型”。

具体过程为酒精进入吸收室后，按照一定的速率进入中心室，再由中心室排出体外。

所以某一时刻血液中的酒精含量变化率为某一时刻由吸收室进入中心室的酒精量减去排出体外的酒精量。

从而建立模型，并求解出血液中的酒精含量与时间的关系式为()t k ktBe Aet C 0---=，然后利用Matlab 对所提供的数据进行分析拟合，得到一个具体的关系式：(2) 模型二（长时间内的饮酒问题）：由于饮酒的时间比较长，我们可将其看成是恒速静脉滴注过程。

假设血液中酒精在较长时间内按恒速进入中心室，因此将“二室模型”简化为“一室模型”，即酒精以()00k t f =流入中心室，再由中心室排出体外。

得出解析式：----⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩01(2)201()(1)(02)()()(1)(2)ktk t k f t e t V k c t f t e e t V k然后根据提供的数据，得出在2小时内喝了3瓶啤酒或者半斤较低度的白酒后，血液中的酒精量与时间的关系式：根据以上建立的模型，代入时间计算，经过检验，比较符合实际情况。

问题的解答： (1) 大李在中午12点喝一瓶啤酒，下午6点检查时，代入=6t 得：随后又喝一瓶啤酒，凌晨2点检查时，代入=14t 得： (2) 短时间内饮酒则；长时间内饮酒则 (3) (4)关键词二室模型一室模型数据分析拟合一.问题重述1.1背景据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

数学建模(B题住房分配问题含答案)

住房分配问题摘要：针对某院校现行住房分配方案存在着不合理性，为了充分体现重视人才，鼓励先进等政策。

这里运用两种分析方法即层次分析法和主成分分析法解决这个问题。

层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。

按照层次分析法采用‘求各成员对总目标权重’的方法，且根据题意，目标层为住房分配；准则层为八个因素，按权重依次为职级、任职时间、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况，根据权重列出88⨯矩阵，进行一致性检验，数据符合，进一步求出最大特征值，在对矩阵进行归一化，得相对应的特征向量；方案层为40位满足住房分配的人员，根据每位职员对8个因素的不同特征，对这些数据进行量化，直接构造8个4040⨯的一致阵，此时其最大特征值是40，进一步对每个矩阵进行归一化，得其相对应的特征向量；最终求每个职员对总目标的权值，再进行排序，其总排序为：p1、p5、p10、p7、p6、p9、p2、p3、p11、p12、p14、p4、p8、p13、p22、p31、p25、p32、p33、p21、p18、p16、p17、p34、p19、p29、p15、p23、p24、p35、p36、p26、p20、p2、p28、p30、p37、p40、p38、p39。

为了排除层次分析法存在主观因素的影响，再运用主成分分析法求解此问题。

主成分分析是一种通过降维技术把多个指标约化为少数几个综合指标的综合统计分析方法，而这些综合指标能够反映原始指标的绝大部分信息，它们通常表现为原始几个指标的线性组合。

首先对前面已经量化的40位职员对8个因素数据进行标准化，即求各列方差、均值，再对840⨯个数据标准化；在MATLAB中直接利用cov函数求其8⨯相关系数矩阵；进一步利用eig函数求得其各个特征值和对应的特征8向量，求得的特征值即为主成分的方差，对应的特征向量即为主成分的系λ>的原则提取了两数；将特征值按照从大到小的顺序依次排列，根据λ个主成分，分别计算两个主成分各自的得分，然后利用方差贡献率作为权重进行加权，得到主成分得分从大到小依次排序的结果为：p29、p36、p33、p40、p35、p25、p15、p32、p8、p18、p2、p16、p38、p34、p21、p39、p12、p17、p27、p30、p10、p37、p28、p24、p26、p31、p22、p23、p3、p20、p5、p14、p13、p11、p4、p7、p6、p1、p9、p19。

一房室模型

关于药动学中一房室模型的数学建模摘要本文讨论了药动学中一房室模型，旨在分析不同注射条件下，血药浓度的变化规律。

药动学通常用房室模拟人体，只要体内某些部位接受或消除药物的速率相似，即可归入一个房室。

本文讨论一室模型，即给药后，体内药物瞬时在各个部位达到平衡，血液浓度和全身各组织器官部位浓度迅速达到平衡，可看为开放性一室模型。

本文利用数学建模思想，考虑不同人体吸收药物能力λ不同，讨论了在不同给药方式下人体血药浓度的变化，以及在多次重复给药方式下血药浓度的变化，并画出图像。

针对问题一，运用微分方法，通过血药浓度变化率平衡关系及有关血药浓度的初值条件，建立微分方程模型，通过计算得到结论：在快速静脉注射条件下，药物浓度随时间的增加而指数减小;在恒速静脉滴注条件下，在持续时间τ处，药物浓度指数增加达到峰值，在τ之后指数减小;在口服或肌肉注射条件下，药物浓度随时间呈现增加后减小趋势。

针对问题二，首先由问题一可求解第n 次注射后血药浓度，在稳态要求下，即∞→t ，血药浓度c 在人体能够承受最大值1c 与最小值2c 之间，求出固定时间间隔T 和固定剂量D 。

针对问题三，采取问题二解题方法，在恒速静脉注射和口服或肌肉注射及多次重复给药方式下条件下，分别求出人体血药浓度解析表达式，并作图，求出在恒速静脉注射条件下固定时间间隔T 和固定剂量D 。

关键词：一室模型快速静脉注射恒速静脉注射口服或肌肉注射固定时间固定剂量多次重复给药一、问题重述药动学通常用房室模拟人体，一房室模型准确性稍差，却比较简单，便于理解推广应用，且有些药物用单室模型处理已能满足要求。

讨论按固定时间间隔、每次给予固定剂量的多次重复给药方式。

为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度控制在合理范围内。

现解决一下问题：问题一：根据已知的二室模型，建立只有一个中心室的一室模型，并给出解析表达式。

问题二：在快速静脉注射的多次重复给药方式下，求解血药浓度解析表达式，并作图，讨论如何确定固定时间间隔和固定剂量使血药浓度的变化，满足上述要求。

药物代谢动力学数学建模

房室模型
二、细胞膜的结构与药物的转运
• 细胞膜主要由类脂（磷脂为主）和蛋白质组成 • 分子结构的模式，——―液态镶嵌模型”。 • 生物膜是可塑的、流动的、嵌有蛋白质的类脂双层分子的膜状结构。
• 药物的转运：药物跨过生物膜的运动。
• 以被动转运为主。
• 被动转运：药物从细胞膜高浓度一侧向低浓度一侧的顺浓度差转运。 • 特点：不耗能，没有饱和限速，不受其他转运物质的竞争性制约。膜两侧只要存在浓度差，转运就不会停止。
pH和pKa决定药物分子解离多少
一般的规律是弱酸性药物在酸性体
液中(胃中)解离少,容易通过细胞膜,
即可被吸收。弱碱性药物在碱性体液
中(小肠)解离少,容易通过细胞膜,主
要在小肠吸收。
pH和pKa决定药物分子解离多少
• 不同药物的pKa不同，在同一体液条件下解离度不同，进入靶细
胞的量不同，效应强度也不同
体内总药量（X0）与零时间血药浓度（C0）的比值 Vd＝ X0 ／ C0
Vd是计算值，非体内生理空间，只表示药物在体内分布广窄程度
• Vd大小取决于： • 药物理化性质（pKa等） • 在组织中的分配系数
• 与血浆蛋白或组织蛋白结合率
Vd意义——推测药物在体内的分布范围
70kg的人体，总含水量为40～46L，血浆3L
• 2.双室模型药物进入体内后，能迅速进入机体的某些部位，对另一些部位，需要一段时间才能完成分布。 • 中央室：血液及血流丰富能够瞬时分布的组织、器官（心、肝、脾、肺、肾） • 周边室：血液供应少、药物分布缓慢的组织、器官（骨骼、脂肪、肌肉）
房室模型
(compartment model)
dC／dt = -k1C0 积分得： Ct = C0e

微分方程模型——数学建模真题解析

练习：如果例2中的桶是漏斗形的(倒圆锥)或球形的，计算水深的变化规律。
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后，这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数量。另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题饮酒驾车据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则称为常微分方程。否则称为偏微分方程。

房室模型(药物代谢动力学)(特选参考)

表观分布容积是指药物在体内达到动态平衡时，体内药量与血药浓度相互关系的一个比例常数，其本身不代表真实的容积，因此无直接的生理学意义，主要反映药物在体内分布广窄的程度，其单位为L或L/kg。
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优选内容
对于单室模型的药物而言分布容积与体内药量X和血药浓度C之间存在下列关系：
药物的分布容积的大小取决于其脂溶性、膜通透性、组织分配系数及药物与血浆蛋白等生物物质的结合率等因素。如药物的血浆蛋白结合率高，则其组织分布较少，血药浓度高。
清除率Cl与消除速率常数k和分布容积之间的关系可用下式表示：
优选内容
Байду номын сангаас33
第二节一房室模型
一房室模型是一种最简单的房室模型，它把整个机体视为一个房室，药物进入体内后迅速分布于体液和全身各组织，并在体内各组织之间迅速达到动态平衡，药物在各组织之间的转运速率相同，但达到动态平衡后各组织部位的药量不一定相等，药物从体内按一级过程消除。静注给药后血药浓度-时间曲线呈现出典型的单指数函数的特征，即血药浓度的半对数与时间呈直线关系。这是一房室模型的重要的动力学特征。
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优选内容
3．消除速率常数(elimination rate constant, k) 和消除半衰期（half life time, t1/2） K是药物从体内消除的一个速率常数，而消除半衰
期是指血药浓度下降一半所需的时间，两
者都是反映药物从体内消除速度的常数，
且存在倒数的关系，由于后者比前者更为直快观慢，,它故是临临床床上制多定用给t药1/2方来案反的映主药要物依消据除之的一。
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优选内容
2．房室模型的动力学特征
在药物动力学里把N级速率过程简称为N级动力学，k为N级速率常数。在房室模型的理论中假设药物在各房室间的转运速率以及药物从房室中消除的速率均符合一级反应动力学，因此其动力学过程属于线性动力学，故房室模型又称线性房室模型，只适合于描述属于线性动力学药物的体内过程。

数学建模系列-常用模型

（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
同理得，, B3 对总目标的权值分别为：0.246 B2 ,
决策层对总目标的权向量为：又
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：
Z A1 A1 1 A2 2 A3 1/4 A4 1/3 A5 1/3 A2 A3 A4 A5
1/2
1 1/7 1/5 1/5
A1 , A2 , A3 , A4 , A5
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 A 加以调整。一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
4 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，
称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设：层m个因素A1, A2 ,, Am , A
， n
时，为一致阵。 n A
A n 由于连续的依赖于 aij ，则比大的越多，的不一致
性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用
n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义一致性指标
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两
种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。

数学建模案例房屋加热模型

房屋加热模型一、模型简介：我们做这个项目的目的是找出一个合理的模型模拟房屋的加热和绝热。

我们必须找出哪些因素影响了温度，以及温度改变的程度和方式，以及温度达到什么程度时加热将受到限制。

二、模型的理论分析：在建立这么一个房屋模型时，我们必须首先考虑牛顿关于物体冷却的理论。

有以下微分方程：)(x T k dtdT −=变量解释：K 绝热常数X 室内温度T （t ）室外温度解以上方程，我们得到：ctce k y *=三、变化的外界温度下的房间温度在这个模型中，我们很必要将外界温度作为一个变量对待，所以我们引入一个变化的温度。

房间温度一小时测量一次，外界温度也随时间变化。

我们以函数T(t)来表示外界温度随时间的变化。

因此模型就变成了：))((x t T k dt dT −=。

（式1）我们用一个正弦函数来模拟气温地变化，最高和最低温度会出现在周期性的时刻。

这和实际情况也是相当吻合的。

这个等式变成了一个常微分方程，可以用手工解出。

20)47)12/)3(sin(5.17(7.0+−++−=x t pi dt dT ……（式2）我们首先做一些假设，参数k 取0。

7，这有利于我们建立一个合理的模型。

T(t)=-17.5sin(pi(t+3)/12)+47…….(式3)我们将看到，这个式子所给出的在（30度―――60度）范围内的T(t),正好符合一天的温度变化。

因为温度每一小时测量一次，所以温度的wavelength ＝1/f,f=1/24hr.式子中的＋20，表示热源，热源将会以每小时20度的速率加热房间。

解方程：=dt dT -0.7(17.5sin(12Π(t+3))+47-x)+20=dt dT -12.25(sin(12Π(t+3))+32.9-0.7x+20)dt dT +0.7x=-12.25sin(12Π(t+3))+52.9……（式4）我们用一个积分因子：0.7dte µ∫=0.7t e µ=……(式5)从上面的结果我们得到：0.70.70.7()12.25()sin((3))52.9()12t t t d e x e t e dt Π=−++0.70.70.70.7()()0.7()12.25sin((3))52.9()12t t t t dx e e x e t e dt Π+=−++0.70.70.7()12.25()sin((3))52.9()12t t t d e x e t e dt Π=−++结合两边的结果我们得到：0.70.70.712.25sin((3))52.912t t t e x e t dt e dt Π=−++∫∫0.70.70.72252.912.25((3)cos (3))1212120.70.7()12t tt e e e x t t ΠΠΠ=−+−++Π+2212.25(0.7sin (3)cos (3))12121275.570.7()12t t x ΠΠΠ+−+=−+Π+……(式子6)方程(6)给出了考虑时间之后的内部温度.四、格层系统如果我们增加一个变量，这个方程将会变成偏微分方程。

概率论分房模型

概率论分房模型概率论中的分房模型是一种常见的随机过程模型，它的应用范围非常广泛，例如在酒店、旅馆、公寓、学生宿舍等场合中，根据不同的规定和限制条件将人们随机分配到不同的房间中。

本文将介绍分房模型的概念及基本原理，并通过具体例子来说明分房模型的应用。

1.概念与基本原理首先，我们可以计算出每个房间能够容纳的人数组合数，即C(i,j) = (i+j-1)!/[(i-1)!j!]其中，i表示房间容纳人数的上限，j表示当前已经住进去的人数。

这个公式背后的思想是，将1到i的数字分成j组，每组至少包含1个数字，每组数字的顺序不重要，相当于是将i个球放到j个盒子中，不考虑盒子的不同。

例如，若i=4，j=2，则C(4,2)=6，表示两个人住进去的房间有6种可能的组合。

因此，对于每个房间i，我们可以列出如下的组合数表格：|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|| j\i| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 ||-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 || 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 || 2 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 || 3 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 |120 |165 | 220 || 4 | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 |126 |210 |330 |495 | 715 ||-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|2.示例分析为了更好地理解和应用上述原理，下面以一个具体的例子来说明如何进行分房。