哥德巴赫猜想研究(一)

v ( n ) v (2 k n ) v ( p1 ) v (2 k p1 ) v ( p1 ) v ( p 2 ) ，则 D(k ) 实际表示的是素数对
( p1 , p2 ) 的数目。这样，哥德巴赫猜想就是要证明 D (k ) 1 成立。算数函数 D (k ) 与
哥德巴赫猜想的关系一目了然，无需更复杂的证明。 3、无论是用概率法（密率法） 、筛法、圆法证明哥德巴赫猜想，最终的目的 就是证明 D (k ) 1成立。只是在获得 D (k ) 的表达式方面有所不同，所得结果也不 一样而已。 对 D(k ) 的表达式及其估值给出最好结果的应该是英国的数学家哈代李德伍兹，他们运用圆法对 D (k ) 给出了猜测性的结果，为研究哥德巴赫猜想开 辟了新方向。其他的方法虽然也给出了自己的表达式及其估值，有的是间接表 达式，过于复杂，但没有一种方法给出类似（3）这样直接的表达式。 4、如果方法得当， （3） （4）在具体运算中可以避开“筛法” “圆法”不必要的
n ）同为素数时只计数一次。比如说 D(2) 1, D(3) 1, D(4) 1, D(5) 2, D(6) 1.......等等。
2、算术函数 D (k ) 与哥德巴赫猜想有密切的，直接的关系。众所周知，一个 偶 数 如 果 能 表 示 为 两 个 素 数 的 和 ， 其 表 达 为 2k p1 p2 ， 设
B (k ) 0
（6）
就可以完全证明歌德巴赫猜想成立，而我们已经发现了（6）的计算方法。
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3
哥德巴赫函数及其关联函数
苏法王
哥德巴赫猜想虽然是一个著名的数学难题，但在中国却几乎家喻户晓。我 国的数学家陈景润把哥德巴赫猜想的研究推到了一个高峰。许多研究者认为陈 景润把现有的研究方法“发挥到了极致” ，哥德巴赫猜想的研究要想有突破， 必 须另辟蹊径，采用新的研究方法。 哥德巴赫猜想研究中常用的方法大体有概率法（密率法） 、筛法、圆法等， 当然这些方法还可以细分为不同的更具体的方法。按照有关专家的说法，如果 采用上述方法研究哥德巴赫猜想，估计取得突破的可能性非常小。那么出路在 何方？笔者认为哥德巴赫函数及其关联函数是一个重要的研究方向。 定义 1 函数
1
定义 3 歌德巴赫函数
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )
n 1
k
(3)
其中
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )=2 D ( k )
/ n 1
2k
பைடு நூலகம்
（4）
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。这个算术函数之所以把它称之为哥德巴
赫函数，它与歌德巴赫猜想有直接的关系，表现在： 1、 这个等式的含义十分非常清楚的，它也是一个计数函数。它表示在不大 于 2k 的自然数中， n ， 2k n 同时为素数的个数。其中（ n ， 2k n ）或（ 2k n ，
2
复杂计算。 定义 4 歌德巴赫函数关联函数
ln 2 n B ( k ) v ( n ) v (2 k n ) n n 1
k
(5)
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。我们把这个函数称之为哥德巴赫关联函
数。根据（3）我们可以证明，如果 B ( k ) 0 ，则歌德巴赫猜想成立，所以， 只要通过一定的方法证明
1 v(n) 0
其中 n =0，1，2，3…
n 为素数 其他
（1）
为自然整数
定义 2
函数
(k ) v(n)
n 1 k
(2)
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。这个等式的含义是非常清楚的，即在不
大于 k 的自然数中，所含素数的个数为 ( k ) 个，算术函数 (k ) 也叫素数计数函 数。