哥德巴赫猜想研究(一)
1.哥德巴赫猜想
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熊庆来教授发现了华罗庚，华罗庚又发现了陈景润，数学接力棒就是这样一代一代传下去的。 陈景润调到数学研究所以后，数学研究取得长足进步，在许多著名数学问题，如“圆内整点问题”、“华林问题”等都取得了重要成果。陈景润开始研究“哥德巴赫猜想”，准备摘取数学皇冠上更大、更光彩夺目的明珠。
在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。哥德巴赫猜想是第八个。
此后，20世纪的数学家们在世界范围内联手进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个不小于4的偶数都可以表示成（9+9）。
电视剧《陈景润 》剧照
关于歌德巴赫猜想的若干误区：
陈景润是一生在研究1＋1＝？吗？陈景润干吗要研究1+1？1+1不是很简单吗？？ 须知： 所谓1+1 只是一个象征的说法 ，并不是数学题中的1+1，而是一个数学命题 ，也就是歌德巴赫猜想另：也告诉你的学生，歌德巴赫猜想是一个世界级的难题。不具备相当的数论知识，不可能证明它。
主要成果：
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陈景润除攻克“哥德巴赫猜想”这一难题外，又把组合数学与现代经济管理、尖端技术和人类密切关系等方面进行了深入的研究和探讨。他先后在国内外报刊上发明了科学论文70余篇，并有《数学趣味谈》、《组合数学》等著作。
陈景润在解析数论的研究领域取得多项重大成果，曾获国家自然科学奖一等奖、何梁何利基金奖、华罗庚数学奖等多项奖励。他是第四、五、六届全国人民代表大会代表。
【他的婚姻】
徐迟的《哥德巴赫猜想》一文的发表，如旋风般震撼着人们的心灵，震撼着中外数学界。国内外评论说：“陈景润成了中国科学春天的一大盛景”。 他被邀参加了全国科学大会，邓小平同志亲切地接见了他。当时陈景润身体不太好，小平同志关怀备至，会议结束后，陈景润被送入北京解放军309医院高干病房。 他的到来，轰动了整个医院，院领导给予了盛情的接待，医生和护士无不崇敬这位世界上第一位数学圣人。 1977年11月从武汉军区派到309医院进修的由昆，被同伴们拉去看中国这位名人，这真是缘分，过去陈景润连女人名字的边都不粘，连句话都不说的人，此次年近半百的陈景润见到由昆，眼睛一亮，亲切地和由昆打招呼，请她们进来坐下，话也多了。 后来由昆被派到陈景润的病房当值班医生。斗转星移，彼此产生了爱情，他们在组织的帮助下结婚了。从此这位被称为“痴人”和“怪人”的数字家陈景润有了一个温暖的家了。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。
后来，他成了一名数学家。
哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。
不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。
其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。
他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。
1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：“大于5的任何数是三个素数的和。
”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。
同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。
”这就是著名的哥德巴赫猜想．后来，它被归纳为：命题甲：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题乙：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。
当然，如果(甲)成立，则(乙)必成立．这是因为2n+1=2(n-1)+3而(甲)成立，有两个奇素数p1，p2，使2(n-1)=p1+p2．再把奇素数3记为p3，则奇数N奇=2n+1=p1+p2+p3．因偶数2(n-1)≥6，故奇数2n+1≥9．(*)这就指明了：若(甲)成立，则(乙)成立；但若(乙)成立，则反推不出(甲)成立．这说明(甲)命题是最本质的．整个19世纪结束时，哥德巴赫猜想的研究没有任何进展．有人作了具体的验证，得到6=3+3，8=3+5，…，18=11+7，…，一直算到33×106(三千三百万)以内的偶数都是对的，而相应的奇数也有同样的结论．问题是较大的偶数怎么样？1900年，希尔伯特(Hilbert)在第二届国际数学会上发表了著名的二十三个难题中，哥德巴赫问题被列为第八个问题的一部分．由于问题艰难，有的数学家散布悲观的论调．1912年，德国数学家朗道(Landau)在国际数学会的报告中说：“即使要证明下面较弱的命题：任何大于4的正整数，都能表成C个素数之和(C 为某常数)，这也是现代数学力所不能及的．”1921年，英国数学家哈代(Hardy)在一次数学会上也谈到：“哥德巴赫猜想，可能是没有解决的数学问题中最困难的一个．”就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，那些勇于探索真理的人们，并没有被困难所吓倒，而是一步一个脚印地努力拼搏，从前人研究所走过的道路上去挖掘与发现解决哥德巴赫猜想可能取得成果的潜在思想，开始从不同的方向取得了为以后证明提供基础的重大突破．这就是：1920年前后，英国数学家哈代、李特伍德(Littlewood)和印度数学家拉马努扬(Ramanu-jan)所提出的“圆法”；1920年前后，挪威数学家布龙(Brun)所提出的“筛法”；以及1930年前后，苏联数学家史尼尔里曼(Schnirelmann)所提出的“密率”．在不到50年的时间里，沿着这三个方向对哥德巴赫猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数论和其他一些数学分支的发展．迄今得到的最好结果是：(1)1937年，苏联数学家维诺格拉托夫(Vinogradov)证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数的和；(2)1966年我国数学家陈景润证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和．这是两个十分杰出的成就．求解的思路人们遇到一些困难的理论问题时，往往有两种方式去进行求解：一是直接地去求证本题的结论，即把诸如(*)这类式子理解为一个方程式，当p1，p2，p3限制在素数范围内时，解答个数I(依赖于N)是否大于零呢？这就引出了对I进行估算的问题——猜想(乙)；二是将问题削弱一点，然后逐步逼近而力争解决——猜想(甲)．最早对I(N)进行研究的是英国的哈代及李特伍德，他们采用分析方法引进“圆法”来研究数论，他们利用“圆法”及一个未经证实的猜测——黎曼猜测证明了任一充分大的奇数都是三素数之和．因此，人们常称：这两位教授有战斗之功，无胜利之果．(有战斗之功指吹响了向哥德巴赫问题冲锋的进军号，无胜利之果是指证明过程中使用了一个未经证明的“猜想”．)1937年，苏联数学家维诺格拉托夫利用“圆法”及他自己创造的“三角和法”基本上证明了问题(乙)．巴雷德金(Borozdkin)算过，当奇数(此数共4008600位)大约400万位时，就能表示成三个奇素数之和，换句话说，除掉适合于的有限多个奇数外，命题(乙)都成立．但目前已知最大素数为 M756839=2756839-1共227832位，它比小得多，可见小于维氏常数的一切奇数是否满足命题(乙)，还没有办法验证，所以说是基本上证明了命题(乙)．尽管如此，维氏的结果仍是十分杰出的．在维诺格拉托夫的重要工作之后，我国数学家华罗庚在1938年证明了下面重要的定理：几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即N偶=p1+p2k(p1，p2为素数，k≥1为自然数)．由于研究哥德巴赫问题的方法一般需要数论中很复杂而深入的知识，下面只对“圆法”和“筛法”的基本思想作简要说明．(1)圆法对于哥德巴赫猜想来说，圆法的思想是这样的：设m为整数，因为积分所以哥德巴赫方程N偶=p′+p″，p′，p″∈P(P为素数集合)(3．2)的解数I(N偶)可表为积分其中S(α，N)=∑e(αp)，(e(x)=e2πix)(3．4)而S(α，N)称为素变数的三角和．所谓哥德巴赫猜想(甲)就是要证：对于所有的偶数N偶≥6，都有I(N偶)＞0．所谓哥德巴赫猜想(乙)就是要研究积分如果对任何N奇≥9均有T(N奇)＞0，就是猜想(乙)成立，即(*)成立．要证T(N奇)＞0(或I(N偶)＞0，确实是件很困难的事，因为我们对被积函数中的三角和S(α，N)=∑e(αp)的性质很不熟悉．如果性质搞清楚了，其积分的值也就求出来了．那它有什么性质呢？他们猜测有如下性质：当α在[0，1]上跑过时，在分母“较小”的既约分数“附近”时，S(α，N)就取“较大”的值；当α在分母“较大”的既约分数“附近”时， S(α，N)就取“较小”的值．这样我们就可把积分区间分为两部分，其中一部分，是积分的主要项，要计算出来；另一部分，是积分的次要项，相对前一部分，可忽略不计．如何实现上述想法？下面再作简要说明．设Q，τ为二整数，1≤Q≤τ≤N考虑法莱(Ferey)数列以及易证，满足条件时，所有的小区间E(q，a)是两两不相交的．我们称E1为基本区间，E2为余区间．如果一个既约分数的分母不超过Q，我们就说它的分母是“较小”的，否则就说是“较大”的．如果两个点之间的距离不超过，τ-1，我们就说它们是“较近”的．显然，当α∈E1时，它就和一分母“较小”的既约分数“接近”；当α∈E2时，可以证明，它一定和一分母“较大”一区间对原积分的数值并无影响．这样一种区间的分割称为法莱分割．那么有其中“圆法”就是要计算I1(N偶)、T1(N奇),且证明它们为I(N偶),T(N奇)的主要项,而I2(N偶),T2(N奇)分别为次要项．如果不加任何条件限制，难以计算I(N偶)，T(N奇)的渐近式．这样一来，先把问题范围缩小，加上一些前提条件，得到带有假设性的结果，然后再考虑如何取消这个前提条件得到满意结果，这也是我们很自然的想法．1923年，哈代、李特伍德他们在广义黎曼(Riemann)猜想成立的前提下证明其结论．这里所谓黎曼猜想，是指黎曼ζ-函数他们证明了：对于充分大的奇数，一定可以表为三个奇素数之和，且有渐近公式对于偶数又怎样呢？他们猜测有哈代、李特伍德所创造的“圆法”为人们攻克哥德巴赫猜想指明了一个有成功希望的研究方法．后来，1937年苏联数学家维诺格拉托夫在“圆法”的基础上，再加上他独创的“三角和的方法”，去掉了广义弱型黎曼猜想前提证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，且有渐近式(3．8)成立．他的这一结果称为哥德巴赫—维诺格拉托夫定理——三素数定理．1941年，我国数学家华罗庚对维氏“三角和方法”作了非常深刻的研究和改进，并对维氏定理作了重要推广，他证明了：每一个充分大的奇数N奇，都可表为三个奇素数的k次方的和：N奇=p1k+p2k+p3k(k为任意正整数)当k=1时，就是维式定理．这里还应提到一点，1977年，我国著名数学家潘承洞的弟弟潘承彪教授，对维氏定理给出了一个十分简化的证法(原来的证明很繁难)．(2)筛法在提出“圆法”的同时，为了研究哥德巴赫猜想(甲)，对“筛法”的研究也开展起来．要解决猜想(甲)实在太困难，人们想用逐次逼近的方法一步一步地突破．先将偶数N写成两个自然数之和N偶=n1+n2而n1与n2里的素因数个数记为a与b，简记为{a，b}或写成{a+b}．这样的问题也可以说是“殆素数问题”，即问：是否每一个充分大的偶数都可以表示成两个殆素数之和？所谓“殆素数”就是指素因数的个数很少，其中a是一个不超过a个素因子的数，b是一个不超过b个素因子的数．如果能证明对于每一个偶数N，总有a=b=1，也即有{1+1}结果的话，那么哥德巴赫猜想就成立了．到目前为止，对研究关于偶数的哥德巴赫猜想最为有效且获得最好结果的方法正是“筛法”．那么，“筛法”是怎样与“哥德巴赫猜想(甲)”联系起来的呢？大家知道“筛法”是寻求素数的一个古老的方法．这个方法是两千多年前古希腊学者爱拉托士散纳(Eratosthenes)创造的，称为爱拉托士散纳筛法．我们的素数表基本上按此法编制的．例如，我们用此法编1-100间的素数表如下：100以内的合数一定能被10以下的某一素数即2，3，5，7之一整除．因此，我们依次把能被2除尽的数、能被3除尽的数、能被5除尽的数、能被7除尽的数都划去，留下的正好是10到100之间的所有素数，这样就得到从1—100间的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个素数．在这里，2，3，5，7这四个数好像组成了一个“筛子”，凡是能被这“筛子”中的一个数除尽的数就要被“筛”掉，而不能被除尽的数就留下．通过这个“筛”，筛出10—100间的素数．在一般情况下，“筛子”可由满足一定条件的有限个素数组成，我们记作B．被“筛”选的对象可以是一个由有限多个整数组成的数列，我们记作A．如果把数列A经过“筛子”B筛选后所留下的数列记作C，那么简单地说，“筛法”就是用来估计数列C中整数个数多少的一种方法．随着数学的发展，“筛法”也得到了发展，特别是对猜想(甲)的研究，“筛法”理论及应用比以前更加深刻与广泛．因此，我们用现代数学语言来描述它：A表示一个满足一定条件的由有限多个整数组成的集合(元素可重复)，B表示一个满足一定条件的无限多个不同的素数组成的集合，z≥2为任一正数．令我们以S(A，B，z)表示集合A中所有与P(z)互素的元素的个数，即这里P(z)就起到一个“筛子”的作用，凡是和它不互素的都被“筛掉”，而与它互素的数都留下．所谓“筛法”的含义也正是如此．“筛子”的大小是与集合B与z有关．z愈大，筛子就愈大，被筛掉的数就愈多．S(A，B，z)是集合A经过筛子P(z)筛选后所剩下的元素的个数．我们称S(A，B，z)为筛函数．显然，使用“筛法”对筛函数必须深刻理解．因此，研究筛函数的性质、作用及计算成为最基本的任务，其中最重要的就是估计筛函数S(A，B，z)的上界和正的下界．如果你想用筛法解决数论某一问题，首先必须把归结的问题与筛函数建立联系．现在是用筛法去研究猜想{a，b}，那么筛函数与{a，b}的内在联系如下：设N为一大偶数，取集合A=A(N)＝{n(N-n)，1≤n≤N}那么显然证明了{a，a}，这里那么我们就相应地得到了一个大偶数表为二个素数因子个数不超过a个的数之和的表法个数的上界．如果我们取集合C=C(N)={N-p、p≤N}能证明么也就相应地得到了偶数表为一个素数与一个素因子不超过a个数之和的表法的上界．从上面所述，命题{a，b}和求筛函数的上界和正下界紧密相关．同“圆法”一样，也要计算主项和估计余项，并证明相对于主项来说余项是可以忽略的．在证明以上命题{a，b}时，余项的估计是初等的，比较简单的．1920年前后，挪威数学家布龙(Brun)对古典筛法作了改进，用新的筛法证明了命题{9，9}，开辟了用“筛法”研究猜想(甲)及其他数论问题的新途径．1950年前后，谢尔伯格(Selberg)对古典筛法又作了改进，他利用求二次型极值方法创造了新的筛法，它比布龙方法更简单且结果又好．接着，1941年库恩(Kuhn)也提出“加权筛法”……．之后便是接二连三的改进工作．特别是我国一些年轻数学家，成功地应用“筛法”及“三角和方法”相结合的新解析数论方法，在50年代到60年代期间，作出了一系列重要的改进：首先是王元1957年在黎曼假设下证得{1，5}成立；不需任何假设证得{1，5}应归功于1962年潘承洞所发表的成果，这个结果第一次定量地而且是低纪录地向{1，1}挺进． 1963年，1965年相继出现了{1，4}，{1，3}的重要成就．此时，在估计余项上出现了Bombieri－Vinogradov定理所不能克服的困难，即证明下面一类新的均值定理：1966年，我国年轻数学家陈景润由于他提出了新的加权筛法，证明了命题{1，2}．1973年发表了他的很有创造性的命题{1，2}的全部证明，立即在国际数学界引起强烈反响，公认是一个十分杰出的结果，是筛法理论的卓越应用．到目前为止还是世界领先的成果．关于这方面的研究进展情况如下表所示：正确认识“猜想”的研究人们对“猜想”一般有两种看法：一是认为研究它没什么实用价值，何必大书特书？二是前几年经过作家徐迟写陈景润同志刻苦钻研，努力攀登“哥德巴赫猜想”研究的高峰的动人事迹后，“猜想”变得家喻户晓．每个中国人为此感到骄傲与自豪，这证明中国人的智力并不比外国人差，大长中国人的志气．在我国大、中、小学里曾掀起一股“数学热潮”．但他们之中，有的认为不需要什么高深数学，企图用初等数论的方法解决这类世界难题．第一种看法是片面的，一个数学问题的解决，其意义应分两方面考察．不但要看它的实际意义，也要看它的理论价值．我们在这一章的开始就引用了华罗庚教授的话：“通过研究创造深刻的方法对硬分析有用．”这里硬分析指的是精密精细的估计．前面我们已经讲到，由于研究它所产生的“圆法”、“筛法”及某些指数和的估计方法大大推动数论及邻近学科的发展；并通过对此问题的研究达到深刻掌握解析数论方法，也是培养这方面人才的好途径．第二种想法是好的，但还需要严谨的科学态度．正如陈景润教授所指出的：“首先需要学习许多非常高深的数论论文，还要经过多年刻苦钻研，然后才有可能从事这方面的研究工作．我认为在最近几十年，关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是不可能只用初等数论方法而得到证明的．”从上面所列的表中看到，我国年轻数学家所取得的巨大成就，每个中国人感到由衷的高兴．我们进一步要问：他们如何能取得这样的成就呢？一方面是他们不畏劳苦、努力拼搏的精神，另一方面也是老一辈数学家华罗庚、闵嗣鹤等对他们精心培育和从严要求的结果．他们每一个都具备了雄厚的高等数学基础知识和熟练的运算技巧．他们形成了一个互相学习，要求上进的战斗集体．这里我摘录几段华罗庚的学生回忆往事的真实记录：“即使对最好的学生，华罗庚也从不放松要求．当时年轻人一听到走廊里响起华所长的皮鞋声，心里就有些发紧，因为所长随时可能推门进来“考”上几个问题，闹不好就会“挂黑板”，走麦城．严师出高徒，学生们因此普遍培养出一丝不苟的过硬功夫，日后都成为我国数学界的栋梁之才．”“……有句成语叫‘班门弄斧’，华罗庚却反其意而用之，提倡‘弄斧必到班门’，号召青年人用高标准要求自己．”(中国科学院数学研究所学术委员会主任、研究员陆汝钤)这里还特别值得一提的是，被数学界传为佳话的是闵嗣鹤教授对陈景润的热情支持与指导，学生对老师虚心请教的动人故事：“1966年春，《科学通报》第十七卷第九期(5月15日出版)上发表了陈景润的著名论文——《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数乘积之和》——的简报．陈景润一拿到这期通报，首先想到的是他的闵老师，他在杂志的封面上恭恭敬敬地写上了：敬爱的闵老师：非常感谢您对学生的长期指导，特别是对本文的指导．学生陈景润敬礼1966．5．19．并立即跑去送给最关心、最支持他的老师．他们之间的联系大约始于1963年，陈景润经常去先生家请教，热烈讨论问题，师生之间亲密无间，使陈获益匪浅．尤其是先生正直的为人，严谨的学风，不分亲疏乐于助人的精神，使陈景润对他十分钦佩和无比信任．陈景润不断地改进和简化他的定理的证明，于1972年寒假送去了他自己数年心血的结晶——厚厚的一叠原稿，请他最信任的老师审阅．当时先生的身体已经很不好了，原来想好好休息一下，但他知道陈的论文是一项极重要的工作，如果对了，将是对解析数论的一个历史性的重大贡献．因此，他放弃了休息，不顾劳累与经常发作的心脏病，逐步地细心校阅．当他最后判定陈的证明是正确的时，高兴极了，他看到在激烈的竞争中，新中国自己培养出来的年轻数学家，在解析数论的一个最重要的问题——哥德巴赫猜想的研究上终于又一次夺回了世界领先地位．陈景润的著名文章终于在1973年的《中国科学》上全文发表了．然而，先生又冷静而正确地指出：“要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路．”(《闵嗣鹤论文选集》序，迟宗陶，严士健，潘承洞，邵品琮，李忠，潘承彪．)正如上面闵先生所指出的：“要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路．”最后这句话意味深长，他是对陈景润讲的，也是对青年们讲的，希望寄托在青年人身上．人们对哥德巴赫猜想的研究，真是呕心沥血为之奋斗了两个世纪，还差一步之远，但也是最艰难的一步．在人类即将跨入21世纪的时候，希望我国青年特别是有志攻克这一科学堡垒的青年，努力从“严”打好高、初等数学基础，不畏劳苦努力拼搏，才可能有希望达到光辉的顶点．。
《哥德巴赫猜想》课件
推广和发展
猜想的内容随着时间的推移被扩展到更广泛的数学 领域，并激发了更多的猜想和探索。
猜想证明
1 回答和证明历程
哥德巴赫猜想直到2019年才被证明，是数学长期难以攻克的问题之一。
2 具体证明方法
证明过程需要运用大量高深的数学原理，其中最关键的是利用了计算机算力进行大规模 验证。
猜想应用
实际应用
总结
价值和意义
哥德巴赫猜想不仅具有理论上的重要意义，还 对计算机科学、数论和不等式证明等领域有广 泛应用。
未来展望
哥德巴赫猜想的解决为数学提供了新的思路和 方法，预示着数学界探索更深层次的难题的新 时代的到来。
参考文献
1. 哥德巴赫猜想的具体验证方法，《数学文化》，2016，第3期。 2. 哥德巴赫猜想的实际应用，《计算机科学与技术》，2018，第2期。 3. 数学猜想与数论研究，《现代数学》，2019，第4期。
哥德巴赫猜想
探究历史上最著名的数学猜想，其提出、发展、证明和应用，以及对数学领 域的影响。
背景介绍
问题提出
哥德巴赫猜想最早由德国数学家哥德巴赫于1742年提出。
解决过程
经过无数数学家的尝试，哥德巴赫猜想在近三个世纪的时间里得到了重大进展。
猜想偶数均可写成两个 质数之和。
哥德巴赫猜想在计算机安全和密码学等实际应用中 发挥重要作用。
领域意义
该猜想的证明为数学领域提供了新的方法和思路， 促进了整个学科的进一步发展。
相关猜想
1
费马大定理
也是数学界成功解决的重大难题之一。
2
著名猜想
如黎曼假设等，这些猜想至今没有被证明，但也为数学领域的进一步研究提供了 灵感。
3
未解之谜
“哥德巴赫猜想”证明(完整版)
表示集合 里所有与
互质的数的个数， 也就是筛去了 内小于 的素数的所
有倍数之后还剩下的数字的个数。 布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“素数”的要求，将它改为所谓的“殆 素数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在 1919 年证明了，每 个充分大的偶数都可以写成两个数之和， 并且这两个数每个都是不超过九个质因 数的乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数 ，令 集合为 ，那么筛函数 ， 为所有素数的集合， 就是满足
2
的数对
的个数。其中的 和
都与
互质，也就是说它
们的质因数都要大于等于
，因此它们的质因数个数至多有
个。所以对于 来说筛函数大于 0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明 的时候筛函数大于 0，就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想。 对于弱哥德巴赫猜想的解决，这两种思路都在二十世纪中得到了极大的发 展。1933 年，苏联数学家列夫·杰里科维奇·史尼尔曼同样基于筛法证明了存 在某个整数 K，使得每个偶数能够表示成 K 个素数的和，弥补了朗道的遗憾。史 尼尔曼给出的 K 的上限是 800000，不久后苏联数学家罗曼诺夫证明了这个 K 不 会超过 2208。1936 年，朗道和彼得·希尔克把结果改进到 71，一年后意大利数 学家吉奥凡尼· 里奇又将结果改良为 67。 1956 年尹文霖证明了 K 不超过 18。 1976 年，英国数学家罗伯特·查尔斯·沃恩证明了 K 小于等于 6。1937 年是弱哥德巴 赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T·艾斯特曼证明了：每个充分大的 奇数都可以表示成两个奇质数和一个不超过两个质数的乘积的数的和： 或
“哥德巴赫猜想”证明
王若仲 （王洪）
务川自治县实验学校 贵州 564300
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
“a + b”问题的推进哥德巴赫哥德巴赫，德国数学家，出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）。
曾在英国牛津大学学习，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣，曾担任中学教师。
1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士。
1725年～1740年担任彼得堡科学院会议秘书。
1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
欧拉国籍：瑞士出生日期：1707年4月15日逝世日期：1783年9月18日职业：数学家、物理学家毕业院校：巴塞尔大学欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样。
——阿拉戈欧拉的回信正如在你给我的来信中所观察到的那样，每个偶数看来是两个素数之和，还蕴藏着每个数如果是两个素数之和，则它可以是任意多个素数之和，个数由你而定。
如果给定一个偶数n，则它是两个素数之和，对n-2也是如此，则n是三到四个素数之和。
如果n是奇数，则它一定是三个素数之和，因为n-1是两个素数之和。
所以，n是一个任意多个素数之和。
虽然我现在还不能证明，但我肯定每个偶数是两个素数之和……摘译1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的一封信陈景润及其“1+2”国籍：中国出生日期：1933年5月22日逝世日期：1996年3月19日职业：数学家毕业院校：厦门大学代表作品：《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》“1+2”1966年，陈景润发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。
1973年，陈景润公布详细证明方法，也称为“陈氏定理”，这个定理证明任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和。
哥德巴赫 猜想
哥德巴赫猜想1. 引言哥德巴赫猜想是一个有关质数的数学问题，最早由德国数学家哥德巴赫在1742年提出。
该猜想的内容是：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
哥德巴赫猜想虽然至今尚未被证明，但它是数论领域的一个重要问题，也是数学界最著名的未解问题之一。
本文将对哥德巴赫猜想的历史背景、相关概念、研究进展以及一些证据进行介绍和分析。
2. 历史背景哥德巴赫猜想得名于德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach），他在一封给欧拉的信中提出了这个猜想。
这封信发表于1742年，信中写道：“我猜想每个偶数都可以表示为两个质数之和。
”然而，哥德巴赫并没有给出任何证明或者推理。
自哥德巴赫提出这个猜想以来，许多数学家都对此展开了研究，试图证明或者推翻这个猜想。
然而，尽管有许多重要的进展，但至今尚未找到一个通用的证明方法。
3. 相关概念在进一步讨论哥德巴赫猜想之前，我们先来了解一些相关的数学概念。
3.1. 偶数偶数是能够被2整除的整数，例如2、4、6等。
根据哥德巴赫猜想，任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
3.2. 质数质数是只能被1和自身整除的整数，例如2、3、5、7等。
质数是数论中的基本概念，对于研究哥德巴赫猜想至关重要。
4. 研究进展自哥德巴赫猜想提出以来，数学家们一直在尝试证明或者推翻这个猜想。
以下是一些重要的研究进展：4.1. 哥德巴赫猜想的证明虽然哥德巴赫猜想尚未被证明，但已经有一些特殊情况下的证明。
例如，哥德巴赫猜想在大于2的偶数小于4×10^18时已经被证明成立。
这个证明是由数学家陈景润在2013年提出的。
4.2. 数值验证除了部分特殊情况下的证明外，数学家们还通过计算机进行了大量的数值验证。
他们使用计算机算法生成了巨大的质数表，并验证了哥德巴赫猜想在一定范围内的成立性。
4.3. 相关猜想在研究哥德巴赫猜想的过程中，数学家们提出了一些相关的猜想。
哥德巴赫猜想
学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，
并在俄外交部任职。
数论与哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想的由来
三 关 于 哥 德 巴 赫 猜 想
1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在 1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：“我的 问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就 是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461， 461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然 是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。 但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可 能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。 "欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。
早在他的论文发表时，西方记者迅即获悉，电讯传遍全球。国际上的反 响非常强烈。英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特的著作《筛法》正在 印刷所校印。他们见到了陈景润的论文立即要求暂不付印，并在这部书里加 添了一章，第十一章：“陈氏定理”。他们誉之为筛法的“光辉的顶点”。 在国外的数学出版物上，诸如“杰出的成就”“辉煌的定理”，等等，不胜 枚举。一个英国数学家给他的信里还说：“你移动了群山！”
数论与哥德巴赫猜想
声明：
我国有许多数学爱好者称自己证明了“哥德巴赫猜想”，故意哗众取宠，别 有用心的说“陈景润当年的证明是造假”“陈景润、王元、潘承洞偷换概念申 报奖项”的谣言，歪曲事实，以达到炒作自己“成果”的目的。如“质疑”缺 乏基本的数学知识，偷换概念严重，论证违背科学，很多都是主观判断，缺乏 根据。 目前，国际数学界对“陈氏定理”的正确性仍然没有任何争议，公认“陈 氏定理”是哥德巴赫猜想研究的最佳成果。“陈氏定理”在外国很多数论书籍 上被引用，读者可以自己查证相关信息。这也提醒我们，在这个信息发达的时 代一定要注意判断信息来源和正确性。 农民成功证明 哥德巴赫猜想
“哥德巴赫猜想”讲义(2)
布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“素 数”的要求，将它改为所谓的“殆质 数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在 1919 年证明了每个充 分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不超过九个质因数的 乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数 ，令集合
将它的倍数全部划掉，┅，以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍又一遍
的筛掉不需要的数字，故名筛法。布朗用到的推广筛法也是基作为筛选标准的“筛孔”，即一系列素数的
集合
，以及一个范围 。记为：
，那么可以定义筛函数：
此等式表示集合 里所有与 互质的数的个数，也就是筛去了 内小于 的
为
， 为所有素数的集合，
，那么筛函数
就是满足
的数对
的个数。其中的 和
都与
互质，也就是说它
们的质因数都要大于等于 ，因此它们的质因数个数至多有
2
个。所以对于 来说筛函数大于 0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明 的时候，则筛函数大于 0，这就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想。
然而对于弱哥德巴赫猜想的解决，这两种思路都在二十世纪中得到了极大的 发展。1933 年，苏联数学家列夫·杰里科维奇·史尼尔曼同样基于筛法证明了 存在某个整数 K，使得每个偶数能够表示成 K 个素数的和，弥补了德国数论专家 爱德蒙·朗道的遗憾。史尼尔曼给出的 K 的上限是 800000，不久后苏联数学家 罗曼诺夫证明了这个 K 不会超过 2208。1936 年，朗道和彼得·希尔克把结果改 进到 71，一年后意大利数学家吉奥凡尼·里奇又将结果改良为 67。1956 年中国 数论专家尹文霖证明了 K 不超过 18。1976 年，英国数学家罗伯特·查尔斯·沃 恩证明了 K 小于等于 6。1937 年是弱哥德巴赫猜想的研究取得重大突破的一年。 首先，T·艾斯特曼证明了：每个充分大的奇数都可以表示成两个奇质数和一个 不超过两个质数的乘积的数的和：
陈景润和哥德巴赫猜想1
陈景润和哥德巴赫猜想【陈景润】陈景润（1933年5月22日－1996年3月19日），汉族，福建福州人，中国著名数学家，厦门大学数学系毕业。
1953年-1954年在北京四中任教，因口齿不清，被拒绝上讲台授课，只可批改作业，后被“停职回乡养病”。
调回厦门大学任资料员，同时研究数论。
1956年调入中国科学院数学研究所。
1980年当选中科院物理学数学部委员。
陈景润主要研究解析数论，1966年发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。
而他所发表的成果也被称之为陈氏定理。
这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。
他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。
被称为哥德巴赫猜想第一人世界级的数学大师、美国学者安德烈·韦伊(AndréWeil)曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。
”著有《初等数论》等陈景润在解析数论的研究领域取得多项重大成果，曾获国家自然科学奖一等奖、何梁何利基金奖、华罗庚数学奖等多项奖励。
他是第四、五、六届全国人民代表大会代表。
著有《数学趣味谈》、《组合数学》等。
【哥德巴赫猜想的来源】1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。
他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是这三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。
这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是一个别的检验。
"欧拉回信说：“这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。
人民文学哥德巴赫猜想
人民文学哥德巴赫猜想全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：人民文学哥德巴赫猜想，又称为哥德巴赫猜想，是一个数学领域中备受瞩目的问题之一。
该猜想最早由德国数学家Christian Goldbach在18世纪提出，后来被意大利数学家Franzato G. Verzini 改进并得到了更普遍的形式。
该猜想的内容是：任何一个大于2的偶数都能够被分解为两个素数之和。
这一猜想激起了无数数学家的探索热情，但至今仍未得到严格的证明。
哥德巴赫猜想的重要性在于它对于素数的分布和性质有着深远的影响。
素数一直是数学家们研究的一个热门话题，而哥德巴赫猜想则提供了一个更加具体的问题，使得研究者们可以更加具体地探讨素数之间的相互关系。
哥德巴赫猜想给出了一种简单的方式来表达任何一个大于2的偶数，这种方式不仅有助于我们理解素数的性质，同时也激发了人们对数学和数论研究的兴趣。
在数学界，哥德巴赫猜想一直是一个备受争议的问题。
尽管很多数学家都致力于寻找该猜想的严格证明，但迄今为止还没有人能够完全解决这个问题。
事实上，哥德巴赫猜想已经成为了一个数学领域中的经典难题之一，吸引了无数研究者的眼球，也给数学学科本身带来了更深层次的思考。
尽管哥德巴赫猜想难以被证明，但是与此相关的一些问题却已经得到了证明。
已经证明了任意大于等于3的奇数可以被表示为三个素数之和，这一定程度上验证了哥德巴赫猜想的合理性。
人们还通过计算机模拟等方法，获得了一些数字上的证据，这些证据也为研究者们提供了新的启示和方向。
在当代数学研究领域，哥德巴赫猜想仍然是一个备受关注的问题。
数学家们通过不断地研究和探索，试图寻找新的证明方法，解决这个难题。
虽然目前尚未得到严格的证明，但是无论如何，哥德巴赫猜想的提出已经为数学和数论领域的发展提供了新的动力和方向。
哥德巴赫猜想是一个充满挑战性和吸引力的数学问题，该猜想的提出促进了素数研究的深入发展，为数学领域带来了更多的启发和探索。
虽然哥德巴赫猜想至今尚未得到严格证明，但是数学家们相信，随着科技和理论的不断发展，有朝一日必将揭开这一数学之谜，为数学界带来新的突破和进展。
哥德巴赫猜想1+1=2
哥德巴赫猜想1+1=2哥德巴赫猜想是数论中著名的一个猜想，它认为任何一个大于2的偶数都可以分解为两个素数之和。
具体来说，对于任意大于2的偶数n，总存在两个素数p和q，使得n=p+q。
哥德巴赫猜想源于18世纪的德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的猜测。
他假设任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，然后通过一些有限范围内的计算验证了这个猜想成立。
尽管他无法给出证明，但这个猜想至今仍然吸引着无数数学家的兴趣和研究。
尽管哥德巴赫猜想看起来非常简洁明了，但其复杂性却使得证明一直没有取得突破性进展，并且至今仍然是一个开放问题。
许多数学家尝试过证明哥德巴赫猜想的正确性，但都以失败告终。
虽然有许多数值方法和计算机模拟可以验证猜想对于很大的偶数是成立的，但这并不能被认为是一个严格的证明。
对哥德巴赫猜想的思考和研究之一是通过对数论的深入研究。
数论是研究整数性质的一门学科，而素数是数论中的一个重要概念。
素数是只能被1和自身整除的正整数，如2, 3, 5, 7等。
素数的分布在数轴上是非常稀疏的，其分布规律至今仍然是数论中的难题之一。
如果哥德巴赫猜想能够被证明是正确的，那将会对数论和整数的性质有深远的影响。
这个猜想的证明可能需要使用到其他领域的数学工具和技巧，甚至可能需要一些新的数学理论才能解决。
虽然哥德巴赫猜想尚未被证明，但已经有一些相关的猜想被证明是正确的。
哥德巴赫猜想的一个推论是黎曼猜想成立。
黎曼猜想是数论中一个重要的假设，它涉及到复数域上的Riemann zeta函数的零点分布。
虽然黎曼猜想尚未被证明，但已经有一些关于其成立性质的结论被证明。
在数学领域，有许多类似哥德巴赫猜想的难题等待着数学家们去解决。
这些问题的研究不仅可以推动数学的发展，还可以启发更多的人对数学的兴趣和热爱。
哥德巴赫猜想及其相关的数学思考可以让我们对数学的奥妙有更深入的了解，并深化对数学美妙性质的探求。
尽管哥德巴赫猜想尚未被证明，但它激发了无数数学家的追求和努力，同时也彰显了数学研究的无穷魅力。
哥德巴赫猜想的数学探究
哥德巴赫猜想的数学探究
哥德巴赫猜想是一项关于质数的猜想，它由德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在18世纪提出。
该猜想认为，每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
虽然哥德巴赫猜想在数学界非常有名，但至今尚未被证明。
数学家们已经就此猜想进行了大量的研究和探究，但仍未找到确凿的证据。
在过去的几个世纪里，数学家们提出了许多和哥德巴赫猜想相关的想法和方法。
其中一些方法包括排除法、分析特殊情况、运用数论定理等。
一些数学家通过计算机进行大规模的计算和验证，但仍未找到能够证明猜想的方法。
尽管如此，哥德巴赫猜想的重要性在于它激发了数学家们对质数和数论的深入研究。
在探究哥德巴赫猜想的过程中，数学家们发现了许多与质数相关的重要性质和定理。
这些成果对于数论和其他领域的发展做出了重要贡献。
虽然哥德巴赫猜想尚未得到证明，但数学界仍然希望能够找到一个证明或反例，以解决这一问题。
目前，关于哥德巴赫猜想的探究仍在进行中，数学家们致力于寻找新的思路和方法，以揭示质数之间的相互关系。
哥德巴赫猜想
03
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。 1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6=3+3， 12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想:(a)任何一个>=6之偶数，
02
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。 1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6=3+3，
内容及实例 12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想:(a)任何一个>=6之偶数， 都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
2 实例 example
(a)任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b)任何一个≥9之奇数，都可以表示成不超过三个的奇质数之和。 这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在x年6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想 是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家 都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至 今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×10的8次方以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
“哥德巴赫猜想”证明(完整版王)
1
和，不管 K 是多少，都是数学家力所不及的。1921 年，英国数学家戈弗雷·哈 罗德·哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难 程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。
对于“哥德巴赫猜想”的研究进展，我们从四个途径来阐述。
途径一：1920 年挪威数学家布朗提供了一种证明的思路，即殆素数，他使 用推广的“筛法”证明了所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数 的质因数个数都不超过 9 个。这个方法的思路是：如果能将其中的 9 个缩减到 1 个，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题被记作“9+9”，以此类推，哥德 巴赫猜想就是“1+1”。偶数 2m= a1·a2·a3·…·ai+ b1·b2·b3·…·bj。殆素 数就是素因子个数不多的正整数。现设 N 是偶数，虽然现在不能证明 N 是两个素 数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，N=A+B，其中 A 和 B 的素因 子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过 10。现在用“a+b”来表示如下命题： 每个大偶数 N 都可表为 A+B，其中 A 和 B 的素因子个数分别不超过 a 和 b。在这 一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。
3
式。当 k=1 的时候，就是弱哥德巴赫猜想。由于维诺格拉多夫估计
时
使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。 1945 年，林尼克发展出估计狄利克雷 L 函数零点密度的方法，并用其证明了劣 弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明 十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975 年沃恩提出了首个 不依赖估计 L 函数零点密度的方法，1977 年潘承洞得到了仅利用 L 函数初等性 质的简易证明。2013 年 5 月 13 日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的 数论领域的研究员哈洛德·贺欧夫各特，在线发表了论文《论哥德巴赫定理的优 弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。 贺欧夫各特生于 1977 年，秘鲁籍，2003 年获得普林斯顿大学博士学位。2010 年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012 年 5 月， 贺欧夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。在这个更优估计的基础上， 贺欧夫各特在 2013 年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中 的下限降低到了 1029 左右，贺欧夫各特和同事戴维普拉特用计算机验证在此之下 的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。 弱哥德巴赫 猜想已经基本得到解决，对于偶数的哥德巴赫猜想，数学家们则主要将希望放在 布朗的方法上。而二十世纪中叶，数学家们沿着布朗的思路，得到了不少改进后 的成果。1924 年汉斯·拉代马海尔证明了“7+7”，1932 年艾斯特曼证明了“6+6”， 苏联数学家布赫希塔布在 1938 年和 1940 年分别证明了“5+5”与“4+4”。孔恩 在 1941 年提出了“加权筛法”的概念，能在同样的筛函数上界和下界条件下取 得更好的结果，他在 1954 年证明了“a+b”（a+b<7）。阿特勒·塞尔伯格利用 求二次型极值的方法极大地改进了布朗的筛法，对筛函数的上界和下界做出了更 精确的估计，从而出现了更优的结果：维诺格拉多夫在 1956 年证明了“3+3”， 王元在 1956 年证明了“3+4”，并在 1957 年证明了“3+3”和“a+b”（a+b<6） 以及“2+3”。
“哥德巴赫猜想”证明(完整版)
素数的集合
，以及一个范围 。记为：
，那么可以定义筛函数：
表示集合 里所有与 互质的数的个数，也就是筛去了 内小于 的素数的所
有倍数之后还剩下的数字的个数。
布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“素 数”的要求，将它改为所谓的“殆 素数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在 1919 年证明了，每 个充分大的偶数都可以写成两个数之和，并且这两个数每个都是不超过九个质因 数的乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数 ，令
关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛 中图分类号：0156
引言ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
哥德巴赫猜想：任何一个不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之和。
我们首先介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展，德国数学家哥 德巴赫在 1742 年提出“哥德巴赫猜想”，历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法 及进展。
对于“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法，比较有名的大致有下面四种：（1） 筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。其中：筛法是求不超过自 然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3… qj，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率 法（概率法）是函数估值法。
于 2m 的全体奇素数（pi＜ pj ，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。我们利用这个筛法
公式，就能够明确的判定在任意设定的集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中，完全可以筛 除掉集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的全体奇合数，完全可以筛除掉偶数 2m 分别减 去集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；其中集合{1， 3，5，7，9，…，（2m-1）}通过这样筛除后，最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数+ 奇素数=2m”的情形。并由此判定 “哥德巴赫猜想”成立。
哥德巴赫猜想研究(一)
2、算术函数 D (k ) 与哥德巴赫猜想有密切的，直接的关系。众所周知，一个 偶 数 如 果 能 表 示 为 两 个 素 数 的 和 ， 其 表 达 为 2k p1 p2 ， 设
1 v(n) 0
其中 n =0，1，2，3…
n 为素数 其他
（1）
为自然整数
定义 2
函数
(k ) v(n)
n 1 k
(2)
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。这个等式的含义是非常清楚的，即在不
大于 k 的自然数中，所含素数的个数为 ( k ) 个，算术函数 (k ) 也叫素数计数函 数。
对的表达式及其估值给出最好结果的应该是英国的数学家哈代李德伍兹他们运用圆法对给出了猜测性的结果为研究哥德巴赫猜想开辟了新方向
哥德巴赫函数及其关联函数
苏法王
哥德巴赫猜想虽然是一个著名的数学难题，但在中国却几乎家喻户晓。我 国的数学家陈景润把哥德巴赫猜想的研究推到了一个高峰。许多研究者认为陈 景润把现有的研究方法“发挥到了极致” ，哥德巴赫猜想的研究要想有突破， 必 须另辟蹊径，采用新的研究方法。 哥德巴赫猜想研究中常用的方法大体有概率法（密率法） 、筛法、圆法等， 当然这些方法还可以细分为不同的更具体的方法。按照有关专家的说法，如果 采用上述方法研究哥德巴赫猜想，估计取得突破的可能性非常小。那么出路在 何方？笔者认为哥德巴赫函数及其关联函数是一个重要的研究方向。 定义 1 函数
1
定义 3 歌德巴赫函数
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )nຫໍສະໝຸດ 1k(3)其中
哥德巴赫猜想研究
哥德巴赫猜想研究
“哥德巴赫猜想”从1742年提出，迄今已经279年了。
欧拉在给哥德巴赫的回信中，认可猜想，但一时给不出证明。
从此，素数分布的议题伴随欧拉的后半生，取得了超越欧几里得的深刻认识。
法国数学家勒让德承续了欧拉的研究，在1830年提出素数分布猜想及算术级数中的素数分布猜想。
1837年，德国数学家狄里克莱用解析法证明了后一命题，但此时勒让德已经去世，前一命题尚未得证，因此未派上用场。
数学王子高斯也着力研究猜想，提出素数分布的密度问题，提出类似猜想，用此法解决素数散点列分布问题。
瓦莱普桑用解析法证明了素数分布定理。
题之一的第八难题的一部分。
并归结为二元一次不定方程，是解决难题的路线图。
兹后，英国数学家哈代与利特伍德，以及印度数学家拉玛努金联手攻关，首次提出偶猜散点列的渐近公式，圆法，筛法等工具开始应用。
1934年，旬牙利数学家埃尔德什拜访哈代时，哈代谈到，断言
一个命题不能用某种方法解决是qing率的，但素数分布定理一旦用初等方法证明，数论教科书就得扔进垃圾堆重写。
1949年，(哈代去世两年后),埃尔德什与美国数学家塞尔贝格得出素数定理的初等证明方法，仅是用到e^x,lnx，及极限理论，没有用到黎曼才塔函数，等。
1962年，法国数学家罗素及雄飞尔德得出有关素数分布的上下界的重要不等式。
我国数学家华罗庚师承哈代，得出“哥德巴赫猜想”的概念估计，创建了中国学派，把1+c推进到1+2(陈景润)，但未能解决猜想本身。
如今，“互联网+数论”的新时代提供了最佳环境，吾辈应与时俱进，砥砺前行，凝心聚力，携手共进，共创数学界的中国梦。
哥德巴赫猜想第一段
哥德巴赫猜想第一段
哥德巴赫猜想是数学领域的一个著名问题，最初由德国数学家哥德巴赫于1742年提出。
该猜想指出：任何大于等于6的偶数都可以表示为三个质数之和。
例如，8可以表示为3+3+2或5+2+1。
这个问题在数学领域中被广泛研究，并且是20世纪的一个重要成果。
然而，尽管已有许多人尝试了数学证明，但直到今天仍未得到证明。
哥德巴赫猜想这里有一篇数论的论文。
它的第一段是“（一）引言”，其中，提出了这道题目。
后面是“（二）几个引理”，充满了各种公式和计算。
最后是“（三）结果”，证明了一条定理。
哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。
奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。
偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。
”关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。
事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。
歌德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。
现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而歌德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。
所以数学家倾向于在
解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决歌德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想发展史[1]
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哥德巴赫猜想发展史[1]摘要为了让新接触到哥德巴赫猜想的人通过此文章较为系统的了解到其产生、发展以及现状，让现在正在研究哥德巴赫猜想的学者吸收借鉴他人的证明角度或方法，本文通过文献研究的方法将获取的有关哥德巴赫猜想的产生过程、发展至今的成果以及哥德巴赫猜想的证明角度或方法进行了归纳总结。
得出的结果是偶数的哥德巴赫猜想被研究的思路方法主要有：殆素数、例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。
现在人们也经常利用不同的定义进行哥德巴赫猜想的证明，也常有人提出给哥德巴赫猜想的论述增加成立条件，也有很多人提出通过借助建模、度法、算法等数学工具进行证明。
结果表明在哥德巴赫猜想的证明之路上有很多的方法或角度值得吸收和借鉴。
关键词哥德巴赫猜想证明思路发展0引言哥德巴赫猜想是数学界的学者进行研究的一大热点，在已发表的论文中，大多数前人在进行研究时将侧重点放在哥德巴赫猜想的证明角度或者证明方法上,比如：李一霖学者在《数学大世界》2020年第4期的期刊中发表了《关于哥德巴赫猜想》这一文章，他通过对质数的定义以及性质的分析，利用数学归纳法对哥德巴赫猜想进行证明，证明了“一切大于等于6的偶数，均可表示为两个质数的和”；何海浪、何雷二位学者在《数学学习与研究》2021年第5期这期期刊上发表的《哥德巴赫猜想的完美证明》这一文章中是利用分组重排、抽取淘汰的方法进行的证明，证明出了哥德巴赫猜想一以及哥德巴赫猜想二。
在哥德巴赫猜想的发展史这一方面，前人将其从产生总结至“陈景润证明了‘1+2’”，虽然哥德巴赫猜想证明的发展也从这里开始没有被进一步的向前推进，但是人们对哥德巴赫猜想的证明的研究的脚步并未停止。
本文希望通过文献研究的方法将哥德巴赫猜想的产生、发展以及现状总结起来，为以后哥德巴赫猜想的的证明提供历史素材或者为以后其他数学问题的探索证明提供灵感。
此论文并非只将前人的突出的证明结果进行总结，而是旨在搜集、整理、总结在哥德巴赫猜想的发展史中关于哥德巴赫猜想的不同角度或方法的证明。
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2、算术函数 D (k ) 与哥德巴赫猜想有密切的，直接的关系。众所周知，一个 偶 数 如 果 能 表 示 为 两 个 素 数 的 和 ， 其 表 达 为 2k p1 p2 ， 设
1
定义 3 歌德巴赫函数
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )
n 1
k
(3)
其中
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )=2 D ( k )
/ n 1
2k
（4）
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。这个算术函数之所以把它称之为哥德巴
赫函数，它与歌德巴赫猜想有直接的关系，表现在： 1、 这个等式的含义十分非常清楚的，它也是一个计数函数。它表示在不大 于 2k 的自然数中， n ， 2k n 同时为素数的个数。其中（ n ， 2k n ）或（ 2k n ，
v ( n ) v (2 k n ) v ( p1 ) v (2 k p1 ) v ( p1 ) v ( p 2 ) ，则 D(k ) 实际表示的是素数对
( p1 , p2 ) 的数目。这样，哥德巴赫猜想就是要证明 D (k ) 1 成立。算数函数 D (k ) 与
哥德巴赫猜想的关系一目了然，无需更复杂的证明。 3、无论是用概率法（密率法） 、筛法、圆法证明哥德巴赫猜想，最终的目的 就是证明 D (k ) 1成立。只是在获得 D (k ) 的表达式方面有所不同，所得结果也不 一样而已。 对 D(k ) 的表达式及其估值给出最好结果的应该是英国的数学家哈代李德伍兹，他们运用圆法对 D (k ) 给出了猜测性的结果，为研究哥德巴赫猜想开 辟了新方向。其他的方法虽然也给出了自己的表达式及其估值，有的是间接表 达式，过于复杂，但没有一种方法给出类似（3）这样直接的表达式。 4、如果方法得当， （3） （4）在具体运算中可以避开“筛法” “圆法”不必要的
哥德巴赫函数及其关联函数
苏法王
哥德巴赫猜想虽然是一个著名的数学难题，但在中国却几乎家喻户晓。我 国的数学家陈景润把哥德巴赫猜想的研究推到了一个高峰。许多研究者认为陈 景润把现有的研究方法“发挥到了极致” ，哥德巴赫猜想的研究要想有突破， 必 须另辟蹊径，采用新的研究方法。 哥德巴赫猜想研究中常用的方法大体有概率法（密率法） 、筛法、圆法等， 当然这些方法还可以细分为不同的更具体的方法。按照有关专家的说法，如果 采用上述方法研究哥德巴赫猜想，估计取得突破的可能性非常小。那么出路在 何方？笔者认为哥德巴赫函数及其关联函数是一个重要的研究方向。 定义 1 函数
2
复杂计算。 定义 4 歌德巴赫函数关联函数
ln 2 n B ( k ) v ( n ) v (2 k n ) n n 1
k
(5)
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。我们把这个函数称之为哥德巴赫关联函
数。根据（3）我们可以证明，如果 B ( k ) 0 ，则歌德巴赫猜想成立6）
就可以完全证明歌德巴赫猜想成立，而我们已经发现了（6）的计算方法。
联系方式：sfwxxx@ 09062133128
3
1 v(n) 0
其中 n =0，1，2，3…
n 为素数 其他
（1）
为自然整数
定义 2
函数
(k ) v(n)
n 1 k
(2)
其中 n =0，1，2，3…
为自然整数。这个等式的含义是非常清楚的，即在不
大于 k 的自然数中，所含素数的个数为 ( k ) 个，算术函数 (k ) 也叫素数计数函 数。