2020-2021学年河南省郑州一中高二(上)期中(理科)数学试卷 (解析版)

2020-2021学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则B．若a2＜b2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则ac2＞bc22．（5分）在等比数列{a n}中，a4+a5＝10，a6+a7＝20，则a8+a9等于（）A．90B．30C．70D．403．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax ﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）5．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．637．（5分）已知a＞0，b＞0，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，a＝5，△ABC 的面积为10，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x＜1，使得x2+x﹣1≥011．（5分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T＝+的最小值为（）A．B．2C．D．4二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．（5分）已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）数列{a n}中，a1＝1，（n∈N*），则a2020＝．16．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，则c的最小值为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n．若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4﹣T2＝12．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2C＝2sin （A十B）﹣1．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若边AB上的中线CD＝1，a+b＝，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤2；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F2AB的面积为时，求直线l的方程．22．（12分）已知正项数列{a n}中，，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n∈N*），设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）下列结论正确的是（）A．若a＞b，则B．若a2＜b2，则a＜bC．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，则ac2＞bc2解：对于A，B：取a＝1，b＝﹣2，显然错误，对于D：取c＝0，显然错误，对于C：若a＞b，c＞d，则﹣d＞﹣c，故a﹣d＞b﹣c，故C正确，故选：C．2．（5分）在等比数列{a n}中，a4+a5＝10，a6+a7＝20，则a8+a9等于（）A．90B．30C．70D．40解：由于在等比数列{a n}中，每相邻两项的和仍然构成等比数列，a4+a5＝10，a6+a7＝20，故10、20、a8+a9构成等比数列，故a8+a9＝40，故选：D．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2，可得（1﹣cos A）＝（1﹣），即有cos A＝，即2b2＝2bc cos A＝b2+c2﹣a2，可得b2+a2＝c2，则∠C为直角，即有△ABC为直角三角形．故选：A．4．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax ﹣2＞0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2＝0（a＜0）的两根∴∴a＝﹣1，b＝1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故选：B．5．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）A．（﹣3，0）B．（﹣4，0）C．（﹣10，0）D．（﹣5，0）解：∵圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为（3，0），∴椭圆的一个焦点为F（3，0），得c＝3又∵短轴长为2b＝8，得b＝4∴a＝＝5，可得椭圆的左顶点为（﹣5，0）故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（）A．13B．35C．49D．63解：因为a1+a7＝a2+a6＝3+11＝14，所以7．（5分）已知a＞0，b＞0，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＞0，b＞0，则a+b++＝（a+）+（b+）≥2+2＝4，当且仅当a＝且b＝时等号成立，即a＝1且b＝1时a+b++＝4；反之，若a＞0，b＞0，由（a+b）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝时等号成立，即a＝b时，a+b++＝4不成立．故若a＞0，b＞0，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知动点M（x，y）满足+＝2，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆解：由已知，动点M到点P（﹣1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＝2，所以动点M的轨迹为线段，故选：C．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，a＝5，△ABC 的面积为10，则的值为（）A．B．C．D．解：由B∈（0，π），可得sin B＝＝＝，由a＝5，△ABC的面积为10，可得ac sin B＝•5c•＝10，解得c＝5，从而b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝25+25﹣2•5•5•＝20，即b＝2，则＝＝＝．10．（5分）下列命题中正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x＜1，使得x2+x﹣1≥0解：对于A：若p∨q为真命题，则①p真q真，②p假q真，③p真q假，当p真q真时则p∧q为真命题，故A错误；对于B：在△ABC中“∠A＞∠B”⇔“2R sin A＞2R sin B”⇔“a＞b”⇔“∠A＞∠B“，所以在△ABC中“∠A＞∠B”是“sin A＞sin B”的充分必要条件，故B正确；对于C：命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题是“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”故C错误；对于D：命题p：∃x0≥1，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x≥1，使得x2+x﹣1≥0，故D错误．故选：B．11．（5分）设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a2，b2，c2依次成等差数列C．，，依次成等比数列D．a2，b2，c2依次成等比数列解：∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴＝，根据正弦定理可得＝+，∴2ac cos B＝bc cos A+abcsC，∴a2+c2﹣b2＝+，∴a2+c2＝2b2，∴a2，b2，c2依次成等差数列．故选：B．12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T＝+的最小值为（）A．B．2C．D．4解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1＝m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．14．（5分）已知p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．解：由命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+a＜0”是真命题，知存在x0∈R，使得x02﹣x0+a＜0成立，所以（x2﹣x+a）min＝﹣+a＜0；所以a＜．故答案为：（﹣∞，）．15．（5分）数列{a n}中，a1＝1，（n∈N*），则a2020＝0．解：数列{a n}中，a1＝1，，整理得，令n＝1时，a2﹣a1＝0，解得a2＝1，令n＝2时，a3﹣a2＝﹣1，解得a3＝0，令n＝3时，a4﹣a3＝0，解得a4＝a3＝0，令n＝4时，a5﹣a4＝1，解得a5＝1，令n＝5时，a6﹣a5＝0，解得a6＝1，令n＝6时，a7﹣a6＝﹣1，解得a7＝0，…，所以该数列为1，1，0，0，1，1，0，0，…故数列的周期为4，所以a2020＝a505×4＝a4＝0．故答案为：0．16．（5分）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，则c的最小值为．解：∵c cos B+b cos C＝4a sin B sin C，b＝1，∴sin C cos B+sin B cos C＝4sin A sin B sin C，∴sin（B+C）＝sin A＝4sin A sin B sin C．∵sin A≠0，∴sin B sin C＝，∴sin C＝，当sin B取得最大值1时，sin C最小，且sin C＝．此时，由正弦定理可得＝，即＝，∴c＝，故答案为：．三、解答题：本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n．若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4﹣T2＝12．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．解：（1）由a1＝b1，a4＝b2，则S4﹣T2＝（a1+a2+a3+a4）﹣（b1+b2）＝a2+a3＝12设等差数列{a n}的公差为d，则a2+a3＝2a1+3d＝6+3d＝12，所以d＝2．所以a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1设等比数列{b n}的公比为q，由题b2＝a4＝9，即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝3．所以；（2），所以{a n+b n}的前n项和为（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）＝（3+5+…+2n+1）+（3+32+…+3n）＝＝．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2C＝2sin（A十B）﹣1．（Ⅰ）求cos C；（Ⅱ）若边AB上的中线CD＝1，a+b＝，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）因为3cos2C＝2sin（A十B）﹣1，所以6cos2C﹣3﹣2sin C+1＝0，所以3sin2C+sin C﹣2＝0，因为0＜C＜，所以sin C＝，（负值舍去），可得cos C＝＝．（Ⅱ）由题意可得+＝2，所以a2+b2+2ab cos C＝4CD2＝4，所以（a+b）2﹣2ab+ab＝4，因为a+b＝，所以ab＝，所以S△ABC＝ab sin C＝×＝．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤2；（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，x2﹣3x+4≤2，即为（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，则不等式的解集为[1，2]；（2）对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，可得x2﹣（a+2）x+5+a≥0恒成立，即a（x﹣1）≤x2﹣2x+5恒成立．当x＝1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈（1，4]时，，由1＜x≤4，可得0＜x﹣1≤3，则，当且仅当时，即x﹣1＝2，即x＝3时取“＝”．∴a≤4．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，4]．20．（12分）如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．（1）求缉私艇追上走私船所需的最短时间；（2）求缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值．解：（1）如图所示，△ABC中，∠ABC＝60°+（180°﹣120°）＝120°，AB＝18，设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时，则BC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC；即（21x）2＝182+（15x）2﹣2×18×15x×cos120°，化简得4x2﹣5x﹣6＝0，解得x＝2或x＝﹣（不合题意，舍去）；所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时；（2）△ABC中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，所以cos∠BAC＝＝，所以sin∠BAC＝＝，计算cosα＝cos（∠BAC+60°）＝cos∠BAC cos60°﹣sin∠BAC sin60°＝×﹣×＝﹣，所以缉私艇用时最短的追赶方向（方位角α）的余弦值是﹣．21．（12分）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F2AB的面积为时，求直线l的方程．解：（1）椭圆过点，离心率为，可得解得所以（2）斜率不存在时x＝﹣1，不满足．斜率存在设为k，过F1（﹣1，0）的直线方程为：y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，联立直线方程与椭圆方程，即，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＞0恒成立，由韦达定理可得，|AB|＝•＝，，所以，解得k＝±1，所以直线的方程y＝±（x+1）．22．（12分）已知正项数列{a n}中，，函数．（1）若数列{a n}满足a n+1＝f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a n+1≤f（a n）（n∈N*），设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】（1）解：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴．（2）证明：∵（n∈N*），∴，∵，∴，∴，…，，…，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴＝．。