第四章曲面论基本定理

用 n 和（11）的第一式两边作内积，得到
Cαβ
=
∂rα ∂u β
⋅ n = rαβ
⋅ n = bαβ
（11） （12）
故系数 Cαβ 恰是曲面的第二类基本量 bαβ ，用 rξ 与（11）的第二式两边作内积，则得
所以
∂n ∂u β
⋅ rξ
= Dβv rv
⋅ rξ
Dβγ gγξ = −bβξ , Dβγ = −bβξ g vξ
表现多重的和式 。使 如
22
∑ ∑ Sαβ T αβ =
Sαβ T αβ
α =1 β =1
2
∑ Pαβ α =
Pαβ α = P11β
α =1
+ P2β 2
等等。 注意 ，求和指标的字母本身并没有实质意义 ，它 可以用别的字母代替 ，例 如
Sαβ T αβ = S ξη T ξη
但是作为求和指标的字母出现三次以上是没有意义的 ，例如 Pαα α 的写法是不适当的；
Γ111
=
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้∂E ∂u
,
Γ112
=Γ121 =
1 2
∂E ∂u
,
Γ122
=
∂F ∂v
−
1 2
∂G , ∂u
Γ211
=
∂F ∂u
−
1 2
∂E ∂v
,
Γ212
= Γ221
=
1 2
∂G , ∂u
Γ222
=
1 2
∂G ∂v
（23）
Γ
1 11
=
EG
1 −
F2
G 2
∂E ∂u
+
F 2
∂E ∂v
−
F
∂F ∂u
因此
Γ
1 11
=
g 11Γ111
+
g 12 Γ211
=
1+
f x f xx
f
2 x
+
f
2 y
,
同理得到
Γ
1 12
=
g
Γ 11 112
+
g
Γ 12 212
= 1+
f x f xy
f
2 x
+
f
2 y
,
Γ 122
=
g
Γ 11 122
+
g
Γ 12 222
= 1+
f x f yy
f
2 x
+
f
2 y
,
解 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（16）出发直接求 Γα βγ ，曲面的参数
方程是
r(x, y) = (x, y, f (x, y)),
因此 x, y 分别对应于 u1 , u2 .Γ111 就是 rxx 是 rx 上的分量，Γ121 就是 rxx 在 rx 上的分量，如
此等等。显然，
rx = (1,0, f x ) ， ry = (0,1, f y ) ， rxx = (0,0, f xx) ，
gαβ = ra ⋅ rβ 求微商得到
∂g αβ ∂uγ
= rαγ ⋅ rχ + rα ⋅ rβγ ，
用（19）式代入得到
∂g αβ ∂uγ
= Γβαγ
+ Γαβγ
将指标调换 ，我们有
∂g αγ ∂u β
= Γαγβ
+ rγαβ ,
（20）
∂g γβ ∂u α
= Γγβα + Γβγα
将上面两式相加减去 （20）式， 则得
Ⅰ和Ⅱ是曲面的两个不变式 。一个自然的问题是 ：这两个基本形式是否足以确定曲面的形 状？即 Ⅰ和 Ⅱ是否构成曲面的完全不变量系统 ？我们在本章对此要 给出肯定的回答。
在研究空间曲线时，我们在曲线上曲率不等于零的每一个点附以一个确定的 Frenet 标 架，它可以从曲线的参数方程通过求导运算自然地用显式表示出来，从而我们把曲线转化成 标架空间中的一个单参数族。曲线论的基本定理和存在定理实际上是对于标架空间中的这个 单参数族来进行证明的。对于曲面我们也作同样的考虑。差别在于我们所考虑的是曲面上的 自然标架{r;ru,rv,n},它们依赖于曲面上参数的选取 ，而且不是单位位正交标架。若要考虑曲 面上内在确定的正交标架场，我们可以考虑{r;e1,e2,n}，其中 e1,e2 是曲面的主方向单位向量。 但是，主方向并不能象 Frenet 标架那样从曲面的方程 r=r(u,v)出发直截了当地用显式表示出 来。而且即使我们取了正交曲率线网作为参数曲线网 ，也只能做到 ru∥e1,rv∥e2 并不能使 ru=e1,rv=e2。因此，我们从自然标架出发展开我们的理论比较方便 ，当然在引进外微分的概 念之后，我们就能够利用曲面上任意的标架场了（这种标架场的选择有相当大的任意性，与 曲面的参数不必有紧密的联系 ）， 特别是正交标架场， 这将是第七章的内容。
（13）
下在我们引进用第一类基本量（ gαβ ）将一组带指标的量的上指标或下指标下降或上升
的概念。命
bβ γ = bβξ g γξ
（14）
把 bβ γ 看成是将 bβγ 的指标 v 借助于（ gαβ ）上升的结果，这个过程是可逆的。即
bβγ = bβξ gγξ
故 bβγ 恰是将 bβ γ 的指标借助于（ gαβ ）下降的结果。（ bβ γ ）这组量与（ bβγ ）是彼此
因此
rxy = (0,0, f xy ) ， ryy = (0,0, f yy ) 。 g11 = 1 + f x 2 , g12 = f x f y , g 22 = 1+ f y2 ，
g = g11g 22 − (g12 ) 2 = 1 + f x2 + f y2 ，
g 11
=
1
1+ + fx2
f y2 +f
y
2
， g12
=
1+
fx fy fx2 +
fy2
，
g 22
=
1
+
1+ fx2
f
2 x
+
f
y
2
Γ111 = rxx ⋅ rx = f x f xx ， Γ112 = Γ121 = rxy ⋅ rx = f x f xy ， Γ122 = ryy ⋅ ry = f y f yy ，
Γ211 = rxx ⋅ ry = f y f xx ， Γ212 = Γ221 = rx y ⋅ ry = f y f xy ， Γ222 = ryy ⋅ ry = f y f yy ，
2Γγαβ
=
∂g αγ ∂u β
+
∂g γβ ∂uα
−
∂gαβ ∂u γ
,
或
因此
Γγαβ
=
1 2
(
∂gαγ ∂u β
+
∂g γβ ∂u α
+
∂g αβ ∂uγ
)
Γ γ αβ
= g vξ Γξαβ
=
1 2
g γξ
(
∂gαξ ∂u β
+
∂g ξβ ∂uα
−
∂g αβ ∂u ξ
)
（21） （22）
由此可见， Γγ αβ 是由曲面的第一类基本量及其一阶偏导数决定的。我们把（22）式定
Γ121
=
1+
f y f xx
f
2 x
+
f
2 y
,
Γ
2 12
= Γ 2 21
=
1+
f y f xy
f
2 x
+
f
2 y
,
Γ 222
= 1+
f y f yy
f
2 x
+
,
f
2 y
§２ 曲面的唯一性定理
利用上一节关于曲面上的自然标架场的运动公式，不难直接证明曲面的形状是由它的第 一基本形式和第二基本形式唯一地确定的 ，这个结论确切地叙述如下：
决定的。这样，所求的系数是
Dβγ = −bβ γ
（15）
由于 n 是单位向量场，故从（11）式得到 Dβ = 0 ，综上所述，（11）式成为

∂rα ∂u β
∂n
∂u β
= Γγ αβ rγ + bαβ n = −bβ γ rγ
现在我们来求 Γγ αβ 。
在（16）的第一式两边点乘 rξ ，则得
2
∑ 如果要表示这样的和式必须用和号表示成
Pαα α = P111 + P22 2 ，而不能用 Einstein 和式约
α =1
定。在表示多重和式时，Einstein 和式约定起到十分重要的简化作用。
我们用 gαβ 和 bαβ 表示曲面 S 的第一类基本量和第二类基本量，即
gαβ = rα ⋅ rβ ,
第四章 曲面论基本定理 §1 自然标架的运动公式 在前面两章，我们定义了曲面的第一、第二基本形式，并且根据这两个基本形式对曲面 的一点附近的形状进行了分析，两个基本形式Ⅰ、Ⅱ与曲面的保持定向不变的参数变换是无
关的，与 E 3 中直角坐标变换是无关的，因而与曲面在 E 3 中的刚体运动也是无关的。总之，
由于我们要做的是多元函数的微商，会出现许多和式，因此把曲面上的有关的量的记号 作适当的改变是比较方便的。首先，我们把 u1,u2 作为曲面的参数，这样曲面的方程成为
r = r(u1 ,u 2 )
（1）
命
rα
=
∂r(u1 ,u 2 ) ∂uα
（2）
在本书，我们规定指标 α , β ,γ ,ξ ,η 等希腊字母的取值为 1，2。所以
因为矩阵（ gαβ ）是正定的，记它的逆矩阵为（ gαβ ），因此
实际上，
gαβ g βγ
=
δ
α γ
=
1, α

0,α
= ≠
γ, γ.

g g
11 21
g 12 g 22

=
1 g
−
g 22 g 21
− g12 g11

。
（8） （9）
采用上述记号，曲面上的自然标架就成为 {r, r1 , r2 , n}，要考虑的是自然标架场的运动
（16）
rαβ ⋅ rξ = Γγ αβ gγξ
记
Γ γ αβ g γξ = Γξαβ
则我们有
Γ γ αβ = g γξ Γξαβ ，
并且前面的式子成为
Γξαβ = rαβ ⋅ rξ
（17） （18） （19）
注意到
rαβ
=
∂2r ∂uα∂u β
= rβα ， 故 Γξαβ
， Γ γ αβ
关于指标α， β是对称的。对 于
,
Γ
2 11
=
−
1
∂E ,
2G ∂v
Γ
1 12
= Γ121
=
1 2
∂ ln E , ∂v
Γ
2 12
=
Γ 2 21
=
1
∂ ln G ,
2 ∂u
Γ1 22
=
−1 2E
∂G ∂u
,
Γ2 22 = 1 ∂ ln G . 2 ∂v
（25）
例 求曲面 z = f ( x, y) 的 Christoffel 记号。
定理 １ 设 S1，S2 是定义在同一参数区域 D ⊂ E 2 上的两个正则参数曲面，若在第一点
（u1，u2）∈D，曲面 S1 和 S2 有相同的第一基本形式和第二基本形式，则曲面 S1 和 S2 在 E3 的一个刚体运动下是彼此重合的。
证明 因为 S1，S2 上采取了同一组参数，因此在每一点（u1，u2）∈D，曲面 S1、S2 有 相同的第一基本形式和第二基本形式的意思是它们在对应点有相同的第一类基本量和第二
架沿参数曲线的运动是由曲面的第一类基本量和第二类基本量完全确定的。 Γγ αβ 的几何意
义是向量 rαβ 用自然标架分解时的切向量 rv 上的分量，而 Γvαβ 是向量 rαβ 在切向量 rv 的投影，
因此，在求
Γ
v αβ
时，可以根据定义从曲面的第一类基本量计算出来，也可以根据曲面的参
数方程进行计算。 恢复用第一类基本量的原本记号，则 Christoffel记号是：
bαβ = rαβ ⋅ n = −rα ⋅ nβ = −rβ ⋅ nα
（5）
其中 rαβ
=
∂ ∂u β

∂r ∂uα
。这样，曲面的两个基本形式是
另外，记
? = gαβ duα du β ? = bαβ duα du β
g = det(gαβ ), b = det(bαβ )
（6） （7）
义的 Γγ αβ 称为 Christoffel 记号。
（10）和（16）两式合起来称为曲面上自然标架的运动公式。通常把（16）的第一式称 为 Gauss 公式，把第二式称为 Weingarten 公式。实际上，后者恰好是 Weingarten 映射的公
式，即（ bβ v ）是 Weingerten 映射在自然基底{r1,r2}下的矩阵，从这些公式可以看出自然标
,
Γ
1 12
= Γ121
=
1 EG − F 2
G 2
∂E ∂v
−
F 2
∂G ∂u
,
Γ 122
=
1 EG −
F2
G
∂F ∂v
−
G 2
∂G ∂u
−
F 2
∂G ∂v
,
Γ
2 11
=
1 EG −
F2
−
F 2
∂E ∂u
−
E 2
∂E ∂v
+
E
∂F ∂u
,
n = r1 × r2 r1 × r2
这样，函数 r(u1 ,u 2 ) 的微分是
（3）
2
∑ dr(u1 ,u 2 ) = rα (u1 ,u 2 )duα = rα duα α =1
（4）
在最后一式中我们采用了 Einstein 的和式约定，也就是：在一个单项中，如果同一指标
α作为上指标和下指标各出现的一次，则该式表示是对于α = 1,2 的求和式，多对重复指标
公式。着先，标架原点的微商根据定义为
∂r ∂u α
= rα
（10）
另外，既然 r1, r2 , n 是线性无关的，不妨假定。

∂rα ∂u β ∂n
∂u β
= Γγ αβ rγ + Cαβ n, = Dγ β rγ + Dβ n
其中 Γγ αβ ， Cαβ ， Dβα ， Dβ 都是待定系数。
Γ
2 12
= Γ 2 21
=
1 EG −
F2
−
F 2
∂E ∂v
+
E 2
∂G ∂u

Γ 222
=
1 EG − F 2
−
F
∂F ∂v
+
F 2
∂G ∂u
+
E 2
∂G ∂v

如果取正交参数曲线网，则 F≡0，上面的公式便大大化简了：
（24）
Γ
1 11
=
1 2
∂ ln E ∂u