概率论与数理统计(浙大版)第四章ppt课件
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概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
浙江大学概率论与数理统计ppt课件
随机变量及其分布
随机变量 离散型随机变量及其分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第三章
• • • • 3.1 3.2 3.3 3.4
多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量
3
第四章 随机变量的数字特征
• • • • 4.1 4.2 4.3 4.4 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
第九章 方差分析及回归分析
• • • • 9.1 9.2 9.3 9.4 单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 一元线性回归 多元线性回归
5
第十章 随机过程及其统计描述
• 10.1 随机过程的概念 • 10.2 随机过程的统计描述 • 10.3 泊松过程及维纳过程
第十一章 马尔可夫链
S
“和”、“交”关系式
n
A
A ；A i n
i 1 n n
A
A ＝ A A i 1 2 A ； n
A A i A i 1 A 2
i 1
n
i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来}
概率论与数理统计第四章
E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立 与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章 随机变量的数字特征
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
《概率论与数理统计》浙大内部课件(全套).PPT
S
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
16
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
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Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
16
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
概率论与数理统计教学PPT浙大第三版
数据挖掘
02
通过对大量数据进行挖掘和分析，发现数据间的关联和规律，
为人工智能系统的决策提供依据。
自然语言处理
03
自然语言处理中需要进行文本分类、情感分析等任务，需要概
率论与数理统计的知识进行模型训练和优化。
05
概率论与数理统计的未来发展
概率论与数理统计与其他学科的交叉发展
概率论与数理统计与计算机科学的交叉
概率论与数理统计的应用领域
金融
风险评估、投资组合优化、保 险精算等。
科学研究
物理、生物、化学、医学等领 域的数据分析和实验设计。
工程
可靠性工程、质量控制、系统 优化等。
人工智能和机器学习
数据挖掘、模型训练和评估等 。
概率论与数理统计的发展历程
概率论的起源
可以追溯到17世纪中叶，当时赌 博游戏引发了对概率计算的兴趣。
掌握点估计的概念和方法， 如矩估计和最大似然估计。
区间估计
了解区间估计的概念，掌 握单个和多个参数的区间 估计方法。
估计量的评价准则
了解无偏性、有效性和一 致性等评价估计量的准则。
假设检验
假设检验的基本原理
理解假设检验的基本思想、假设的设定和检验步骤。
单个总体参数的检验
掌握单个总体均值、比例和方差的假设检验方法。
概率论与数理统计教学 ppt浙大第三版
• 概率论与数理统计简介 • 概率论基础 • 数理统计基础 • 概率论与数理统计的应用 • 概率论与数理统计的未来发展
01
概率论与数理统计简介
概率论与数理统计的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过 概率模型和随机变量描述随机事 件和随机结果。
数理统计
概率论与数理统计第四章
例5.设随机变量 ,Y相互独立,且均服从正态 设随机变量X, 相互独立 相互独立, 设随机变量 分布N(0,0.5),求E|X-Y|. 分布 求
■切比雪夫不等式
定理 设随机变量X有期望 有期望E(X)和方差 σ 2 则对于 设随机变量 有期望 和方差 , 任给 ε >0, 2
σ P{| X E( X ) |≥ ε} ≤ 2 ε
■方差的定义
是一个随机变量, 设X是一个随机变量,若E[X-E(X)]2 < ∞,则 是一个随机变量 , 称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 的方差. 为X 的方差
采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 都起正面的作用 差值
方差的算术平方根 D(X) 称为标准差 由于标准差与X具有相同的度量单位, 由于标准差与 具有相同的度量单位, 具有相同的度量单位 在实际问题中经常使用. 在实际问题中经常使用
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
又如,甲 乙两门炮同时向一目标射击 发炮 又如 甲,乙两门炮同时向一目标射击10发炮 其落点距目标的位置如图,试比较精度. 弹,其落点距目标的位置如图,试比较精度
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
为此需要引进另一个数字特征,用它 为此需要引进另一个数字特征 用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 散程度 这个数字特征就是: 这个数字特征就是:
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)
∞ ∑g( xk ) pk , X离散型 E(Y ) = E[g( X)] = k=1 ∞ g( x) f ( x)dx, X连续 型 ∫∞
浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档
fn ( A )
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
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n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
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例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计 第四章
50 1 1 1 ( ) 49 2 100 2
数理统计
28
②
骣n 1 2 2 E (S ) = E 琪 X i - nX 琪 å 琪 n - 1 桫= 1 i
= 1 n- 1 n n 1
2
1 n 2 2 EX i nEX n 1 i 1
2
(n E X
若总体X是连续型随机变量，其概率密度为
f ( x ),
则样本的联合概率密度为
f ( x1 , x 2 , , x n ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
对于离散型总体，有相似的结论。
数理统计 17
例 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的 样本，求样本的概率分布。 解 总体X的密度函数为
数理统计
30
X EX 1 P DX
X 1 P 1 10
0 .0 2 E X DX
E(X ) 0 D(X ) 1 100
显然
X ( 1 ) m in X i ,
1 i n
X (n) m ax X i ,
1 i n
两者也分别称为最小次序统计量和最大次序统计量. 称
R X ( n ) X ( 1 ) 为样本极差
X n1 ( 2 ) Md 1 (X n X n ( ) (1 ) 2 2 2 n 为奇数 （4 - 15） n 为偶数
总体 样本
随机变量 X 随机向量
( X 1 , X 2 , , X n )
数理统计
15
在一次试验中，样本的具体观测值 称为样本值。记为 ( x 1 , x 2 , , x n ) . 有时候样本与样本值使用同一符号， 但含义不同。 简单随机样本 若 X 1 , X 2 , X n 是相互独立的并与总体
浙大四版概率论课件
(二) 随机事件
样本空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。
事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。
基本事件:由一个样本点组成的单点集.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在 每次试验中总是发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。
频率的特性: 波动性和稳定性.
说明(1) 波动性: 若试验次数n相同, 不同时候试验 其频率不同,当n较小时, fn(A)随机波动的幅度较大. (书P8)
(2) 稳定性:当n增大时，频率fn(A)的波动越来 越小，呈现出一定的稳定性。
(二)概率 1.定义:设E是随机试验, S是样本空间. 对于 E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件 A的概率,如果集合函数P(.)满足下列条件:
对偶律: A B A B;A B A B.
例1. 事件"A与B发生,C不发生"
A B C.
事件"A、B、C中至少有二个发生"
AB AC BC.
事件"A、B、C中恰有二个发生”
ABC ABC ABC.
§3. 频率与概率
(一) 频率 1. 在相同的条件下,共进行了n次试验,事
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有
P(B A) P(B) P(A);
P(B) P(A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
性质4. 对任一事件A, P(A) 1.
性质5. 对任一事件A, P(A) 1 P(A).
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数.
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计浙大版第四章课件
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
定理：设Z是随机变量X , Y的函数：Z g( X , Y ) g是连续函数 ,
若二维离散型随机变量 X , Y 的分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则有E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij 这里设上式右边的级数绝对收敛，
一民航送客车载有20位旅客自机场出发旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车以x表示停车的次数求设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设各旅客是否下车相互独立第站没有人下车第站有人下车1020第站有人下车20本题是将x分解成数个随机变量之和然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望这种处理方法具有一定的普遍意义
10
定理：设Y是随机变量X的函数：Y g ( X ) g是连续函数 ,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1 k 1
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对于甲来说, 10 、80 、10 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
对于乙来说, 20 、65 、15 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
若用它们相应的概率表示，就得到了数学期望， 也称为均值(加权均值)。
定义： 设离散型随机变量X 的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
x
解：
定理：设Z是随机变量X , Y的函数：Z g( X , Y ) g是连续函数 ,
若二维离散型随机变量 X , Y 的分布律为：
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1, 2,
则有E (Z ) E[ g ( X , Y )] g ( xi , y j ) pij 这里设上式右边的级数绝对收敛，
一民航送客车载有20位旅客自机场出发旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车以x表示停车的次数求设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设各旅客是否下车相互独立第站没有人下车第站有人下车1020第站有人下车20本题是将x分解成数个随机变量之和然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望这种处理方法具有一定的普遍意义
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定理：设Y是随机变量X的函数：Y g ( X ) g是连续函数 ,
X 是离散型随机变量，它的分布律为：
P( X xk ) pk , k 1, 2,
若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1 k 1
所以甲的成绩好于乙的成绩。
对于甲来说, 10 、80 、10 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
对于乙来说, 20 、65 、15 分别是8环、环、 9 10环的概率； 100 100 100
若用它们相应的概率表示，就得到了数学期望， 也称为均值(加权均值)。
定义： 设离散型随机变量X 的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
x
解：
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数学期望简称期望，又称均值。
例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk k 1,2,
服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接
f (x) 1 ex
0
x0 x0
0
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
是
解： X 串 k联 (k 情 况 1,下 2)， 的 N 分 布 m 函 i n 数 X F 1 , (X x)2 , 故 1 0 N 的 e分 x 布 x x 函 0 0 数 为 ： 指数分布
若级数 xkpk绝对收敛，则称级数 xkpk的和为随机变量X
k1
k1
的数学期望，记为EX,即EXxkpk k1
定义：设连续型随机变量X的概率概率为f x,若积分
xf(x)dx
绝对收敛 (即
x
f
xdx<)
则称积分
xf(x)dx
的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即E(X)
xf(x)dx
X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) xf(x)dx
b
x dx a b
a ba
2
即 数 学 期 望 位 于 区 间 ( a ,b ) 的 中 点
几种重要分布的数学期望
1、 设X ~ b(n, p),则E(X) np
2、 设X ~ (),则E(X)
3、 设X ~ U(a,b),则E(X) a b 2
pk 4 5 8 45 1 45
E (X ) 0 5 4 1 4 8 5 2 4 1 59 2
例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可
获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周
内 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数， 期望利润是多少？
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下：
甲 8 9 10
乙 8 9 10
次数 10 80 10
次数 20 65 15
评定他们的成绩好坏。 解：计算甲的平均成绩： 8 1 0 9 1 0 8 0 0 1 0 1 0 8 1 1 0 0 0 9 1 8 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 9
定 理 的 重 要 意 义 在 于 我 们 求 E ( Y ) 时 ， 不 必 算 出 Y 的 分 布 律 或 概 率 密 度 ， 而 只 要 利 用 X 的 分 布 律 或 概 率 密 度 就 可 以 了 。
Fmin(x)1(1F(x))2 1e2 x x0 fmin(x) 2 e2x x 0
的 密
0
x0
0
x0 度
根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).
函 数
E(N) 0x2e2xdx x e 2 x|0 0 e 2 xd x 2 e 2 x|0 2
从而E(N) 2
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e 为 ：
E(X) k ke
k0 k!
e
k1
k1
(k 1)!
ee
即E(X)
例6：设 X U (a ,b )， 求 E (X )。
解 ： X 的 概 率 密 度 为 ： f(x) b－ 1a axb 0 其 他
则X~b(5,0.2)
设Y表示一周内所获利润，则
P (Y10)P (X0)(10.2)50.328, 其 余 同 理 可 得 ， 于 是 Y的 分 布 率 为 ：
Y 2 0 5 10
pk 0.057 0.2050.4100.328
于 是 E (Y ) 5 .2 1 （ 6万 元 ）
例5：设 X(),求 E (X)。
问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？
例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器
时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取
1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望
。
解：X的分布律为：
X 01 2
X 01 2
8 28 21
pk 10 10 9 10 9
计算乙的平均成绩： 8 2 0 9 1 0 6 0 5 1 0 1 5 8 1 2 0 0 0 9 1 6 0 5 0 1 0 1 1 0 5 0 8 . 9 5 所以甲的成绩好于乙的成绩。
对 于 甲 来 说 , 1 1 0 0 0 、 1 8 0 0 0 、 1 1 0 0 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
对 于 乙 来 说 , 1 2 0 0 0 、 1 6 0 5 0 、 1 1 0 5 0 分 别 是 8 环 、 9 环 、 1 0 环 的 概 率 ；
若 用 它 们 相 应 的 概 率 表 示 ， 就 得 到 了 数 学 期 望 ， 也 称 为 均 值 ( 加 权 均 值 ) 。
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P(Xxk)pk k1,2,L
第四章 随机变量的数字特征
关键词：
数学期望 方差 协方差 相关系数
问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；
4、 设X ~ N(, 2),则E(X) 5、 设X服 从 参 数 为的 指 数 分 布,则E(X) 1
.
10
定 理 ： 设 Y 是 随 机 变 量 X 的 函 数 ： Y g ( X ) g 是 连 续 函 数 ,
X 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 它 的 分 布 律 为 ：
P (Xxk)p k, k 1 ,2 ,L
若 g ( x k ) p k 绝 对 收 敛 ， 则 有 E ( Y ) E [ g ( X ) ]g ( x k ) p k
k 1
k 1
X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 它 的 概 率 密 度 为 f( x )
若 g(x)f(x)dx绝 对 收 敛
则 有 E (Y ) E (g (X )) g (x )f(x )d x