第四章泊松过程2

数N(t)是强度为λ的泊松过程，每个来到商店 的顾客购买某货物的概率为p，不买东西离去 的概率是1-p,且每个顾客是否购买货物是相互 独立的，令Y(t)为[0,t]内购买货物的顾客数。 试证{Y(t),t≥0}是强度为λp的泊松过程.
N (t)
n
n
PN (s) k, N (t) N (s) n k
PN(t) n
PN (s) k PN (t) N (s) n k
PN(t) n
es (s)k e (ts) [(t s)]nk
k!
(n k)!
et (t)n
n!
Cnk
s t
n
1
s t
nk
例6：设在时间区间[0,t]内来到某商店的顾客
§2. 泊松过程的0-1律
本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次 数等于或大于2的概率趋于0
定理4.2.2 对于参数为λ>0的泊松过程N(t)，它 满足如下的性质：对任意的时间指标t>0和充分 小的h>0,
(1)P(N (t h) N (t) 0) 1 h (h) (2)P(N (t h) N (t) 1) h (h)
其中(h) 表示h的高阶无穷小.
(1)P(N(t h) N(t) 0) e-h =1 h (h) (2)P(N(t h) N (t) 1) he-h =h (h)
定理4.2.3
如果一个计数过程
Nc
{N
c t
:t
0} 具有平
稳独立增量性且满足定理4.2.2中的性质(1)(2)，那么
n0
n!
e( 1)(ts) [( 1)(t s)]n
n0
n!
e ( 1)(ts) e ( 1)(ts) 1
例5：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t, 对于0 k n,求P{N(s) k N(t) n}.
解：PN (s)
k
|
N (t)
n
PN(s) k, PN (t)
f (u1,u2,L
,
un
)
n!， tn
0，
0 u1 u2 其它
un
t
对n个到达时间T1 T2 L Tn取充分小的h1, h2,L , hn ,
使得uk Tk uk hk ,且各小区间[uk ,uk hk ](k 1, 2,L n)
互不相交，则当0 u1 u2 L un t时，有
j=2
=qk (t)(1-h+(h))+qk-1(t)(h+(h))+(h)
整理上式得
qk
(t
+h)-qk h
(t
)
=-
qk
(t
)+
qk
-1
(t
)+
(h) h
令上式两边h→0,得迭代常微分方程
qk(t)+qk (t)=qk-1(t),其中q1(0)=0,q0(t)=e-t
解上边的常微分方程得
qk
(t)=
(t)k
k!
e-t ,其中k =1,2,L
例子1
对于参数为λ>0的泊松过程N={N(t)：t≥0},求在 {N(t)=1}的条件下，泊松过程N的第一个达到时间间 隔T1服从的概率分布
P(T1
s
N (t)
1)
P(T1 s, N (t) 1) P(N (t) 1)
P(N (s)
1, N (t) N (s) P(N (t) 1)
Βιβλιοθήκη Baidu
n
P N (s)
k, N (t) N (s)
PN(t) n
n
k
PN (s) k PN (t) N (s) n k
PN(t) n
例4（几何泊松过程）设N={N(t),t≥0}是参数λ>0 的泊松过程，假设常数σ>-1，定义随机过程：
Ntge exp[N (t) ln( 1) t] ( 1)N (t) et
0)
sese (ts) tet
s t
更一般有以下问题
设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如果 在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时间 T1 T2 L Tn 服从怎样的概率分布??
例2 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程,如 果在[0,t)内有 n 个随机点到达，则 n 个到达时 间 T1 T2 L Tn 的联合密度函数为
qk (t+h)=P(N c (t+h)=k)
=P(N c (t+h)-N c (t)=0,N c (t)=k)+P(N c (t+h)-N c (t)=1,N c (t)=k-1)
k
+ P(N c (t+h)-N c (t)=j,N c (t)=k-j)
j=2
k
=qk (t)q0 (h)+qk-1(t)q1(h)+ qk-j (t)q j (h)
其中t>0和
N
ge 0
1.
那么对任意的0≤s<t<∞有
E[ Ntge ] 1 Nsge
证明
E[ Ntge ] E{exp[(N(t) N(s)) ln( 1) (t s)]}
Nsge
E{exp[(N (t) N (s)) ln( 1)}e (ts)
e (ts) ( 1)n n (t s)n e (ts)
h1eh1
h2eh2 hnehn (t)n et / n!
e (th1
hn )
n! tn
h1h2
hn
例3：设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0 s t, 对于0 k n,求P{N(s) k N(t) n}.
解：PN (s)
k
|
N (t)
n
PN (s) k, N (t) PN (t) n
这个计算过程一定是个泊松过程
证明：我们只需要证明
P(N c (t)=k)= (t)k e-t
k!
令
qk (t)=P(N c (t)=k)
先考虑函数 q0 (t+h) ，其中h>0充分小.
q0 (t+h)=P(N c (t+h)=0)=P(N c (t+h)-N c (t)=0,N c (t)=0)
n
n
P( I (uk Tk uk hk ), N (t) n)
IP( (uk Tk uk hk ) N (t) n) k1
k 1
P(N (t) n)
P(N (h1) 1, N (h2 ) 1,L , N (hn ) 1, N (t h1 h2 L hn ) 0) P(N(t) n)
=P(N c (t+h)-N c (t)=0)P(N c (t)=0)
=(1-h+ (h))q0 (t )
于是
q0
(t
+h)-q0 h
(t
)
=-
q0
(t
)+
(h) h
令上式两边h→0,得
q0 (t )=-q0 (t ),其中q0 (0)=1
解上边的常微分方程得
q0 (t)=e-t
下面考虑函数qk(t+h), 其中k=1,2,···