平行线的性质定理
平行线的特征
平行线的特征在几何学中，平行线是指在同一个平面上不相交且永不相交的两条直线。
平行线的研究对于很多几何问题的解决至关重要。
本文将介绍平行线的特征以及相关的概念和定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是在欧几里得几何中最基本的概念之一。
两条线段如果在同一平面内，且它们不相交，称为平行线。
平行线可以用符号“||”表示。
例如，线段AB || 线段CD表示线段AB与线段CD平行。
2. 平行线的特征平行线具有以下特征：- 任意两条平行线的倾斜角度相等。
平行线的斜率相等或者其中一个不存在斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的。
即使平行线在平面上不断延伸，它们之间的距离始终保持相等。
- 平行线在任何一个平面上都不会相交。
如果平行线与其他线段相交，那么它们一定不在同一个平面上。
3. 平行线的判定方法在几何学中，有几种方法可以判定两条线是否平行，包括：- 平行线的定义法：根据平行线的定义，如果两条线段不相交，即可判断它们平行。
- 夹角判定法：如果两条直线之间的夹角为180°，即为一对平行线。
- 平行线判定定理：通过已知条件，如线段的斜率或者两条线段上一点的坐标，可以应用平行线判定定理来判断线段是否平行。
4. 平行线的性质和定理在几何学中，有一些与平行线相关的重要性质和定理，包括：- 平行线的转置定理：如果一条直线与另外两条平行线相交，那么这两条平行线也互相相交。
- 平行线的逆定理：如果一条直线与一组平行线相交，并且这组平行线中的一条与该直线垂直，则该直线与该组平行线的其他线段也垂直。
- 平行线截切定理：如果一条直线截取两组平行线的一段，则这两个截断段的比例相等。
总结：平行线是几何学中的基本概念之一，具有其独特的特征和性质。
准确理解并应用平行线的特征和判定方法，对于解决各种几何问题具有重要意义。
通过研究平行线的性质和定理，我们可以推导出其他有关直线和角度的重要结论，进一步拓展和应用几何学知识。
以上就是关于平行线的特征的相关内容。
平行线在平面上永远不会相交
平行线在平面上永远不会相交平行线是指在同一个平面上，永远保持等间距的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出一个重要结论：平行线在平面上永远不会相交。
本文将探讨平行线的性质和相关定理，以及它们在几何学和实际生活中的应用。
在平面几何学中，平行线是一种基本的概念。
当两条直线在平面上没有交点，并且它们的斜率相等时，我们称这两条直线为平行线。
斜率是指直线上两个不同点间纵坐标和横坐标之差的比值。
因此，当两条直线的斜率相等时，它们的倾斜程度相同，因此不会相交。
平行线的性质可以通过以下定理来证明：定理1：如果一条直线与两条平行线相交，那么与这两条平行线相交的两条角相等。
根据这个定理，我们可以得出一个结论：平行线之间的夹角为零度。
因为一条直线与自身交于一点，且夹角为零度。
所以，两条平行线之间的夹角为零度，也就是说它们是重合的。
定理2：如果一条直线与一条平行线相交，那么与这两条线的交线对应的内角和外角互补。
这个定理告诉我们，如果一条直线与一条平行线相交，那么与它们交线对应的内角和外角的和等于180度。
这个定理的证明可以通过角的性质以及平行线中的内错角、同旁内角等关系进行推导。
这些定理的证明可以帮助我们理解平行线的性质。
平行线之间的夹角为零度，因此它们永远不会相交。
这一性质在我们的日常生活和实际应用中也有重要的意义。
平行线在实际生活中的应用非常广泛。
在建筑和设计领域，平行线的概念被广泛运用。
例如，在设计房屋平面图时，设计师需要根据平行线的性质绘制房间的墙壁、地板和天花板等。
另一个实际应用是在交通规划中。
道路和铁路系统中的平行线起着重要的作用。
平行线的概念帮助我们设计并规划道路和铁路的行车线路，使交通系统更加高效和安全。
此外，在数学和物理学中，平行线的概念也扮演着重要的角色。
在数学中，平行线是解析几何的基础。
在物理学中，平行线的概念用于描述光线的传播和反射。
总结起来，平行线是在同一个平面上保持等间距的两条直线。
根据平行线的定义和定理，我们可以得出一个重要结论：平行线在平面上永远不会相交。
认识平行线垂直线及其性质
认识平行线垂直线及其性质在几何学中，平行线和垂直线是基本的概念和性质。
它们在一些常见的几何定理和问题中起着重要的作用。
本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及相关定理。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线在平面内没有交点，我们就称它们为平行线。
如果将两条平行线延长到无限远，它们将永远保持相同的距离。
平行线具有以下性质：1. 平行线的夹角等于180度：设有两条直线L1和L2平行，它们之间的夹角为θ，则θ=180度。
2. 平行线的转角是相等的：设有两条平行线L1和L2，如果从L1任意一点开始作一条与L2相交的直线，再从与L2的交点开始作一条与L1相交的直线，这两条相交直线的转角是相等的。
二、垂直线的定义和性质垂直线是指在同一个平面内形成直角（即角度为90度）的两条直线。
具体而言，如果两条直线的角度为90度，我们就称它们为垂直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线的转角等于90度：如果两条直线L1和L2垂直，它们之间的夹角为90度。
2. 垂直线与平行线之间的关系：如果一条直线L1与一条平行线L2相交，那么直线L1与L2的垂线也相交且互相垂直。
三、平行线和垂直线的重要定理1. 同位角定理：如果两条平行线L1和L2被一条截线交叉，那么对应的同位角相等。
2. 内错角定理：如果两条平行线L1和L2被一条截线交叉，那么同位内错角对应相等。
3. 外错角定理：如果两条平行线L1和L2被一条截线交叉，那么同位外错角对应相等。
4. 垂直线的性质：如果一条线段与垂直线相交，那么其两个交点与垂直线的连线是相等的。
5. 垂直线的唯一性：通过同一点可作一条且仅一条垂直线。
这些定理和性质为我们解决许多几何问题提供了基础。
我们可以利用这些性质来构造平行线、垂直线，计算角度和线段的长度等。
总结平行线和垂直线是几何学中的重要概念，它们具有独特的性质和定理。
通过了解它们的定义和性质，我们能够更好地理解几何学中的各种问题和定理。
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。
写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。
八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
八年级数学平行线的性质定理
b
同位角相等,两直线平行. 两直线平行,同位角相等. 内错角相等,两直线平行.
两直线平行,内错角相等.
同旁内角互补,两直线平行. 两直线平行,同旁内角互补.
如果 两个角是直角,那么这两个角相等 .
如果 两个角相等 ,那么这两个角是直角 .
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
A
D
B
C
练 习
如图，已知两平行线AB、CD被直线AE所截． （1）从∠1＝110 °可以知道∠2是多少度？为什么？ （2）从∠1＝110 °可以知道∠3是多少度？为什么？ （3）从∠1＝110 °可以知道∠4是多少度？为什么？
解：∠3 2 ＝110 110 ° A 4＝ 70° 解：∠ ° 2 请同学们注意：解题中可 ∵AB AB∥ ∥CD CD（已知） （已知） 1 4 3 ∵ E 别把平行线的判定和性质搞混 ∴∠1 1＝∠ ＝∠ 2 （两直线平行，内错 ＋∠3 4（两直线平行，同位 ＝180°（两直线平 ∴∠ 了．由角的已知条件推出两线 角相等） 行，同旁内角互补） 角相等） B D 又∵ ∠ 1 ＝ 110 °（已知） 平行的结论是平行线的判定； 又∵ ∠1＝110°（已知） ∴∠3 2 ＝110 110 °（等量代换） 4＝ 70° 而由两线的平行条件推出角的 ∴∠ °（等量代换）
1
D
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线 EF所截,∠1和∠2是同旁内角. E 求证: ∠1 +∠2 =180°. A 3
2
B
C
1
D
平行线的性质定理二 两条平行线被第三 条直线所截，同旁内角互量得 ∠A=115°，∠D=100°，你能求出∠B、∠C的 度数吗？如果能，请求出．如果不能，请说明理 由．
北师大八年级数学下册第七章7.3平行线的判定和性质综合应用
B
C
∴AB∥CD（同旁内角互 补，两直线平行） 你能说明AD∥BC吗？
如图甲所示
∵ ∠ADE＝ ∠DEF（已知）
∴ AD ∥ EF （内错角相等，两直线平行 ） 又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 ° ∴ EF ∥ BC （ 同旁内角互补，两直线平行 ） ∴ AD ∥
BC
。
（平行于同一条直线的两条直线互相平行 ）
练习
1、观察右图并填空： (1)∠1 与 ∠4 是同位角; (2) ∠5 与 ∠3 是同旁内角; (3) ∠1 与 ∠2 是内错角;
m
2
n
3 5
a b
1
4
2、当图中各角满足下列 条件时,你能指出哪两条直线 平行? n (1) ∠1 = ∠4; a∥b. (2) ∠2 = ∠4; l∥m. (3) ∠1 + ∠3 = 180; l∥n .
m
l
4
a
2
1 3
b
看图填空：
C D
1
A 2
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ AC∥ DE ，
3
E
( 内错角相等，两直线平行 )
∵∠2＝ ∠4 或 ∵∠3＋∠4＝180° ∴DE∥ FG ，( 同旁内角互补，两直线平行) ∴AC∥FG.
4 F
∴DE∥ FG（同位角相等，两直线平行）
B
G
看图填空：
(2)如右图，∵ ∠2=（ ∠4 ） A
C
A
B
（变式训练二）如果 AB∥CD ，且 ∠ B=∠D ， 你能推理得出AD∥BC吗？
题组训练（5） 1 B E G 3 4D C2 F H
A
如图，∠1= ∠2=45 °，∠3=70 °， 则∠4等于 （ B ） （A）70 ° （B）110 ° （C）45 ° （D）35°
平行线的判定、性质公理及定理
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
考点一平行线的判定：1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。
例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．（1） （2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。
达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题αγβED C BAAB D E12FOCABDE5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ） 三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识． 根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.CFDEBAOHG321ED C BA定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。
平行线知识点
引言概述:平行线是几何学中的重要概念，它具有广泛的应用。
在我们的日常生活中，许多事物都涉及到平行线，例如建筑设计、道路规划、电路布线等。
了解平行线的性质和应用，对于我们理解空间关系，解决实际问题具有重要意义。
本文将详细阐述平行线的知识点，分为引言概述、正文内容、总结三个部分。
正文内容:一、平行线的定义和性质1.1定义：平行线是在同一个平面上，不相交且永不相交延长的直线。
a)平行线与同一平面内的任意一条直线的交角为对顶角。
b)平行线与同一平面内的交角相等的两条直线平行。
c)平行线的两条边与同一平面内的一条直线分别相交，那么对应的内角互补。
d)平行线的两条边与同一平面内的一条直线分别相交，那么对应的外角相等。
二、平行线的证明方法2.1直角三角形的证明法：通过证明直角三角形的对边平行，可以得出直角三角形两条边上的点是平行线。
2.2使用平行线的性质：利用平行线的性质证明两条线段平行，可以通过证明其交角相等或者对应的内角互补来推断。
2.3使用反证法：通过假设两条线段不平行，然后推导出矛盾的结论，从而证明两条线段是平行线。
三、平行线的应用3.1建筑设计中的应用：在建筑设计中，平行线的概念常常用于确定建筑物的构造和设计。
例如，在绘图过程中使用平行线来绘制建筑平面图、立面图等。
3.2道路规划中的应用：在道路规划中，平行线的概念可用于确定道路的宽度和布局。
通过保持道路平行，可以提供良好的交通流畅性和安全性。
3.3电路布线中的应用：在电路布线中，平行线可以用于控制信号的传输和减小电磁干扰。
通过将平行线的路径保持一致，可以有效地减少电路中的环流和干扰。
四、平行线的相关定理4.1外角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线所对应的外角与这两条平行线的内角是互补的。
4.2内角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线所对应的内角与这两条平行线的对应内角相等。
4.3夹角定理：如果两条平行线被一条横切线所切，那么这条横切线的两边与这两条平行线之间的夹角互补。
平行线的性质(基础)知识讲解
平行线的性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.321cba因为a∥b,所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），又∠3+∠1=180°（补角的定义），所以∠2+∠1=180°.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、∠3、∠4的度数．【答案与解析】解：∵ DE∥BC，∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF∥AB(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∴∠3＝115°(等量代换)．【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．举一反三：【变式】（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=度．【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．【答案与解析】解：过点B作直线BE∥CD．∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．【答案与解析】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．举一反三【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．【答案】解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．4.（2016春•秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．【答案与解析】如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．【答案与解析】解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．举一反三【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．类型二、平行的性质与判定综合应用6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°。
如何证明平行线的性质
如何证明平行线的性质平行线的性质是几何学中的基本概念之一，它们具有一些特殊的性质和定理，这些性质和定理在证明几何问题时起到了重要的作用。
本文将介绍如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明平行线的方法、相关的定理以及一些实际应用。
1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。
这意味着平行线之间的距离始终相等，且它们的斜率也相等。
2. 证明平行线的方法（1）使用平行线的定义证明：假设有两条直线AB和CD，要证明它们平行，则需要证明AB和CD的斜率相等。
首先利用两点间的斜率公式计算出AB和CD的斜率，然后比较它们的值，如果相等则可得出结论。
（2）使用平行线的性质证明：平行线具有一系列重要性质，例如在直线上的平行线上的任意一对相交的角度都相等，内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系。
可以根据这些性质来进行证明。
（3）使用横截线和平行线的性质证明：如果有一条直线与两条平行线相交，那么相交角的两边对应的内错角、同旁内角、同旁外角等相关角度关系也成立，根据这些角度关系可以证明平行线。
3. 相关定理（1）同旁内角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁内角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。
（2）对顶角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得对顶角对应的两个内角相等，则这两条直线平行。
（3）同旁外角定理：如果两条直线与一条横截线相交，使得同旁外角对应的两个外角相等，则这两条直线平行。
4. 实际应用平行线的性质在实际生活和工作中有广泛的应用。
例如，在建筑设计和土木工程中，需要合理布置平行线来确保建筑物的结构稳定和施工的准确性。
在航空航天领域，平行线的性质也用于制定飞行路线以及预测天体运动。
此外，平行线还被应用于地图绘制、电路设计等众多领域中。
总结：本文介绍了如何证明平行线的性质，包括平行线的定义、证明方法、相关定理以及实际应用。
通过深入理解平行线的性质和定理，可以更好地应用它们解决实际问题，并进一步推动几何学的发展与应用。
平行线与三角形的相关定理
平行线与三角形的相关定理平行线与三角形的关系是几何学中一个重要且基础的概念。
在平行线与三角形的研究中，有一些重要的定理和性质需要我们了解和掌握。
本文将对平行线与三角形的相关定理进行详细的介绍和讨论。
一、平行线性质：1.平行线的定义：如果两条直线在同一平面内，且它们不相交，则这两条直线是平行的。
我们通常用符号“||”表示两条平行线。
2.平行线定理：如果一组直线与另一组直线分别平行，则这两组直线之间的任意两条直线也是平行的。
二、三角形内部的平行线及其性质：1.三角形内部平行线定理：如果一条直线平行于三角形的一边，那么它与这两边分别的交点所确定的两条边互相平行。
2.三角形内部平行线的性质：平行于三角形一边的直线将三角形划分成两个相似三角形。
这两个相似三角形的对应边成比例。
三、平行线与三角形内角性质：1.同位角性质：两条平行线被一条直线截断后，所形成的内部角与外部对应角、内部对应角、同位角之间的关系。
2.内角和定理：两条平行线被一条直线截断后，相邻内角之和等于180度。
3.等腰三角形的基本性质：在等腰三角形中，底角相等，顶角相等，底边平行。
四、平行线与三角形外角性质：1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于它的两个非邻边内角的和。
2.三角形外角定理：一个三角形的一个外角等于与这个外角相对的三角形的内角之和。
3.三角形外角性质的推广：一个n边形的一个外角等于与这个外角相对的多边形的内角之和。
综上所述，平行线与三角形之间的关系是几何学中的重要内容之一。
通过深入地学习和理解平行线与三角形的相关定理，我们可以更好地应用这些知识解决各种几何问题，提高自己的数学素养。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握平行线与三角形的相关定理，为数学学习打下坚实的基础。
平行线的性质定理和判定定理
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
合作交流
两直线平行， 同旁内角互补。
如图,已知a//b,
那么2与4有
什么关系呢？ a
1
为什么?
4
b
2
c
基本事实：同位角相等，两直线平行
例2
如图：已知2=3
a
求证： a//b
b
证明：
∵ ∠2=∠3 (已知)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
基本事实
a
1
平行线的性质1
b
2
两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等.
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
例1
两直线平行， 内错角相等。
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
证明∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
1 3
2
c
合作交流
同旁内角互补， 两直线平行。
如图,已知
a
2+4=180 那么a//b吗？为什么?
b
1 4 2
c
性质：两直线平行，同位角相等. 判定：同位角相等，两直线平行.
两个命题的条件 和结论正好相反
互逆命题
原命题 逆命题
平行线与全等三角形
平行线与全等三角形平行线和全等三角形是几何学中非常重要的概念，它们在解决各种几何问题和证明中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨平行线与全等三角形之间的关系。
一、平行线平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线的任意一对对应角相等，则这两条直线是平行线。
我们可以用符号“||”来表示平行线。
在平行线的基础上，我们可以引出一些重要的性质和定理。
1. 平行线的性质：- 平行线与直线的交角为对应角和内错角，这些角度相等。
- 平行线与平行线之间的任意一线交角为对应角和内错角，这些角度相等。
- 平行线的任意一对内错角互补，其和为180°。
2. 平行线的定理：- 势平行定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的比例关系将保持不变。
- 等角定理：如果两组平行线被一条割线相交，那么所形成的对应角，内错角和对顶角都相等。
二、全等三角形全等三角形是指在形状和大小上完全相同的两个三角形。
如果两个三角形的对应边长和对应角相等，那么它们就是全等三角形。
我们可以用符号“≡”来表示全等。
全等三角形有一些重要的性质和定理。
1. 全等三角形的性质：- 边边边（SSS）定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则它们是全等的。
- 边角边（SAS）定理：如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，并且另一边相等，则它们是全等的。
- 角边角（ASA）定理：如果两个三角形的一对夹角和边分别相等，并且另一对夹角相等，则它们是全等的。
2. 全等三角形的定理：- 对（CPCTC）定理（对应部分全等定理）：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角和对应边也是相等的。
- 隐含全等三角形定理：如果在两个三角形中，两对夹角和一对对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
三、平行线与全等三角形的关系平行线和全等三角形之间存在着紧密的联系。
在解决几何问题和证明中，我们经常会运用平行线来构造全等三角形，从而推导出其他形状的相等关系。
初步认识平行线的性质和判定方法
初步认识平行线的性质和判定方法平行线是初中数学中一个非常重要的概念，它在几何学中占据着重要的地位。
初步认识平行线的性质和判定方法，能够帮助我们更好地理解和运用这一概念。
本文将从平行线的定义、性质以及判定方法三个方面进行论述。
一、平行线的定义在几何学中，我们称两条直线为平行线，意味着它们在同一平面上，并且永远不会相交。
这是平行线最基本的定义。
需要注意的是，两条平行线之间的距离始终相等，在图形排列中有很重要的应用。
二、平行线的性质1. 平行线具有等角折射性质：当两条平行线被一条横线（称为割线）切割时，所产生的对应角相等。
这是平行线最重要的性质之一，也是判定平行线的基础。
2. 平行线具有交错性质：当一条直线与两条平行线相交时，所产生的内错角互为补角，外错角互为补角。
这一性质在证明平行线相关定理时经常使用。
3. 平行线具有等比例性质：当两条平行线被一条斜线切割时，所产生的截线与平行线之间的长度比例保持不变。
这个性质在割线定理中有广泛的应用。
三、平行线的判定方法根据平行线的性质，我们可以利用不同的条件来判定两条直线是否平行。
1. 定理一：同位角相等法则同位角是指两条平行线被一条割线切割所形成的对应角。
如果两个对应角相等，那么这两条直线就是平行线。
这个方法在证明平行线定理时经常使用。
2. 定理二：内错角补角法则当两条平行线被一条割线切割时，所形成的内错角互为补角。
如果两个内错角互为补角，那么这两条直线是平行线。
3. 定理三：等角斜线法则当两条平行线被一条斜线切割时，所产生的截线与平行线之间的长度比例相等。
根据这一比例关系，我们可以判定两条直线是否平行。
通过以上三个判定方法，我们可以初步认识平行线的性质和判定方法。
在实际应用中，我们可以结合具体的问题和知识点，灵活运用这些方法，解决与平行线相关的几何问题。
综上所述，平行线是几何学中的重要概念，具有丰富的性质和判定方法。
通过对平行线的初步认识，我们可以更好地理解、运用和证明涉及平行线的问题。
(经典课件)-平行线的性质定理
c
3a 1
2
b
( 两直线平行，同位角相等)
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等) ∴∠1=∠2 ( 等量代换)
第5页，共13页。
做一做
两条平行线被第三条直线所截 ，同旁内角互补．
c
已知：如图，直线
3
a
a//b,∠1和∠2是直线a,b被直
1
线c截出的同旁内角．
2
b
求证：∠1+∠2＝180°.
第6页，共13页。
（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
（3）你能说说证明的思路吗？
c
已知，如图， 直线
3
a//b,∠1和∠2是直线a、 b被直线c截出的内错角
1
a
.求证：∠1＝∠2
2 b
第4页，共13页。
已知：如图，直线a∥b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线 c截出的内错角 . 求证：∠1=∠2.
证明：∵a∥b ( 已知)
（２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出
证明过程．
第10页，共13页。
根据下列命题，画出图形，并结合图形
写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a , c⊥a b c
求证：b∥c
a
第11页，共13页。
2)一个角的平分线上的点到这个角的两
c
已知：如图，直线a//b,∠1和 a
3
∠2是直线a,b被直线c截出的同旁
1
内角．
2
求证：∠1+∠2＝180°.
b
证法1
a//b（已知）
∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
5.4平行线的性质定理和判定定理课件 青岛版数学八年级上册
若把命题(1)叫做原命题，则命题(2)叫做命题(1)的逆命题. 若把命题(2)叫做原命题，则命题(1)叫做命题(2)的逆命题. 它们两个是互逆命题
如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原定 理的逆定理.
课本 P168 同步练习册
八年级上册第五单元
5.4平行线的性质定理和判定定理
1.会区分并证明平行线的性质定理和判定定理，体会 二者之间的区别与联系；
2.了解互逆命题、逆定理的概念； 3.进一步熟悉证明格式，规范解题步骤。
我们曾探索了哪些平行线的性质和判定方法？ 1.平行线的性质：
(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等； (3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
反例: x=-1满足它的条件，不满足它的结论.
1.平行线的性质定理和判定定理的证明. 2.互逆命题、原命题、逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫 做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题 叫做它的逆命题.
“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”.
想一想：怎么用这个性质定理、有关基本事实及已证实的定理 证明平行线的其他性质和判定方法呢？
例1:证明平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角 相等.
已知：直线AB∥CD，AB，CD被直线EF所截，∠1和∠2是内错角. 求证:∠1 =∠2.
(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. (4)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已 经画出了图形，写好了已知，求证，这时只要写出“证明” 一项就可以了．
练一练：
2.已知：如图，直线m//n,∠1＝70°， 则∠2＝
1 2 m n
练练：
3.如图，AB、CD相交于点O，∠1＝80°， 如果DE∥AB，那么∠D的度数为
C 1 A O B
d
a b c
2)一个角的平分线上的点到这个角的两 边的距离相等；
已知：如图，OC是∠AOB的平分线， A F EF⊥OA于F ,
EG⊥OB于G O
E G
B
C
求证：EF=EG
根据下列命题，画出图形，并结合图形
写出已知、求证(不写证明过程)： 1)垂直于同一直线的两直线平行；
已知：直线b⊥a , c⊥a
3 1
c a
2
b
已知：如图，直线a∥b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线 c截出的内错角 . 求证：∠1=∠2
证明：∵a∥b ( 已知 )
1 2
c 3 a
b
∴∠3=∠2 ( 两直线平行，同位角相等 ) ∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等 ) ∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
做一做：
两条平行线被第三条直线所截， 同旁内角互补．
2
c
1 2
如果我们把平行线的判定公理的 条件和结论互换之后得到：
•公理：两直线平行，同位角相等。
议一议： 利用这个公理，你能证
明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。
想一想：
（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内 错角相等”。你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 已知，如图， 直线a//b, ∠1和∠2 是直线a、b被直线c 截出的内错角。 求证：∠1＝∠2
定理：两直结平行，内错角相等．
定理：两直线平行，同旁内角互补． ２．证明的一般步骤 （１）根据题意，画出图形． （２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。 （３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程．
再
见 ！
3)如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 已知：如图，直线a,b,c被直线d所 截，且a∥b,c∥b， 求证：a∥c
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙 述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证。 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 过程．
A
B
C
4.如图,已知AB∥CD, A 则∠α 等于 ( C ) O O A.50 B.80 O O C.85 D.95
5.如图，已知AB∥DE,
A
B F
120 ° a 25°
E
C
D
B
∠ABC=80°,∠CDE=140° F
D
C
E
则∠BCD=_____. 40°
谈谈你的收获？
１．平行线的性质： 公理：两直线平行，同位角相等．
D
E
1.已知：如图，∠1=∠2, ∠3=∠B.
求证FG∥CD.
3 1 2
A E
D F
B
C
2.已知：如图，AB∥CD， 求证∠B+∠D=∠BED. A E C D B
3.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而 过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次 拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C， 这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路 150° 平行，则∠C=______.
祥和中学
常桂花
复习回顾
平行线的判定定理 •公理: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. •判定定理 2 同旁内角互补,两直线平行. 0 ∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.
c
a b
1 2
c
a b
a b
1
c 已知：如图，直线a//b,∠1 a 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角． b 求证：∠1+∠2＝180°
3
1 2
证法２：
a //b
（已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等） ∠1+∠3＝180°（１平角＝１８０°） ∠1+∠2＝180°（等量代换）
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角．
a
3 1
b
2
求证：∠1+∠2＝180°
c
已知：如图，直线a//b,∠1 和∠2是直线a,b被直线c截出 的同旁内角． 求证：∠1+∠2＝180°
a
3 1
b
2
证法１：
a//b（已知）
∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∠1+∠3＝180°（１平角＝１８０°） ∠1+∠2＝180°（等量代换）
b a
c
求证：b∥c
如图，在下列条件中 F （1）CE∥BF （2）∠A=∠D （3）∠F=∠C任选两个作条件， 余下一个作结论，编一道数学 题，并完成说理。
A
E
D
B
C