数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--2章

2
⎝m⎠
2n n ⎛n ⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ r + r 2 > ⎜ ⎟ − 4r + r 2 > 3 ，这说明 − r 也是 S 的上 ⎜ − r⎟ = ⎜ ⎟ − m m ⎝m ⎠ ⎝m⎠ ⎝m⎠
2
2
界，与 sup S =
n 矛盾。所以 S 没有上确界。 m
同理可证 S 没有下确界。
11
习
题
2.2
n +1
2
=ε 。
ε⎦
课
当 n > N 2 时，成立 5− n < ；则当 n > N = max{N1 , N 2 }时，成立 + 5− n < ε 。
2 ⎤ ，当 n > N 时，成立 （4） ∀ε (0 < ε < 1) ，取 N = ⎡ ⎢ ⎣ε ⎥ ⎦ 1
ε
1 n
0<
1+ 2 + + n n +1 1 = < <ε。 n3 2n 2 n
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+ (−1) n
⎡ ⎤ ⎢ lg ε ⎥ N lg ε + 4 ，当 n > N 时，有 m > − 1 > N = 2⎢ ，于是成立 ⎥ 1 1 2 ⎢ lg ⎥ lg ⎣ 2⎦ 2
1 1 < 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 2n n 1 1 < <ε 。 2n n
n2 + n = 1； n
有 an <
9⎤ 2(3n + 1) 3 ，所以 ∀ε > 0 ，取 N = ⎡ ，当 n > N 时，成立 < ⎢ n(n − 1) n ⎣ε 2 ⎥ ⎦
n
3n + 2 − 1 = a n <
3 n
<ε。
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（5） ∀ε (0 < ε < 1) ，取 N = max⎨⎡ ⎢ 则成立 xn − 1 =
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第二章
习 题 2.1
数列极限
实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数； (2)
3 + 2 是不是有理数?
m 。 由 m 2 = 6n 2 ， n
证 （1） 反证法。 若 6 是有理数， 则可写成既约分数 6 =
x ≤ max{M 1 , M 2 }。
∀x ∈ B ， 有 x ≤ M2， 则 ∀x ∈ S ， 有 x ≤ M1 + M 2 。 （2） 设 ∀x ∈ A ， 有 x ≤ M1 ，
4. 设数集 S 有上界，则数集 T = { x | − x ∈ S} 有下界，且supS = − inf T 。 证 设 数 集 S 的 上 确 界 为 sup S ， 则 对 任 意 x ∈ T = { x | − x ∈ S} ， 有
sup S = inf S 时，数集 S 是由一个实数构成的集合。
10
课
案 网
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存在 y ∈ S ， 使得 y > sup S − ε ， 即 x ≥ − sup S ； 同时对任意 ε > 0 ， − x ≤ sup S ，
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7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。
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（2） ∀ε (0 < ε < 1) ，取 N = ⎢
n n
⎡ lg ε ⎤ ⎥ ，当 n > N 时，成立 ⎣ lg 0.99 ⎦
lg ε lg 0.99
案 网
(−1) (0.99) < (0.99)
后 答
2⎤ 2⎤ 1 ε ⎡ n > N 取 N1 = ⎡ ， 当 时， 成立 ； 取 （3） = ∀ε (0 < ε < 2) ， N log < 1 2 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥， ⎣ε ⎦ n 2 ⎣
1 n
⎧ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤⎫ , lg ⎥ ⎬ ，当 n > N 时，若 n 是偶数， 2⎥ ⎢ ⎩⎣ ε ⎦ ⎣ ε ⎦ ⎭
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< ε ；若 n 是奇数，则成立 xn − 1 =
(1) 对任意给定的 ε > 0 ，存在 N ，使当 n > N 时成立 x n < ε ； (2) 对任意给定的 ε > 0 ，存在无穷多个 x n ,使｜ x n ｜＜ε。
3
12
（6）当 n > 5 ，有
3 n 35 ≤ n! 5!
⎛1⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠
n −5
⎛1⎞ < 3⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠
n −5
。于是 ∀ε (0 < ε < 3) ，取
⎡ ε⎤ n −5 ⎢ lg 3 ⎥ 3n ⎛1⎞ N = 5+ ⎢ ，当 n > N 时，成立 0 < < 3 ⋅ ⎜ ⎟ < ε 。 1⎥ n! ⎝2⎠ ⎢ lg ⎥ ⎣ 2⎦
即
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q + r ∈ S ，所以 S 没有最大数。同理可证 S 没有最小数。 p
质） ，则显然有 0 < 可能：
2
n < 2 。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 m
案 网
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（2）反证法。设 S 在 Q 内有上确界，记 sup S =
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⎛q⎞ ⎛q ⎞ ⎛q⎞ ⎛q⎞ 2q 2 2 于是 ⎜ 使得 r + 4r < 3 − ⎜ ⎜ p⎟ ⎟ ， ⎜ p + r⎟ ⎟ =⎜ ⎜ p⎟ ⎟ +r + p r <⎜ ⎜ p⎟ ⎟ + r + 4r < 3 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α
2
案 网
（1）的结论矛盾。
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9
3+ 2 =
m2 m2 5 m ，于是 3 + 2 6 + 2 = 2 ， 6 = 2 − ，即 6 是有理数，与 2 n n 2n
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max C 与 min C 都不存在，因为 ∀
n n n +1 ，所以 max C 与 min C 都不存在。 < < m +1 m m +1
数列极限
1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎨
⎧ n +1 ⎫ ⎬； 2 ⎩ n + 1⎭ 1 ⎩n
⑵ { ( −1) n (0.99) n }； ⑷ ⎨
⎧1 + 2 + 3 + n3 ⎩ + n⎫ ⎬； ⎭
⎧ −n ⎫ ⑶ ⎨ + 5 ⎬； ⎭
⑺ ⎨
⎧ n! ⎫ ； n ⎬ ⎩n ⎭ 2
⎧ ⑻ ⎨ − 1 ⎩n
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课
后 答
案 网
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⎧n （2）例如 xn = ⎪ ⎨1 ⎪ ⎩n
课
解
（1）例如 xn = −n ，则 {x n }满足条件，但不是无穷小量。
n是奇数 n是偶数
后 答
4. 设 k 是一正整数，证明： lim x n = a 的充分必要条件是 lim x n + k = a 。 n →∞ n →∞ 证 设 lim x n = a ，则 ∀ε > 0 ， ∃N ， ∀n > N ，成立 xn − a < ε ，于是也成 n →∞
课
证 （1） ∀ε > 0 ，取 N = ⎢ ⎥ ，当 n > N 时，成立 ⎣ ε⎦
2n 2 − 1 2 7 1 − = < <ε 。 3n 2 + 2 3 3(3n 2 + 2) n 2 ⎤ ，当 n > N 时，成立 （2） ∀ε > 0 ，取 N = ⎡ ⎢ ⎣ 2ε ⎥ ⎦ 1
⎡ 1 ⎤
13
（5）当 n > 11 时，有
n2 n2 n2 6n 1 = < = < 。于是 ∀ε > 0 ， n n 3 3 3 (1 + 2) 2 Cn 8(n − 1)(n − 2) n
⎧ n2 1 1 ⎤⎫ n > N < < <ε。 0 ，当 时，成立 取 N = max ⎨11, ⎡ ⎢ ⎥⎬ n ⎩ ⎣ε ⎦⎭
使得 x > B − ε > A ， 这与 A 为集合 S 的 集合 S 的上确界， 所以存在 x ∈ S ， 上确界矛盾，所以 A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集 S ，必有 sup S ≥ inf S 。当 sup S = inf S 时，数集 S 有什 么特点? 解 对 于 任 意 的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ， 所 以 sup S ≥ inf S 。 当
⎧n ⎫ C=⎨ m, n ∈ N + 并且n < m ⎬ 。 ⎩m ⎭
解
min A = 0 ；因为 ∀x ∈ A ，有 x + 1 ∈ A ， x + 1 > x ，所以 max A 不存在。
max B = sin
课
sin
α
2
∈ B ， sin
后 答
π
⎛ π⎤ = 1 ；因为 ∀x ∈ B ， ∃α ∈ ⎜ 0, ⎥ ，使得 x = sin α ，于是有 2 ⎝ 2⎦ < x ，所以 min B 不存在。
2
2
2
2
n （ m, n ∈ N + 且 m , n 互 m
这说明
课
n n + r ∈ S ，与 sup S = 矛盾； m m
2 2
n⎞ ⎛n⎞ 2 （ ii ） ⎛ ⎜ ⎟ > 3 ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4r − r < ⎜ ⎟ − 3 ，于是 ⎝m⎠
2
后 答
n ⎛n⎞ ⎞ 由 （ 1） 可知存在充分小的有理数 r > 0 ， 使得 ⎛ （i） ⎜ ⎟ < 3， ⎜ + r⎟ < 3， ⎝m⎠ ⎝m ⎠
n2 + n −1 = n
1
1 n2 + n + n
<
1 <ε 。 2n
⎤ （3） ∀ε > 0 ，取 N = ⎡ ，当 n > N 时，成立 ⎢ ⎣ 8ε ⎥ ⎦
( n 2 + n − n) −
1 n 1 = < <ε。 2 2( n 2 + n + n) 2 8n
2 2 a n 。当 n > 3 时， （4）令 n 3n + 2 = 1 + a n ，则 a n > 0 ，3n + 2 = (1 + an ) n > 1 + C n
1⎞ n! n （7）记 的整数部分为 m ，则有 n <⎛ ⎜ ⎟ 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 取 2 n ⎝2⎠
m
n! ⎛ 1 ⎞ 0< n <⎜ ⎟ <ε 。 n ⎝2⎠
m
2. 按定义证明下述极限： ⑴ lim
n →∞
2n 2 − 1 2 = ； 3n 2 + 2 3
案 网
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⎤ 取N = ⎡ ，当 n > N 时，成立 0 < − + − ⎢ n n +1 n + 2 ⎣ε ⎥ ⎦
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1
1
1
hd
1
n →∞
（ 8 ）首先有不等式 0 < −
1 n
1 1 + − n +1 n + 2
+ (−1) n
⑵ lim
后 答
lim ( n 2 + n − n) = ； ⑶ n →∞
1 2
lim n 3n + 2 = 1 ； ⑷ n →∞
来自百度文库
⎧n + n ⎪ lim x n =1,其中 x n = ⎨ n , n是偶数， 。 ⑸ n →∞ −n ⎪ ⎩1 − 10 , n是奇数，
n n n +1 ∈ C ，有 ∈C ， ∈C ， m m +1 m +1
3. A, B 是两个有界集，证明： (1) A ∪ B 是有界集； (2) S = { x + y | x ∈ A, y ∈ B} 也是有界集。 证 （1）设 ∀x ∈ A ，有 x ≤ M 1 ， ∀x ∈ B ，有 x ≤ M 2 ，则 ∀x ∈ A ∪ B ，有
于是 − y ∈ T ，且 − y < − sup S + ε 。所以 − sup S 为集合 T 的下确界，即
inf T = − sup S 。
后 答
5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 证 设 sup S 既等于 A ，又等于 B ，且 A < B 。取 ε =
B−A > 0 ，因为 B 为 2
可知 m 是偶数，设 m = 2k ，于是有 3n 2 = 2k 2 ，从而得到 n 是偶数，这与
m 是既约分数矛盾。 n
（2 ） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = { x | x ≥ 0} ；
2π ⎫ ⎧ B = ⎨sin x| 0 < x < ⎬； 3 ⎭ ⎩
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⎤ ，当 n > N 时，成立 0 < 2 < < ε 。 证 （1） ∀ε (0 < ε < 2) ，取 N = ⎡ ⎢ n +1 n ⎣ε ⎥ ⎦
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n
⎧n2 ⎫ ⑸ ⎨ n ⎬； ⎩3 ⎭
⎧ 3n ⎫ ⑹ ⎨ ⎬； ⎩ n! ⎭
1 1 1⎫ + − + (−1) n ⎬。 2n ⎭ n +1 n + 2
8. 设 S = {x| x ∈ Q并且 x 2 < 3} ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在 Q 内没有上确界与下确界。
⎛q⎞ q q q ⎟ < 3 ， < 2 。取有理数 r > 0 充分小， 证 （1） ∀ ∈ S ， > 0 ，则 ⎜ ⎜ ⎟ p p p ⎝ p⎠
2 2