初中数学思想方法篇——整体思想
初中数学整体思想问题教案
初中数学整体思想问题教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握整体思想的概念和意义。
2. 培养学生运用整体思想解决数学问题的能力。
3. 培养学生逻辑思维能力和创新思维能力。
二、教学内容：1. 整体思想的概念和意义。
2. 整体思想在初中数学中的应用。
3. 运用整体思想解决实际问题的方法。
三、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入整体思想的概念，让学生感受到整体思想在解决数学问题中的重要性。
2. 讲解：讲解整体思想的概念和意义，通过具体的例子让学生理解整体思想的应用。
3. 练习：让学生通过一系列的练习题，运用整体思想解决问题，巩固所学知识。
4. 应用：让学生运用整体思想解决一个实际问题，培养学生的实际应用能力。
5. 总结：总结整体思想在初中数学中的应用，强调整体思想在解决问题中的重要性。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解整体思想的概念和意义，让学生理解整体思想的基本原理。
2. 案例分析法：通过具体的例子，让学生理解整体思想的应用。
3. 练习法：让学生通过一系列的练习题，运用整体思想解决问题，巩固所学知识。
4. 应用法：让学生运用整体思想解决一个实际问题，培养学生的实际应用能力。
五、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，了解学生对整体思想的掌握情况。
2. 练习题的正确率：通过练习题的正确率，了解学生对整体思想的掌握情况。
3. 实际问题的解决能力：观察学生在解决实际问题时的表现，了解学生对整体思想的实际应用能力。
六、教学资源：1. 教学PPT：用于展示整体思想的概念和例子。
2. 练习题：用于让学生运用整体思想解决问题。
3. 实际问题：用于让学生运用整体思想解决。
七、教学步骤：1. 导入：通过一个实际问题引入整体思想的概念，让学生感受到整体思想在解决数学问题中的重要性。
2. 讲解：讲解整体思想的概念和意义，通过具体的例子让学生理解整体思想的应用。
3. 练习：让学生通过一系列的练习题，运用整体思想解决问题，巩固所学知识。
1数学思想篇--整体思想
数学思想-- 整体思想知识梳理整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．典型例题一、在数与式的运算中的应用1. 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 2．先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0． 3．计算：11111111123420082342007⎛⎫⎛⎫+++++++++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (111111111234)20082342007⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…+?+ 二、在方程中的应用1.(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．2.(08苏州)解方程：()2221160x x x x +++-=． 三、在几何计算中的应用【例5】如图⊙A ，⊙B ，⊙C两两不相交，且半径都是0．5 cm ，则图中的阴影部分的面积是( )A ．12πcm 2B ．8πcm 2C ．4πcm 2D ．6πcm 2综合训练1．当代数式a +b 的值为3时，代数式2a +2b+1的值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x 2+x)－1=0，若设y=x 2+x ，则原方程可变形为 ( )A ．y 2+2y+1=0B ．y 2－2y+1=0C ．y 2+2y －1=0D ．y 2－2y －1=03．当x=1时，代数式a x 3+bx+7的值为4，则当x=－l 时，代数式a x 3+bx+7的值为A ．7B ．10C ．11D ．12 ( )4．若方程组36133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是 ( ) A ．－4<k<0 B ．－1<k<0 C ．0<k<8 D ．k>－45．(08芜湖)已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为_________． 6．已知x 2－2x －1=0，且x<0，则1x x -=__________． 7．如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2．10．如图，ABCD 是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．11．如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是________．12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．13．(08烟台)已知x(x －1)－(x 2－y)=－3，求x 2+y 2－2xy 的值．14．(07泰州)先化简，再求值：2224124422a a a a a a⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭，其中a 是方程x 2+3x+1=0的根．15．解方程（1）(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0 （2）x 4－x 2－6=0 （3）228011x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭为了解方程(x 2－1) 2－5(x 2－1)+4=0．我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1=y ，则原方程可化为y 2－5y+4=0①．解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2－1=1，∴x 2=2，∴x =y=4时，x 2－1=4，∴x 2=5，∴x =．∴1x2x =3x =4x =．解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4－x 2－6=0．参考答案1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．2+2+ 9．4910．2π 11．2π12．513．原题化简得x －y=3，∴x 2+y 2－2xy=(x －y) 2=32=9．14．解：原式=()()()()()22222121222222a a a a a a a a a a a ⎡⎤+---+⎛⎫+⨯=+⨯⎢⎥ ⎪---⎝⎭-⎢⎥⎣⎦ ()()231322a a a a +==+a 是方程x 2+3x+1=0的根，∴a 2+3a +1=0，∴a 2+3a =－1，∴原式=－12．15．(1)换元 整体(2)设x 2=y 则原方程可化为y 2－y －6=0，解得y 1=3，y 2=－2<0(舍去)∴当y=3时，x 2=3，∴x =x =。
数学解题思想——整体思想
数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
一．整体代入在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易。
例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根，求代数式22211a a a a--+的值。
分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=，则21-a a -=，2=1a a +，再整体带入即可。
二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。
例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。
解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++,两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-；故2320141+2+2+2...2++=201521-。
请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++；（2）231+5+5+5...5n ++（其中n 为正整数）。
分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++,再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++,再与已知等式相减，得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造，从而解决问题。
例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。
初中数学常见的思想方法
初中数学常见的思想方法专门与一样的数学思想：关于在一样情形下难以求解的问题，可运用专门化思想，通过取专门值、专门图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一样，从而使问题顺利求解。
常见情形为：用字母表示数；专门值的应用；专门图形的应用；用专门化方法探求结论；用一样规律解题等。
整体的数学思想：所谓整体思想，确实是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。
用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏捷地洞悉问题的本质，有时也不要舍弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。
常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。
分类讨论的数学思想：也称分情形讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯独时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。
将一个数学问题依照题设分为有限的若干种情形，在每一种情形中分别求解，最后再将各种情形下得到的答案进行归纳综合。
分类讨论是依照问题的不同情形分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。
运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。
分类讨论的原则是：（1）完全性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之和，应当是原被分对象所涵盖的范畴，即分类不能遗漏；（2）互斥性原则，确实是说分类后各子类别涵盖的范畴之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；（3）统一性原则，确实是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。
分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，猎取时期性结果，归纳小结，综合得出结论。
数学中的整体思想
整体思想概述：
整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式 子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联， 进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法. 从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘 考虑的整体观念. 中学数学中，整体思想的应用广泛. 运用整体思想方法的三部曲：（１）从整体出发，高 瞻远瞩地统帅局部；（２）通过对局部的研究，酝酿 总体解决的方案；（３）回到整体，实现解决整个问 题的总目标. 整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程 （组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都 是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
第二十八章一元二次方程
解一元二次方程的方法中的因式 分解法运用的是整体思想。 教材九年级上39页例5：
（1） 3( x 1)2 2( x 1) (2) ( x 5)2 49
分析：把（x-1)与(x+5)当做整体，移项 后，方程（1）可用提公因式法，方程 （2）可用平方差公式。
第二十九章 相似形
1、如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝ 2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系.
评注：本例应用整体思想得到∠A与∠D之间的 关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和 定理结合整体思想进行说理.
第十四章
分式
整体代入在分式化简求值中的妙用
1、已知 x 2 3x 1 0 求下列各式的值： ⑴ x 1 x
2 2 2 2
2
2
四、整体合并法
计算4(x＋y)＋3(x＋y)＋2(x－y)－3(x－y). [思路分析]本题按照常规解法是先去括号,再 合并同类项.但这样做比较麻烦,若把x＋y,x－ y各看作一个“整体”先行合并,再去括号,就 方便快捷多了. 解:原式＝(4＋3)(x＋y)＋(2－3)(x－y)＝7(x＋ y)－(x－y)＝7x＋7y－x＋y＝6x＋8y. [规律总结]括号内所含内容相同的多项式运算, 可将括号看作一个“整体”先行合并,再去括 号,可简化运算.
初中数学整体思维
初中数学整体思维初中数学是学生们学习的一门重要学科，它不仅仅是帮助学生掌握数学知识，更重要的是培养学生的整体思维能力。
在初中数学学习过程中，学生需要通过思考、分析和解决问题的方式，培养出一种整体思维的能力。
初中数学的整体思维表现在学生对问题的整体把握能力上。
在解决数学问题时，学生需要从整体的角度去理解问题，而不仅仅是停留在个别的细节上。
例如，在解决代数方程题时，学生需要把握方程的整体结构，理解方程的各个元素之间的关系，然后才能运用适当的方法解题。
初中数学的整体思维还表现在学生的归纳与推理能力上。
在学习数学的过程中，学生需要通过观察和分析问题的特点，归纳出问题的普遍规律，并运用这些规律进行推理。
例如，在学习等差数列时，学生可以通过观察数列中的数字变化规律，归纳出等差数列的通项公式，从而能够快速求解等差数列的各个项。
初中数学的整体思维还包括学生的综合运用能力。
数学知识是相互联系的，学生需要将学到的知识进行整合和综合运用。
例如，在解决几何问题时，学生需要同时运用几何知识和代数知识，通过整体的思维来解决问题。
只有将各个知识点有机地结合起来，才能更好地解决问题。
初中数学的整体思维还要求学生具备解决实际问题的能力。
数学是一门应用性很强的学科，学生需要将数学知识应用到实际生活中的问题中。
例如，在解决购物问题时，学生需要综合考虑商品价格、促销折扣等因素，通过整体思维来计算最终的花费。
总结起来，初中数学的整体思维是学生在学习数学过程中培养的一种重要能力。
它包括对问题的整体把握能力、归纳与推理能力、综合运用能力以及解决实际问题的能力。
通过培养和发展这些能力，学生不仅能够更好地掌握数学知识，还能够提高解决问题的能力和思维水平，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
初中数学的整体思维是学生终身受益的宝贵财富。
中考数学复习《整体思想解析》
方法技巧专题三整体思想解析在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。
它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。
运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。
整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一、数与式中的整体思想【例题】（2017广东）已知4a+3b=1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先求出8a+6b的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵4a+3b=1，∴8a+6b=2，8a+6b﹣3=2﹣3=﹣1；故答案为：﹣1．【同步训练】（2017湖北江汉）已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a= ﹣6 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先变形，再整体代入求出即可．【解答】解：∵2a﹣3b=7，∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，故答案为：﹣6．二、方程（组）与不等式（组）中的整体思想【例题】先阅读,然后解方程组.解方程组时,可由①得x-y=1, ③然后再将③代入②得4×1-y=5,求得y=-1,从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”, 请用这样的方法解下列方程组解:由①得2x-3y=2, ③把③代入②得,+2y=9,解得y=4,把y=4代入③得,2x-3×4=2,解得x=7,∴原方程组的解为【同步训练】仔细观察下图，认真阅读对话根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设饼干的标价是x元/袋，（x是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得，用整体代入的思想求出x的取值，注意为整数且小于10，代入②可求牛奶的价格．【解答】解：设饼干的标价是x元/袋，（x是整数）牛奶的标价是y元/袋，由题意得，由②得y=9.2﹣0.9x③③代入①得x+9.2﹣0.9x＞10∴x＞8∵x是整数且小于10∴x=9∴把x=9代入③得y=9.2﹣0.9×9=1.1（元）答：饼干的标价是9元/盒，牛奶的标价是1.1元/袋．三、函数与图像中的整体思想【例题】某学校艺术馆的地板由三种正多边形的小木板铺成，设这三种多边形的边数分别为x、y、z，求+的值．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： ++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得： +=．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺）．解决本题的关键是知道这3种多边形的3个内角之和为360度，据此进行整理分析得解．【同步训练】（2017浙江衢州）“五•一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【考点】FH：一次函数的应用；FA：待定系数法求一次函数解析式．【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1＞y2时，15x+80＞30x，当y1＜y2时，15x+80＞30x，分求得x的取值范围即可得出方案．【解答】解：（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＞30x，解得x＞；∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．四、几何与图形中的整体思想：【例题】小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180 B．210 C．360 D．270【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【同步训练】如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【达标检测】1.（2017.江苏宿迁）若a﹣b=2，则代数式5+2a﹣2b的值是9 ．【考点】33：代数式求值．【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=2，∴原式=5+2（a﹣b）=5+4=9，故答案为：92.已知是方程组的解，则a2﹣b2= 1 ．【考点】97：二元一次方程组的解．【分析】根据是方程组的解，可以求得a+b和a﹣b的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵是方程组的解，∴，解得，①﹣②，得a﹣b=，①+②，得a+b=﹣5，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣）=1，故答案为：1．3.四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（）A．都是钝角B．都是锐角C．是一个锐角、一个钝角D．互补【考点】多边形内角与外角．【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．【解答】解：如图：∵四边形ABCD的内角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠C=90°，∴∠B+∠D=180°．∴另一组对角一定互补．故选D．【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．4.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．已知：在四边形ABCD中， O是对角线BD上任意一点．（如图①）求证：S△OBC •S△OAD=S△OAB•S△OCD；（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．【解析】证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB=BO•AE，S△COD=DO•CF，S△AOD=DO•AE，S△BOC=BO•CF，∴S△AOB •S△COD=BO•DO•AE•CF，S△AOD •S△BOC=BO•DO•CF•AE，∴S△AOB •S△COD=S△AOD•S△BOC．；（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．或S△AOD •S△BOC=S△AOB•S△DOC，已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，求证：S△AOD •S△BOC=S△AOB•S△DOC．证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，则有：S△AOD =DO•AE，S△BOC=BO•CF，S△OAB =OB•AE，S△DOC=OD•CF，∴S△AOD •S△BOC=OB•OD•AE•CF，S△OAB •S△DOC=BO•OD•AE•CF，∴S△AOD •S△BOC=S△OAB•S△DOC．四个．如图所示：。
数学思想篇：一、整体思想
第 1 页 共 2 页数学思想篇：一、整体思想【思想指导】整体思想，就是从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易．其主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用．【范例讲析】一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab ba b ab---+的值等于 （ ）A.6B.6-C.125 D.27- 例2．已知当1x =时代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++的值为3，则当1x =-时，代数式的值为 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 例3．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是例4． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为例5． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？三．函数与图象中的整体思想例6．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式.例7． 若关于x 的一元二次方程2(21)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．四．几何与图形中的整体思想例8．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= 例9．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．例10．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．第 2 页 共 2 页【优化训练】1．已知式子3y 2-2y+6的值为8，那么号23y 2-y+l 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．计算(250+0.9+0.8+0.7)2 -（250-0.9-0.8-0.7）2之值为( ) A. 11. 52 B.23. 04 C.1200 D.24003．已知411=+b a ，则 b ab a bab a 323434-+-++的值为 ( )A ．1019-B ．1019 c ．-1910 D ．19104．已知a 2-3a+1=0，则441a a+的值为 ( )A. 45B. 46C. 47D. 485．如图，在梯形ABCD 中，MN 是梯形的中位线，E 是AD 上一点，若S △EMN =4， 则S 梯形ABCD= ( )A ．8B ．12C ．16D ．206．已知a l ，a 2，…，a 2002均为正数，且满足M=（a l +a 2+…+a 2001）（a 2+a 3+---+a 2001-a 2002），N=（a l +a 2+- +a 200l -a 2002）（a 2 +a 3+…+a 2oo1），则M 与N 之间的关系是 ( )A ．M>NB ．M<NC ．M-ND ．无法确定．7．已知6111=+b a ，9111=+c a ，15111=+c b ，则bc ac ab abc++的值为 ( )A ．18031B ．31180 c ．9031 D ．31908．如图，在梯形ABCD 中,AD ∥BC,且AD ：BC=1：3，梯形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,S △AOD ：S △BOC ：S △AOB ( )A. 1:3:1B.1:9:1C.1:9:3D. 1:3:29．若31=+xx ，则2421x x x ++的值是 ( ) A ．81 B ．101 c ．21 D ．4110.甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品，乙厂仅有31的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为 ( )A ．3B ． 31 c ．21D ．211．如果a+b=5，那么(a+b)2 -4（a+b ）=____．12．如果210x x +-=，则3223x x ++ =____．13.当x=-3时，式子ax 5 +bx 3 +cx-5的值是7，那么当x=3时，此式子的值是 ．14.方程组⎩⎨⎧=-+=-+65)(53)(2y y x y y x ，的解为 .15．已知a=83 x-20,b=83x-18,c=83x-16，则222a +b +c -ab-ac-bc= ．16．已知a-b=b-c=53，222a +b +c = 1，则ab+bc+ca 的值等于 ．17.已知Rt △ABC 的两边a ，b 满足等式（a 2十b 2）2-（a 2+b 2）=6，a+b=2，那么这个直角三角形的斜边c 的长和面积分别____．18．对于正数x ，规定，f(x)=xx+1，例如，f(3)=43313=+，f(31)=4131131=+,计算+++++++-+-+)3()2()1()1()21()31()21()11()1(f f f f f f n f n f n f )()1()2(n f n f n f +-+-+ =____．（n 为正整数）19.关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是__________．。
初中数学常见的思想方法
初中数学常见的思想方法特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。
常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。
整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。
用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。
常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。
分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。
将一个数学问题根据题设分为有限的假设干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的【答案】进行归纳综合。
分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。
运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。
分类讨论的原那么是：〔1〕完全性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；〔2〕互斥性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；〔3〕统一性原那么，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。
分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。
整体思想在初一数学中运用
.整体思想在初一数学中的应用解决数学识题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，而后各个击破，有时研究某些数学识题时，常常不是以问题的某个构成部分为着眼点，而是存心识地放大观察问题的视觉，将全部需要解决的问题看做一个整体，经过研究问题的整体形式、整体构造或作整体办理此后，顺利而又简捷地解决问题，这类从整体看法出发研究数学识题的数学思想称为整体思想。
它是一种重要的数学看法，也是数学解题中一种常有的思想方法，特别在各样数学比赛中表现得较为突出，有些数学识题，若拘泥于惯例，从局部着手，则寸步难行；若整体考虑，则易如反掌。
引例：计算：111L1111L1111L1111L123201623420172320172342016___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用当＝－时，代数式ax5bx3cx1的值为5，则当x＝6时，这个代1.x数式的值为_________.已知：x24x1，则（1）3x212x2＝_________；（2）2 .x 35x23x2018______.3.已知正数a，b，c，d，e，f同时知足：b cdef1,acdef2,abdef3,abcef4,abcdf6,abcde9，求a＋b＋c＋da b c d e f ＋e＋f的值..二、整体思想在方程（组）中的应用1.二元一次方程组2x y6的解是________________.4x3y162.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：x2xx262016 2017 2018三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋＋∠9＝___________..2.在△ABC内部有2018个点，将这2018个点与点A、B、C连接，能够把△ABC切割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：ab2,bc3,ca6，则abc＝_______________.a bb cc aab bc ca2.已知：x35，求x33x2673x2016的值.2x 21.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使随意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并达成相应的填图游戏．.。
初中数学思想方法
初中数学思想方法数学思想方法是解决数学问题的灵魂，也是把数学知识转化为数学能力的桥梁。
初中数学中常用的思想方法有：整体思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想、转化思想、类比思想、分类讨论思想等。
1、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在等，找出解决问题的途径。
2、分类讨论思想当一个问题因为某种量或条件的改变，而引起演变结果的改变时，我们就需要对问题从各种不同的角度或分类讨论加以解决。
3、函数思想用运动变化的观点去分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系用函数表示出来。
4、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。
5、转化思想转化思想是将要解决的问题转化成一个或几个已经解决的简单问题。
6、类比思想类比是根据两个具有相同或相似性质的事物之间进行比较，从而找到另外一些具有相同或相似性质的事物。
7、分类讨论思想分类讨论是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。
分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。
总之数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是数学知识的精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。
一、引言在现今的初中数学教学中，培养学生的数学思想方法已经成为了一个重要的目标。
《初中数学思想方法导引》这本书，以其独特的视角和深入的剖析，成为了初中数学教师的重要参考书籍。
本书主要介绍了初中数学中的各类思想方法，如方程思想、函数思想、化归思想等，对于提高学生的数学素养，增强他们的解题能力，具有极大的指导意义。
二、数学思想方法的重要性数学思想方法是一种对数学规律和数学本质的深刻认识和理解，是对数学知识进行高度概括和抽象的结果。
在初中数学教学中，培养学生的数学思想方法不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是可以培养他们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力。
初一数学整体思想口诀总结
初一数学整体思想口诀总结初一数学整体思想口诀总结数学是一门理科科学，具有逻辑性和抽象性。
初一数学是中学数学的起点，涉及了基本的数学概念、运算法则和解题方法。
为了帮助初一学生更好地理解和掌握数学知识，我总结了以下初一数学整体思想口诀，希望对学生们能有所帮助。
一、数学的基本思想：1. 数学的基本目的是研究数量关系，发现规律，解决实际问题。
2. 数学的基本方式是抽象和逻辑推理。
3. 数学的基本特点是客观、精确和简洁。
二、数的认识和运算：1. 数的认识：数字是数的符号表示，具体数是数字的实际值。
2. 数的分类：自然数、整数、有理数、实数。
3. 数的大小比较：相等、大小关系。
4. 数的运算：加法、减法、乘法、除法。
5. 运算法则：交换律、结合律、分配律。
6. 运算顺序：先乘除后加减，从左到右。
7. 运算应用：算术运算与实际问题的联系。
三、代数表达和方程解法：1. 代数表达：用字母表示数，利用字母推导和计算。
2. 代数式：含有字母和数字的表达式。
3. 方程：用等号连接的含有未知数的代数式。
4. 方程的解法：等式的加减、乘除、代入法。
5. 解方程：找到使方程成立的未知数的值。
四、几何基本概念和几何推理：1. 点、线、面：几何中的基本元素。
2. 几何图形：点、线、面相互组合得到的形状。
3. 直线和曲线：直线无弯曲，曲线有曲率。
4. 角的认识：角的定义、角的度量。
5. 几何推理：利用已知条件推导出新的结论。
6. 同位角：共同顶点和公共边的两个相邻角。
五、图表数据的表示和应用：1. 图表的表示：表格、柱状图、折线图等。
2. 图表的读取：根据图表数据提取信息和分析问题。
3. 图表的应用：解决实际问题和统计数据。
六、统计与概率：1. 数据的收集和整理：调查、记录、分类。
2. 数据的分析：频数、频率、平均数、中位数。
3. 概率的认识：事件发生的可能性。
4. 概率的计算：事件发生的次数与总次数之比。
以上是我总结的初一数学整体思想口诀。
数学中的整体思想
[规律总结]在含有多重括号的运算式中,括号里的项 是否变号,只与该项以及该项所在的各层括号前面的 “－〞号有关,而与其前面的“＋〞号无关.因此只 要从外向里逐层确定影响该项的“－〞号的个数就 可整体去括号.当某项受奇数个“－〞号影响时该项 变号,受偶数个“－〞号影响时该项不变号.
分析：假设要直接求出a与b的值，要用 二次方程求解较繁。但由联想到运用整 体思想〔将ab视为一个整体〕，问题便 可顺利获解。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 即
又由得
所以
第十七章 实数
观察全局，就是从全局上对条件进展观 察分析，综合考察，从而得出解决问题途径。
例：假设实数满足
那么
y202x 0 3 3 2030 2x 4 2
解:原式＝(4＋3)(x＋y)＋(2－3)(x－y)＝7(x＋ y)－(x－y)＝7x＋7y－x＋y＝6x＋8y.
[规律总结]括号内所含内容一样的多项式运算, 可将括号看作一个“整体〞先行合并,再去括 号,可简化运算.
五、整体去括号
化简 2 x 2 y 2 x 3 x 2 y 2 ( 3 x 2 y 2 x Байду номын сангаас 4 x y 2 y
解:∵x＝2m＋1,y＝1－2m.
∴x＋y＝2,x－y＝4m.
∴原式＝ ＋(x＋y)(x－y)＝ ＋2×4m＝16
＋8m. (x y)2
(4m)2
m2
[规律总结]把计算式中的某部分看作整体或先作适当变形转化,再整体代入,是经常 使用的一种方法.
二、整体转化法
计算(3a＋2b－c＋5)(3a－2b＋c＋5) [思路分析]将(3a＋5)看成一样的项,将(2b－c) 看成相反的项,问题就转化平方差公式,计算起 来就方便了. 解:原式＝ ( 3 a 5 ) 2 ( 2 b c ) 2 9 a 2 3 a 2 0 4 b 5 2 4 b c 2 c
数学思想方法一整体思想
数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想例 1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ）A.6B.6-C.125D.27- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解． 解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a ------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx ++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231ab c d+++=+，即11a b c d ++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+ 例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为 分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b的值，再代入3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作． 解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x +-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223xx y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y=-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解． 说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解．例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元． 说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果．三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式.解：（1）因y m +与x n-成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13.故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即22200a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<．第10题654321I H GFE D C B A说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视．四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= 分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分第11题O P F E D CB A 别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形，从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3.说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+． 分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1 C .﹣52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+++）2﹣（250﹣﹣﹣）2之值为何（ ）A 、B 、C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a ---的值为（ ）A.C.﹣1二、填空题1. （2011德州，14，4分）若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x12+x22= ．2.（2011年山东省威海市，16，3分）分解因式：16–8（x –y ）+（x –y ）2= ．3. （2011四川达州，15，3分）若2210b b ++=，则221a b a +-= ．三、解答题 1. （2011江苏宿迁，21，8）已知实数a 、b 满足ab=1，a+b=2，求代数式a 2b+ab 2的值．2. （2010重庆，21，10分）先化简，再求值：22122121x x x x x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2－x－1＝0．答案：ADD ；3，（4-x+y ）2，6；2,1。
中考数学复习解题思想方法技巧--第一讲：整体思想
中考数学复习解题思想方法技巧第一讲：整体思想整体思想，就是探究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易。
整体思想的表现形式有：整体代入、整体约减、整体换元、整体合并等。
一、整体代入主体思想：求代数式的值时，通常会遇到各种各样关于未知数的关系式的条件，利用常规方法在这些关系式中求出未知数后再代入求值，其计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值。
这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式，挖掘式子结构上的特征联系，将已知条件进行恰当变形，或把一些已知关系式作为整体，直接代入求值式中计算，过程简洁明了。
例题精析：m=1+，n=1-，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（）A.-5B.5C.-9D.9点拨提示：如果将m，n的值直接代入，运算量很大。
观察含a的方程中，7m2-14m和m=1+隐约有一定的关系，尝试将m=1+变形为m-1=，再两边平方可得m2-2m+1=2，整理得m2-2m=1；所以7m2-14m=7（m2-2m）=7×1=7。
用类似的处理方法整体可得3n2-6n 的值，整体代入即可求出a的值。
参考答案：Ca是方程x2-2011x+1=0的一个根，试求a2-2010a + 的值。
点拨提示：由已知得a2-2011a+1=0，直接解方程会有2个根，需要分别都代入求值，而且运算很大。
观察a2-2011a+1=0和所求代数式中的a2-2010a部分，隐约有一定的关系，尝试整体变形处理后再代入。
解题过程：由a2-2011a+1=0得a2-2010a=a-1①，即a2+1=2011a②，显然a≠0，两边同除以a得a+=2011③，将①、②、③式代入得：原式=a-1+ =a-1+= a+-1=2011-1=2010同步练习：当时，求多项式（4x3-2007x-2004）2004的值。
数学思想方法一整体思想(解析)(自己整理)
数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．第9题YXO 1-14321I HEDBA说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法第11题OP FEDCBA在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。
初中数学八大思想
初中数学八大思想一、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式⼦或图形看成⼦个整体，把握它们之间的关联，进⼦有⼦的的、有意识的整体处理。
二、方程思想⼦程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成⼦程或不等式，通过建⼦⼦程模型来解决实际问题，它可以让我们更加直观，清晰明了地了解题目。
三、函数思想函数的思想是⼦运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从⼦建⼦函数模型，如⼦次函数、反⼦例函数、⼦次函数等，解决实际问题。
比如当路程一定时，时间和速度成反比例关系；抛出的球时间和高度成二次函数关系，在解决一些问题时，借助函数图像，可以帮助我们快速地解决问题四、分类讨论思想分类讨论就是把研究对象按同⼦分类标准分成⼦个部分或⼦种情况，然后逐个解决，最后予以总结做出结论的思想⼦法，其实质是化整为零，各个击破，化⼦难为⼦难的策略，许多大题就会运用到这种思想比如这道题五、转换思想转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。
六、类比思想把两个（或两类）不同的数学对象进行对比，如果发现它们有共同特质，可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。
例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用，类比研究反比例函数的图象、性质及应用。
七、分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后整合结论得到完整解答。
分类时要做到不重不漏。
八、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学符号语言与直观图形结合起来。
可以“以形助数”，也可以“以数辅形”。
使代数问题和几何问题互化，达到精确和直观的统一。
九、方程与函数思想方程与函数是两种数学模型。
实际中的很多问题都可以用这两种模型加以解决。
十、转化与化归思想这是将待解决的问题通过变换使之转化为已解决的或更简单的问题，从而使问题得到解决。
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解题思想之整体思想
一、注解：
郑板桥有这样一句大家耳熟能详的话：“难得糊涂”，如果事事较真，钻牛角尖，往往对解决问题没有帮助。
这句话提醒我们，在有些时候不能方方面面都照顾，该忽略的问题你就应该忽略。
而在我们的数学学习过程中，也经常运用这种思想解决问题。
整体思想就是要求大家在学习的过程中，有时候只能从大的，宏观的方面考虑问题，避免钻牛角尖，将一些问题“打包”处理，以达到事半功倍的效果。
整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。
整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。
二、实例运用：
1. 在数与式中的运用
【例1】计算：
11111111111111 11
23423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++
⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【例2】当x=1时，代数式px2+qx+1的值是2001，则当x= -1时，代数式px2+qx+1的值是：
A -1999
B -2000
C -2001
D 1999
【例3】若
1
3
x
x
+=则2
2
1
x
x
+=。
2. 在方程（组）中的运用
【例1】已知二元一次方程组为
27
28
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
则x-y= ，x+y= .
【例2】已知方程组
4
5
ax by
bx ay
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则a+b= .
【例3】有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现购甲乙丙各1件，需要多少元？
3. 在几何计算中的运用
【例1】如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要米。
【例4】有星型图，如图，求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和。
三、随堂练习
1、若分式x y
x y
+
-
中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）
A 不变
B 是原来的3倍
C 是原来的三分之一
D 是原来的六
分之一
2、如图所示的直角坐标系中，已知半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，
则图中阴影部分的面积是。
3、如图，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则图中阴影部分的
面积为。
4、如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道
路，余下的部分作为耕地，根据图中提供的数据，计算耕地的面积
四、课后练习
选择题：
1、把多项式a 2-2ab+b 2-1分解因式，结果是（ ）
A (a-b+1)(a-b-1)
B (a-b+1)(a+b-1)
C (a+b+1)(a+b-1)
D (a+b+1)(a-b-1)
2、若x=1时，代数式ax 3+bx+7的值为4，则当x= -1时，ax 3+bx+7的值为（ ）
A 7
B 12
C 11
D 10
3、用换元法解方程（x 2+x ）2+2(x 2+x)-1=0，若设y=x 2+x ，则原方程变形为（ ）
A y 2+2y+1=0
B y 2-2y+1=0
C y 2+2y-1=0
D y 2-2y-1=0
4、方程组7
12x y xy
+=⎧⎨=⎩的一个解是（ ）
A. 25x y =⎧⎨=⎩
B. 6
2x y =⎧⎨=⎩ C. 43x y =⎧
⎨=⎩ D. 3
4x y =-⎧
⎨=-⎩
填空题： 1、已知x+y=1，那么221
1
22x xy y ++的值为 。
2、已知x-2x-1=0，且x ＜0，则1
x x + 。
3、已知x+y=5，且x-y=1，则xy= .
4、若非零实数a ，b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b:a= .
5、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= 。
6、如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形构成的一个正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，则a 4+b 3= 。
解答题： 1、 计算：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛
⎫
-++- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
2、已知实数a，b满足（a+b）2=1，(a-b)2=25，求a2+b2+ab的值。
3、解方程：
2
280 11
x x
x x
⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪
++
⎝⎭⎝⎭。