2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第六章第二节等差数列及其前n项和 Word版含解析

其次节等差数列及其前n项和

突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算

基础联通抓主干学问的“源”与“流”

1．等差数列的有关概念

(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b

2，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)

2d＝

n(a1＋a n)

2.

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n .

(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(5)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.

考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”

等差数列的基本运算

[例1](1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2

C．3 D．4

(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于()

A．1 B.

5

3

C．－2 D．3

[解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10，

∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.

(2)由S3＝

3(a1＋a3)

2＝6，

且a1＝4，得a3＝0，

则d＝

a3－a1

3－1

＝－2，故选C.

[答案](1)B(2)C

[方法技巧]

1．等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．

2．等差数列设项技巧

若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

等差数列的性质

[例2](1)在等差数列{a n}396n n S11＝()

A．18 B．99

C．198 D．297

(2)已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.

[解析](1)由于a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，

所以3a6＝27，所以a6＝9，

所以S11＝11

2(a1＋a11)＝11a6＝99.

(2)由于{a n}，{b n}都是等差数列，

本节主要包括3个学问点：

1.等差数列的性质及基本量的计算；

2.等差数列前n项和及性质的应用；

3.等差数列的判定与证明.

所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6， 所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)， 即2×15＝9＋(a 5＋b 6)， 解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)21

1.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )

A.54钱

B.53钱

C.3

2

钱 D.43

钱 解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，

2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧

a 1＝4

3，d ＝－16，

即甲得4

3

钱，故选D.

2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.

32 B ．－32 C.12 D ．－12

解析：选D 在等差数列{a n }中，由于a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π

3，所以cos(a 2＋a 12)

＝－1

2

.故选D.

4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧

a 12＝a 1＋11d ＝－8，

S 9＝9a 1＋9×8

2d ＝－9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝3，

d ＝－1.

所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.

答案：－72

5.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最终6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.

解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②

①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，

∴a 1＋a n ＝36，

又S n ＝n (a 1＋a n )

2＝324，

∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a

18＝36，

从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.

突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用

等差数列前n 项和的性质

(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．

(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)． (4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1

T 2n －1

.

(5)若{a n }是等差数列，则

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的1

2.