数列专题复习之典型例题(含答案)

数列知识点-——-求通项

一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）

二、由a n 与S n 的关系求通项a n

例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。 答案2·3n －1

练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!

三、由数列的递推公式求通项

例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设

3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;

答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*

n ∈N ．

(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．

（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*

n N ∈），证明{}n b 是等比数列；

（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；

答案： 1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=⎧-+

⎪=-⎨⎪⎩

(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，其中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

答案:(1)2n

n

n a n λ=-+2121

2

(1)22(1)(1)

n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1

(1)22(1)2

n n n n S +-=

+-λ=

(4）已知数列{}n a 满足：()2

13,22n n a a a n n N *+=+=+∈

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234

212111n n n

T a a a a a a -=

+++

，求lim n n T →∞

答案： 1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=⎧-+

⎪=-⎨⎪⎩

注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)

1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，

)0)1((≠-p pq )。4 . ()n f pa a n n +=+1(1） 。n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常

数,)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n

n n a pa rq +=+，其中p ，q, r 均为常数）（2）

b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 5。递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均

为常数）先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s,t 满足⎩

⎨

⎧-==+q st p

t s

6、 递推公式为n S 与n a 的关系式.（或()n n S f a =）

7、r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

8。)

()()(1n h a n g a n f a n n n +=

+ 9。q pn a a n n +=++1或n

n n pq a a =⋅+1 10.双数列型

数列知识点————求和问题

一、掌握数列求和的常见方法:

1.公式法求和：（1）等差数列 11()(1)

;22

n n n a a n n S na d +-==+

(2)等比数列 1111

1111 .() n n n na q S a a q

a q q q q =⎧⎪

=--⎨=≠⎪--⎩

2。错位相减法:主要用于求数列{}n n a b 的前n 项和,其中{}n a 、{}n b 中一个为等差数列,另一个为等比数列.

3.裂项相消法：一般适用于通项为

1

1

n n a a +的前n 项和，其中{}n a 为等差数列.

常见的裂项技巧有：

1111

(1)

()(()1

1111

(3)()(21)(21)22121

1111

(4)

(1)(2)2(1)(1)(2)k n n k k n n k

k n n n n n n n n n n n =-++=-=--+-+⎡⎤=-

⎢⎥+++++⎣⎦

其中为整数）

4。倒序相加法：

5.分类相加法:将数列适当拆分,重新组合,变成几个可以求和的部分再分别求和。

6.分奇数项，偶数项求和

二、例题巩固 例1.求和：

21

11

1

(1)(11)(4)(7)(

32)n n a a a

-++++++

++- 22222(2)sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒+︒+︒+

+︒+︒

解:13131(1)11212-n n +)n a -a n -)n a =;a ,+a -≠（（时，时89

(2)2