专题05 圆的标准方程与一般方程(重难点突破)原卷版

专题05 圆的标准方程与一般方程 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一圆的定义及方程 定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准

方程

(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r ＞0) 圆心C ：(a ，b ) 半径：r 一般

方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0) 圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 半径：r ＝D 2＋E 2－4F 2 知识点二点与圆的位置关系

(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．

(2)三种情况

圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)．

①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上；

②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外；

③(x 0－a )2＋(y 0－b )2

三、题型突破

重难点1 圆的方程

求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．

〔1〕由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． 〔2〕由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心〔a ，b 〕是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．

例1．〔1〕〔2021·江苏高二专题练习〕〔多项选择〕点()1,1在圆()()22

4x a y a -++=的内部，那么a 的取值不可能是〔〕

A ．2-

B ．12-

C ．12

D ．2

〔2〕．〔2021福建莆田一中高二月考〕过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是〔〕

A ．()()22314x y -++=

B ．()()22

314x y ++-= C ．()()22114x y -+-= D ．()()22114x y +++= 〔3〕．〔2021·河南许昌市·高一期末〕以点(3,4)A -为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为〔〕 A ．22(3)(4)16x y ++-=

B ．22(3)(4)16x y -++=

C ．22()(34)9x y ++-=

D ．22(3)(4)9x y -++=

〔4〕．〔2021·湖北〕以()3,1A --，()5,5B 两点为直径端点的圆的方程是〔〕

A ．()()2212100x y -++=

B ．()()22

1225x y +++= C ．()()2212100x y -+-= D ．()()221225x y -+-= 【变式训练1】．〔1〕〔2021·全国高二课时练习〕圆224630x y x y ++--=的标准方程为〔〕

A ．22(2)(3)16x y -+-=

B ．22(2)(3)16x y -++=

C ．22(2)(3)16x y ++-=

D ．22(2)(3)16x y +++=

〔2〕．〔2021·全国高二课时练习〕过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，那么圆C 的方程是〔〕

A ．22(5)2x y -+=

B ．22(3)4x y -+=

C ．22(5)4x y -+=

D ．22(3)2x y -+=

例 2．〔2021·全国高二课时练习〕求以下各圆的方程：

〔1〕圆心为()5,3M -且过点()8,1A --；

〔2〕过()2,4A -，()1,3B -，()2,6C 三点；

〔3〕圆心在直线350x y +-=上，且经过原点和点()3,1-．

【变式训练2-1】．〔2021·全国高二课时练习〕分别根据以下条件，求圆的方程：

〔1〕过点(4,0),(0,2)A B -和原点；

〔2〕与两坐标轴均相切，且圆心在直线2350x y -+=上.

重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：

〔1〕几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断．

〔2〕代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．

〔3〕直线系法：假设动直线过定点P ，那么点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．

例3．〔1〕〔2021·全国高二课时练习〕直线l ：10x y -+=与圆C ：224210x y x y +--+=交于A 、B 两点，那么||AB =〔〕

A ．2

B ．22

C ．4

D ．42

〔2〕．〔2021·全国高二单元测试〕〔多项选择题〕圆22410x y x +--=，那么以下说法正确的有〔〕 A ．关于点(2,0)对称

B ．关于直线0y =对称

C ．关于直线320x y +-=对称

D ．关于直线20x y -+=对称

〔3〕．〔2021·全国高二单元测试〕圆C ：224210x y x y +--+=上的点到直线2140x y +-=距离的最大值为______.

【变式训练3-1】．假设直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，那么m 的值为()

A ．1

B ．－3

C ．1或－3

D ．2

【变式训练3-2】．圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．

【变式训练3-3】．〔2021·上海高二课时练习〕假设圆22

(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22

，那么a 的值为_________. 例4．〔2021·全国高二课时练习〕圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．

〔1〕当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；

〔2〕当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且22AB =时，求直线l 的方程．

【变式训练4-1】．〔2021·全国高二单元测试〕直线:340l x y +-=，圆C 的圆心在x 轴的负半轴上，半径为3，且圆心C 到直线l 的距离为3105

. 〔1〕求圆C 的方程；