绝对值型不等式和三角不等式类型

绝对值型不等式和三角不等式

定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。 绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数)

定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等

号成立）。

证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。

绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。

题型一 解绝对值不等式

【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.

(1)解不等式f (x )＞3；

(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.

【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).

(2)因为f (x )＝⎪⎩

⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.

因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1).

【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .

(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；

(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.

【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数

y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).

(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －

2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.

题型二 绝对值三角不等式的应用

[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．

(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．

[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．

[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，

∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.

法二：把函数看作分段函数．

y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，

－4，x >3.

∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.

(2)|x |≤1，|a |≤1， ∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |

＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |

＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1

＝－(|x |－12)2＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54

. 规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．

3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________． 解析：|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1＝3－2≤|a ＋b |≤3＋2＝5.答案：5 1

4．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．

解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，

当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．

∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1| 取得最小值2.

5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．

解：a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a <[|x ＋1|－|x －2|]min.

∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.

∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a <－3.即a 的取值范围为(－∞，－3)．

题型三 解绝对值三角不等式

【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.

【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |

≥f (x ). 又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |

＝2，则有2≥f (x ). 解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52

. 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a

对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.

题型四 利用绝对值不等式求参数范围

【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.

(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；

(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.

【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，

综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32

，＋∞). (2)综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).

【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12

(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.

【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12

(a －1)2， 解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2

＋1}.

由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，

①当3a ＋1≥2，即a ≥13

时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}， 因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3； ②当3a ＋1＜2，即a ＜13

时， B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}， 因为A ⊆B ，所以⎩

⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1. 综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.

总结提高

1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.

2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.

3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.