高中数学选修2-2疑难规律方法2：第二章 推理与证明

1合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．一、归纳推理的考查1．数字规律周期性归纳例1观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．8125[解析]∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52 013＝54×502＋5末四位数字为3125.[答案]A点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．2．代数式形式归纳例2设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.[解析]依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n.所以当n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x(2n－1)x＋2n.[答案]x(2n－1)x＋2n点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．3．图表信息归纳例3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378分析 将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项．[解析] 设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为a n ，其解法如下：a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n . 故a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝n (n ＋1)2.而图(2)中数列的通项公式为b n ＝n 2，因此所给的选项中只有1 225满足a 49＝49×502＝b 35＝352＝1 225. [答案] C点评 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n 项和等．二、类比推理的考查1．类比定义在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．例1 等和数列的定义是：若数列{a n }从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{a n }是等和数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的一个通项公式是________． [解析] 由定义，知公和为4，且a n ＋a n －1＝4，那么 a n －2＝－(a n －1－2)，于是a n －2＝(－1)n －1(a 1－2)． 因为a 1＝1，得a n ＝2＋(－1)n 即为数列的一个通项公式． [答案] a n ＝2＋(－1)n点评 解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解． 2．类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．例2 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①_______________________________________________________； 充要条件②____________________________________________________.[解析] 类比平行四边形的两组对边分别平行可得，两组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的两组对边分别相等可得，两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分 是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．点评 由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性． 3．类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．例3 已知数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝3n ＋1，则其通项公式a n ＝________.[解析] 类比数列前n 项和S n 与通项a n 的关系a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得到数列前n (n ≥2)项的乘积T n 与通项a n 的关系．注意对n ＝1的情况单独研究．当n ＝1时，a 1＝T 1＝31＋1＝4.当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝3n ＋13n －1＋1，a 1不适合上式，所以通项公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝13n ＋13n －1＋1，n ≥2.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝13n ＋13n －1＋1，n ≥2.2 各有特长的综合法与分析法做任何事情都要讲究方法，方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半．解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的[答案]．证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法．综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件．综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们的应用十分广泛．要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果”，即“由原因去推导结果”．要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”． 例1 已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋4c －a≥0. 分析 首先使用分析法寻找证明思路． 证法一 (分析法)要证原不等式成立， 只需证1a －b ＋1b －c ≥4a －c.通分，得(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )≥4a －c ，即证a －c (a －b )(b －c )≥4a －c .因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0，a －c >0. 只需证(a －c )2≥4(a －b )(b －c )成立． 由上面思路可得如下证题过程． 证法二 (综合法)∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∴4(a －b )(b －c )≤[(a －b )＋(b －c )]2＝(a －c )2. ∴a －c (a －b )(b －c )≥4a －c ，即(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )－4a －c ≥0. ∴1a －b ＋1b －c ＋4c －a≥0.从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．例2 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．求证：f (x ＋12)为偶函数．证明 方法一 要证f (x ＋12)为偶函数，只需证f (x ＋12)的对称轴为x ＝0，只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b .因为函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，即x ＝－b 2a －1与x ＝－b2a关于y 轴对称， 所以－b2a －1＝－－b 2a ，所以a ＝－b ，所以f (x ＋12)为偶函数．方法二 要证f (x ＋12)是偶函数，只需证f (－x ＋12)＝f (x ＋12)．因为f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 而f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称， 所以f (－x )＝f (x ＋1)，f (－x ＋12)＝f (－(x －12))＝f ((x －12)＋1)＝f (x ＋12)，所以f (x ＋12)是偶函数．点评 本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种处理方法在推理证明中是常用的.3 体验反证法的独到之处反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型： 1．证明否定性问题例1 平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．分析 假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．证明 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A ，B ，C ，D . 考虑△ABC ，则点D 有两种情况：在△ABC 内部和外部．(1)如果点D 在△ABC 内部(如图(1))，根据假设知围绕点D 的三个角∠ADB ，∠ADC ，∠BDC 都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC外部(如图(2))，根据假设知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四边形ABCD的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾．综上所述，可知假设错误，题中结论成立．点评结论本身是否定形式、唯一性或存在性命题时，常用反证法．2．证明“至多”“至少”“唯一”“仅仅”等问题例2A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；②存在常数L(0<L<1)，使得对任意的x1，x2∈[1,2]，都有|φ(2x1)－φ(2x2)|<L|x1－x2|.设φ(x)∈A，试证：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么这样的x0是唯一的．证明假设存在两个x0，x′0∈(1,2)，x0≠x′0，使得x0＝φ(2x0)，x′0＝φ(2x′0)，则由|φ(2x0)－φ(2x′0)|<L|x0－x′0|，得|x0－x′0|<L|x0－x′0|.所以L>1.这与题设中0<L<1矛盾，所以原假设不成立．故得证．点评若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证．3．证明较复杂的问题例3如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则() A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形[解析]因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1＝sin A2，则cos A1＝cos(90°－A2)．所以A1＝90°－A2.同理设cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，则有B1＝90°－B2，C1＝90°－C2.又A1＋B1＋C1＝180°，∴(90°－A2)＋(90°－B2)＋(90°－C2)＝180°，即A2＋B2＋C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立，故选D.[答案]D例4已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.分析若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明．证明假设a<0，由abc>0，知bc<0.由a＋b＋c>0，知b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0.这与已知矛盾．又若a＝0，则abc＝0，与abc>0矛盾．故a>0.同理可证b>0，c>0.小结至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法．一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．运用反证法证题时，还应注意以下三点：1．必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；2．推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；3．在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊．另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式.至少有n 个 至多有n －1个 至多有n 个至少有n ＋1个任意 存在 存在任意4 数学归纳法中如何用假设数学归纳法是高中数学重要的证明方法之一，它对证明与正整数有关的命题十分有效，解决这类问题的基础是第一步，关键是第二步．不管何类题目，只要利用数学归纳法证明，其假设条件必须用上，下面我们结合实例说明数学归纳法的假设条件如何运用． 1．直接运用例1 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n 是正整数)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12＝32，中间＝1＋12＝32，右边＝12＋1＝32，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k .那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)． 这就是说，当n ＝k ＋1时不等式成立．根据(1)和(2)，知对任意正整数n ，不等式均成立． 2．配凑后运用例2 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：n ＋f (1)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ≥2，且n 是正整数)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝2＋f (1)＝2＋1＝3，右边＝2f (2)＝2×⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即k ＋f (1)＋…＋f (k －1)＝kf (k )．那么，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)＋f (1)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝1＋f (k )＋kf (k )＝(k ＋1)f (k )＋1＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k )＋1k ＋1 ＝(k ＋1)f (k ＋1)．这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，知等式对从2开始的所有正整数n 都成立．点评 解决此题的关键是盯住结论(k ＋1)f (k ＋1)，凑出系数k ＋1.3．增减项后运用例3 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(2n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n 是正整数)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(2k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)．那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)，设法凑出假设：乘以(k ＋1)，再除以(k ＋1)，即左边＝(k ＋1)·(k ＋2)(k ＋3)…(2k )(2k ＋1)(2k ＋2)·1k ＋1＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1)，这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，知等式对任意正整数n 都成立．点评 对n ＝k ＋1时，等式的左边乘一项，除一项(或加一项，减一项)，设法凑出假设条件的形式，从而证明n ＝k ＋1时等式成立，这说明解题时要有目标意识.5 用数学归纳法解题的常见误区数学归纳法一般用于证明与正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可．本文举例剖析用数学归纳法解题的几类常见误区．误区一、未注意初始值例1 判断2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1对大于1的自然数n 是否都成立，若成立，请给出证明．错证 假设n ＝k (k >1，k ∈N *)时，结论成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此，对大于1的自然数n,2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1都成立．剖析 错解中忽略了当n ＝2时，左边是6，右边是7.左右两边不相等，即2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1对大于1的自然数n 不是都成立的．这种第一步简单可省略是错误的，数学归纳法的两个步骤缺一不可．误区二、未用归纳假设例2 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n －1＝2(2n －1－1)(n >2，n ∈N *)．错证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，那么由等比数列的前n 项和公式，得2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(1－2k )1－2＝2(2k －1)． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n >2，n ∈N *都成立．剖析 错证中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．正证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)，那么n ＝k ＋1时，2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(2k －1－1)＋2k ＝2·2k －2＝2(2k －1)．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，等式对任意n >2，n ∈N *都成立．误区三、未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项例3 求证：1＋2＋4＋…＋2n －1＝12(4n －1＋2n －1)(n ∈N *)． 错证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12(41－1＋21－1)＝1，等式成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即1＋2＋4＋…＋2k －1＝12(4k －1＋2k －1)， 那么1＋2＋4＋…＋2k －1＋2k ＝12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12(4k ＋2k )． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)，知等式对任意n ∈N *都成立．剖析 错证中有两个问题：第一未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项，实际上，并非仅增加了2k 一项，而是增加了2k －1项；第二“12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12(4k ＋2k )”是错误的，这是通过结论直接写出，实际上，这是使用数学归纳法的大忌．正证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12(41－1＋21－1)＝1，等式成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即1＋2＋3＋…＋2k －1＝12(4k －1＋2k －1)， 那么1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋…＋2k ＝1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋…＋(2k －1＋2k －1)＝(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝(4k －1＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝2×4k －1＋2k －1＝12(4k ＋2k )． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)，知等式对任意n ∈N *都成立．。