一元二次方程根的判别式的意义及应用

[文件] sxc3dja0009.doc
[科目] 数学
[年级] 初三
[章节]
[关键词] 方程/判别式
[标题] 一元二次方程根的判别式的意义及应用
[内容]
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标
(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；
(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况.
教学重点和难点
重点：一元二次方程的根的判别式的运用.
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解.
教学过程设计
(一)复习
1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前 ，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?
例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)
2x 2+10x-7=0.
解：因为a=2,b=10,c=-7, ①
b 2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0, ② 23952215610±-=⨯±-=x ，所以2
3925,2392521--=+-=x x 2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步?
答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c 的取值，这是 要先写①式的原因；
因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b 2-4ac 的值，
如果b 2-4ac 的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写② 式的原因.
(二)新课
1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，代数式b 2-4ac 起着重
要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号表示，即
Δ=b 2
-4ac(注意不是Δ=ac b 42- 2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么?
3.把课本P27的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号A ⇒B 表 示为A 是命题的条件，B 是命题的结论)于是有：
定理1 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ0⇒方程有两个不等实数根.
定理2 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=0⇒方程有两个相等实数根.
定理3 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ＜0⇒方程没有实数根.
注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是
定理4 ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，方程有两个不等实数根⇒Δ＞0.
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根⇒Δ＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根⇒Δ＜0.
显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，互逆定理.
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本P27的例(1)，(2)，(3)，用这组定理来解)
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.(课本P29，习题12.3，B组的1，用这组定理来解)
运用根的判别式解题举例
例1 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.
解：(1)因为Δ=32-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根.
(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式.②只要知道Δ＞0, Δ=0 , Δ＜0就可以了，所以课本没有算出9+32=41＝
(2) 原方程变形为16y2-24y+9=0,因为Δ=(-24) 2-4×16×9=576-576=0，所以原方程有
两个相等实数根.
(3) 原方程变形为5x2-7x+5=0,因为Δ=(-7)2-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没有实数根.
例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的.
解：因为方程有两个相等实数根，所以Δ=0,即(k-9) 2-8(k2+3k+4)=0,k2-18k+81-8k2-2 4k-32k=0，化简，得k2+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以k1=-7,k=1.
当k=-7时，原方程为2x2-16x+32=0,得x1=x2=4;
当k=1时，原方程为2x2-8x+8=0,得x3=x4=2.
(问：本题的算理是什么?答：是定理5)
例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.
分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数.
解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)] 2-4×1×(a2+4a-5)≥0,不等式两边同除以正数4，不等号的方向不变，得a2+2a+1-a2-4a+5≥0,,-2a+6≥0,所以a≤3.
因为a是正整数，所以a=1,2,3.
(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)
(三)课堂练习
1.关于x一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______.
2.当1 4a2＜b,关于x的方程x2-ax+b=0的实情况是_______
(答案或提示：1.k＞-1且k≠0; 2.无实数根)
(四)小结
1.根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根.
2.运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c 的值.
3.要注意课本P27第8行的“反过来也成立”.在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时，用定理4，5，6.
(五)作业
1.读课文P26～P27.
2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).
3.若方程(k2-1)x 2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k 的值是( ).
4.若a,b,c 互不相等，则方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0( ).
(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根
(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定
5.不解方程，判别下列方程的根的情况：
6.已知关于x 的方程x 2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m 取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根?
7.k 取什么值时，方程4x 2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.
8.求证：关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根. 作业的答案或提示
2.(B).
3.(C). 因为Δ=36(3k-1) 2-288(k 2-1)=36(k-3),当k ≠3时，要使.同
时为正整数，只有k=2.
4.(C) 因为Δ=4(a+b+c)2-12(a 2+b 2+c 2)=4(-2a 2-2b 2-2c 2+2ab+2ac+2bc)=-2[(a-b) 2+(b
-c) 2+(c-a) 2]＜0.
5.(1) Δ=42-4×2×35＜0,原方以有实数根；
(2) 4m 2-4m+1=0, Δ=(-4m) 2-16m 2=0,原方程有两个相等的实数根；
(3) 0.4x 2-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根；
(4) 4y 2-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4) 2-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根；
(5) x 2-2 3x-222=0, Δ=(-23)2-4×(-22)＞0,原方程有两个不相等的实
数根；
(6) 5 5t 2-10t+5=0, Δ=100-4×55×5=0,原方程有两个相等的实数根； 6.=(2m+1)2-4(m-2)2
=5(4m-3) (1) 当4m-3＞0,即m ＞
4
3时，原方程有两个不相等的实数根； (2) 当m=43时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m ＜43时，原方程没有实数根. 7.令Δ=(k+2)2-4×4(k-1)=0,k 2
-12k+20=0,k 1=2,k 2=10. 当k=2时，原方程4x 2
-4x+1=0,x 1=x 2=2
1; 当k=10时，原方程4x 2-12x+9=0,x 1=x 2=23. 8.因为Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k 2+4k+1-4k+4=4k 2
+5＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.
课堂教学设计说明
1.为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一
元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b 2-4ac 的值
.由此引入b 2-4ac 的名称的作用.
2.在新课中，提出一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中的b 2-4ac 叫做根的判别式后，提醒
学生要注意两点：(1)根的判别不是ac b 42 b2-4ac;(2)判别根的什么性质.
3.教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件
与结论分得明确，使学生易于接受及记忆.
4.上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况， 为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的
值或求字母间的关系式，为些教学设计中，安排了例2，例 3.为了强化这两类问题的功能.在
题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么.。