2017-2018学年高中数学北师大版2学案：第一章立体几何初步1.5平行关系含答案

第1课时平行关系的判定

［核心必知] 1．直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系图形语言

符号

语言

直线在平面内aα

直线与平面相

交a∩α＝A

直线与平面平

行

a∥α2。直线与平面平行的判定

文字语言图形语

言

符号语

言

若平面外的一条直线与此

平面内的一条直线平行，

则该直线与此平面平行3.

文字语言图形语

言

符号语言

如果一个平面内

有两条相交直线

都平行于另一个

平面,则两平面平

行

［问题思考]

1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗?

提示：不一定,因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．

2．对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？

提示：不一定．如图中,平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．

讲一讲

1。如图，在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD。

[尝试解答］证明：在△PBC中，E,F分别是PB,PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD。

又∵AD平面PAD，EF平面PAD,

∴EF∥平面PAD。

1．判断或证明线面平行的方法

(1)定义法：证明直线与平面无公共点（不易操作）；

（2）判定定理法：aα,bα，a∥b⇒a∥α；

（3)排除法：证明直线与平面不相交,直线也不在平面内．

2．证明线线平行的方法

（1)利用三角形、梯形中位线的性质；

(2)利用平行四边形的性质；

(3)利用平行线分线段成比例定理．

练一练

1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.

证明：连接AC交BD于O，连接QO。

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴O为AC的中点．

又Q为PA的中点，

∴QO∥PC。

显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，

∴PC∥平面BDQ.

讲一讲

2。如图所示,正方体ABCD.A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1,C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.

［尝试解答] 证明：如图所示，连接MF。

∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，

∴MF∥A1D1且MF＝A1D1。

又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，

∴MF＝AD且MF∥AD.

∴四边形AMFD是平行四边形．

∴AM∥DF.

又DF平面EFDB，AM平面EFDB，

∴AM∥平面EFDB.

同理可证,AN∥平面EFDB.

又AN，AM平面AMN,AM∩AN＝A，

∴平面AMN∥平面EFDB。

平面平行的判定方法:

(1)利用定义，证面面无公共点．

（2）利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行,即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．（3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．

练一练

2．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．

求证:平面A1BD1∥平面AC1D。

证明：连接A1C交AC1于点E,

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点．连接ED,

ED是△A1BC的中位线,

∴ED∥A1B。

∵ED平面A1BD1,A1B 平面A1BD1，

∴ED∥平面A1BD1。

∵C1D1BD，

∴四边形BDC1D1是平行四边形，

∴C1D∥BD1.

∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，

∴C1D∥平面A1BD1。

∵C1D∩ED＝D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

讲一讲

3。如图所示，B为△ACD所在平面外一点，且BA＝BC＝BD，M,N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1）求证：平面MNG∥平面ACD；

（2)求S△MNG∶S△ADC。

[尝试解答] (1）证明:如图连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD于P，F，H.

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

则有错误!＝错误!＝错误!＝2，连接PF，FH，PH，

有MN∥PF。又PF 平面ACD,MN 平面ACD，∴MN∥平面ACD,

同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD。

(2)由(1）可知：错误!＝错误!＝错误!，∴MG＝错误!PH。

又PH＝错误!AD,∴MG＝错误!AD。

同理NG＝错误!AC,MN＝错误!CD,

∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3，故S△MNG∶S△ADC＝1∶9.

证明面面平行，转化为证明线面平行,而要证线面平行,转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化,使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．