2017-2018学年高中数学北师大版2学案:第一章立体几何初步1.5平行关系含答案

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2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体学案 北师大版必修2

2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体学案 北师大版必修2

§1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体1.了解柱、锥、台、球的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握简单几何体的分类.3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两个平面平行及直线与平面垂直的概念 阅读教材P 3“1.1 简单旋转体”以上部分,完成下列问题. 1.两个平面平行:称无公共点的两个平面是平行的.2.直线与平面垂直:直线与平面内的任意一条直线都垂直,称为直线与平面垂直.长方体相对的两个侧面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交D.无法确定【解析】 根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行,故选A. 【答案】 A教材整理2 简单的旋转体阅读教材P 3“1.1 简单旋转体”以下至P 4“1.2 简单多面体”以上部分,完成下列问题.1.定义:一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较:下列说法正确的是( )A.直线绕定直线旋转形成柱面B.半圆绕定直线旋转形成球体C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的【解析】直线与定直线平行时,直线绕定直线旋转才形成柱面,故A错误;半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体,故B错误;矩形绕对角线所在直线旋转,不能围成圆柱,故C错误,所以应选D.【答案】 D教材整理3 简单的多面体阅读教材P4“1.2简单多面体”以下至P5部分,完成下列问题.1.简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征下列几何体中,是棱锥的是( )【解析】 由棱锥的定义可知,选B. 【答案】 B[小组合作型]下列叙述中,正确的个数是( )(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥; (2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台; (3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台; (4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转形成的几何体是球. A.0个 B.1个 C.2个D.3个【精彩点拨】 解答时可根据旋转体的概念和性质进行具体分析.【自主解答】 (1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥,故(1)错;(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台,故(2)错;(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,可得到一个圆锥和一个圆台,用不平行于圆锥底面的平面不能得到,故(3)错;(4)正确.【答案】 B1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体,必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程,才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念,进而判断与这些概念有关的命题的正误.[再练一题]1.下列说法正确的是________.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;③在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.下列关于棱锥、棱台的说法:(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.【导学号:39292000】【精彩点拨】根据棱锥、棱台的结构特征判断.【自主解答】 (1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;(2)正确,棱柱的侧面是对边平行的四边形; (3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; (4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; (5)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 【答案】(2)(3)(4)判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法: (1)举反例法:结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:[再练一题]2.给出下列几个结论:①棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点; ②多面体至少有四个面;③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 其中,错误的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个【解析】 ①正确;对于②,一个图形要成为空间几何体,它至少需有四个顶点,因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形,有四个顶点时,易知它可围成四个面,因而一个多面体至少应有四个面,故这样的面必是三角形,所以②是正确的;对于③,棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线,而棱锥的侧棱都有一个公共的点,即棱锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,所以③是正确的.【答案】 A[探究共研型]探究1图1­1­1【提示】 (1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,(4)可看作由两个四棱柱组合而成.探究2 试描述下列几何体的结构特征.图1­1­2【提示】 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.如图1­1­3所示,用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm ,求圆台O ′O 的母线长.图1­1­3【精彩点拨】 过圆锥的轴作截面,利用三角形的相似来解决.【自主解答】 设圆台的母线长为l ,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面,如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ,SA ′=3 cm , ∴SA ′SA =O ′A ′OA ,∴33+l =r 4r =14, 解得l =9(cm), 即圆台的母线长为9 cm.1.识别简单组合体的构成方法:组合体是由简单几何体通过拼接、截去或挖去一部分而形成的,因此,要仔细观察组合体的组成,结合柱、锥、台、球体的几何结构特征,对原组合体进行分割.2.与圆锥有关的截面问题的解决策略:求解有关圆锥的基本量的问题时,一般先画出圆锥的轴截面,得到一等腰三角形,进而可得到直角三角形,将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时,都是通过取其轴截面,化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.[再练一题]3.一个正方体内接于高为40 cm ,底面圆的半径为30 cm 的圆锥中,求正方体的棱长. 【解】 如图,过正方体的体对角线作圆锥的轴截面, 设正方体的棱长为x , 则OC =22x ,∴22x 30=40-x40,解得x =120(3-22),∴正方体的棱长为120(3-22)cm.1.给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知,②④正确,①③错误. 【答案】 D2.下列说法中正确的是( )【导学号:39292001】A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱的侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形【解析】棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.【答案】 A3.下面几何体的截面一定是圆面的是( )A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【解析】无论用怎样的平面去截球,是圆面.【答案】 C4.________.【解析】设正三角形的边长为a=2.由于圆锥的高即为圆锥的轴=3,圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边,A′B′C′D′,E、F分别为棱A′B′,C′D′上的图1­1­4【解】截面BCFE上方部分是棱柱,为棱柱BEB′­CFC′,其中△BEB′和△CFC′是底面.截面BCFE下方部分也是棱柱,为棱柱ABEA′­DCFD′,其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.。

高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质2

高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质2


4
5


=

.

=
反思解决已知两个平面平行的问题时,通常用到面面平行的性质.
面面平行是平行中的“最高级”,利用面面平行的性质“降低”其档次,
即转化为线面平行或线线平行.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求
PD的长.


解:仿照例 2 易证得 AC∥BD,∴ = ,
∴四边形MNPQ为平行四边形.
题型一
题型二
题型三
题型二
面面平行性质的应用
【例2】 如图所示,已知α∥β,P是平面α,β外的一点(不在α与β之
间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β,
题型一
线面平行性质的应用
【例1】 已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β.
求证:a∥l.
分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利
用平行公理证明.
证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b.
∵a∥α,∴a∥b.
过a作平面δ交平面β于c.
∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c.
又b⊈β,c⫋β,∴b∥β.
又四边形A1B1C1D1是平行四边形,
∴A1B1∥C1D1,从而AB∥CD.
同理BC∥AD,故四边形ABCD是平行四边形.
1
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5.有一块木料如图所示,已知棱BC平行于面A'B'C'D',要经过木料表

2017-2018学年高中数学必修2教学案(北师大)第一章5平行关系Word版含解析

2017-2018学年高中数学必修2教学案(北师大)第一章5平行关系Word版含解析

②两条相交直线 a, b 都与平面 β平行,即 a∥ β, b∥ β.
(2) 体现了转化思想:将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.
(3) 此定理可简记为:线面平行
? 面面平行. [小试身手 ]
1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√” ,错误的打“×” ) (1) 平面 α内有无数条直线与平面 β平行,则 α∥ β.( ) (2) 若直线 l 上有无数个点都在平面 α外,则直线 l∥ α.( ) (3) 过平面 α外一点 P 只能作一条直线与平面 α平行. ( ) 答案 : (1)× (2)× (3) ×
层级一 学业水平达标
1.能保证直线 a 与平面 α平行的条件是 ( ) A. b α, a∥ b
B. b α, c∥ α, a∥ b, a∥ c C. b α, A, B∈ a, C, D∈ b,且 AC∥ BD
D. a α, b α, a∥ b 解析: 选 D 由线面平行的判定定理可知,
D 正确.
平行关系
5. 1 平行关系的判定
预习课本 P29~ 31, 思考并完成以下问题 (1) 直线与平面平行的判定定理是什么?它的作用是什么?
(2) 平面与平面平行的判定定理是什么?它的作用是什么?
[新知初探 ] 1. 直线与平面平行的判定定理 (1) 文字语言: 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, (2) 符号语言:若 l α, b α, l∥ b,则 l∥ α. (3) 图形语言:如图所示.
2. 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行
3. 平面与平面平行的判定定理 (1) 文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面 平行.
(2) 符号语言:若 a α, b α, a∩b= A,并且 a∥ β, b∥ β,则 α∥ β.

2017-2018学年高中数学北师大必修2教学案:第一章 1 简单几何体 Word版含解析

2017-2018学年高中数学北师大必修2教学案:第一章 1 简单几何体 Word版含解析

简单几何体(1)两个平面平行及直线与平面垂直的概念是什么?(2)旋转体、多面体的定义是什么?它们有何区别?(3)常见的旋转体与多面体有哪些?它们各具有哪些特点?无公共点的两个平面平行.2.直线与平面垂直直线与平面内的任意一条直线都垂直,则直线与平面垂直.3.旋转体与多面体4.常见的旋转体及概念(2)圆柱的母线互相平行,圆锥的母线相交于圆锥的顶点,圆台的母线延长后相交于一点.5.常见的多面体及相关概念(1)棱柱①定义要点:(ⅰ)两个面互相平行;(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.②相关概念:底面:两个互相平行的面.侧面:除底面外的其余各面.侧棱:两个侧面的公共边.顶点:底面多边形与侧面的公共顶点.③记法:如三棱柱ABC-A1B1C1.④分类及特殊棱柱:(ⅰ)按底面多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、五棱柱、…(ⅱ)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.(ⅲ)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱.(2)棱锥①定义要点:(ⅰ)有一个面是多边形;(ⅱ)其余各面是三角形;(ⅲ)这些三角形有一个公共顶点.②相关概念:底面:除去棱锥的侧面余下的那个多边形.侧面:除底面外的其余三角形面.侧棱:两个侧面的公共边.顶点:侧面的公共顶点.③记法:如三棱锥S-ABC.④分类及特殊棱锥:(ⅰ)按底面多边形的边数分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥、…(ⅱ)正棱锥:底面是正多边形,各侧面全等的棱锥.(3)棱台①定义要点:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分.②相关概念:上底面:原棱锥的截面.下底面:原棱锥的底面.侧棱:相邻的侧面的公共边.顶点:侧面与底面的公共顶点.③记法:如三棱台ABC-A1B1C1.④分类及特殊棱台:(ⅰ)按底面多边形的边数分,有三棱台、四棱台、五棱台、…(ⅱ)正棱台:由正棱锥截得的棱台.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两个平面平行,则两个平面的公共点个数为0.()(2)多面体是一个“封闭”的几何体,但不包括它的内部部分.()(3)棱柱的侧面不一定都是平行四边形.()(4)棱柱的各侧棱长相等.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2.下列几何体中是旋转体的是()①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.A.①⑤B.①C.③④D.①④答案:D3.圆柱的母线长为10,则其高等于()A.5 B.10C.20 D.不确定答案:B4.下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台答案:C[典例]以下对于几何体的描述,错误的是()A.NBA决赛中使用的篮球不是球体B.一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥C.用平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台D.以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱[解析]根据球的定义可知A正确.由圆锥的定义知B正确.当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台,故C错误.由圆柱的定义知D正确.[答案] C1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.2.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.[活学活用]判断下列各命题是否正确.(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线;(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;(3)圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.解:(1)错误.由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.(2)错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.(3)正确.(4)错误.应为球面.简单多面体的概念[典例](1)下列关于多面体的说法正确的个数为________.①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③底面是正三角形,且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥;④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点;⑤棱柱的每一个面都不会是三角形.(2)如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?②用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由.(提示:可以证明BC綊MN) [解析](1)①中两个四棱柱放在一起,如图所示,能保证每个面都是平行四边形,但并不是棱柱.故①错.②中棱台的侧面一定是梯形,不可能为平行四边形,②正确.根据棱锥的概念知③正确;根据棱台的概念知④正确.棱柱的底面可以是三角形,故⑤不正确;正确的个数为3.答案:3(2)解:①长方体是棱柱,是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义.②用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法:结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:[活学活用]下列说法正确的是()A.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B.两底面平行,并且各侧棱也平行的几何体是棱柱C.棱锥的侧面可以是四边形D.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面解析:选B A中所有侧棱不一定交于一点,故A不正确.B正确.C中棱锥的侧面一定是三角形,故C不正确.D中棱柱的侧面也可能平行,故D不正确.[典例][解]图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.识别组合体的要求(1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.[活学活用]如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?解:旋转后的图形分别如图①②所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.层级一学业水平达标1.下列几何体中棱柱有()A.5个B.4个C.3个D.2个解析:选D由棱柱定义知,①③为棱柱.2.下面有关棱台说法中,正确的是()A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B.棱台的所有侧面都是梯形C.棱台的侧棱长必相等D.棱台的上下底面可能不是相似图形解析:选B由棱台的结构特点可知,A、C、D不正确.故B正确.3.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长一定等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心解析:选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确,只有D正确.4.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是()A.四边形B.三角形C.三角形或四边形D.不可能为四边形解析:选C如果截面截三棱锥的三条棱,则截面形状为三角形(如图①),如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②).5.观察下图所示几何体,其中判断正确的是()A.①是棱台B.②是棱锥C.③是棱锥D.④不是棱柱解析:选C①中互相平行的两个平面四边形不相似,所以侧棱不会相交于一点,不是棱台.②侧面三角形无公共顶点,不是棱锥.③是棱锥,正确.④是棱柱.故选C.6.若一个棱台共有21条棱,则这个棱台是________棱台.解析:由棱台的概念可知,棱台的上下底面为相似多边形,边数相同;侧面为梯形,侧面个数与底面多边形边数相同,可知该棱台为七棱台.答案:七7.给出下列说法:(1)圆柱的底面是圆面;(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;(3)圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体,其中说法正确的是________.解析:(1)正确,圆柱的底面是圆面;(2)正确,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;(3)不正确,圆台的母线延长一定相交于一点;(4)不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.答案:(1)(2)8.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.解析:由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.答案:四棱柱9.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.解:(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台.(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥.(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱.(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱.10.指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的.解:图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.层级二应试能力达标1.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析:选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致,故不能围成棱柱.2.如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖出一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体解析:选B圆旋转一周形成球,圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱,所以选B.3.下列命题:①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;②在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;③圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.③解析:选C②所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.①③符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.4.给出以下说法:①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长;②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长;③用一个平面截一个球,得到的截面可以是一个正方形;④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形.其中正确说法的序号是________.解析:根据球的定义知,①正确;②不正确,因为球的直径必过球心;③不正确,因为球的任何截面都是圆;④正确.答案:①④5.一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分,第六个正方形在编号1~5的适当位置,则所有可能的位置编号为________.解析:将展开图还原为正方体,当第六个正方形在①④⑤的位置时,满足题意.答案:①④⑤6.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则在图中,可能是截面的是________.解析:在组合体内取截面时,要注意交点是否在截面上,如:当截面过对角面时,得(2);当截面平行正方体的其中一个侧面时,得(3);当截面不平行于任一侧面且不过对角面时,得(1),只要是过球心就不可能截出截面(4).答案:(1)(2)(3)7.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征.解:如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解:圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm,延长AA1交OO1的延长线于S,在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°,所以SO=AO=3x,SO1=A1O1=x,所以OO1=2x.又S轴截面=12(6x+2x)·2x=392,所以x=7.所以圆台的高OO1=14(cm),母线长l=2OO1=142(cm),两底面半径分别为7 cm,21 cm.。

高中数学北师大版必修2课件:第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质

高中数学北师大版必修2课件:第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质
所以PQ∥DF,故四边形PQDF是一个梯形.
又DF∥B1C1,DF⊈平面AB1C1,B1C1⫋平面AB1C1,
所以DF∥平面AB1C1.
同理,PF∥平面AB1C1.
探究一
探究二
易错辨析
又PF∩DF=F,所以平面PQDF∥平面AB1C1.
故点E的集合是线段PQ.
探究一
探究二
易错辨析
在立体几何证明中错套平面几何定理而致误

答案:D
1
2
3
4
5
3.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交平
面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=
.


解析:∵a∥α,α∩平面 ABD=EG,∴a∥EG,即 BD∥EG,∴ = + ,
·
5×4
则 EG=+ = 5+4 =
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1.
因为AB1⫋平面AB1C1,EF⊈平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE⫋平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.
探究一
探究二
易错辨析
延伸探究若在△ABC内找一点E呢?点E只有一个吗?若只有一个,
A.平面α内有且只有一条直线与a平行
B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内不存在与a平行的直线
D.平面α内任一条直线都与a平行
答案:B
)
1
2
3
4
5
2.若平面α∥平面β,a⫋α,b⫋β,则a与b一定是(

2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册学案

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2017-2018学年高中数学北师大版必修2全册同步学案目录第一章1简单几何体第一章2直观图第一章3三视图第一章4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)第一章4.2 空间图形的公理(二)第一章5.1平行关系的判定第一章5.2平行关系的性质第一章6.1垂直关系的判定第一章6.2垂直关系的性质第一章7.1简单几何体的侧面积第一章7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积第一章7.3球的表面积和体积第一章疑难规律方法第一章章末复习课第二章1.1直线的倾斜角和斜率第二章1.2 第1课时直线方程的点斜式第二章1.2 第2课时直线方程的两点式和一般式第二章1.3两条直线的位置关系第二章1.4两条直线的交点第二章1.5 第1课时两点间的距离公式第二章1.5 第2课时点到直线的距离第二章2.1圆的标准方程第二章2.2圆的一般方程第二章2.3 第1课时直线与圆的位置关系第二章2.3 第2课时圆与圆的位置关系第二章3.1空间直角坐标系的建立 3.2空间直角坐标系中点的坐标第二章3.3空间两点间的距离公式第二章疑难规律方法第二章章末复习课(一)第二章章末复习课(二)学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质.知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念思考1如何定义两平面平行?思考2如何判定直线与平面垂直?梳理(1)________________的两个平面平行.(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直,则这条直线与这个平面垂直.知识点二旋转体与多面体知识点三常见的旋转体及概念思考1以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗?思考2能否由圆锥得到圆台?梳理记作:球O 球面:以_______线为旋转轴,将半圆________面.球体:球面所围成的几何体叫作球体,简称球记作:圆柱OO′以直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的的几何体叫作圆柱记作:圆锥OO′以直角三角形的__________直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的的几何体叫作圆锥记作:圆台OO′以直角梯形_____________在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的所围成的几何体叫作圆台特别提醒:(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面.(2)圆柱的母线互相平行,圆锥的母线相交于圆锥的顶点,圆台的母线延长后相交于一点.知识点四常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体,试指明其类别.梳理(1)棱柱①定义要点:(ⅰ)两个面________________;(ⅱ)其余各面都是________________;(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________.②相关概念:底面:两个________________的面.侧面:除底面外的其余各面.侧棱:相邻______________的公共边.顶点:底面多边形与________的公共顶点.③记法:如三棱柱ABC-A1B1C1.④分类及特殊棱柱:(ⅰ)按底面多边形的边数分,有____________________、________________、________________、…….(ⅱ)直棱柱:侧棱________于底面的棱柱.(ⅲ)正棱柱:底面是________________的直棱柱.(2)棱锥①定义要点:(ⅰ)有一个面是________________;(ⅱ)其余各面是三角形;(ⅲ)这些三角形有一个________________.②相关概念:底面:除去棱锥的侧面余下的那个________________.侧面:除底面外的其余__________面.侧棱:相邻两个________的公共边.顶点:________的公共顶点.③记法:如三棱锥S-ABC.④分类及特殊棱锥:(ⅰ)按底面多边形的边数分,有________、__________、__________、……,(ⅱ)正棱锥:底面是______________,且各侧面________的棱锥.(3)棱台①定义要点:用一个______________________的平面去截棱锥,________与________之间的部分.②相关概念:上底面:原棱锥的________.下底面:原________的底面.侧棱:相邻的________的公共边.顶点:________与底面的公共顶点.③记法:如三棱台ABC-A1B1C1.④分类及特殊棱台:(ⅰ)按底面多边形的边数分,有____________________、________________、________________、……,(ⅱ)正棱台:由________________截得的棱台.类型一旋转体的概念例1下列命题正确的是________.(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球;⑥用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列命题:①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个;②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段.其中正确的个数为()A.0 B.1C.2 D.3类型二多面体及其简单应用例2(1)下列关于多面体的说法正确的个数为________.①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③底面是正三角形,且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥;④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点;⑤棱柱的每一个面都不会是三角形.(2)如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?②用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由.(提示:可以证明BC綊MN)引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱,能截出三棱锥吗?反思与感悟(1)棱柱的识别方法①两个面互相平行.②其余各面都是四边形.③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形.②其余各面都是有一个公共顶点的三角形.③棱锥仅有一个顶点,它是各侧面的公共顶点.④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体,又称四面体.它的每一个面都可以作为底面.(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体.(ⅲ)正棱锥有以下性质:侧面是全等的等腰三角形,顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直.(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行.②各侧棱延长交于一点.跟踪训练2下列说法正确的是()A.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B.两底面平行,并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C.棱锥的侧面可以是四边形D.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面1.下列几何体中棱柱有()A.5个B.4个C.3个D.2个2.关于下列几何体,说法正确的是()A.图①是圆柱B.图②和图③是圆锥C.图④和图⑤是圆台D.图⑤是圆台3.下面有关棱台说法中,正确的是()A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B.棱台的所有侧面都是梯形C.棱台的侧棱长必相等D.棱台的上下底面可能不是相似图形4.等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是() A.圆台B.圆锥C.圆柱D.球5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的母线长为________.1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可:①有两个平面(底面)互相平行;②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.(2)棱锥的定义有以下两个要点,缺一不可:①有一个面(底面)是多边形;②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台.答案精析问题导学知识点一思考1两平面无公共点.思考2直线和平面内的任何一条直线都垂直.梳理(1)无公共点(2)任何一条直线知识点二平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点三思考1不是.以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半,不是整个圆锥.思考2用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到.梳理半圆的直径曲面圆心球面球心矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴知识点四思考(1)五棱柱;(2)四棱锥;(3)三棱台.梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥题型探究例1④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台;③它们的底面为圆面;④⑤⑥正确.跟踪训练1 C例2 3解析①中两个四棱柱放在一起,如下图所示,能保证每个面都是平行四边形,但并不是棱柱.故①错;②中棱台的侧面一定是梯形,不可能为平行四边形,②正确;根据棱锥的概念知,③正确;根据棱台的概念知,④正确;棱柱的底面可以是三角形,故⑤错.正确的个数为3.(2)解①长方体是棱柱,是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义.②用平面BCNM把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1,其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.引申探究解如图,几何体B-A1B1C1就是三棱锥.跟踪训练2B[A中所有侧棱不一定交于一点,故A不正确;B正确;C中棱锥的侧面一定是三角形,故C不正确;D中棱柱的侧面也可能平行,故D不正确.]当堂训练1.D[由棱柱的定义知,①③为棱柱.]2.D[由旋转体的结构特征知,D正确.]3.B[由棱台的结构特征知,B正确.]4.B[中线AD⊥BC,左右两侧对称,旋转体为圆锥.]5.2解析如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知,圆锥的母线长即为△ABC的边长,且S△ABC=34AB2,∴3=34AB2,∴AB=2.故答案为2.学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点斜二测画法思考1边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下,在直观图中,A′B′与C′D′有何关系?A′D′与B′C′呢?在原图与直观图中,AB与A′B′相等吗?AD与A′D′呢?思考2正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图如图所示,在此图形中各个面都画成正方形了吗?梳理(1)水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则:①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy,画直观图时,它们分别对应x′轴和y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=________,它们确定的平面表示________________.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度______;平行于y轴的线段,长度为原来的________.(2)立体图形直观图的画法类型一水平放置的平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形,其直观图如何?反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系,使画直观图非常简便.(2)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键之一,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1 用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图.类型二 直观图的还原与有关计算 命题角度1 由直观图还原平面图形例2 如图所示,△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键:(1)平行x ′轴的线段长度不变,平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x ′轴,y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴,y ′轴的平行线变换确定其在xOy 中的位置.跟踪训练2 如图所示,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′=6 cm ,C ′D ′=2 cm ,则原图形是________. 命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示,梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥O ′y ′,A 1B 1∥C 1D 1,A 1B 1=23C 1D 1=2,A 1D 1=O ′D 1=1.试画出原四边形的形状,并求出原图形的面积.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际图形中的高,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S ,它的直观图面积为S ′,则S ′=24S .跟踪训练3 如图所示,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′,若O ′B ′=1,那么原三角形ABO 的面积是( ) A.12 B.22C. 2D .2 2类型三 空间几何体的直观图例4 画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.反思与感悟 简单几何体直观图的画法 (1)画轴:通常以高所在直线为z 轴建系.(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图.跟踪训练4 用斜二测画法画棱长为2 cm 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的直观图.1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,图中正确的是()2.下列关于直观图的说法不正确的是()A.原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y′轴,长度不变B.原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x′轴,长度不变C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′可以画成45°D.在画直观图时,由于选轴的不同所画的直观图可能不同3.若一个三角形采用斜二测画法,得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24倍B.2倍 C.22倍 D.2倍4.如图,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′,已知A′C′=6,B′C′=4,则AB边的实际长度是________.5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸:上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm)1.画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定直观图的顶点.确定点的位置,可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键,常利用图形的对称性,并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住:“一斜”、“二测”两点:(1)一斜:平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴,在直观图中画成O′x′、O′y′轴,使∠x′O′y′=45°.(2)二测:在直观图中平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度取一半,记为“横不变,纵折半”.答案精析问题导学 知识点思考1 A ′B ′∥C ′D ′,A ′D ′∥B ′C ′,A ′B ′=AB ,A ′D ′=12AD .思考2 没有都画成正方形.梳理 (1)①45° 水平平面 ②平行 ③不变 12(2)z ′轴 平行性及长度相等 平面x ′O ′y ′ y ′O ′z ′ x ′O ′z ′ 题型探究 例1 解 画法:(1)在已知的直角梯形OBCD 中,以底边OB 所在直线为x 轴,垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.画出相应的x ′轴和y ′轴,使∠x ′O ′y ′=45°,如图(1)(2)所示;(2)在x ′轴上截取O ′B ′=OB ,在y ′轴上截取O ′D ′=12OD ,过点D ′作x ′轴的平行线l ,在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′=DC .连接B ′C ′,如图(2); (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图,如图(3).引申探究 解 画法:(1)如图所示,取AB 所在直线为x 轴,AB 中点O 为原点,建立直角坐标系,画出对应的x ′轴和y ′轴,使∠x ′O ′y ′=45°;(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′=AB ,在y 轴上取O ′E ′=12OE ,以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴,并使C ′D ′=CD ;(3)连接B ′C ′,D ′A ′,所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.跟踪训练1 解 画法:(1)如图①所示,以BC 边所在的直线为x 轴,以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy .(2)画出对应的x ′轴、y ′轴,使∠x ′O ′y ′=45°.在x ′轴上截取O ′B ′=O ′C ′=2 cm ,在y ′轴上截取O ′A ′=12OA ,连接A ′B ′,A ′C ′,则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图,如图②所示. 例2 解 画法:(1)画出直角坐标系xOy ,在x 轴的正方向上取OA =O ′A ′,即CA =C ′A ′;(2)过点B ′作B ′D ′∥y ′轴,交x ′轴于点D ′,在OA 上取OD =O ′D ′,过点D 作DB ∥y 轴,且使DB =2D ′B ′; (3)连接AB ,BC ,得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形,如图所示.跟踪训练2 菱形解析 如图所示,在原图形OABC 中,应有OD =2O ′D ′=2×22=4 2 cm ,CD =C ′D ′=2 cm ,∴OC =OD 2+CD 2=(42)2+22=6(cm),∴OA =OC ,故四边形OABC 是菱形.例3 解 如图,建立直角坐标系xOy ,在x 轴上截取OD =O ′D 1=1,OC =O ′C 1=2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA =2D 1A 1=2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB =A 1B 1=2. 连接BC ,即得到了原图形.由作法可知,原四边形ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为AB =2,CD =3,直角腰的长度AD =2,所以面积为S =2+32×2=5.跟踪训练3 C 例4 解 画法:(1)画轴.画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴,使∠xOy =45°(或135°),∠xOz =90°,如图①.(2)画底面,以O 为中心在xOy 平面内,画出正方形直观图ABCD . (3)画顶点.在Oz 轴上截取OP 使OP 的长度是原四棱锥的高.(4)成图.顺次连接P A ,PB ,PC ,PD ,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图如图②. 跟踪训练4 解 画法:(1)画轴.如图①,画x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点O ,使∠xOy =45°,∠xOz =90°. (2)画底面.以点O 为中心,在x 轴上取线段MN ,使MN =2 cm ;在y 轴上取线段PQ ,使PQ =1 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线,过点P 和Q 作x 轴的平行线,设它们的交点分别为A ,B ,C ,D ,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD .(3)画侧棱.过A ,B ,C ,D 各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上沿Oz 轴方向分别截取2 cm 长的线段AA ′,BB ′,CC ′,DD ′.(4)成图.顺次连接A ′,B ′,C ′,D ′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得到正方体的直观图(如图②).当堂训练1.C 2.A 3.A 4.105.解画法:(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC,其中O为△ABC的重心,BC=2 cm,线段AO与x轴的夹角为45°,AO=2OD.(2)过O作z轴,使∠xOz=90°,在Oz轴上截取OO′=2 cm,作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′,其中B′C′=1 cm,连接AA′,BB′,CC′,得正三棱台的直观图.学习目标 1.理解三视图的概念,能画出简单空间图形的三视图.2.了解简单组合体的组成方式,会画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型.知识点一组合体1.定义:由__________________形成的几何体叫作组合体.2.基本形式:有两种,一种是将基本几何体________成组合体;另一种是从基本几何体中______或______部分构成组合体.知识点二空间几何体的三视图思考对于一般的物体,三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)?哪些数量(长、宽、高)?梳理(1)三视图的概念三视图包括__________(又称__________)、__________,左视图(侧视图通常选择________,简称__________).(2)三视图的画法规则①________视图反映物体的长度——“____________”.②________视图反映物体的高度——“____________”.③________视图反映物体的宽度——“____________”.(3)绘制三视图时的注意事项①在绘制三视图时,需要画出所有的轮廓线,其中,视线所见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.②同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.③三视图的摆放规则:左视图放在主视图的右面,俯视图放在主视图的正下方.类型一简单几何体的三视图例1(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为()(2)画出如图所示的几何体的三视图.反思与感悟(1)观察立体图形时,要选择在某个方向上“平视”,用目光将立体图形“压缩”成平面图形,这样就得到了三视图.注意三视图的排列规则和虚、实线的确定.一般地,几何体的轮廓线中能看到的画成实线,不能看到的画成虚线.(2)画简单组合体的三视图,要注意从三个方向观察几何体的轮廓线,还要搞清楚各简单几何体之间的组接位置,其组接的交线往往又是简单组合体的轮廓线,被挡住的要画成虚线.跟踪训练1如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.类型二由三视图还原成实物图例2(1)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是()(2)根据以下三视图想象物体原形,并画出物体的实物草图.反思与感悟(1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体.若主视图和左视图为矩形,则原几何体为柱体;若主视图和左视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若主视图和左视图为等腰梯形,则原几何体为台体.(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体,若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.跟踪训练2(1)已知如图所示的三视图,则该几何体是什么?它的高与底面面积分别是多少?(尺寸的长度单位为m)(2)如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成.1.如图所示,甲、乙、丙是三个几何体的三视图,则下列甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱.A.④③②B.②①③C.①②③D.③②④2.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的三视图为()3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()4.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为等边三角形)的主视图是边长为4的正方形,则此正三棱柱的左视图的面积为()A.8 3 B.4 3C.2 3 D.165.有一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高和底面边长分别为________.1.三视图是指主视图、左视图和俯视图,画图时应遵循“长对正、高平齐、宽相等”或“主俯一样长,主左一样高,俯左一样宽”的原则,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,重叠的线只画一条,不可见轮廓线要用虚线画出.2.空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质,由空间几何体可画出它的主视图,同样由三视图可以想象出空间几何体的形状,两者之间的相互转化,可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力.答案精析问题导学知识点一1.基本几何体2.拼接切掉挖掉知识点二思考主视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映物体的长度和宽度;左视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映物体的高度和宽度.梳理(1)主视图正视图俯视图左侧视图左视图(2)①主、俯长对正②主、左高平齐③俯、左宽相等题型探究例1B[依题意,左视图中棱的方向是从右下角到左上角,故选B.](2)解题图①是一个圆柱和一个长方体的组合体,按照圆柱、长方体的三视图画法画出它们的组合体的三视图,如图(1);题图②为球与圆台的组合体,其三视图如图(2).跟踪训练1解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.例2D[A、B选项中的主视图不符合要求,C选项中的俯视图显然不符合要求,故选D.] (2)解此几何体上面可以为圆台,下面可以为圆柱,所以实物草图如图.。

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步章末温习课学案北师大版必修2

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步章末温习课学案北师大版必修2
证明:(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
反思与感悟 (1)两条异面直线彼此垂直的证明方式
①概念;
②线面垂直的性质定理.
(2)直线和平面垂直的证明方式
①线面垂直的判定定理;
②面面垂直的性质定理.
(3)平面和平面彼此垂直的证明方式
①概念;
②面面垂直的判定定理.
跟踪训练3 如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.
①曲面化平面,如几何体的侧面展开,把曲线(折线)化为线段.
②等积变换,如三棱锥转移极点等.
③复杂化简单,把不规那么几何体通过度割,补体化为规那么的几何体等.
3.四个公理
公理1:若是一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在那个平面内.
公理2:过________________________的三点,有且只有一个平面.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F,AF平面AFC,OF平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
跟踪训练2 证明 (1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,因此BC⊥平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M,
(2)面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β,aβ
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
(3)空间中的平行关系的内在联系
6.垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直
图形
条件
结论

2017-2018学年高中数学北师大版必修2学案 :第一章 立体几何初步 1-1简单几何 含答案 精品

2017-2018学年高中数学北师大版必修2学案 :第一章 立体几何初步 1-1简单几何 含答案 精品

第1课时简单旋转体[核心必知]几种简单旋转体[问题思考]1.铅球和乒乓球都是球吗?提示:铅球是球,乒乓球不是球,铅球是实心球,符合球的定义,乒乓球是空心球,不符合球的定义.2.圆台的母线一定交于一点吗?提示:圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的.因此圆台的母线一定交于一点.3.你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗?提示:圆柱、圆锥、圆台的形状不同,它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化.当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台转化为圆柱,当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.讲一讲1.下列叙述正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台;③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.A.0 B.1 C.2 D.3[尝试解答] 解析:选A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥,以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1,故①错;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台,以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2,故②错;③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球,故③错.对旋转体定义的理解要准确,认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同,判断时要抓住几何体的结构特征,认真分析、对比判别.练一练1.下列命题正确的是( )A.过圆锥侧面上一点有无数条母线B.在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C.圆台的母线有无数条,它们都互相平行D.以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴,将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析:选D A不正确,当该点不在顶点处时,只有一条母线;B不正确,因为所有母线都是直线段;C不正确,因为所有母线延长后相交于一点;D正确,符合圆台的结构特征.讲一讲2.如图,请描述(1),(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面.[尝试解答] 解:(1)旋转形成的几何体是一个圆环,形成的曲面是一个封闭的圆环曲面,形如自行车的轮胎.(2)旋转形成的几何体是一个球,形成的曲面是一个球面.(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状,应根据平面图形的特点判断.(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的,关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的,然后通过轴截面的形状作出判断.练一练2.若将例题中图形改为如图所示,形成的几何体又是怎样的呢?解:旋转而成的几何体如图所示.用一个平面去截圆柱,截面是什么图形?[错解] 截面是圆.[错因] 本题错解原因有两个:一是截面与底面的位置关系考虑不全面;二是没有真正把握圆柱是一种几何体,而几何体是封闭的实体.[正解] 如图所示,截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面.1.给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )A.①② B.②③C.①③ D.②④解析:选D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知,②④正确,①③错误.2.截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )A.圆柱 B.圆锥C.球 D.圆台解析:选C 由球的性质可知,用平面截球所得的截面都是圆面.3.有下列三个命题:①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;③圆锥的轴截面是等腰三角形.其中错误命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱.②圆台的两条母线的延长线必相交,故①②错误,③是正确的.4.过球面上两点可能作出的球的大圆有____________.解析:若两个点与圆心不共线,则有且只有1个,若两个点与圆心共线,则有无数个.答案:一个或无数个5.平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________.答案:圆面6.如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到?画出平面图形和旋转轴.解:先画出几何体的轴,然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下:一、选择题1.给出以下说法:①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变),圆台就变成了圆锥;②球面就是球;③过空间四点总能作一个球.其中正确说法的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确;球面是曲面,球是球体的简称,是实心的几何体,故②不正确;当空间四点在同一条直线上时,过这四点不能作球,故③不正确.2.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A.一个圆台和两个圆锥B.两个圆台和一个圆锥C.两个圆柱和一个圆锥D.一个圆柱和两个圆锥解析:选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体.3.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析:选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥,因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成,并且上面应是直角三角形,下面应是直角梯形.4.以下几何体中符合球的结构特征的是( )A.足球 B.篮球C.乒乓球 D.铅球解析:选D 因为球包括球面及球体内部(即实心).而足球、篮球、乒乓球都是中空的,可视为球面,铅球是球体,符合球的结构特征.5.如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是( )A .(1)(2)B .(1)(3)C .(1)(4)D .(1)(5)解析:选D 轴截面为(1),平行于圆锥轴截面的截面是(5). 二、填空题6.直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成. 解析:所得旋转体如图,是由两个圆锥组成的.答案:两个圆锥 7.给出下列四个命题:①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体; ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ③通过圆台侧面上一点,有无数条母线. 其中正确命题的序号是________.解析:①错误,没有说明这两个平行截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则结论是错误的,如图(1).②正确,如图(2).③错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线,如图(3).答案:②8.圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ,母线长是310 cm ,则它的轴截面的面积是______. 解析:画出轴截面,如图,过A 作AM ⊥BC 于M ,则BM =5-2=3(cm),AM =AB 2-BM 2=9(cm),∴S 四边形ABCD =+2=63(cm 2).答案:63 cm 2三、解答题9.如图,将曲边图形ABCDE 绕AE 所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的?其中CD ∥AE ,曲边DE 为四分之一圆周且圆心在AE 上.解:将直线段AB,BC,CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转,如下图中的左图所示,它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球.10.如图所示的四个几何体中,哪些是圆柱与圆锥,哪些不是,并指出圆柱与圆锥的结构名称.解:②是圆锥,圆面AOB是圆锥的底面,SO是圆锥的高.SA,SB是圆锥的母线.③是圆柱,圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面.O′O为圆柱的高,A′A与B′B 为圆柱的母线.①不是圆柱,④不是圆锥.第2课时简单多面体[核心必知]1.简单多面体的定义把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.2.几种常见的简单多面体续表[问题思考]1.如图所示的几何体是不是锥体,为什么?提示:不是锥体.因为锥体的各侧棱必交于一点,而此物体不具备这一特征,所以不是锥体.2.“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗?提示:棱锥有一个面是多边形,其余各面都是三角形.但是也要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥,如图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥.讲一讲1.给出下列几个结论:①长方体一定是正四棱柱;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点;③多面体至少有四个面;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中,错误的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3[尝试解答] 选B 对于①,长方体的底面不一定是正方形,故①错,②显然是正确的;对于③,一个图形要成为空间几何体,至少需有四个顶点.当有四个顶点时,易知它可围成四个面,因而一个多面体至少应有四个面,而且这样的面必是三角形,故③是正确的;对于④,棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线,而棱锥的侧棱都有一个公共的点,即棱锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故④是正确的.认识、判断一个几何体的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清其属性.练一练1.下列命题中正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等解析:选C A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征,对于D,由棱柱的结构特征知侧棱都相等,一个最简单的棱柱是三棱柱,有五个面、六个顶点、九条棱.讲一讲2.如图几何体中,四边形AA1B1B为边长为3的正方形,CC1=2,CC1∥AA1,CC1∥BB1,请你判断这个几何体是棱柱吗?若是棱柱,指出是几棱柱.若不是棱柱,请你试用一个平面截去一部分,使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱,并指出截去的几何体的特征,在立体图中画出截面.[尝试解答] ∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面,∴这个几何体不是棱柱.在四边形ABB1A1中,在AA1上取点E,使AE=2;在BB1上取点F,使BF=2;连接C1E,EF,C1F,则过点C1,E,F的截面将几何体分成两部分,其中一部分是棱柱ABC­EFC1,其侧棱长为2;截去的部分是一个四棱锥C1­EA1B1F,如图.认识一个几何体,要看它的结构特征,并且要结合它的面的具体形状,棱与棱之间的关系,分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体,并能用适当的平面将其分割开.练一练2.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥组合体D.不能确定解析:选A 将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面,其他面作为棱柱的侧面来看待,正好符合棱柱的结构特征.3.如图是一个矩形的游泳池,池底为一斜面,装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成?解:该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①);也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②).有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,由这些面围成的几何体是棱柱吗?[错解] 因为棱柱的两个底面平行,其余各面都是平行四边形,所以所围成的几何体是棱柱.[错因] 棱柱的定义是这样的:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱.显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱.定义都是非常严格的,只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现.这提醒我们必须严格按照定义判定.[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱,如图所示.1.下列说法正确的有( )①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A.0个B.1个C.2个D.3个解析:选A ①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例(如下图所示)加以检验,故②③均不对.2.棱台不一定具有的性质是( )A.两底面相似 B.侧面都是梯形C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点解析:选C 只有正棱台的侧棱都相等.3.下列几何体中棱柱的个数为( )A.5 B.4 C.3 D.2解析:选D 由棱柱的定义及特征知①③为棱柱.4.用6根长度相等的木棒,最多可以搭成____________个三角形.解析:用三根木棒,摆成三角形,用另外3根木棒,分别从三角形的三个顶点向上搭起,搭成一个三棱锥,共有4个三角形.答案:45.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是________.①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体;②该几何体有12条棱、6个顶点;③该几何体有8个面,并且各面均为三角形;④该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形.解析:用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面,故填④.答案:④6.如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′,E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点,且B′E =C′F,当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由.解:截面BCFE上方部分是棱柱,为棱柱BEB′-CFC′,其中△BEB′和△CFC′是底面.截面BCFE下方部分也是棱柱,为棱柱ABEA′-DCFD′,其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.一、选择题1.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是( )A.四边形B.三角形C.三角形或四边形 D.不可能为四边形解析:选C 如果截面截三棱锥的三条棱,则截面形状为三角形(如图①),如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②).2.若正棱锥的底面边长和侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )A.三棱锥 B.四棱锥C.五棱锥 D.六棱锥解析:选D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等.3.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:选D 如图所示,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,取四棱锥A1­ABCD,则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.4.观察图中四个几何体,其中判断正确的是( )A.(1)是棱台 B.(2)是圆台C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱解析:选C 图(1)不是由棱锥截来的,所以(1)不是棱台;图(2)上下两个面不平行,所以(2)不是圆台;图(4)前后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以(4)是棱柱;很明显(3)是棱锥.5.有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们所有的棱长都相等,把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上,则所得到的这个组合体是( )A.底面为平行四边形的四棱柱B.五棱锥C.无平行平面的六面体D.斜三棱柱解析:选D 如图,正三棱锥A­BEF和正四棱锥B­CDEF的一个侧面重合后,面BCD和面AEF平行,其余各面都是四边形,故该组合体是斜三棱柱.二、填空题6.在正方体上任意选择四个顶点,它们可能是如下各种几何形体的四个顶点,这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号).①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.解析:如图所示,①显然可能;②不可能;③如四面体A′AB′D′满足条件;④如四面体A′BC′D满足条件;⑤如四面体A′ABC满足条件.答案:①③④⑤7.下列四个命题:(1)棱柱的两底面是全等的正多边形;(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;(4)四棱柱的四条体对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中正确的序号是________.解析:(1)棱柱的两底面全等,但不一定是正多边形;(2),(3)都不能保证侧棱与底面垂直;(4)易知对角面是长方形,侧棱与底面垂直,正确.答案:(4)8.用铁丝作一个三角形,在三个顶点分别固定一根筷子,把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形,从而获得一个几何模型,如果筷子长度相等,那么这个几何体可能是____________.解析:在该模型中已知一面为三角形,则根据筷子的位置情况,判断即可.答案:三棱柱或三棱台三、解答题9.指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成.解:分割原图,使它们每一部分都是简单几何体.(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体.(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体.10.画一个三棱台,再把它分成:(1)一个三棱柱和另一个多面体;(2)三个三棱锥,并用字母表示.解:画三棱台一定要利用三棱锥.(1)如图①所示,三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″.(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A′­ABC,B′­A′BC,C′­A′B′C.。

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步5_1平行关系的判定学案北师大版必修2

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步5_1平行关系的判定学案北师大版必修2
∴BE⊥AD,又CD⊥AD,
∴在四边形ABCD中,BE∥CD.
又CD 平面FEB,BE平面FEB,
∴CD∥平面FEB.
在△APD中,EF∥PD,
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD=D,
∴平面PCD∥平面FEB.
5.1 平行关系的判定
学习目标 1.明白得直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并明白其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
知识点一 直线与平面平行的判定定理
试探 如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动进程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与____________________________,则该直线与此平面平行
⇒a∥α
⇒α∥β
类型一 直线与平面平行的判定问题
例1 如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N别离是SA,BD上的点,且 = .
求证:MN∥平面SBC.
引申探讨
本例中假设M,N别离是SA,BD的中点,试证明MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其经常使用方式有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线别离平行,那么α∥β.

2017-2018学年高中数学北师大2教学案:第一章1简单几何体含解析

2017-2018学年高中数学北师大2教学案:第一章1简单几何体含解析

简单几何体预习课本P3~5,思考并完成以下问题(1)两个平面平行及直线与平面垂直的概念是什么?(2)旋转体、多面体的定义是什么?它们有何区别?(3)常见的旋转体与多面体有哪些?它们各具有哪些特点?错误!1.两个平面平行无公共点的两个平面平行.2.直线与平面垂直直线与平面内的任意一条直线都垂直,则直线与平面垂直.3.旋转体与多面体概念定义旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体多面体把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体4.常见的旋转体及概念名称图形及表示定义相关概念球记作:球O 球面:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球体:球面所围成的几何体叫作球体,简称球心:半圆的圆心;球的半径:连接球心和球面上任意一点的线段;球的直径:连接球面上两点并且球过球心的线段圆柱记作:圆柱OO′以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高:在旋转轴上这条边的长度;底面:垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面;侧面:不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面;母线:不垂直于旋转轴的边,无论转到什么位置都圆锥记作:圆锥OO′以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台以直角梯形垂直于底边的腰所在记作:圆台OO′的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台叫作侧面的母线[点睛] (1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面.(2)圆柱的母线互相平行,圆锥的母线相交于圆锥的顶点,圆台的母线延长后相交于一点.5.常见的多面体及相关概念(1)棱柱①定义要点:(ⅰ)两个面互相平行;(ⅱ)其余各面都是四边形;(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都互相平行.②相关概念:底面:两个互相平行的面.侧面:除底面外的其余各面.侧棱:两个侧面的公共边.顶点:底面多边形与侧面的公共顶点.③记法:如三棱柱ABC。

2017-2018版高中数学第一章立体几何初步疑难规律方法学案北师大版必修2

2017-2018版高中数学第一章立体几何初步疑难规律方法学案北师大版必修2

第一章立体几何初步1 揭秘圆柱、圆锥、圆台和球的特征我们把由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.这条定直线叫作旋转体的轴,常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等.1.圆柱有以下三个主要特征(1)圆柱的轴垂直于底面.(2)圆柱的所有母线都相互平行且相等,而且都与圆柱的轴平行.(3)圆柱的母线垂直于底面.2.三类几何体的区别如下表所示底面平行于底面的截面轴截面圆柱有两个、平行且全等与两底面全等矩形圆锥只有一个与底面相似等腰三角形圆台有两个、平行且相似与两底面相似等腰梯形从运动变化的角度来讲,三类几何体的内在联系如图所示.3.球与球面半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面叫作球面,球面所围成的几何体叫作球体,简称球.球面也可看成是空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合.球面仅仅指球的表面,而球不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间,所以球是由半圆面沿其直径旋转而成的封闭的、实心的几何体.球的截面都是圆面.4.圆台应具备以下性质(1)圆台的底面是两个半径不相等的圆,两圆所在的平面互相平行且和轴垂直.(2)平行于底面的截面是圆.(3)母线都相等,各母线延长后相交于一点.例下列说法正确的是( )①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成;②用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆;③在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交.A.①②B.②③C.①③D.②④解析①错,圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中线旋转形成的;②正确;由母线的定义知③错;④正确.所以应选D.答案 D2 学习空间几何体要“三会”一、会辨别例1 下列说法:①一个几何体有五个面,则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱;②若一个几何体有两个面平行,且其余各面均为梯形,则它一定是棱台;③直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥.其中说法正确的个数为________.分析可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断.解析一个几何体有五个面,可能是四棱锥、三棱台,也可能是三棱柱,但不可能是球,所以①错;由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分,所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点,而②中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点,所以②错;③中如绕直角边旋转可以形成圆锥,但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体,所以③错.故填0.答案0评注要准确辨别各种几何体,可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手,当然掌握定义是大前提.二、会折展例2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“Δ”的面的方位是________.分析将平面展开图按要求折叠成正方体,根据方位判断即可.解析将平面展开图折叠成正方体,如图所示,标“Δ”的面的方位应为北.故填北.答案北评注将空间几何体展开成平面图形,或将展开图折叠成空间几何体,在后面的计算或证明中经常用到,应引起重视.解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践.三、会割补例3 如图所示是一个三棱台ABC-A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体,并用字母表示;(2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分,使每一部分都是一个三棱锥.分析(1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形,其余三个面为四边形,且相邻两个四边形的公共边都相互平行;(2)三棱锥要求底面为三角形,且其余各面为有一个公共顶点的三角形.解(1)作A1D∥BB1,C1E∥BB1,连接DE,则三棱柱为A1B1C1-DBE,多面体为ADECC1A1(如图所示).(2)连接A1B,A1C,C1B,就能把三棱台分成三部分,形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1-ABC、三棱锥B-A1B1C1、三棱锥A1-BCC1(如图所示).评注正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提,在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面,将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体,从而可以利用公式求解.3 三视图易错点剖析一、棱锥的视图易出错我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图.实际上,在上述几何体的三视图中,左视图最容易出错,在画这些常见锥体的三视图时,可做出几何体的高线,有了高线的衬托,自然就可以得到正确的三视图.如图,对于正三棱锥P-ABC来说,它的主视图中,从前面向后面看,点B到了点D的位置,点P到了点P′的位置,故主视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D),从左侧向右侧看,点A到了点D的位置,故左视图为△PBD,从上面向下面看,俯视图中,点P到了点O的位置,故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC).如图,对于正四棱锥P-ABCD来说,它的主视图和左视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH,俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD).对于此三视图,左视图和主视图易出错,但有了高线PO的衬托,便可降低出错率.二、画三视图时,没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错作几何体的三视图的过程中,可见的边界轮廓线用实线表示,不可见的边界轮廓线用虚线表示.这一点不能忽视,否则易出错.例1 画出如图所示零件的三视图.错解如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图所示.剖析错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线,画图时应画出其交线. 正解三、不能由三视图还原正确的直观图而出错当已知几何体的三视图,而需要我们去还原成直观图时,要充分关注图形中关键点的投影,重要的垂直关系等,综合三个视图,想象出直观图,然后画出直观图,再通过已知的三视图验证直观图的正确性.例2 如图,通过三视图还原物体的直观图.解通过三视图可以画出直观图,如图所示:注:其中PC为垂直于底面ABCD的直线.变式训练由下面的三视图还原物体的直观图.解 通过三视图可以看出直观图如图所示:注:其中CC 1为垂直于底面ABCD 的直线.4 直观图与原图形的互化知多少在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化,也实现了原图形与直观图的互化.关于两者的互化,关键是要抓住它们之间的转化规则——“斜”和“二测”.“斜”也即是直角坐标系到斜45°坐标系之间的相互转化,“二测”也即是两者在转化时,要做到“水平长不变,垂直倍半化”.现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略. 一、原图形到直观图的转化例1 已知正三角形ABC 的边长为a ,那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 分析 先根据题意,在原图形中建立平面直角坐标系(以AB 所在直线为x 轴,以AB 边上的高所在直线为y 轴),然后完成由原图形到直观图的转化,然后根据直观图△A ′B ′C ′的边长及夹角求解.解析 根据题意,建立如图①所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出其直观图,如图②所示.易知,A ′B ′=AB =a ,O ′C ′=12OC =34a .作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′, 则C ′D ′=22O ′C ′=68a . S △A ′B ′C ′=12A ′B ′·C ′D ′=12a ×68a =616a 2.答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为24∶1.在求解中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位. 二、直观图到原图形的转化例2 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形,得到一个边长为1的正方体,则原来图形的形状是( )解析 由直观图知,原图形在y 轴上的对角线长应为2 2. 答案 A评注 当由直观图向原图形转化时,关键是在直观图中建立斜45°坐标系,有了斜45°坐标系,便可按“斜二测画法”的画图规则逆推回去,而在正方形中建立45°坐标系是很容易的(正方形的对角线与任一边所成的角均为45°),从而实现了由直观图向原几何图形的过渡. 例3 如图所示,四边形ABCD 是一平面图形水平放置的斜二测直观图,在斜二测直观图中,ABCD 是一直角梯形,AB ∥CD ,AD ⊥CD ,且BC 与y 轴平行,若AB =6,DC =4,AD =2,则这个平面图形的实际面积是________.分析 由∠BCx =45°,先计算BC 的长度.解析 由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形,且AB 与CD 的长度不变,仍为6和4,高为42,故平面图形的实际面积为12×(6+4)×42=20 2.答案 20 25 “三共”问题的证法精析一、证明点共线例1 如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于Q .求证:B 、Q 、D 1共线.证明∵D1∈平面ABC1D1,D1∈平面A1D1CB,B∈平面ABC1D1,B∈平面A1D1CB,∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB=BD1.∵A1C∩平面ABC1D1=Q,且A1C平面A1D1CB,∴Q∈平面A1D1CB;而Q∈平面ABC1D1.∴Q在两平面的交线BD1上,∴B、Q、D1共线.评注证明点共线的问题,一般可转化为证明这些点是某两个平面的公共点,这样可根据公理3证明这些点同在两平面的交线上.二、证明线共点例2 如图,△ABC与△A1B1C1三条边对应平行,且两个三角形不全等,求证:三对对应顶点的连线相交于一点.分析要证三线共点,可证其中两条直线有交点,且该交点在第三条直线上.证明由A1B1∥AB,知A1B1与AB可确定平面α.同理C1B1与CB,A1C1与AC可分别确定平面β和γ.又△ABC与△A1B1C1不全等,则A1B1≠AB.若AA1,BB1的交点为P,则P∈AA1,且P∈BB1.又β∩γ=CC1,BB1β,则P∈β;AA1γ,则P∈γ.所以点P在β∩γ的交线上,即P∈CC1,这样点P在AA1,BB1,CC1上,即三对对应顶点的连线相交于一点.评注解决此类问题的一般方法是:先证其中两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上.三、证明线共面例3 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.分析四条直线不共点,但有可能三线共点,或没有三线共点,所以应分两种情况加以证明. 证明分两种情况证明:①有三条直线过同一点,如图,因为A∉l4,所以过A,l4可确定平面α.因为B,C,D∈l4,所以B,C,D∈α.所以ABα,ACα,ADα.因此四条直线l1,l2,l3,l4共面.②任意三条直线都不过同一点,如图.因为l1∩l2=A,所以过l1,l2可以确定平面α.又因为D,E∈l2,B,C∈l1,所以D,E,B,C∈α.由E∈α,B∈α,可得BEα,即l3α.同理可证,l4α.因此四条直线l1,l2,l3,l4共面.评注证明线共面问题,一般有两种方法:一是先由两条直线确定一个平面,再证明第三条直线在这个平面内;二是由其中两条直线确定一个平面α,另两条直线确定一个平面β,再证α,β重合,从而三线共面.6 证明平行问题的三个突破点一、由中点联想三角形的中位线,寻找平行关系例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD1的中点,求证:AD1∥平面BDE.分析要在平面BDE内寻找与AD1平行的直线,由条件E是CD1的中点,易想到利用三角形的中位线来寻找.由于底面ABCD是平行四边形,其对角线的交点就是AC的中点,这样就找到了中位线,从而问题就解决了.证明连接AC,与BD交于点O.因为底面ABCD 是平行四边形, 所以O 是AC 的中点.连接OE ,由于E 是CD 1的中点, 所以OE 是△AD 1C 的中位线. 所以OE ∥AD 1.又OE 平面BDE ,AD 1⃘平面BDE , 所以AD 1∥平面BDE .评注 运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时,不能忽视限制条件:一条直线在平面内,一条直线在平面外,如本题中OE 平面BDE ,AD 1⃘平面BDE ,否则证明不完善. 二、由平行四边形寻找平行关系例2 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上,点M 在B 1C 上,且CM =DN ,求证:MN ∥平面ABB 1A 1.分析 要在平面ABB 1A 1内找一条直线与MN 平行,可根据平行关系作ME ∥BC ,NF ∥AD 来构造平行四边形,从而找到与MN 平行的直线.证明 作ME ∥BC 交BB 1于点E ,作NF ∥AD 交AB 于点F ,连接EF .因为AD ∥BC ,所以NF ∥ME . 因为CM =DN ,BD =B 1C , 所以B 1M =BN . 因为ME BC =B 1M B 1C ,NF AD =BNBD,所以ME =NF .所以四边形MEFN 为平行四边形.所以MN ∥EF . 又MN 平面ABB 1A 1,EF 平面ABB 1A 1, 所以MN ∥平面ABB 1A 1.评注 构造平行四边形的关键在于抓住条件特征,合理引入平行线.一定要注意平行四边形的一条边在要证平面内,其对边为待证直线,如本题中直线EF 与MN . 三、由对应线段成比例寻找平行关系例3 如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,M ,N 分别是PA ,BD 上的点,且PMMA=BNND,求证:MN ∥平面PBC .分析 条件中给出一个比例关系,由此想到运用比例线段在平面PBC 内寻找一条直线与MN 平行.证明 连接AN 并延长,交BC 于点E ,连接PE .在正方形ABCD 内,BC ∥AD , 所以BN ND =NEAN.因为PM MA =BN ND ,所以PM MA =NEAN.所以MN ∥PE .又PE 平面PBC ,MN 平面PBC , 所以MN ∥平面PBC .7 巧用辅助线(面)证明平行关系在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时,从“看到结论想判定定理,看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路,往往要根据定理的条件,通过构造辅助线或辅助面来解决问题.一、作辅助线来解题例1 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱BC ,C 1D 1的中点,求证:EF ∥平面BB 1D 1D .证明 如图,取D 1B 1的中点O ,连接OF ,OB .因为OF 平行且等于12B 1C 1,BE 平行且等于12B 1C 1,所以OF 平行且等于BE , 即四边形OFEB 为平行四边形. 所以EF ∥BO .又EF 平面BB 1D 1D ,BO 平面BB 1D 1D , 所以EF ∥平面BB 1D 1D .评注 将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键是选择或添加适当的直线.而本题通过巧作平行线,利用“有困难,找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一.二、作辅助面来解题例2 如图,已知直线a ∥平面α,直线a ∥平面β,α∩β=b ,求证:a ∥b .分析 要证明线线平行,我们可以通过线面平行,或者面面平行来解决.条件里没有提到面面平行,所以,我们利用线面平行来突破.证明 过a 作平面γ,δ,使得γ∩α=c ,δ∩β=d .因为γ∩α=c ,直线a ∥平面α,a γ,所以a ∥c . 同理可证a ∥d .所以c ∥d .由d β,c β,得c ∥β.因为c α,α∩β=b ,所以c ∥b . 又a ∥c ,所以a ∥b .评注 本题要使用线面平行的性质定理,需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面,以便使用性质定理,因此常作辅助面.三、同时作辅助线与辅助面来解题例3 如图,已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在这两个平面之间的线段,且AE=EB,CG =GD,AB与CD不平行,求证:EG∥平面α,EG∥平面β.分析有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面,通过面面之间的关系来解题.题目条件中出现了两个中点,一般可直接取某线段的中点,也可通过连线所得交点间接地取中点,本题是直接找中点.证明过点A作AH∥CD交平面β于点H,设F是AH的中点,连接EF,FG和BH,HD,BD. 因为E,F分别是AB,AH的中点,所以EF∥BH,又BHβ,EFβ,所以EF∥β.又F,G分别是AH,CD的中点,且AH∥CD,所以FG∥HD.又HDβ,FGβ,所以FG∥β.因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面β,又α∥β,所以平面EFG∥α.因为EG平面EFG,所以EG∥α,EG∥β.评注本题是通过先作辅助线AH,再作辅助面EFG,借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的.8 在转化中证明空间垂直关系空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容.在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明,这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质,运用三者之间的转化关系.一、证明线面垂直证明线面垂直通常有两种方法:一是利用线面垂直的判定定理,由线线垂直得到线面垂直;二是利用面面垂直的性质定理,由面面垂直得到线面垂直.例1 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为点N.求证:AN⊥平面PBM.证明因为PA垂直于圆O所在的平面,所以PA⊥BM.因为M是圆周上一点,所以BM⊥AM.又因为PA∩AM=A,所以BM⊥平面PAM,所以BM⊥AN.又因为AN⊥PM,PM∩BM=M,所以AN⊥平面PBM.评注本题是考查线面垂直很好的载体,它融合了初中所学的圆的特征,在求解时要注意线线、线面垂直关系的转化.二、证明面面垂直证明面面垂直一般有两种方法:一是利用面面垂直的定义,通过求二面角的平面角为直角而得到,这种方法在证明面面垂直时应用较少;二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直.例2 如图,△ABC为等边三角形,EC⊥平面ABC,BD∥EC,且EC=CA=2BD,M是EA的中点.(1)求证:DE=DA;(2)求证:平面BDM⊥平面ECA.证明(1)如图,取EC的中点F,连接DF,易知DF∥BC.因为EC ⊥平面ABC ,BC 平面ABC ,所以EC ⊥BC ,所以DF ⊥EC . 在Rt△EFD 和Rt△DBA 中, 因为EF =12EC =BD ,FD =BC =AB ,所以Rt△EFD ≌Rt△DBA . 所以DE =DA .(2)如图,取CA 的中点N ,连接MN ,BN ,则MN ∥EC , 且MN =12EC .又EC ∥BD ,且BD =12EC ,所以MN ∥BD ,且MN =BD .所以四边形BDMN 是平行四边形.所以点N 在平面BDM 内. 因为EC ⊥平面ABC , 所以EC ⊥BN .又CA ⊥BN ,EC ∩CA =C , 所以BN ⊥平面ECA . 因为BN 平面MNBD , 所以平面BDM ⊥平面ECA .评注 在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题. 三、证明线线垂直证明线线垂直,往往根据线面垂直的性质,即如果一条直线垂直于一个平面,那么它和这个平面内的任意一条直线垂直.例3 如图,已知平面α∩平面β=CD ,EA ⊥α,EB ⊥β,垂足分别为A ,B ,求证:CD ⊥AB .证明 因为EA ⊥α,CD α,所以CD ⊥EA .又因为EB ⊥β,CD β,所以EB ⊥CD . 又因为EA ∩EB =E ,所以CD ⊥平面ABE . 因为AB 平面ABE , 所以CD ⊥AB .评注 证明空间中的垂直关系的问题时,经常要用到化归与转化的数学思想,主要体现在线线垂直、线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中.其转化关系如下: 线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直9 空间中垂直关系的探索型问题随着新课程的普及,创新型问题越来越受到高考命题者的青睐,并且渗透到各个章节之中,本文就直线与空间中垂直关系的开放探索型问题列举两例,供同学们学习. 例1 如图,设△ABC 内接于⊙O ,PA 垂直于⊙O 所在的平面.(1)请指出图中互相垂直的平面;(要求:列出所有的情形,但不要求证明)(2)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对,那么在△ABC 中需添加一个什么条件?(要求:添加你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形,但必须证明你添加的条件的正确性,答案不唯一)(3)设D 是PC 的中点,AC =AB =a (a 是常数),试探究在PA 上是否存在一点M ,使MD +MB 最小?若存在,试确定点M 的位置;若不存在,请说明理由. 解 (1)图中互相垂直的平面有: 平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAB ⊥平面ABC .(2)要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对,在△ABC 中需添加:AB ⊥BC (或添加∠ABC =90°,或AC 是⊙O 的直径,或AC 过圆心O 等.) 证明如下:因为PA ⊥平面ABC ,BC 平面ABC ,所以BC ⊥PA .因为AB ⊥BC ,PA ∩AB =A ,所以BC ⊥平面PAB .又BC 平面PBC ,所以平面PBC ⊥平面PAB .(其他条件的证明略)(3)将平面PAB 绕PA 沿逆时针方向旋转到与平面PAC 在同一平面上,如图.因为PA ⊥AC ,PA ⊥AB ,所以C ,A ,B 三点在同一条直线上. 连接DB 交PA 于点M ,则点M 就是所求的点. 过点D 作DE ∥BC 交PA 于点E .因为D 是PC 的中点,所以E 为PA 的中点. 因为AM ME =AB DE ,且AC =AB ,所以AMME=2.所以AM =23AE =13AP ,即当点M 为AP 方向上的第一个三等分点时,MD +MB 最小.例2 如图所示,已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形,E 为线段AD 1的中点,F 为线段BD 1的中点,(1)求证:EF ∥平面ABCD ; (2)设M 为线段C 1C 的中点,当D 1DAD的比值为多少时,DF ⊥平面D 1MB ?并说明理由. (1)证明 ∵E 为线段AD 1的中点,F 为线段BD 1的中点,∴EF ∥AB .又∵EF 平面ABCD ,AB 平面ABCD , ∴EF ∥平面ABCD . (2)解 当D 1DAD=2时,DF ⊥平面D 1MB . ∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD . ∵D 1D ⊥平面ABCD ,∴D 1D ⊥AC .∵D 1D ∩BD =D ,∴AC ⊥平面BB 1D 1D ,∴AC ⊥DF . ∵F ,M 分别是BD 1,CC 1的中点,∴FM ∥AC .∴DF ⊥FM . ∵D 1D =2AD ,∴D 1D =BD .∴矩形D 1DBB 1为正方形. ∵F 为BD 1的中点,∴DF ⊥BD 1. ∵FM ∩BD 1=F ,∴DF ⊥平面D 1MB .10 几何法求空间角空间角的计算是对空间线与线、线与面、面与面位置关系的一种定量研究和精确的刻画.利用几何法求解空间角的过程可以将逻辑推理与运算融为一体,能达到综合考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力、分析问题及解决问题的能力.下面就利用几何法求空间角的策略进行分析.一、求异面直线所成的角求异面直线所成的角主要是根据定义利用平移法作出所成角,平移的主要途径有:(1)利用三角形和梯形的中位线;(2)利用平行线分线段成比例的性质;(3)利用平行四边形(矩形、正方形)的性质;(4)利用线面平行和面面平行的性质等.例1 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱都垂直于底面,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°分析考虑直线AC1在平面AA1C1C上平行移动,当点C1移至A1时,点A自然移至CA的延长线上,因此只需取AD=AC即可顺利作出所求解.解析如图,延长CA到D,使得AD=AC.由AC∥A1C1,且AC=A1C1,得AD∥A1C1且AD=A1C1.所以四边形ADA1C1为平行四边形.所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角.设AB=AC=AA1=1,则A1D=A1B=BD=2,即△A1DB为等边三角形.所以∠DA1B=60°.故选C.答案 C二、求二面角求二面角是通过求其平面角的大小实现的,而平面角的作法中必须强调“垂直”,其常见途径:(1)利用共底的两个等腰三角形;(2)利用共公共边的两个全等三角形;(3)利用线面垂直和面面垂直的性质;(4)对于“无棱”二面角一般须先确定棱,然后再利用上述方法作出平面角.例2 在三棱锥S -ABC 中,已知△ABC 是边长为a 的等边三角形,且SA ⊥底面ABC ,AS =12a ,求平面ABC 与平面SBC 夹角的大小.解 如图所示,因为AB =AC =a ,∠BAS =∠CAS =90°,所以SB =SC .取BC 的中点为D ,连接AD ,SD ,则由等腰三角形的性质,可得SD ⊥BC ,AD ⊥BC .于是由二面角的平面角的定义可知,∠ADS 为平面ABC 与平面SBC 夹角的平面角. 因为AS =12a ,AD =32BC =32a ,所以在Rt△ASD 中,tan∠ADS =12a 32a =33. 所以∠ADS =30°,即所求平面ABC 与平面SBC 夹角的大小为30°.评注 应用二面角的定义时,常常要先在二面角的棱上取一个适当的点(常取中点),然后再过这一点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,找出二面角的平面角,然后通过解三角形求得二面角的大小.11 柱、锥、台的表面积求法精析由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和,因此计算的关键在于对几何体各个面的正确认识以及对表面积公式的正确运用. 一、锥体的表面积例1 正三棱锥的底面边长为4 cm ,它的侧棱与高所成的角为45°,求正三棱锥的表面积. 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高.解 如图所示,过S 点作SO ⊥平面ABC 于O 点,则O 为△ABC 的中心,连接AO 并延长与BC 相交于D 点.由正三角形的性质得D 为BC 的中点,连接SD ,则SD 为正三棱锥的斜高.在Rt△ASO 中,∠ASO =45°,AO =33×4=433(cm),∴SO =AO =433(cm). 在Rt△SOD 中,OD =36×4=233(cm), 故SD =SO 2+OD 2=163+43=203=2153(cm). 令SD =h ′,根据正棱锥的侧面积公式:S 侧=12×3×4×2153=415(cm 2), 又△ABC 的面积为4 3 cm 2,故正三棱锥的表面积为(415+43) cm 2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题,常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系.解决问题时,往往把它们转化为平面图形,即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形,求出所需要的量,从而使问题得以解决. 二、柱体的表面积例2 如图,已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,其底面是等腰直角三角形,且AB =BC =2,AC =A 1A =2.(1)求该几何体的表面积;(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱,求拼得的棱柱表面积的最小值.解 (1)该几何体有5个面,两个底面的面积均为12×2×2=1,三个侧面面积和为2×(2+2+2)=4(2+1),故其表面积S =6+4 2.(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S 1,则组合后的直棱柱的表面积为2S -2S 1,故当且仅当重合的面的面积最大时,拼得的棱柱的表面积最小.又侧面AA 1C 1C 的面积最大,此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S -2S 四边形AA 1C 1C =4+8 2. 评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状;(2)的关键在于找到影响拼合后的面积变化量,当然也可以分类讨论,列举出各种拼合的办法,一一计算表面积,再进行比较.三、台体的表面积例3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形,转化为平面问题来求解所需的几何元素.解 如图所示,正三棱台ABC -A 1B 1C 1中,O ,O 1分别为两底面中心,D ,D 1分别为BC 和B 1C 1中点,则DD 1为棱台的斜高.设A 1B 1=20 cm ,AB =30 cm , 则OD =5 3 cm ,O 1D 1=1033 cm ,由S 侧=S 上+S 下,得12×(20+30)×3×DD 1=34(202+302), ∴DD 1=1333 cm.∴棱台的斜高为1333 cm.在直角梯形O 1ODD 1中,O 1O =DD 21-OD -O 1D 12=43(cm).∴棱台的高为4 3 cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形.12 空间几何体体积的求法精析空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用,但在具体求解过程中,仅仅记住公式是远远不够的,还要把握图形的内在因素,掌握一些常见的求解策略,灵活选择恰当的方法进行求解.。

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步5_2平行关系的性质学案北师大版必修2

2017_2018版高中数学第一章立体几何初步5_2平行关系的性质学案北师大版必修2
类型三 平行关系的综合应用
例3 设AB,CD为夹在两个平行平面α,β之间的线段,且直线AB,CD为异面直线,M,P别离为AB,CD的中点.求证:MP∥平面β.
反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如下图:
跟踪训练3 如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证MN∥平面AA1B1B.
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1,MP 平面AA1B1B,
BB1平面AA1B1B,
∴MP∥平面AA1B1B,
又∵MP平面MNP,NP平面MNP,MP∩NP=P,
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN平面MNP,
∴MN∥平面AA1B1B.
例4 解 能,如图,取AB,C1D1的中点M,N,连接A1M,MC,CN,NA1.
于是,得 = , = ,因此 = .
例3 证明 如图,过点A作AE∥CD交平面β于点E,
连接DE,BE.
∵AE∥CD,∴AE,CD确信一个平面,设为γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=DE.
又α∥β,∴AC∥DE(面面平行的性质定理),
取AE的中点N,连接NP,MN,
∴M,P别离为AB,CD的中点,
∴NP∥DE,MN∥BE.
反思与感悟 线∥面 线∥线.在空间平行关系中,交替利用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.
跟踪训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,假设EF∥平面AB1C,那么线段FE的长度等于________.
类型二 面面平行的性质定理的应用
符号语言
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第1课时平行关系的判定[核心必知] 1.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内aα直线与平面相交a∩α=A直线与平面平行a∥α2。

直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行3.文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两平面平行[问题思考]1.若直线a平行于平面α内的无数条直线,则直线a平行于平面α吗?提示:不一定,因为直线a在平面α内时,与a平行的直线也有无数条.2.对于平面与平面平行的判定定理中,若把“相交”去掉,这两个平面是否一定平行,为什么?提示:不一定.如图中,平面α内的两条直线a,b均平行于β,而α与β却相交.讲一讲1。

如图,在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是PB,PC的中点.证明:EF∥平面PAD。

[尝试解答]证明:在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD。

又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD。

1.判断或证明线面平行的方法(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作);(2)判定定理法:aα,bα,a∥b⇒a∥α;(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.2.证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质;(2)利用平行四边形的性质;(3)利用平行线分线段成比例定理.练一练1.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ.证明:连接AC交BD于O,连接QO。

∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC的中点.又Q为PA的中点,∴QO∥PC。

显然QO平面BDQ,PC平面BDQ,∴PC∥平面BDQ.讲一讲2。

如图所示,正方体ABCD.A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答] 证明:如图所示,连接MF。

∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点,且四边形A1B1C1D1为正方形,∴MF∥A1D1且MF=A1D1。

又∵A1D1=AD且AD∥A1D1,∴MF=AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形.∴AM∥DF.又DF平面EFDB,AM平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.同理可证,AN∥平面EFDB.又AN,AM平面AMN,AM∩AN=A,∴平面AMN∥平面EFDB。

平面平行的判定方法:(1)利用定义,证面面无公共点.(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行,即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面,如本题.(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则两个平面平行.练一练2.如图所示,三棱柱ABC­A1B1C1,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点.求证:平面A1BD1∥平面AC1D。

证明:连接A1C交AC1于点E,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴E是A1C的中点.连接ED,ED是△A1BC的中位线,∴ED∥A1B。

∵ED平面A1BD1,A1B 平面A1BD1,∴ED∥平面A1BD1。

∵C1D1BD,∴四边形BDC1D1是平行四边形,∴C1D∥BD1.∵C1D平面A1BD1,BD1平面A1BD1,∴C1D∥平面A1BD1。

∵C1D∩ED=D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.讲一讲3。

如图所示,B为△ACD所在平面外一点,且BA=BC=BD,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.(1)求证:平面MNG∥平面ACD;(2)求S△MNG∶S△ADC。

[尝试解答] (1)证明:如图连接BM,BN,BG并延长交AC,AD,CD于P,F,H.∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,则有错误!=错误!=错误!=2,连接PF,FH,PH,有MN∥PF。

又PF 平面ACD,MN 平面ACD,∴MN∥平面ACD,同理MG∥平面ACD,MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD。

(2)由(1)可知:错误!=错误!=错误!,∴MG=错误!PH。

又PH=错误!AD,∴MG=错误!AD。

同理NG=错误!AC,MN=错误!CD,∴△MNG∽△ACD,其相似比为1∶3,故S△MNG∶S△ADC=1∶9.证明面面平行,转化为证明线面平行,而要证线面平行,转化为证明线线平行.在立体几何中,通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化,使问题顺利得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法,就能找到解题的突破口.这是高考重点考查证明平行的方法,应引起重视.练一练3.如图,在正方体ABCD。

A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,Q是CC1的中点,判断并证明平面D1BQ与平面PAO的位置关系.解:平面D1BQ∥平面PAO.下面给出证明.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵QB 平面PAO,PA平面PAO,∴QB∥平面PAO.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO。

∵D1B 平面PAO,PO 平面PAO,∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO。

如右图,在正方体ABCD。

A1B1C1D1中,M∈AD1,N∈BD,且D1M=DN,求证:MN∥平面CC1D1D。

[证明] 法一:连AN并延长交DC于E。

连接D1、E。

∵AB∥CD,∴错误!=错误!⇒错误!=错误!.∵BD=AD1,且D1M=DN,∴错误!=错误!。

在△AD1E中,MN∥D1E,又MN平面CC1D1D,D1E 平面CC1D1D,∴MN∥平面CC1D1D.[尝试用另外一种方法解题]法二:过点M作MP∥AD,交DD1于P,过点N作NQ∥AD交CD于点Q,连接PQ,则MP∥NQ,在△D1AD中,错误!=错误!。

∵NQ∥AD,AD∥BC,∴NQ∥BC.在△DBC中,错误!=错误!,∵D1M=DN,D1A=DB,AD=BC,∴NQ=MP.∴四边形MNQP为平行四边形,则MN∥PQ.而MN 平面CC1D1D,PQ 平面CC1D1D,∴MN∥平面CC1D1D.1.在以下说法中,正确的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行.A.0 B.1 C.2 D.3解析:选A 对①,当α内的两直线平行时,α与β也可能相交,故①错误;对②,当α内有无数条直线和β平行时,α与β也可能相交,故②错误;对③,若A,B,C三点在β两侧时,α与β相交,故③错误.2.能保证直线a与平面α平行的条件是( )A.bα,a∥bB.bα,c∥α,a∥b,a∥cC.bα,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BDD.aα,bα,a∥b解析:选D A项和B项中a有可能在α内,C项中,a可能在α内,也可能与α相交,D项中,a∥α.3.若M,N分别是△ABC边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )A.MN∥βB.MN与β相交或MN βC.MN∥β或MN βD.MN∥β或MN与β相交或MN β解析:选C 当平面β与平面ABC重合时,有MN β;当平面β与平面ABC不重合时,则β∩平面ABC=BC.∵M,N分别为AB,AC的中点,∴MN∥BC。

又MNβ,BCβ,∴MN∥β。

综上有MN∥β或MN β。

4.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有________对.解析:如图,当六棱柱的底面为正六边形时,互相平行的平面最多有4对,每组对边所在的平面平行,且上下底面平行.答案:45.若直线a∩直线b=A,a∥平面α,则b与α的位置关系是________.解析:∵a∥α,∴a与平面α没有公共点,若bα,则A∈α,又A∈a,此种情况不可能.∴b∥α或b与α相交.答案:b∥α或b与α相交6.如图E,F,G,H分别是正方体ABCD.A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明:(1)取B1D1中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=错误!B1C1,BE∥B1C1,且BE=错误!B1C1,∴OG∥BE且OG=BE,四边形BEGO为平行四边形,∴OB∥GE。

∵OB 平面BB1D1D,GE 平面BB1D1D,∴GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体性质得B1D1∥BD,∵B1D1 平面BDF,BD 平面BDF,∴B1D1∥平面BDF,连接HB,D1F,易证HBFD1是平行四边形,得HD1∥BF。

∵HD1 平面BDF,BF 平面BDF,∴HD1∥平面BDF,∵B1D1∩HD1=D1,∴平面BDF∥平面B1D1H。

一、选择题1.已知b是平面α外的一条直线,下列条件中,可得出b∥α的是()A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交解析:选D 若b与α内的所有直线不相交,即b与α无公共点,故b∥α。

2.空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的关系是( ) A.平行B.相交C.在平面内D.平行或相交解析:选A 如图所示,在平面ABC内,因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3,所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF,EF 平面DEF,所以AC∥平面DEF。

3.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是()A.平面BME∥平面ACNB.AF∥CNC.BM∥平面EFDD.BE与AN相交解析:选A 作出如图所示的正方体.易知AN∥BM,AC∥EM,且AN∩AC=A,所以平面ACN∥平面BEM.4.已知m,n表示两条直线,α,β,γ表示平面,下列结论中正确的个数是( )①若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β;②若m,n相交且都在α,β外,且m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;③若m∥α,m∥β,则α∥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥βA.1 B.2C.3 D.4解析:选A ①仅满足mα,nβ,m∥n,不能得出α∥β,不正确;②设m,n确定平面为γ,则有α∥γ,β∥γ,从而α∥β,正确;③④均不满足两个平面平行的条件,故③④均不正确.5.在正方体ABCD.A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是( )A.平行B.相交C.在平面内D.相交或平行解析:选D 当M与D1重合时,∵DD1∥A1A,DD1面AA1C1C,AA1面AA1C1C,∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时,DM与AA1相交,也即DM 与面AA1C1C相交.二、填空题6.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________.解析:由线面平行的判定定理知:BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.答案:27.三棱锥S.ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的关系为________.解析:如图,取BC中点F,连SF.∵G为△ABC的重心,∴A,G,F共线且AG=2GF.又∵AE=2ES,∴EG∥SF.又SF 平面SBC,EG平面SBC,∴EG∥平面SBC.答案:EG∥平面SBC8.如图,在正方体ABCD。

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