2023年高考理科数学试题
2023年全国甲卷高考数学理科真题解析
2023年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =−∈∣ C ．{32,}xx k k Z =−∈∣ D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }． 故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A ．-1 B ．0 · C ．1 D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈−−〉=（ B ．25−C ．25D ．45【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+⃗⃗即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB ==是等腰直角三角形AB 边上的高22,22OD AD =, 所以23222CD CO OD =+==, 13tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠===,cos ,cos a c b c ACB 〈−−〉=∠故选:D.5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前158考虑3π3π7π2,2,2222x x x=−==，即x当3π4x=−时，3π3πsin42f⎛⎫⎛⎫−=−−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3π4x=时，3π3πsin142f⎛⎫=−=⎪⎝⎭，y，则PBC的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO≅，PDB PCA≅，从而得到PA，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；，1cos3PCB∠=，从而求得3PA PC⋅=−，再利用空间向量的数量从而求得17PB=，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO≅，则∠，所以PDB PCA≅，则PA2,45PCA∠=︒，故在PBC 中，cos PCB ∠PCB <∠<所以PBC 的面积为法二：,AC BD 交于，则cos PA PC PA PC ⋅=∠不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+，所以()()22PA PC PB PD +=+，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅，()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即2329m =+−两式相加得22340m −=，故17PB m ==， 故在PBC 中，cos PCB ∠PCB <∠<所以PBC 的面积为故选：C.．设O 为坐标原点，135【答案】B12PF F S =35，解得：12PF F S=1⎛⨯− ⎝B ．2而()1212PO PF PF =+，所以1212PO PF PF =+，22121122111221222PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，221212PF PF PF +−2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：二、填空题由图可知，当目标函数32 y x =−由233323x yx y−+=⎧⎨−=⎩可得33xy=⎧⎨=⎩，即所以max332315z=⨯+⨯=.故答案为：由题意可知，O 为球心，在正方体中，则球心O 到1CC 的距离为OM =所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有．在ABC 中，【答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出方法二：利用余弦定理求出【详解】cos606=，ABCABDACDSSS=+可得，11602sin 30sin 3022AD AD b =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，cos606=，因为60sin b =sin B =，所以45C ，180604575B =−−=， 75ADB =，即2AD AB =． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦三、解答题312a ===12n ⎛++⨯ ⎝(1)n ++−12n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎤⎫⎥−*N ∈． 111A B C -中，(1)证明：1AC AC =； (2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求【答案】(1)证明见解析(2)131AC ⊥底面1AC BC ∴⊥BC ∴⊥平面∴平面ACC 1平面BCC 1A 到平面在1Rt ACC △设CO =1,AOC △△21CO AO +211x ∴++1AC AC ∴=）1AC AC =Rt ACB △≌1BA =，作BD AA ⊥11A D =，在Rt ABC △延长AC ，使由CM AC ∥E X=【答案】(1)分布列见解析，()1上两点，0FM FN ⋅=，求）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出()22,,N x y 利用0FM FN ⋅=，找到因为0FM FN ⋅=，所以)(121my n my +−()2121m y y ++2124,y m y y +=轴围成ABC ,ABC 的高为所以||=AB 所以ABC S =解得2a =.。
2023年青海省高考理科数学真题及参考答案
2023年青海省理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。
2023年普通高等学校招生全国统一考试甲卷理科数学
2023年普通高等学校招生全国统一考试甲卷理科数学一、选择题1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集，则C U(A∪B)=A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k−1,k∈Z}C.{x|x=3k−2,k∈Z}D.∅2.若复数(a+ⅈ)(1−aⅈ)，则a=A.−1B.0C.1D.23. 执行右边的程序框图，则输出的B=A.21B.34C.55D.894.向量|a⃗|=|b⃗⃗|=|c⃗|=√2，且a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则cos⟨a⃗−c⃗,b⃗⃗−c⃗⟩=A.−15B.−25C.25D.455.已知数列{a n}中，a1=1，S n为{a n}的前n项和，S5=5S3−4，则S4=B.9C.15D.306.有50人报名足球俱乐部，60人报名兵乓球俱乐部，人报名足球或与丘球俱乐部，若己知某人报足球俱乐部，则其报乒兵球俱乐部的概率为A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17.sⅈn2α+sⅈn2β=1是sⅈnα+cosβ=0的A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必然条件8. 已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，的一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A,B两点，则|AB|=A.√55B.2√55C.3√55D.4√559.有五名志愿者参加社服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为A.120B.60C.40D.3010. 函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=12x−12的交点个数为A.1B.2C.3D.411.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=450,则ΔPBC 的面积为A.2√2C.4√2D.5√212.已知椭圆x 29+y26=1,F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点cos∠F1PF2=35，则|PO|=A.25B.√302C.35D.√352二、填空题13.若y=(x−1)2+ax+sⅈn(x+π2)为偶函数，则a=14.若x,y满足约束条件{3x−2y≤3−2x+3y≥3x+y≥1，则z=3x+2y的最大值为15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为CD,A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为16.在ΔABC中，AB=2，∠BAC=600,BC=√6,D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=三、解答题17.已知数列{a n}中，设S n为{a n}前n项和，2S n=na n（1）求{a n}的通项公式（2）求数列{a n+12n}的前n项和T n18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2,A1C⊥平面ABC,∠ACB=900,A1到平面BCC1B1的距离为1（1）证明：AC=A1C（2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不药物）和试验组（加药物）（1）设其中两只小鼠中对照组认鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望（i ）求40只小白鼠体重的中位数m ,再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，附：K 2=n (a ⅆ−bc )2(a+b )(c+ⅆ)(a+c )(b+ⅆ)20.已知直线x −2y +1=0与抛物线C:y 2=2px (p >0)交于A,B 两点，|AB |=4√15 （1）求p（2）设F 为C 的焦点，M,N 为C 上两点，且FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求ΔMFN 面积的最小值 21. 已知函数f (x )=ax −sin x cos 2x,x ∈(0,π2) （1）当a =8时，讨论f (x )的单调性（2）若f (x )<sⅈn 2x 恒成立，求a 的取值范围22.已知点P (2,1)，直线l:{x =2+t cos αy =1+t sⅈn α（t 为参数）与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A,B ，且|PA |⋅|PB |=4 （1）求a（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程 23.已知f (x )=2|x −a |−a ，a >0（1）求不等式f (x )<x 的解集（2）若y =f (x )与坐标轴所围成的面积为2，求a。
2023全国高考甲卷理科数学试卷及解析
2023全国高考甲卷理科数学试卷及解析一、选择题1. ($\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\pi}{6}$)处的切线方程为：(A)$y=x\\sqrt{3}$(B)$y=-x\\sqrt{3}$(C)$y=\\frac{\\sqrt{3}}{2}x$(D)$y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}x$【解析】导数为$f'(x)=\\sqrt{3}\\cos{\\frac{2x}{\\pi}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，所以当$x=\\frac{\\pi}{3}$时，切线斜率为$f'(\\frac{\\pi}{3})=\\sqrt{3}\\cos{(\\frac{2}{3})}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，同时过点$(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{2})$，即可得到切线方程$y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}(x-\\frac{\\pi}{3})+\\frac{\\sqrt{3}}{2}x=\\frac{\\sqrt{3}}{2}(\\frac{\\pi}{3}-x)$，所以选(D)。
2. 设函数f(x)的反函数为f−1(x)，则$\\frac{\\text{d}}{\\text{d}x}f^{-1}(x)$等于：(A)$\\frac{1}{f'(x)}$(B)$\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$(C)f′(f−1(x))(D)−f′(f−1(x))【解析】由反函数的定义知(f−1(x),x)在函数f(x)上，即f(f−1(x))=x，对x求导即可得到$f'(f^{-1}(x))\\cdot (f^{-1})'(x)=1$，故$(f^{-1})'(x)=\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$，所以选(B)。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则＝（ ）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【答案】B【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（ ）A．∁U（M∪N）B．N∪∁U M C．∁U（M∩N）D．M∪∁U N【答案】A【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．故选：A．3．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A．24B．26C．28D．30【答案】D【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．故选：D．4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴，∴，∴ax﹣x＝x，∴a＝2．故选：D．5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（ ）A．﹣B．﹣C．D．【答案】D【解答】解：根据题意可知＝，∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，又根据“五点法“可得，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．故选：D．7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A．30种B．60种C．120种D．240种【答案】C【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：＝120．故选：C．8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB ＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）A．πB．πC．3πD．3π【答案】B【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE，由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，而∠AOB＝120°，故AB＝＝＝3，同时OE＝OA×sin30°＝，△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，又由△PAB的面积等于，即PE•AB＝，变形可得PE＝，而PE＝，则有h2+＝，解可得h＝，故该圆锥的体积V＝π×（）2h＝π．故选：B．9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABC，∴平面CED⊥平面ABC，∴CD在平面ABC内的射影为CE，∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，则可易得CE＝1，DE＝，又∠DEH＝30°，∴DH＝，EH＝，∴CH＝1+＝，∴tan∠DCE＝＝＝．故选：C．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为，集合S＝{cos a n|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（ ）A．﹣1B．﹣C．0D．【答案】B【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，又公差为，∴，∴，其周期为＝3，又根据题意可知S集合中仅有两个元素，∴可利用对称性，对a n取特值，如a1＝0，，，•，或，，a3＝π，•，代入集合S中计算易得：ab＝．故选：B．11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，﹣4）【答案】D【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），，①﹣②得k AB＝＝9×＝9×，即﹣3＜9×＜3⇒，即或，故A、B、C错误，D正确．故选：D．12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（ ）A．B．C．1+D．2+【答案】A【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年四川省高考数学理科真题及参考答案
2023年四川省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}Z k k x x A ∈+==,13，{}Z k k x x B ∈+==,23，U 为整数集，()=⋃B A C U （）A .{}Z k k x x ∈=,3B .{}Z k k x x ∈-=,13C .{}Z k k x x ∈-=,23D .φ2.若复数()()21=-+ai i a ，则=a （）A .1-B .0C .1D .23.执行下面的程序框图，输出的=B （）A .21B .34C .55D .894.已知向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则=--c b c a ,cos （）A .51-B .52-C .52D .545.已知等比数列{}n a 中，11=a ，n S 为{}n a 的前n 项和，4535-=S S ，则=4S （）A .7B .9C .15D .306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为（）A .8.0B .4.0C .2.0D .1.07.“1sin sin 22=+βα”是“0cos sin =+βα”的（）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .51B .55C .552D .5549.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A .120B .60C .40D .3010.已知函数()x f 为函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 向左平移6π个单位所得函数，则()x f y =与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .411.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，4=AB ,3==PD PC ，︒=∠45PCA ,则PBC ∆的面积为（）A .22B .23C .24D .2512.已知椭圆16922=+y x ，21F F ，为两个焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆上一点，53cos 21=∠PF F ，则=OP （）A .52B .230C .53D .235二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.若()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x y 为偶函数，则=a .14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，设y x z 23+=，则z 的最大值为.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD ，11B A 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.16.在ABC ∆中，2=AB ，︒=∠60BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年四川高考理科数学试题
2023年四川高考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21A x x =-<，{}13B x x =-<，则A B ⋂=（）A ．{}21x x -<<B ．{}4x x <C ．{}14x x <<D ．{}2x x >-2．已知复数i R z a b a b =+∈（,），且i12i 1iz =++，则ab =（）A ．-9B ．9C ．-3D ．33．若0.3log 0.4a =，031.2b =．，2.1log 0.9c =，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>4，已知向量()12a = ,，()23b =- ,，若()a kab ⊥+ ，则k=（）A ．45B ．45-C ．14D ．14-5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4854a a a +=+，则13S =（）A ．26B ．32C ．52D ．646．执行如图所示的程序框图，若输出的81S =，则判断框内可填入的条件是（）A ．9n ≤?B ．9n ≥?C ．9n <?D ．9n >?7．已知函数()f x 满足()()15f x f x -=+，且()1f x +是偶函数，当13x ≤≤时，()324x f x =+，则()36f log =2（）A ．32B ．3C ．398D ．3948．如图，在正三棱柱111ABC A B C -，中，12AA AB ==，D 在1A C 上，E 是1A B 的中点，则()2AD DE +的最小值是（）A ．67B ．27C ．37D ．579．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A ．360种B ．420种C ．480种D ．540种10．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>:的左焦点为()0F c -,，点M 在双曲线C 的右支上，()0,A b ，若△AMF 周长的最少值是24c a +，则双曲线C 的离心率是（）A ．312B ．31C ．52D ．511．已知正三棱锥P —ABC 的底面边长为36，则三棱锥P —ABC 的内切球的表面积为（）A ．32πB ．3πC ．6πD ．12π12．已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧⎨-+≤⎩，函数()()()g x ff x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()0,1C [)1,1-D ．()1,3二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是______14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l y x m =+:与抛物线C 交于A ，B 两点，若18AF BF +=，则m =______15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”，且13n nb =，则n a 的最小值是______16．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，()()124f x f x -=，且12x x -的最小值是2π．若关于x 的方程()1f x =在[](),m n m n <上有2023个零点，则n m -的最小值是______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin b B c C a -=．（1）证明：2B C π-=（2）若3A π=，a =，求△ABC 的面积．18．（12分）某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位专家进行初审．若两位专家的初审都通过，则予以录用；若两位专家的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位专家的初审，则再由另外的两位专家进行复审，若两位专家的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位专家初审的概率均为13，复审的稿件能通过各位专家复审的概率均为12，且每位专家的评审结果相互独立．（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（2）记X 表示投到该杂志的3篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．19．（12分）如图，在三棱柱111BC A B C -中，所有棱长均为2，且1B C =160ABB ∠=︒，13BB BD =．（1）证明：平面ABC ⊥11ABB A ．（2）求平面ACD 与平面111A B C 夹角的余弦值．20．（12分）椭圆E 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，点(在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程．（2）过点()1,0-的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点（异于点A ，B ），记直线AP 与直线BQ 交于点M ，试问点M 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()32x f x e mx nx x =+--（其中e 为自然对数的底数），且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =-．（1）求实数m ，n 的值；（2）证明：对任意的R x ∈，()32351f x x x ≥-+恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 120ρθρθ+-=．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:04l πθρ=≥与曲线C 交于点A ，与直线1交于点B ，求AB 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知0a >，0b >，且2a b +=．（1）求22a b +的最小值；（2≤．2023年四川高考理科数学试题参考答案1．C 由题意可得{}1A x x =>，{}24B x x =-<<，则{}14A B x x ⋂=<<．2．D 由题意可得()()()i i 12i 1i a b +=++，则i 13i b a -+=-+，从而3a =，1b =，故3ab =．3．D 由题意可知01a <<，1b >，0c <，则b a c >＞．4．B 由题意可得()223ka b k k +=-+,，则()22230k k -++=，解得45k =-.5．C 由等差数列的性质可得485754a a a a a +=+=+．则74a =．故1371352S a ==．6．D 由程序框图可知21352181S n n =+++⋅⋅⋅+-==（），解得9n =．7．B因为()1f x +是偶函数，所以()()2f x f x -=+．因为()()15f x f x -=+，所以()()6f x f x -=+，所以()()26f x f x +=+，即()()4f x f x =+．因为2225log 32log 36log 646=<<=．所以()()222993log 36log 364log 3444f f f ⎛⎫=-==+= ⎪⎝⎭．8．C如图，将平面1A BC 与平面1A AC 翻折到同一平面上，连接AE ，记1AE AC F ⋂=．由题意可知12A A AC BC ===，11A C A B ==，则145AAC ∠=︒，13cos4BAC ∠==，从而17sin 4BA C ∠=，故1113214cos cos 8AA B AA C BA C -∠=∠+∠=（）．因为E 是1A B 的中点，所以1A E =23214422238AE =+-⨯=+D 在1A C 上，所以AD DE AE +≥，则()23AD DE +≥+．9．D 如图，先在区域A 布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E 布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D 布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B 与区域E 布置同一种花卉，则区域C 有3种不同的布置方案；若区域B 与区域E 布置不同的花卉，则区域B 有2种不同的布置方案，区域C 有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有()543323540⨯⨯⨯+⨯=种．10．B 如图，设双曲线C 的右焦点为F '，连接AF '，线段AF '交双曲线C 于点M '，则AM MF AF ''+≥．由双曲线的定义可得2MF MF a '-=，则22AM MF AM MF a AF a ''+=++≥+．因为()0,A b ，所以AF AF '==224a c a =+，整理得22220c ac a --=，即2220e e --=，解得1e =．11．A 如图，取棱AB 的中点D ，连接CD ，作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，则PH =．由正三棱锥的性质可知H 在CD 上，且2CH DH =．因为3AB =，所以332CD =，则CH =．因为PH =，所以3PC ==，则三棱锥P —ABC 的表面积3944S =⨯=，设三棱锥P —ABC 的内切球的半径为r ，则1319343P ABC V -=⨯⨯=⨯．解得64r =，从而三棱锥P —ABC 的内切球的表面积为2342r ππ=.12．C 当0x ≤时，()233f x x '=-．由()0f x '>，得1x <-，由()0f x '<，得10x -<≤，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示。
2023年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数 学（理科）注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。
回答非选择题时,将解析写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1．设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉2．已知12i z =-,且0z az b ++=,其中a ,b 为实数,则（ ）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-3．已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3==-=a b a b ,则⋅=a b （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行地人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期地比值,用到数列{}n b :1111b α=+,212111b αα=++,31231111b ααα=+++,…,依此类推,其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <5．设F 为抛物线2:4C y x =地焦点,点A 在C 上,点(3,0)B ,若||||AF BF =,则||AB =（ ）A ．2B ．22C ．3D ．326．执行下边地程序框图,输出地n =（）位:3m ）,得到如下数据:样本号i 12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量i y 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．（1）估计该林区这种树木平均一棵地根部横截面积与平均一棵地材积量；（2）求该林区这种树木地根部横截面积与材积量地样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木地根部横截面积,并得到所有这种树木地根部横截面积总和为2186m ．已知树木地材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木地总材积量地估计值．附:相关系数i=122=1=1()(), 1.89617()7().3nii n niii i x x y y r x x y y -=-≈--∑∑∑．20．（12分）已知椭圆E 地中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 地方程；（2）设过点()1,2P -地直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴地直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH =．证明:直线HN 过定点．21．（12分）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++.（1）当1a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处地切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点,求a 地取值范围．（二）选考题,共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做地第一题计分．22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 地参数方程为3cos 2,2sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 地极坐标方程为sin 03m ⎛⎫⎪⎝=⎭π++ρθ．（1）写出l 地直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点,求m 地取值范围．23．[选修4-5:不等式选讲]（10分） 已知a ,b ,c 都是正数,且3332221a b c ++=,证明:（1）19abc ≤；（2）12a b c b c a c a b abc++≤+++．2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考解析注意事项:1．答卷前,考生务必将自己地姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. A2. A3. C.4. D5. B6. B7. A8. D9. C 10.D 11. C12. D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 31014. ()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；15. 316. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题:共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．（一）必考题:共60分．17. （1）证明:因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-,所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-,所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅,即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-,所以2222a b c =+；（2）解:因为255,cos 31a A ==,由（1）得2250b c +=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-, 则50502531bc -=,所以312bc =,故()2222503181b c b c bc +=++=+=,所以9b c +=,所以ABC 地周长为14a b c ++=.18. （1）因为AD CD =,E 为AC 地中点,所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD 中,因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==,所以ABD CBD ≌△△,所以AB CB =,又因为E 为AC 地中点,所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ,DE BE E ⋂=,所以AC ⊥平面BED ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ,由（1）知,AC ⊥平面BED ,因为EF ⊂平面BED ,所以AC EF ⊥,所以1=2AFC S AC EF ⋅△,当EF BD ⊥时,EF 最小,即AFC △地面积最小.因为ABD CBD ≌△△,所以2CB AB ==,又因为60ACB ∠=︒,所以ABC 是等边三角形,因为E 为AC 地中点,所以1AE EC ==,3BE =,因为AD CD ⊥,所以112DE AC ==,在DEB 中,222DE BE BD +=,所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如下图所示地空间直角坐标系E xyz -,则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,1A B D ,所以()()1,0,1,1,3,0AD AB =-=-,设平面ABD 地一个法向量为(),,n x y z =,则030n AD x z n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,取3y =,则()3,3,3n = ,又因为()331,0,0,0,,44C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,所以331,,44CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ,所以643cos ,77214n CF n CF n CF⋅===⨯,设CF 与平面ABD 所成地角地正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,所以43sin cos ,7n CF θ== ,所以CF 与平面ABD 所成地角地正弦值为437.19.（1）样本中10棵这种树木地根部横截面积地平均值（1）解:设椭圆E 地方程为221mx ny +=,过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭,则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得13m =,14n =,所以椭圆E 地方程为:22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --,所以2:23+=AB y x ,①若过点(1,2)P -地直线斜率不存在,直线1x =.代入22134x y+=,可得26(1,)3M ,26(1,)3N -,代入AB 方程223y x =-,可得26(63,)3T +,由MT TH = 得到26(265,)3H +.求得HN 方程:26(2)23y x =--,过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -地直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=,可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩,且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--,将(0,2)-,代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=,将(*)代入,得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,2).-21. （1）()f x 地定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e xxf x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处地切线方程为2y x =（2）()ln(1)e xax f x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x xa x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1xg x a x=+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -……,当,()0x ∈+∞,则()e 20xg x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 地取值范围为(,1)-∞-（二）选考题,共10分．请考生在第22按所做地第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.（1）因l :sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=,所以1sin 2ρθ⋅为。
2023年高考全国甲卷理科数学试卷及参考答案
2023年高考全国甲卷理科数学试卷一、选择题1、设集合A={x|x=3k+1,kϵZ},B={x x⁄=3k+2,kϵZ},U为整数集，∁U(A∪B)=( )A.{x|x=3k+1,kϵZ}B.{x|x=3k−1,kϵZ}C.{x|x=3k−2,kϵZ}D. ∅2、若复数(a+i)(1−ai)=2,a∈R，则a=()A. -1B. 0C. 1D. 23、执行下面的程序框图，输出的B=（）A.21B. 34C. 55D. 894、向量|a⃗|=|b⃗⃗|=1,|c⃗|=√2，且a⃗+b⃗⃗+c⃗=0，则cos(a⃗−c⃗，b⃗⃗−c⃗)=( )A.−15B. −25C. 25D. 455、已知正项等比数列{a n}中，a1=1，S n为{a n}前n项和，S5=5S3−4，则S4=（）A.7B.9C.15D.306、有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.17、“sin2α+sin2β=1“是”sinα+cosβ=0“的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件8、已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，其中一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=（）A.15B.√55C.2√55D.4√559、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务，则选择种数为（）A.120B.60C.40D.3010、已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411、在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC 的面积为（）A.2√2B.3√2C.4√2D.5√212、已知椭圆x 29+y26=1，F1,F2两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=（）A.25B.√302C.35D.√352二、填空题13、若y=(x−1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数，则a=___________14、设x,y满足约束条件{−2x+3y≤33x−2y≤3x+y≥1，设z=3x+2y，则z的最大值为____________15、在正方形ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方形每条棱的交点总数为_____________16、在△ABC中，AB=2,∠BAC=60°，BC=√6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=____________三、解答题17、已知数列{a n}中，a2=1，设S n为{a n}前n项和，2S n=na n（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+12n}的前n项和T n18、在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，A1到平面BCC1B1的距离为1.（1）求证：AC=A1C（2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值19、为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为Χ，求Χ的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）:（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.417.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据：20、已知直线x −2y +1=0与抛物线C:y 2=2px (p >0)交于A,B 两点，且|AB |=4√15.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M,N 为C 上两点，MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求△MNF 面积的最小值.21、已知f (x )=ax −sin x cos 3x ，x ∈(0,π2)（1）若a =8，讨论f (x )的单调性；（2）若f (x )<sin 2x 恒成立，求a 的取值范围.四、 选做题22、已知P (2,1)，直线l:{x =2+t cos αy =1+t sin α（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，|PA |∙|PB |=4（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程.23、已知f (x )=2|x −a |−a ，a >0（1）求不等式f (x )<x 的解集；（2）若曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积为2，求a参考答案一、 选择题ACBDC ABDBC CB二、 填空题13、2 14、15 15、12 16、2三、 解答题17、（1）a n =n −1（2）T n =2−(2+n )(12)n18、（1）略（2）√131319、（1）E (Χ)=1（2）（i ）m=23.4；（ii ）能20、（1）p =2（2）12−8√221、（1）略（2）(−∞，3]四、选做题22、（1）3π4（2）ρcos α+ρsin α−3=023、（1）(a 3，3a)（2）2√63。
2023年高考理科数学(乙卷)试题及解析
1.(2023,乙，理10)数列{a n }是公差为2π3的等差数列，集合S={a n cos |n ∈N *},若S ={a ,b },2023年高考理科数学（乙卷）试题及解析则ab =A.12B .-12C .0D .1【答案】B【解析】a n cos =(2π3n +a 1-2π3)cos ,周期T =3,要使集合S 中只有两个元素，则可想到利用对称性取数，如a 1=-π3,a 2=π3,a 3=π⋯,或a 1=0，a 2=2π3,a 3=4π3,a 4=2π,⋯代入算得：ab =-12,故选B 2.(2023,乙，理11)已知A ,B 双曲线x 2-y 29=1上两点，则可以作为A ,B 中点的是A .(1,1)B .(-1,2)C .(1,3)D .(-1,-4)【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为(x 0,y 0),则用点差法可得：k AB =y 2-y 1x 2-x 1=9×x 2+x 1y 2+y 1即,-3<9×x 0y 0<3⇒-13<x 0y 0<13,⇒y0x 0>3，或y 0x 0<-3,故选D .3.(2023,乙，理12)已知圆的半径为1，P A 与圆O 相切,切点为A ,过点P 的直线与圆交于,B ,C 两点,D 为BC 的中点,OP =2,则PA ∙PD的最大值为A .12+22B .1+22C .1+2D .2+2【答案】【解析】设∠OPC =α，-π4≤α≤π4则由题意：∠APO =45°，PA ∙PD=|PA |∙|PD |(α+π4)cos =1×2αcos (α+π4)cos =12+22(2α+π4)cos ∴当(2α+π4)cos =1,即：α=-π8时，PA ∙PD 最大，为12+22.4.(2023,乙，理16)已知a ∈(0,1),f (x )=a x +(1+a )x 在x ∈(0,+∞)为增函数,则a 的取值范围为.【答案】[5-12,1)【解析】f '(x )=a x ln a +(1+a )x ln (1+a )≥0在(0,+∞)上恒成立，⇒(1+a )x ln (1+a )≥-a x ln a ⇒(1+a a )x>1≥-aln (1+a )ln ⇒ln (1+a )≥ln 1a⇒1+a ≥1a⇒a 2+a -1≥0⇒a ≥5-12又0<a <1∴a 的取值范围为[5-12,1).AB COPDαr=125.(2023,乙，理17)在∆ABC 中，∠A =120°，AB =2,AC =1.(1)求∠ABC sin ;(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求∆BAD 的面积.【解析】(1)由余弦定理可知:BC 2=22+12-2×1×2×120°cos =7,故BC =7,∴∠ABC cos =7+4-12×7×2=5714,又∠ABC ∈(0,π)∴∠ABC sin =1-2∠ABC cos =1-2528=2114.(2)由(1)知：∠ABC cos =5714,∠ABC sin =2114,故∠ABC tan =35,∴AD 2=35,得：AD =235,∴S ∆BAD =12×2×235=235.6.(2023,乙，理19)三棱锥P -ABC 中,∠ABC =90°，AB =2,BC =22,PB =PC =6,AD =5DO ,BF ⏊AO ,O ,D ,E 分别为BC ，PB ,PA 的中点.(1)求证：EF ⎳平面ADO ;(2)求证：平面ADO ⏊平面BEF ;(3)求二面角D -AO -C 的大小.【解析】(1)连接DE ,OF ,(难点在证明F 为AC 中点)设AF =tAC ,则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ;AO =-BA +12BC ，∵BF ⏊AO ,故BF ∙AO =[(1-t )BA +tBC ]∙(-BA +12BC )=(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0,解得：t =12.故F 为AC 的中点。
2023年高考数学(理科)真题试卷(全国甲卷)
2023年高考数学（理科）真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题目共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集,集合，（ ）A. B.C. D.2.设，则（ ）A.-1B.0 ·C.1D.23.执行下面的程序框图，输出的（ ）A.21B.34C.55D.894.已知向量满足，且，则（ ）A. B.C. D.5.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）A. B.C.15D.406.A.0.8B.0.6C.0.5D.0.47.设甲：，乙：，则（ ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）A. B.C. D.9.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）A.120B.60C.30D.2010.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A.1B.2C.3D.411.已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）A. B.C. D.12.设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若为偶函数，则_______________．14.若x，y满足约束条件，设的最大值为_______________．15.在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有_______________个公共点．16.在中，，的角平分线交BC于D，则_______________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(含答案解析)2023年高考全国乙卷-理数
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2=()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.13.已知点A 1,5【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x-3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2 ，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
2023年高考数学试题全国卷2(理)全解全析
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号．不能答在试卷卷上．3．本卷共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．参考公式:如果事件A B ，互斥,那么球地表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24πS R=如果事件A B ，相互独立,那么 其中R 表示球地半径()()()P A B P A P B = 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是p ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次地概率 其中R 表示球地半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ，，，，一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，， C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【解析】B【解析】{}1,0,1,2--=M ,{}3,2,1,0,1-=N ,∴{}1,0,1-=N M 【高考考点】集合地运算,整数集地符号识别2．设a b ∈R ，且0b ≠,若复数3()a bi +是实数,则（ ）A ．223b a=B ．223a b=C ．229b a=D ．229a b=【解析】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+,因是实数且 0b ≠,所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数地基本运算3．函数1()f x x x=-地图像关于（ ）A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【解析】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数,所以图象关于原点对称【高考考点】函数奇偶性地性质4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，,则（ ）A ．a <b <c B ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a【解析】C【解析】由0ln 111<<-⇒<<-x x e ,令x t ln =且取21-=t 知b <a <c 5．设变量x y ，满足约束条件:222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥,则y x z 3-=地最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【解析】D【解析】如图作出可行域,知可行域地顶点是A （－2,2）、B(32,32)及C(－2,－2)于是8)(min -=A z 6．从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到地3名同学中既有男同学又有女同学地概率为（ ）A ．929B ．1029C ．1929D ．2029【解析】D【解析】2920330110220210120=+=C C C C C P 7．64(1(1-地展开式中x 地系数是（ ）A ．4-B ．3- C ．3D ．4【解析】B【解析】324156141604262406-=-+=-+C C C C CC【易错提醒】容易漏掉1416C C 项或该项地负号8．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =地图像分别交于M N ，两点,则MN 地最大值为（ ）A ．1BCD ．2【解析】B【解析】在同一坐标系中作出x x f sin )(1=及x x g cos )(1=在]2,0[π地图象,由图象知,当43π=x ,即43π=a 时,得221=y ,222-=y ,∴221=-=y y MN 【高考考点】三角函数地图象,两点间地距离【备考提示】函数图象问题是一个常考常新地问题9．设1a >,则双曲线22221(1)x y a a -=+地离心率e 地取值范围是（ ）A ．2)B ．C ．(25)，D ．(2【解析】B【解析】222222)11(1)1()(a aa a a c e ++=++==,因为a 1是减函数,所以当1a >时 110<<a,所以522<<e ,即52<<e 【高考考点】解析几何与函数地交汇点10．已知正四棱锥S ABCD -地侧棱长与底面边长都相等,E 是SB 地中点,则AE SD ，所成地角地余弦值为（ ）A ．13B C D ．23【解析】C【解析】连接AC 、BD 交于O,连接OE,因OE ∥SD.所以∠AEO 为所求。
2023年全国高考甲卷理科数学试题及解析
绝密★启用前 试卷类型：A2023年普通高等学校招生统一考试（全国甲卷）理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一项选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．设集合},|{Z k k x x A ∈1+3==，},|{Z k k x x B ∈2+3==，U 为整数集，则=)(B A C U （ ）A ．},|{Z k k x x ∈3=B ．},|{Z k k x x ∈－13= C ．},|{Z k k x x ∈－23= D ．【解析】 集合A 由被3除余1的整数组成，集合B 由被3除余2的整数组成，B A 由不能被3整除的整数组成，所以，)(B A C U 由被3整除的整数组成，故选A ．2．若复数R a ai i a ∈2=1+,))((－，则=a （ ）A ．1－B ．0C ．1D ．2【解析】 由2=1+))((ai i a － ，得2=1+22i a a )(－， 所以，2=2a ，0=12a －，即1=a ，故选C ．3．执行下面的程序框图，输出的=B （ ） A ．21 B ．34 C ．55 D ．89【解析】 1=n 时判断为“是”，执行3个处理框后，2=5=3=n B A ,,；2=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，3=13=8=n B A ,,；3=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，4=34=21=n B A ,,；4=n 时判断为“否”，输出34，故选B ．4．向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则>=<c b c a －－,cos （ ） A ．51－ B ．52－C ．52D ．54【解析】 显然2=1==222c b a ,，，由0=++c b a ，得0=++)(c b a a ，即0=1++ac ab ， 同理0=1++bc ab ，0=2++bc ac ，所以，1==0=－bc ac ab , ．于是4=+=2c cb ac ab c b c a －－－－))((，5==2)(c a c a －－，5==2)(c b c b －－，所以54=554=>=<cb c a c b c a c b c a －－－－－－))((,cos ．故选D ．开始结束输出B5．已知正项等比数列}{n a 中，1=1a ，n S 为}{n a 前n 项和，45=35－S S ，则=4S （ ）A ．7B ．9C ．15D ．30 【解析】 因为数列}{n a 为正项等比数列，设公比为)(0>q q ，则 4325++++1=q q q q S ，23++1=q q S ，由题意，得4++15=++++12432－)(q q q q q q ，解之，2=q ．所以15=8+4+2+1=4S ．故选C ．6．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报了足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A ．80.B ．40.C ．20.D ．10. 【解析】 因为同时报名乒乓球和足球两个俱乐部的人数为40=7060+50－，记“某人报了足球俱乐部”为事件A ，“某人报了乒乓俱乐部”为事件B ， 则75=7050=)(A p ，76=7060=)(B p ，74=7040=)(AB p ， 所以，在已知某人报了足球俱乐部的条件下，其报乒乓球俱乐部的概率为80=54=7474==.)()()|(A p AB p A B p ，故选A ．7．“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【解析】 由1=+22βαsin sin ⇔βα22=cos sin ，命题“若βα22=cos sin ，则0=+βαcos sin ”为假， 命题“若0=+βαcos sin ，则βα22=cos sin ”为真，所以，“1=+22βαsin sin ” 是 “0=+βαcos sin ”的必要但不是充分条件，故选B ．8．已知双曲线),(0>0>1=2222b a b y a x －的离心率为5，其中一条渐近线与圆1=3+222)()(－－y x 相交于B A ,两点，则=AB （ ）A ．51－B ．52－C ．52D ．54 【解析】 由双曲线),(0>0>1=2222b a by a x －的离心率为5，可得双曲线的渐近线方程为0=±2y x ．又圆心),(32到0=+2y x 的距离为57，大于圆的半径1，所以0=+2y x 与圆不相交，圆心),(32到0=2y x －的距离为51=d ，小于圆的半径1=r ， 所以0=2y x －与圆相交，所以 554=54=5112=2=222)(－－d r AB ．故选D ．9．有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A ．120B ．60C ．40D ．30 【解析】 先从5人中任选1人参加两天服务，有15C 种选法； 再从剩下4人中任选1人参加星期六服务，有14C 种选法； 最后从剩下3人中任选1人参加星期天服务，有13C 种选法． 根据乘法原理，共有60=131415C C C 种不同选法．故选B ．10．已知)(x f 为函数)cos(6+2=πx y 在向左平移6π个单位所的函数，则)(x f y =与2121=－x y 的交点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 先通过平移得到x x x x f y 2=2+2=6+6+2==sin )cos())(cos()(－πππ，即x x f 2=sin )(－．分别作x y 2=sin －和2121=－x y 的图象，如图，因为2143×21>1=43×2－－－－－)())(sin(ππ，即84=21>83π， 2143×21>1=43×2－－ππ)sin(，即812=23<83π，由图可知x y 2=sin －与2121=－x y 的交点个数为3．故选C ．11．在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 为正方形，3==4=PD PC AB ,，°45=PCA ∠，则PBC ∆的面积为( )A ．22B ．23C ．24D ．25【解析】 连接BD AC ,相交于O ，连接PO ，PD PC = ，PO PO =，OD OC =，POD POC ∆∆≌∴，PDO PCO ∠=∠，又PD PC = ，PDO PCO ∠=∠，BD AC =，PDB PCA ∆∆≌∴，PB PA ∠=，在PCA ∆中，24=3=CA PC ,，°45=PCA ∠，所以，°45××2+=222cos AC PC PC AC PA －O xyπABCDPO17=22×24×3×29+32=－，在PBC ∆中，4=3=BC PC ,，17==PA PB ，所以173=174×2916+17=××2+=∠222－－BC PB PC BC PB PBC cos ，于是1722=PBC ∠sin ， 所以，PBC ∆的面积为24=1722×4×17×21=×××21PBC BC PB ∠sin ．故选C ．12．已知椭圆1=6+922y x ，21F F ,为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，53=∠21PF F cos ，则=PO （ ）A ．52 B ．230 C ．53D ．235【解析】在椭圆1=6+922y x 中，3=a ，6=b ，3=c ，由2122222121×2+=53=PF PF FF PF PF PF F －∠cos 2121212221221×2×224=×2×2+=PF PF PF PF PF PF FF PF PF PF PF －－－)(， 所以215=×21PF PF ． 设点),(n m P ，则21PF F ∆的面积为3=54×215×21=∠×××212121PF F PF PF sin ， 于是 3=3=××2121n n F F ，所以3=2n ．又P 为椭圆上一点，所以29=2m ．230=3+29=+=22n m PO ．故选B ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 若)sin()(2+++1=2πx ax x y －为偶函数，则=a 【解析】 因为x a x x x ax x y )(cos )sin()(2+1++=2+++1=22－－π．而1++2x x cos 是偶函数，所以2=a ，应填2．14. 设y x ,满足约束条件 1≥+32333+2y x y x y x≤－≤－ ，设y x z 2+3=，则z 的最大值为【解析】 作出满足约束条件的点),(y x 的可行域， 由),(),(y x y x z •23=2+3=所以，当3=3=y x ,时，z 取得最大值15． 故填15．15. 在正方体1111D C B A ABCD －中，F E ,分别为11B A CD ,的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 【解析】 设正方体的棱长为2，O 为球心，于是，球O 的半径为2==OF OE ，可求得点O 到所有棱的距离均为2，所以球面与正方体每条棱的交点总数为12，故填12．16. 在ABC ∆中，2=AB ，°60=∠BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD【解析】在ABC ∆中，由正弦定理知，ACBABBAC BC ∠sin sin =∠，O xyB 1ABC D A 1C 1D 1EFOMN即22=63=×=BCBACAB ACB ∠∠sin sin ，所以°45=ACB ∠，于是°75=ABC ∠，在ABD ∆和ACD ∆中，分别由正弦定理知，°30=°45sin sin CD AD ， °306=°75sin sin CD AD －，42+6=°75sin ， 由°30=°45sin sin CD AD ，得AD CD 2=2， 由°306=°75sin sin CDAD －，得CD AD 262=26－－)(，解得2=AD ，故填2．三、解答题：本题共5小题,共60分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（12分）已知数列}{n a 中，1=2a ，设n S 为}{n a 的前n 项和，n n na S =2． （1）求}{n a 的通项公式；（2）求数列}{nn a 21+的前n 项和n T ． 【解析】 （1）由n n na S =2，得0=1a ，当2≥n 时，111=2－－－n n a n S )(， 两式相减，得11=2－－－n n n a n na a )(， 即11=2－－－n n a n a n )()(， 当2>n 时，21=1－－－n n a a n n ，此时， 223211××××=a a aa a a a a n n n n n －－－ 1=1×12××32×21=－－－－－n n n n n ， 当21=,n 时均满足，所以}{n a 的通项公式为1=－n a n ； （2）由n n n n a 2=21+，所以n n n T 2++23+22+21=32 ， 两边同乘以21，得1+322+21++22+21=21n n n n n T － ， 两式相减，得1+1+322211=221++21+21+21=21n n n n n n n T －－－ ， 所以，n n n T 22+2=－．18.（12分）在三棱柱111C B A ABC －中，2=1AA ，⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，1A 到平面11B BCC 的距离为1．（1）证明：C A AC 1=；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11B BCC 所成角的正弦值． 【解析】 （1）由⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ，可知°90=∠11C A C ， 平面⊥11C A C 平面BC B C 11，1A 到平面11B BCC 的距离为1．即C A C Rt 11∆斜边上的高为1，又斜边长2==11AA CC ， 所以C A C 11∆为等腰三角形，即C A C A 111=， 又AC C A =11，所以C A AC 1=． （2）由1CA CB CA ,,，两两互相垂直，由直线1AA 与1BB 距离为2，得3=BC ，，以C 为原点，分别以1CA CB CA ,,为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角 坐标系，则),,(000C ，),,(2001A ，),,(030B ，),,(2021－C ，),,(002A ，),,(2321－B ，于是),,(030=CB ，ABCA 1B 1C 1),,(202=1－CC ，),,(2322=1－AB ，平面11B BCC 的一个法向量为),,(101=n ， 所以1AB 与平面11B BCC所成角的正弦值为1313=131=101×2322101•2322=),,(),,(),,(),,(－－．19.（12分）为探究某药物对小鼠的生长作用，将 40 只小鼠均分为两组，分别为对照组（不药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）测得 40 只小鼠体重如下（单位：g ）（已按从小到大排好） 对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组： 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.1 26.0 （i ）求 40 只小鼠体重的中位数m ，并完成下面 2×2 列联表： （ii ）根据 2×2 列联表，能否有 95％的把握认为药物对小鼠 生长有抑制作用 参考数据：【解析】 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，且7819==0=240220020C C C X P )(； 7840==1=240120120C C C X P )(；7819==2=240020220C C C X P )(． X 的分布列为数学期望为1=7819×2+7840×1+7819×0=)(X E ．（2）（i ） 40 只小鼠体重的中位数423=2623+223=...m ．完成下面 2×2 列联表为（ii ）计算8413>4006=20×20×20×2040×14×146×6=22..)(－K ， 所以，有 95％的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．20.（12分）直线0=1+2y x －与)(0>2=2p px y 交于B A ,两点，154=AB ．（1）求p 的值；（2）F 为px y 2=2的焦点，N M ,为抛物线上的两点，且0=•NF MF ，求MNF 面积的最小值．【解析】 （1）将0=12=－y x 代入px y 2=2，得0=2+42p py y －，设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 4=+21，p y y 2=21， 于是，221221+=)()(y y x x AB －－212212214+5=5=y y y y y y －－)()(154=8165=2p p －．所以，2=p ，（2）F 为x y 4=2的焦点，),(01∴F ，设),(M M y y M 42,),(N Ny y N 42,由0=•NF MF ，得 0=41•4122),(),(N N M M y y y y －－－－，即0=+414122N M NM y y y y ))((－－，0=1+++41162222N M N M N M y y y y y y )(－，即224+=4)()(N M N M y y y y －， 设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线方程联立，得 )(n my y +4=2，即0=442n my y －－，于是有，m y y N M 4=+，n y y N M 4=－， 且0>16+16=2n m ∆，0>+2n m ．将224+=4)()(N M N M y y y y －变为224+=16+4)()(N M N M N M y y y y y y －， 即224+4=41644)()()(n n m －－－，0>1=+422)()(－n n m ， 0≥1+6=422n n m －，解得22+3≥n 或223≤－n ， 即1228≥4=－－n y y N M ．记MNF ∆面积为S ，则S =1+421=+4421=22N M N M N M M N N M y y y y y y y y y y －－－ 24+161=4+81=)(N M N M N M y y y y y y － 22124=4+1228161≥)()(－－． 所以记MNF ∆面积的最小值为2124)(－．21.（12分）已知xxax x f 3=cos sin )(－，),(20∈πx ． （1）若8=a ，讨论)(x f 的单调性；（2）若x x f 2<sin )(恒成立，求a 的取值范围．【解析】 （1）由8=a ，xx x x f 38=cos sin )(－，xxx x x x x f 622433+8=′8=′cos cos sin cos )cos sin ()(－－x xx 4223+8=cos sin cos －xx x 4223+412=cos )cos )(cos (－．因为0>3+42x cos ，0>4x cos ，),(20∈πx ．所以，当0>2=122x x cos cos －时，即),(40π∈x 时，)(x f 单调递增， 当0<2=122x x cos cos －时，即),(24ππ∈x 时，)(x f 单调递增． （2）由x x f 2<sin )(恒成立，即0<23x xxax sin cos sin －－，),(20∈πx ， 令x xxax x g 2=3sin cos sin )(－－，则0=0)(g ，)(x g 的最大值小于零， x xxx a x g 223+=′422cos cos sin cos )(－－2+423=242x x x a cos cos cos －－－， 令t x =2cos ， 得232+42+=′t t t a x g －－)(，1<<0t ，设232+42+=t t t a t －－)(ϕ，则33326+24=6+24=′tt t t t t －－－－)(ϕ， 323+2+212=t t t t ))((－－，由1<<0t 知，0>′)(t ϕ，)(t ϕ单调递增，)(x g ′单调递增， 所以3=1<－a t )()(ϕϕ，3<′－a x g )(， 当3≤a 时，0<′)(x g ，)(x g 为减函数，最大值小于零，满足题意； 当3>a 时，)(x g ′在),(20π内有零点，即)(x g 在),(20π内有极小值点， 又因为2→πx 必有∞－→)(x g ，这不可能． 所以，所求求a 的取值范围是∞,3]－(．四、选做题：本题共2小题,任选一道作答，共10分．22 〖选修4－4：坐标系与参数方程〗（10分）【解析】 （1）因为令0=y ，得，αsin 1=1－t ，所以αsin 1==1t PA ，令0=x ，得，αcos 2=2－t ，所以αcos 2==2t PB ，由4=PB PA ，得4=2ααcos sin ，即1=2αsin ，1±=2αsin ，由题意παπ<<2，所以43=πα．（2） 由（1）知t x 222=－，t y 22+1=，所以3=+y x ， l 的极坐标方程为3=+θρθρsin cos ．23 〖选修4－5：不等式选讲〗（10分）【解析】 （1）由x x f <)(，得0>+<2a a x a x ,－， 两边平方，2222+2+<4+84a ax x a ax x －，即0<3+10322a ax x －，0<33))((a x a x －－，因为0>a ，所以a x a3<<3． （2）因为0>a ，当a x ≥时，a x x f 32=－)(；当a x <时，x a x f 2=－)(；作出函数图象，得),(),,(020a B a A ，),(),,(a a D aC －023．函数图象与坐标轴围成的面积为2，即 2=43=+2a S S BCD AOB ∆∆，所以362=a ．xyAO a -aa BCD。
河南高考数学2023试题
河南高考数学2023试题河南高考数学2023试题第一部分：选择题1.设直线L的参数方程为x=t,y=2t-3,z=3t-5，则直线L在xz平面上的投影直线的参数方程是（）。
A. x=t,z=3t-5B. x=t,z=3tC. x=t,z=5-3tD. x=t,z=5-5t2.已知函数f（x）=∫(0到x)（t+sin t）dt，则（）。
A. f（0）=0B. f（x）恒大于0C. f’（x）=x+sinxD. f（x）是偶函数3.已知若a<b，则f（b）>f（a），则f（x）在（）上增。
A. （-∞，+∞）B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. (0,1)第二部分：填空题1.已知函数f（x）=cosx，则f（π÷6）的一个单调不降区间为______。
2.在G=\{(x,y,z)|y^2+2z^2\leq1\}上，f（x,y,z）=x^2-y^2+z^2的最大值为______。
3.若z=sin2x+cosx，则sin^2x-2sinxcosx+cos^2x的最大值为______。
第三部分：解答题1.求函数f（x）=x^4-x^3-5x^2+7x的极值及极值点。
2.已知三棱锥的底面为正三角形，高为h，其垂直于底面的棱长为a。
求三棱锥的体积和全面积，并求出h和a的值。
3.已知函数f（x）在[-1,1]上连续，且f（-1）=f（1）=0，求函数g（x）=∫(-x到x)tf（t^2）dt在[-1,1]上的取值范围。
第四部分：证明题1.证明：若a、b、c为正实数，且abc=1，则有a^3+b^3+c^3≥a^2+b^2+c^2。
2.证明：正四面体有三组对称面，它们分别为底面中垂线与顶点相交的面、与底面相对的面、中线面。
证明这三组对称面的面积之比为3：2：1。
第五部分：综合题1.设函数f（x）=\left\{\begin{aligned}sqrt{x}sin\dfrac{1}{x^2},x \neq0\\0,x=0\end{aligned}\right.，其中sin0=0，则①证明：f（x）在0<x≤10-6上一致连续；②证明：f（x）在0<x≤1上可积；③证明：f（x）在0<x≤1上不是黎曼可积函数。
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2023年高考理科数学试题
一、选择题（每题4分，共20分）
若函数f(x) = log₂(x - 3) 的定义域为D，则 D = ( )
A. (3, +∞)
B. [3, +∞)
C. (-∞, 3)
D. (-∞, 3]
下列命题中，真命题是( )
A. 若a > b，则a² > b²
B. 若a > b，c > d，则ac > bd
C. 若a > b > 0，c > d > 0，则a/c > b/d
D. 若a > b > 0，c > d > 0，则a + c > b + d
已知圆C 的方程为x² + y² - 2x - 4y = 0，则圆心 C 的坐标为( )
A. (1, 2)
B. (1, -2)
C. (-1, 2)
D. (-1, -2)
已知随机变量ξ 服从正态分布N(2, σ²)，且P(ξ < 4) = 0.9，则P(0 < ξ < 2) = ( ) A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
下列说法正确的是( )
A. 命题“若x² = 1，则x = 1”的否命题为“若x² = 1，则x ≠ 1”
B. “x > 2”是“x² - 3x + 2 > 0”的充分不必要条件
C. “若xy = 1，则x, y 同号”的逆否命题为真命题
D. 命题“若x = y，则sin x = sin y”的逆命题为真命题
二、填空题（每题4分，共16分）
函数y = 2x - 3 的零点为_______.
已知向量a = (1, -2)，b = (3, 4)，则a 在b 方向上的投影为_______.
已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则该圆锥的底面半径为_______. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 2x - 1，则f'(x) = _______.
三、解答题（共64分）
（12分）化简：
(1) sin²θ - cos²θ
(2) (sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ)
（12分）已知函数f(x) = (1/3)x³ - x² + ax + b (a, b ∈ℝ) 有两个极值点x₁, x₂，且满足x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = -3。
(1) 求a 的值；
(2) 求函数f(x) 在区间[0, 3] 上的最大值和最小值。
（12分）设数列{aₙ} 的前n 项和为Sₙ，且Sₙ = 2aₙ - 2 (n ∈ℕ*)。
(1) 求数列{aₙ} 的通项公式；
(2) 若bₙ = log₂aₙ₊₁ - log₂aₙ，求数列{1/bₙbₙ₊₁} 的前n 项和Tₙ。
（14分）在ΔABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c，且满足2sin A cos B = sin C。
(1) 求角B 的大小；
(2) 若b = √7，a = 3，求ΔABC 的面积。
（14分）已知椭圆C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F₁, F₂，。